23.1.2.130°，45°，60°角的三角函數(shù)值第23章

解直角三角形【2025-2026學年】滬科版

數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********23.1.2.130°，45°，60°

角的三角函數(shù)值學習目標理解并推導(dǎo)30°、45°、60°

角的正弦、余弦和正切值。熟練記憶這三個特殊角的三角函數(shù)值，并能準確運用它們進行計算。結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，體會特殊角三角函數(shù)值的合理性和便捷性。課堂講解一、特殊角的三角函數(shù)值推導(dǎo)（一）30°

角的三角函數(shù)值在含30°

角的直角三角形中，30°

角所對的直角邊是斜邊的一半。設(shè)30°

角所對的直角邊為\(a\)，則斜邊為\(2a\)。根據(jù)勾股定理，另一條直角邊（60°

角所對的直角邊）為\(\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，\(\angleB=60^{\circ}\)：\(\sin30^{\circ}=\frac{\angleA????ˉ1è?1}{???è?1}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)\(\cos30^{\circ}=\frac{\angleA???é??è?1}{???è?1}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\tan30^{\circ}=\frac{\angleA????ˉ1è?1}{\angleA???é??è?1}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)（二）45°

角的三角函數(shù)值在等腰直角三角形中，兩個銳角都是45°，兩條直角邊相等。設(shè)直角邊為\(a\)，則斜邊為\(\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=\angleB=45^{\circ}\)：\(\sin45^{\circ}=\frac{\angleA????ˉ1è?1}{???è?1}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\cos45^{\circ}=\frac{\angleA???é??è?1}{???è?1}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\tan45^{\circ}=\frac{\angleA????ˉ1è?1}{\angleA???é??è?1}=\frac{a}{a}=1\)（三）60°

角的三角函數(shù)值結(jié)合含30°

角的直角三角形，60°

角所對的直角邊是\(\sqrt{3}a\)，鄰邊是\(a\)，斜邊是\(2a\)：\(\sin60^{\circ}=\frac{\angleB????ˉ1è?1}{???è?1}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\cos60^{\circ}=\frac{\angleB???é??è?1}{???è?1}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\)\(\tan60^{\circ}=\frac{\angleB????ˉ1è?1}{\angleB???é??è?1}=\frac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}\)二、特殊角三角函數(shù)值表角度正弦（\(\sin\)）余弦（\(\cos\)）正切（\(\tan\)）30°\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)45°\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)160°\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{3}\)三、特殊角三角函數(shù)值的應(yīng)用（一）直接利用特殊角三角函數(shù)值計算例1：計算下列各式的值：\(\sin30^{\circ}+\cos60^{\circ}\)\(\tan45^{\circ}-\sin60^{\circ}\times\cos30^{\circ}\)解：\(\sin30^{\circ}+\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)\(\tan45^{\circ}-\sin60^{\circ}\times\cos30^{\circ}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)（二）已知特殊角的三角函數(shù)值求角度例2：已知\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且\(\alpha\)為銳角，求\(\alpha\)的度數(shù)。解：因為\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\alpha=45^{\circ}\)。例3：已知\(\tan\alpha=\sqrt{3}\)，求銳角\(\alpha\)的度數(shù)。解：因為\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)，所以\(\alpha=60^{\circ}\)。（三）結(jié)合直角三角形邊長計算例4：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，斜邊\(AB=8\)，求\(BC\)和\(AC\)的長。解：\(BC=AB\times\sin60^{\circ}=8\times\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\)\(AC=AB\times\cos60^{\circ}=8\times\frac{1}{2}=4\)例5：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleB=45^{\circ}\)，直角邊\(AC=5\)，求斜邊\(AB\)的長。解：因為\(\angleB=45^{\circ}\)，所以該三角形是等腰直角三角形，\(AC=BC=5\)。\(AB=\frac{AC}{\sin45^{\circ}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5\sqrt{2}\)（或直接用勾股定理：\(AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\)）四、注意事項特殊角的三角函數(shù)值是數(shù)學中的基礎(chǔ)知識，必須熟練記憶，避免混淆?？山Y(jié)合直角三角形的邊長比例輔助記憶。在計算過程中，要注意根式的化簡和運算順序，確保結(jié)果準確。當遇到含特殊角的三角函數(shù)值的問題時，優(yōu)先考慮直接代入特殊值進行計算，簡化求解過程。課堂小結(jié)30°、45°、60°

角的三角函數(shù)值是通過特殊直角三角形（含30°

角的直角三角形和等腰直角三角形）推導(dǎo)得出的，具有固定值。熟練記憶這三個特殊角的正弦、余弦和正切值，能快速解決相關(guān)計算和角度求解問題。應(yīng)用時要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，明確邊與角的對應(yīng)關(guān)系，準確代入數(shù)值計算。作業(yè)提升計算：\(\sin60^{\circ}+\cos30^{\circ}-\tan45^{\circ}\)已知\(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且\(\alpha\)為銳角，求\(\alpha\)的度數(shù)以及\(\tan\alpha\)的值。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，直角邊\(BC=3\)，求斜邊\(AB\)和另一條直角邊\(AC\)的長。若\(\tan\alpha=1\)，\(\sin\beta=\frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)、\(\beta\)都是銳角，求\(\alpha+\beta\)的度數(shù)。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復(fù)習引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入30°60°45°根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，很容易得到30°，45°，60°角的三角函數(shù)值.

新課探究操作如圖（1），在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°.設(shè)BC=1，則AB=2，AC=（為什么？）.ACB30°60°12你能說明理由嗎？

ACB30°60°12于是有sin30°=____，cos30°=____，tan30°=____；sin60°=____，cos60°=____，tan60°=____；

如圖（2），在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=∠B=45°.設(shè)BC=1，則AC=1，AB=（為什么？）.ABC45°45°11說明理由

于是有sin45°=____，cos45°=____，tan45°=____；1ABC45°45°11

30°45°60°sinαcosαtanα三角函數(shù)三角函數(shù)值α

例4

求下列各式的值：（1）2sin60°+3tan30°+tan45°；（2）cos245°+tan60°cos30°.表示（cos45°）2

解（1）2sin60°+3tan30°+tan45°=2×+3×+1=+1

（2）cos245°+tan60°cos30°=+==2

練習求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°；（2）解:

（1）原式=

（2）原式=

隨堂演練1.求下列各式的值：（1）1–2sin30°cos30°；（2）3tan30°–tan45°+2sin60°；（3）(cos230°+sin230°)×tan60°.

A.

B.

C.

D.2.已知α為銳角，tanα=，則cosα等于（）A

3.2cos（α–10°）=1，則銳角α=

.70°

4.在△ABC中，銳角A，B滿足=0，則△ABC是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形D

5.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD為⊙O的直徑，DE⊥AB于點E，BC=1，AC=，則∠D的度數(shù)為

.30°

核心必知1.特殊角的三角函數(shù)值：銳角

銳角三角函數(shù)

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__

___

__

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___

___

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銳角

銳角三角函數(shù)

_

_________2.任意一個銳角的正(