第十五章分式15．1分式15．1.1從分數(shù)到分式教學目標課題15.1.1從分數(shù)到分式授課人素養(yǎng)目標1.以描述實際問題中的數(shù)量關(guān)系為背景抽象出分式的概念，建立數(shù)學模型，并了解分式的概念.2.能夠通過分式的概念理解和掌握分式有意義的條件. 3.通過分數(shù)與分式的類比，使學生親身經(jīng)歷探究整式擴充到分式的過程，初步學會運用類比、轉(zhuǎn)化的思想方法研究數(shù)學問題. 教學重點理解分式有意義的條件．教學難點熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件.教學活動教學步驟師生活動活動一：知識回顧，導(dǎo)入新課設(shè)計意圖引導(dǎo)學生回憶已學的分數(shù)和整式的內(nèi)容，為引入分式這個新概念做準備.【問題導(dǎo)入】1.什么是單項式？什么是多項式？單項式和多項式統(tǒng)稱為整式2.“12÷11＝”表示為分數(shù)形式是eq\f(12,11)，同樣地，整式的除法是否能類似地表示？比如90÷(30＋v)和60÷(30－v)可以分別用式子eq\f(90,30＋v)，eq\f(60,30－v)表示.思考下列問題并填空：1.(1)若長方形的面積為10cm2，長為7cm，則寬應(yīng)為eq\f(10,7)cm；(2)若長方形的面積為S，長為a，則寬應(yīng)為eq\f(S,a).2.(1)把體積為200cm3的水倒入底面積為33cm2的圓柱形容器中，則水面高度為eq\f(200,33)cm；(2)把體積為V的水倒入底面積為S的圓柱形容器中，則水面高度為eq\f(V,S).【教學建議】注意引導(dǎo)學生回顧整式和分數(shù)的相關(guān)知識，并通過填空初步感知分式．通過這一系列提問，激活學生原有的知識，體現(xiàn)學生的學習是在原有知識上自我生成的過程，為學習新知識做好鋪墊.活動二：問題引入，合作探究設(shè)計意圖通過讓學生在回答問題的過程中，嘗試提煉出共性，明確區(qū)別，從而加深對概念的理解.探究點1分式的概念問題1活動一中的式子eq\f(S,a)，eq\f(V,S)，eq\f(90,30＋v)，eq\f(60,30－v)有什么共同點？它們與分數(shù)有什么相同點和不同點？從整體上看，它們都是eq\f(A,B)的形式；從分子、分母單獨看，分子、分母都是整式，并且分母中都含有字母.【教學建議】一般地，學生往往只注意到分母B中含有字母，而忽略分子、分母都是整式的形式．教學中可提醒學生考慮分數(shù)的分子、分母都是什么樣的數(shù)，再由此聯(lián)系到分式的分子、分母是什么樣的式子．教師需跟學生明確一點，即分式的分母中必須含字母，分子中不一定含字母.教學步驟師生活動設(shè)計意圖問題4揭示圖形語言與文字語言之間的聯(lián)系，使學生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界抽象出幾何模型的過程，認識三角形的各個基本要素.概念引入：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫做分式.分式eq\f(A,B)中，A叫做分子，B叫做分母.問題2下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？【對應(yīng)訓練】教材P128～129練習第1，2題.【教學建議】教師需強調(diào)π表示的是常數(shù)，因此分母只含π而不含其他字母的式子不是分式，而是整式.設(shè)計意圖在明確分式有(無)意義的條件的基礎(chǔ)上，通過例題教學和對應(yīng)訓練加深對分式有(無)意義的條件的理解，并能正確求出分式有(無)意義的條件.探究點2分式有意義、無意義的條件思考我們知道，要使分數(shù)有意義，分數(shù)中的分母不能為0.要使分式有意義，分式中的分母應(yīng)滿足什么條件？分式的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0.即當B≠0時，分式eq\f(A,B)才有意義；當B＝0時，分式eq\f(A,B)無意義．例(教材P128例1)下列分式中的字母滿足什么條件時分式有意義？(1)eq\f(2,3x)；(2)eq\f(x,x－1)；(3)eq\f(1,5－3b)；(4)eq\f(x＋y,x－y).解：(1)要使分式eq\f(2,3x)有意義，則分母3x≠0，即x≠0；(2)要使分式eq\f(x,x－1)有意義，則分母x－1≠0，即x≠1；(3)要使分式eq\f(1,5－3b)有意義，則分母5－3b≠0，即b≠eq\f(5,3)；(4)要使分式eq\f(x＋y,x－y)有意義，則分母x－y≠0，即x≠y.【對應(yīng)訓練】1．教材P129練習第3題．2．(1)當a＝－2時，分式eq\f(2a,a＋2)無意義；(2)當x＝eq\f(3,2)時，分式eq\f(x＋2,2x－3)無意義．【教學建議】教學中引導(dǎo)學生思考：當分母中含有一個字母時，結(jié)果是這個字母不等于某個數(shù)值(如x≠0)的形式；當分母中含有多個字母時，結(jié)果是這些字母之間不能有某種關(guān)系(如x≠y)的形式，即對字母之間關(guān)系的限制而不是對每個字母的值進行限制．教師還需提示學生如無特別聲明，本章出現(xiàn)的分式都有意義，因此無需逐一對以后出現(xiàn)的每個分式中的字母進行討論．活動三：知識延伸，鞏固升華設(shè)計意圖經(jīng)歷對分式值為0的例題的學習，完善知識點，達到鞏固提升的目的．例當x為何值時，分式eq\f(3x－6,2x＋1)的值為0?解：3x－6＝0且2x＋1≠0，即x＝2時，分式eq\f(3x－6,2x＋1)的值為0.【對應(yīng)訓練】對于下列分式，當a為何值時，分式的值為0?【教學建議】教師引導(dǎo)學生完成例題后需強調(diào)分式的值為0時，對分式有兩方面的約束條件：①分子為0；②分母不為0.教學步驟師生活動(1)eq\f(a＋7,5a)；(2)eq\f(7a,21－3a).解：(1)a＋7＝0且5a≠0，即a＝－7.(2)7a＝0且21－3a≠0，即a＝0.活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié)【隨堂訓練】見《》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時隨堂訓練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.分式和整式有何區(qū)別？2.分式有意義的條件是什么？3.分式值為0的條件是什么？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P133習題15.1第1，2，3題．2.《》主體本部分相應(yīng)課時訓練．板書設(shè)計15.1.1從分數(shù)到分式1.分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子eq\f(A,B)叫做分式.2.分式eq\f(A,B)有(無)意義的條件：當B≠0時，分式有意義；當B＝0時，分式無意義.3.分式eq\f(A,B)值為0的條件：當A＝0且B≠0時，分式的值為0.教學反思本節(jié)課采用教師類比引導(dǎo)、提問，學生思考回答的方式完成對分式概念及分式有無意義的自主探索．通過“活動三”這一環(huán)節(jié)又發(fā)展了學生思維，鞏固了課堂知識．教師提出問題讓學生解決，問題由易到難，層層深入，既復(fù)習了舊知識又在類比過程中獲得了新知識，使學生感受到數(shù)學知識的一體性.解題大招一根據(jù)分式有意義求字母的值(1)分式是否有意義，只與分式中分母的值是否為0有關(guān)，而與分子的值是否為0無關(guān)．(2)討論分式有無意義，一定要針對原分式討論，不能將分式化簡后再討論．如例1(3)，不能只討論x＋4≠0.(3)分式有意義的條件是指表示分母的整式的值不能為0，并不是說分母中字母的取值不能為0.例1x滿足什么條件時下列分式有意義？(1)eq\f(2,|x|－1)；(2)eq\f(x＋1,x2＋3)；(3)eq\f(x－2,（x－2）（x＋4）).解：(1)當|x|－1≠0，即x≠±1時，分式eq\f(2,|x|－1)有意義．(2)因為不論x取什么值，都有x2＋3>0，所以x取任何實數(shù)，分式eq\f(x＋1,x2＋3)都有意義．(3)當(x－2)(x＋4)≠0，即x≠2且x≠－4時，分式eq\f(x－2,（x－2）（x＋4）)有意義．解題大招二根據(jù)分式值為0求字母值的方法例2當x取什么值時，下列分式的值為0?(1)eq\f(|x|－4,x＋4)；(2)eq\f(x－3,x2－9).解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|－4＝0，,x＋4≠0，))得x＝4，所以當x＝4時，分式eq\f(|x|－4,x＋4)的值為0.(2)因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3＝0，,x2－9≠0))無解，所以沒有使分式eq\f(x－3,x2－9)的值為0的x的值．解題大招三根據(jù)分式值的正、負確定字母取值范圍的方法(1)若eq\f(A,B)的值為正數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＞0，,B＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＜0，,B＜0；))(2)若eq\f(A,B)的值為負數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＞0，,B＜0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＜0，,B＞0.))例3(1)[教材P158T6(2)]當x(x≠0)為x＞－eq\f(1,2)時，分式eq\f(2x＋1,x2)的值為正；(2)[教材P158T6(3)]當x(x≠0)為x＜2時，分式eq\f(x－2,x2)的值為負；(3)當x為－1＜x＜3時，分式eq\f(2x＋2,x－3)的值為負．解析：(1)分式eq\f(2x＋1,x2)的值為正，且x≠0，得x2＞0，2x＋1＞0，即x＞－eq\f(1,2).(2)分式eq\f(x－2,x2)的值為負，且x≠0，得x2＞0，x－2＜0，即x＜2.(3)由分式的值為負，得①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2＞0，,x－3＜0))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2＜0，,x－3＞0)).解不等式組①，得－1<x<3.解不等式組②，無解．所以當－1<x<3時，分式eq\f(2x＋2,x－3)的值為負．培優(yōu)點分式有、無意義及值為0的綜合應(yīng)用例已知分式eq\f(x＋a,x＋b)，當x＝－2時，分式的值為0；當x＝－1