2.1.1兩角和與差的余弦公式姓名：買(mǎi)春雨科目：數(shù)學(xué)學(xué)段：高一學(xué)校：景泰一中2.1.1兩角和與差的余弦公式教材：湖南教育出版社《普通高中教科書(shū).數(shù)學(xué).必修第二冊(cè)§2.1.1節(jié)》（新授課）一、教材分析本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)《第2章三角恒等變換》的第1小節(jié)第一課時(shí)，三角恒等變換是以代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換的學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，建立起一套包含兩個(gè)角的和與差的三角函數(shù)公式就是本章的首要任務(wù)，作為本章的第一課，兩角和與差的余弦公式是本節(jié)所有公式的出發(fā)點(diǎn)，教材首探究得出兩角和與差的余弦公式，再在此基礎(chǔ)上通過(guò)變換得出兩角的和與差的其他公式.因此，兩角和與差的余弦公式探究與證明既是本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)，也是難點(diǎn).課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)課內(nèi)容提出了具體要求，即通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探究與證明得出兩角和與差的余弦公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、勇于置疑、嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變形和化簡(jiǎn)求值.也為后面的兩角的和與差的其他公式推導(dǎo)打好基礎(chǔ).并運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)問(wèn)題.學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)，從而為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識(shí)儲(chǔ)備，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，從而深化理解和掌握各公式的來(lái)龍去脈，并能運(yùn)用公式進(jìn)行恒等變形或化簡(jiǎn)求值.三、教學(xué)目標(biāo)1．理解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，體會(huì)向量和三角函數(shù)間的聯(lián)系；2．由兩角差的余弦公式推出兩角和的余弦公式，理解化歸思想在三角變換中的作用；3．掌握用兩角和與差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式的證明．四、教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)與應(yīng)用；難點(diǎn)：兩角和與差的余弦公式的證明.五、核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).六、教學(xué)流程回顧舊知→情景引入→新知探索→典例剖析→練習(xí)鞏固→歸納小結(jié)七、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖(一）回顧舊知復(fù)習(xí)1誘導(dǎo)公式sin(α+2kπ)=（k∈Z）cos(α+2kπ)=（k∈Z）復(fù)習(xí)2利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)cos(?β)=cos(?β)=回顧舊知：終邊相同的角的三角函數(shù)相同；兩個(gè)角互為余角時(shí)，一個(gè)角正弦值等于另一個(gè)角的余弦值回顧舊知，引出本節(jié)課課題，為本節(jié)課新知學(xué)習(xí)做鋪墊．(二）情景引入問(wèn)題1：cos15°=?思考1：cos(αβ)=？教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考．激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．(三）新知探索(三）新知探索兩角差的余弦公式當(dāng)α?β?[0，π]時(shí)，如圖，以點(diǎn)O為圓心做單位圓，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α,β,它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)A，B.問(wèn)題2：小組討論，完成以下問(wèn)題：1.利用三角函數(shù)寫(xiě)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)；2.∠AOB如何利用已知角表示；OO兩角差的余弦公式：通過(guò)討論歸納出兩角差的余弦公式：2.兩角和的余弦公式問(wèn)題3：如何由兩角差的余弦公式推出兩角和的余弦公式呢?思考3:α+β和αβ之間有什么聯(lián)系？?jī)山呛偷挠嘞夜剑簹w納出兩角和的余弦公式：(2)公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：“余余正正，符號(hào)反”；結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)記“CCSS”.提示學(xué)生聯(lián)系與角的余弦相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，明確以向量運(yùn)算中的數(shù)量積與三角函數(shù)線(xiàn)作為研究途徑.（怎樣構(gòu)造角？由于我們要求兩角差的余弦，涉及三角函數(shù)問(wèn)題，故可考慮運(yùn)用單位圓中的向量知識(shí)和角的余弦線(xiàn)來(lái)證明.）小組討論交流，各抒己見(jiàn)，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納.引導(dǎo)學(xué)生利用兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式.引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，利用舊知探究新知，提高學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力.提問(wèn)式教學(xué)，通過(guò)層層設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生積極思考，逐步遞進(jìn)，讓學(xué)生深入理解兩角差的余弦公式．由兩角差的余弦公式推出兩角和的余弦公式，理解化歸思想在三角變換中的作用.(四）典例剖析例1.(1)求15o的余弦值;(2)求75o的余弦值.例2.求下列各式的值..變式：例1引導(dǎo)總結(jié)：利用新知解決本節(jié)課一開(kāi)始提出的問(wèn)題.引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)特殊的和或差表示所求的角，然后套用公式進(jìn)行計(jì)算.例2引導(dǎo)總結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生逆用公式求值，然后觀察分析角，轉(zhuǎn)換角后使用公式.首尾呼應(yīng).例1題讓學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化公式的運(yùn)用．例2題讓學(xué)生在熟練運(yùn)用公式的基礎(chǔ)上，逆向應(yīng)用公式．(五）練習(xí)鞏固練習(xí)求下列各式的值給出練一練，學(xué)生在紙上寫(xiě)出答案．練習(xí)2找三位學(xué)生上黑板練習(xí)，請(qǐng)其余學(xué)生糾正錯(cuò)誤，指出所應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)．練習(xí)1強(qiáng)化公式的靈活運(yùn)用.練習(xí)2進(jìn)一步加強(qiáng)兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用.(六）能力提升引導(dǎo)總結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生先用同角關(guān)系求出已知角的正余弦值，再利用所公式解決問(wèn)題.進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)用余弦公式解決簡(jiǎn)單的含字母表達(dá)的三角運(yùn)算題.(七）歸納小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法）學(xué)生思考討論，歸納總結(jié)．系統(tǒng)梳理整節(jié)課所學(xué)內(nèi)容．(八）作業(yè)布置思考4：你還能想到其他的推導(dǎo)方法嗎？cos(α?三角函數(shù)線(xiàn)三角形全等余弦定理三角形面積1.1.課本P70練習(xí)1、2、3（必做）；2.資料《2.1.1兩角和與差的余弦公式》（必做）；《課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)》相應(yīng)小節(jié)（選做）.學(xué)生課后完成．鞏固所學(xué)知識(shí)．七、板書(shū)設(shè)計(jì)2.1.1兩角和與差的余弦公式1.兩角差的余弦公式2.兩角和的余弦公式注意：多媒體課件區(qū)域典例精解(歸納總結(jié)方法)八、課后反思