第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用【課標(biāo)要求】（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義；（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角.2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a＝（x1，y1）與b＝（x2，y2），它們的夾角為θ，我們把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b，其坐標(biāo)表示為a·b＝x1x2＋y1y2.3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）a·b＝b·a；（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即（a·b）c≠a（b·c）；也不滿足消去律，即a·b＝a·cb＝c.（1）已知向量a，b夾角的余弦值為－14，且｜a｜＝4，｜b｜＝1，則（a－b）·（b－2a）＝（A）A.－36 B.－12C.6 D.36解析：（1）（a－b）·（b－2a）＝a·b－2a2－b2＋2a·b＝3a·b－b2－2a2＝3×4×1×（－14）－1－2×16＝－36.故選A（2）（2023·全國(guó)乙卷文6題）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則EC·ED＝（B）A.5 B.3C.25 D.5解析：（2）法一由題意知，EC＝EB＋BC＝12AB＋AD，ED＝EA＋AD＝－12AB＋AD，所以EC·ED＝（12AB＋AD）·（－12AB＋AD）＝｜AD｜2－14｜AB｜2，由題意知｜AD｜＝｜AB｜＝2，所以EC法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD的方向分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則E（1，0），C（2，2），D（0，2），則EC＝（1，2），ED＝（－1，2），EC·ED＝－1＋4＝3，故選B.規(guī)律方法計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法（1）利用定義：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞；（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝x1x2＋y1y2；（3）利用基底法求數(shù)量積.練1（1）（2025·南通一模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，點(diǎn)E在邊AB上，且CD·CE＝3，則BE＝（C）A.1 B.2C.12 D.解析：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C（2，0），D（1，2），設(shè)E（0，x），則CE＝（－2，x），CD＝（－1，2），則CD·CE＝2＋2x＝3，解得x＝12，即BE＝12（2）（2022·全國(guó)甲卷理13題）設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝11解析：（2）（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11知識(shí)點(diǎn)二投影向量如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM＝a，ON＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量，記為OM1＝a（1）（蘇教必修二P24練習(xí)5題改編）已知向量a與b的夾角為π3，｜a｜＝2，｜b｜＝1，則向量a在b上的投影向量為（A）A.b B.12C.a D.12解析：（1）由題意知，｜a｜＝2，且向量a與b的夾角為π3，所以向量a在b上的投影向量為｜a｜c(diǎn)os＜a，b＞·b｜b（2）若向量a，b滿足a＝（1，3），（a－b）·（a－3b）＝15，且a在b上的投影向量為－2b，則a·b＝（B）A.2 B.－2C.1 D.－1解析：（2）由a＝（1，3）得｜a｜＝2，因?yàn)閍在b上的投影向量為a·b｜b｜·b｜b｜＝－2b，所以a·b＝－2｜b｜2，因?yàn)椋╝－b）·（a－3b）＝｜a｜2－4a·b＋3｜b｜2＝15，所以22＋8｜b｜2＋3｜b｜2＝15，解得｜b｜2＝1規(guī)律方法任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜c(diǎn)osθe（θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量）.練2（1）（北師必修二P108例1改編）已知｜a｜＝｜b｜＝1，｜a＋b｜＝3，則a在b上的投影向量為（D）A.32a B.1C.32b D.1解析：（1）（a＋b）2＝a2＋b2＋2a·b＝3，由｜a｜＝｜b｜＝1，得a·b＝12，所以向量a在b上的投影向量為a·b｜b｜2·b（2）（2025·武漢一模）已知x∈R，向量a＝（x，2），b＝（2，－1），且a⊥b，則a＋b在a上的投影向量的坐標(biāo)為（C）A.（5，1） B.（5，1）C.（1，2） D.（2，－1）解析：（2）由a⊥b，則有a·b＝2x－2＝0，即x＝1，則a＋b＝（3，1），故（a＋b）·a｜a｜·a｜a｜＝3+2知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的應(yīng)用已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.幾何表示坐標(biāo)表示模｜a｜＝a｜a｜＝x1夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0｜a·b｜與｜a｜｜b｜的關(guān)系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）｜x1x2＋y1y2｜≤（提醒a(bǔ)⊥b?a·b＝0是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.角度1向量的模（人A必修二P61復(fù)習(xí)參考題13（6）題改編）若平面向量a，b，c兩兩夾角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝4，則｜2a＋2b－c｜＝（）A.0 B.6C.0或6 D.0或6解析：D①當(dāng)向量a，b，c兩兩夾角為0時(shí)，｜2a＋2b－c｜＝｜2＋2－4｜＝0；②當(dāng)向量a，b，c兩兩夾角為2π3時(shí)，｜2a＋2b－c｜2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×（－12）－4×1×4×（－12）－4×1×4×（－12）＝36，所以｜2a＋2b－c｜＝6.綜上，｜2a＋2b－c｜＝0或規(guī)律方法求平面向量模的方法（1）公式法：利用｜a｜＝a·a及（a±b）2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2，（2）幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量線性運(yùn)算的平行四邊形法則或三角形法則作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.角度2向量的夾角有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論（1）兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立）；（2）兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立）.（1）（人A必修二P18例10改編）已知a＝（1，2），｜b｜＝23，a·b＝－3，則a與b的夾角為（C）A.30° B.60°C.120° D.150°解析：（1）設(shè)a與b的夾角為θ，因?yàn)閍＝（1，2），｜b｜＝23，a·b＝－3，所以cosθ＝a·b｜a||b｜＝－33×23＝－12，因?yàn)?°≤θ≤180（2）已知向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，且a＋b＋c＝0，則cos＜a－c，b－c＞＝45解析：（2）法一∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時(shí)平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，∴cos＜a法二∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，且a＋b＋c＝0，∴分別以a，b，c為邊構(gòu)造等腰直角三角形OAB，如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則a＝OA＝（1，0），b＝AB＝（0，1），c＝BO＝（－1，－1），則a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝5，∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（規(guī)律方法求平面向量的夾角的方法角度3向量的垂直（1）（2024·新高考Ⅰ卷3題）已知向量a＝（0，1），b＝（2，x），若b⊥（b－4a），則x＝（D）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：（1）法一因?yàn)閎⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故選D.法二因?yàn)閍＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4（0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因?yàn)閎⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解得x＝2，故選D.（2）已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是（D）A.a＋2b B.2a＋bC.a－2b D.2a－b解析：（2）法一由題意，得a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)os60°＝12.對(duì)于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對(duì)于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對(duì)于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對(duì)于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥法二不妨設(shè)a＝12，32，b＝（1，0），則a＋2b＝52，32，2a＋b＝（2，3），a－2b＝－32，32，2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0規(guī)律方法有關(guān)向量垂直的兩類題型練3（1）〔多選〕（2025·鹽城一模）已知向量a＝（m，－1），b＝（－2，1），則下列說法正確的是（AC）A.若m＝1，則｜a－b｜＝13B.若a⊥b，則m＝2C.“m＜－12”是“a與b的夾角為銳角”D.若a·b＝－｜a｜｜b｜，則m＝－2解析：（1）對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閙＝1，所以a＝（1，－1），又b＝（－2，1），所以a－b＝（3，－2），故｜a－b｜＝32＋(?2）2＝13，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閍⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－12，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)a與b的夾角為銳角時(shí)，由cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＞0，得到a·b＞0，即－2m－1＞0，得到m＜－12，當(dāng)m＜－12時(shí)，也可得出cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＞0，而＜a，b＞∈[0，π]，又當(dāng)a∥b時(shí)，m－2＝0得到m＝2，此時(shí)a＝（2，－1），b＝（－2，1），a，b反向共線，所以＜a，b＞∈（0，π2），即“m＜－12”可以得出“a與b的夾角為銳角”，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由a·b＝－｜a｜｜b｜，設(shè)向量a與b的夾角為θ，則｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝－｜a｜｜b｜，則cosθ＝－1，θ＝π，即a與b反向共線（2）（2025·蘭州高三診斷考試）在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則cos＜AE，BD＞＝－2114解析：（2）如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OC，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，則A（－1，0），B（1，0），C（0，3），所以D（－12，32），E（13，233），則AE＝（43，233），BD＝（－32，32），所以cos＜AE△△△一、單項(xiàng)選擇題1.（2024·新高考Ⅱ卷3題）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，則｜b｜＝（）A.12 B.C.32 解析：B因?yàn)椋╞－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因?yàn)椋黙｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，從而｜b｜＝22.故選B2.已知向量a＝（－2，6），b＝（1，x），若a與b反向，則a·（3a＋b）＝（）A.－30 B.30C.－100 D.100解析：D由已知得a與b共線，則－2×x＝1×6，解得x＝－3，所以b＝（1，－3），所以3a＋b＝3（－2，6）＋（1，－3）＝（－5，15），因此a·（3a＋b）＝（－2，6）·（－5，15）＝100.故選D.3.（2025·南京模擬）平面向量a與b相互垂直，已知a＝（6，－8），｜b｜＝5，且b與向量（1，0）的夾角是鈍角，則b＝（）A.（－3，－4） B.（4，3）C.（－4，3） D.（－4，－3）解析：D設(shè)b＝（x，y），則由題意得a·b=0，x2＋y2=5，即6x－8y=0，x2＋y2=25，解得x=4，y=3或x＝－4，y＝－3.設(shè)c＝（1，0），當(dāng)b＝（4，3）時(shí)，cos＜b，c＞＝b·c｜b||c｜4.已知向量a＝（λ＋1，2），b＝（1，－λ），若a⊥b，則向量c＝（1，2）在向量a＋b上的投影向量的坐標(biāo)為（）A.（3，1） B.（1，3）C.（12，32） D.（32解析：D依題意得a＝（λ＋1，2），b＝（1，－λ），a·b＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a＝（2，2），b＝（1，－1），所以a＋b＝（3，1），則向量c＝（1，2）在向量a＋b上的投影向量的坐標(biāo)為c·（a＋b）｜a＋b｜·a5.（2025·宜春模擬）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小最接近（忽略空氣阻力，重力加速度g取9.8m/s2）（）A.1.4N B.1.5NC.1.6N D.1.8N解析：A設(shè)每根繩子上的拉力大小為T，根據(jù)平衡條件得8Tcos30°＝mg，解得T＝mg43＝1×9.843≈1.4N6.（2025·唐山模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝π3，E是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上靠近D的三等分點(diǎn)，若AE·BF＝8，則｜AD｜＝（A.4 B.42C.43 D.8解析：A記｜AD｜＝m，因?yàn)锳B＝2，且四邊形ABCD為平行四邊形，所以AE·BF＝（AB＋BE）·（BC＋CF）＝（AB＋12AD）·（AD－23AB）＝AB·AD－23｜AB｜2＋12｜AD｜2－13AB·AD＝23｜AB｜｜AD｜c(diǎn)os∠BAD－23｜AB｜2＋12｜AD｜2＝2m3－83＋m22＝8，解得m7.（2024·濟(jì)南模擬）已知非零向量AB，AC滿足AB·BC｜AB｜＝AC·CB｜AC｜，且AB｜ABA.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析：D由AB｜AB｜·AC｜AC｜＝12，得cosA＝12，又0＜A＜π，∴A＝π3.由AB·BC｜AB｜＝AC·CB｜AC｜，得（AB｜AB｜＋AC二、多項(xiàng)選擇題8.（2025·亳州模擬）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則AP·AB的可能取值是（）A.－2 B.2C.4 D.8解析：BC如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°，所以∠CBx＝60°，則A（0，0），B（2，0），C（3，3），F(xiàn)（－1，3）.設(shè)P（x，y），則AP＝（x，y），AB＝（2，0），且－1＜x＜3.所以AP·AB＝（x，y）·（2，0）＝2x∈（－2，6）.9.（2025·武漢調(diào)研）已知向量a＝（cosθ，sinθ），b＝（－3，4），則（）A.若a∥b，則tanθ＝－4B.若a⊥b，則sinθ＝3C.｜a－b｜的最大值為6D.若a·（a－b）＝0，則｜a－b｜＝26解析：ACD若a∥b，則4cosθ＝－3sinθ，tanθ＝－43，A正確；若a⊥b，則－3cosθ＋4sinθ＝0，tanθ＝34，所以sinθ＝±35，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋黙｜＝cos2θ＋sin2θ＝1，｜b｜＝(?3）2＋42＝5，｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a，b反向時(shí)等號(hào)成立，所以C正確；若a·（a－b）＝0，則a2＝a·b，則｜a－b｜＝（a－b三、填空題10.在四邊形ABCD中，AC＝（3，－1），BD＝（2，m），AC⊥BD，則該四邊形的面積是10.解析：由AC＝（3，－1），BD＝（2，m），AC⊥BD，可得AC·BD＝3×2＋（－1）×m＝0，解得m＝6，所以四邊形的面積為12｜AC｜·｜BD｜＝12×32＋(?111.（2025·嘉興調(diào)研）已知平面向量a，b，c，a＝（－1，3），b＝（3，－1），c是非零向量，且c與a，b的夾角相等，則c的坐標(biāo)可以為（1，1）（答案不唯一，滿足橫、縱坐標(biāo)相等且不為0即可）.（只需寫出一個(gè)符合要求的答案）解析：設(shè)c＝（x，y），由c與a，b的夾角相等，得a·c｜a||c｜＝b·c｜b||c｜，∴－x＋3y12.已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝2，則a·b＋b·c＋c·a＝－92解析：法一由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，則a·（b＋c）＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1.由b＋c＝－a，得（b＋c）2＝（－a）2，則b2＋2b·c＋c2＝a2，即22＋2b·c＋22＝12，所以b·c＝－72，所以a·b＋b·c＋c·a＝－9法二由已知可得（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝9＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－92四、解答題13.（2025·白銀模擬）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，｜AB｜＝2｜DC｜＝2，∠BAD＝π3，E是BC邊的中點(diǎn).（1）試用AB，AD表示AE，BC；（2）求DB·AE的值.解：（1）AC＝AD＋DC＝AD＋12AE＝12（AB＋AC）＝12（AB＋AD＋12AB）＝BC＝AC－AB＝AD＋12AB－AB＝AD－（2）由題意可知，｜AD｜＝12(|AB|?|DC|)cosπ3＝1所以DB·AE＝（AB－AD）·（34AB＋＝34｜AB｜2－12｜AD｜2－1＝34｜AB｜2－12｜AD｜2－14｜AB｜｜AD｜＝34×4－12×1－14×2×1×114.（2025·青島模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M.（1）求∠EMF的余弦值；（2）設(shè)AM＝λAF，求λ的值及點(diǎn)M的坐標(biāo).解：（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，則D（0，6），E（3，0），A（0，0），F(xiàn)（6，2），∴DE＝（3，－6），AF＝（6，2），由于∠EMF就是DE，AF的夾角，∴cos∠EMF＝cos＜DE，AF＞＝18－129+36∴∠EMF的余弦值為210（2）∵AM＝λAF，則AM＝（6λ，2λ），則M（6λ，2λ），又D，M，E三點(diǎn)共線，則設(shè)DM＝tDE，0＜t＜1，即（6λ，2λ－6）＝t（3，－6），則6λ=3t，2故M（187，67△△△15.（2025·淄博一模）在平面直角坐標(biāo)系x