六維坐標(biāo)系數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在六維坐標(biāo)系中，下列哪個(gè)向量表示單位向量？

A.(1,0,0,1,0,0)

B.(0,1,1,0,1,1)

C.(1,1,1,1,1,1)

D.(0,0,0,0,0,1)

2.六維坐標(biāo)系中，向量(3,4,5,6,7,8)的模長(zhǎng)是多少？

A.3

B.4

C.5

D.9

3.在六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)與向量(6,5,4,3,2,1)的點(diǎn)積是多少？

A.21

B.42

C.63

D.84

4.六維坐標(biāo)系中，向量(1,0,1,0,1,0)與向量(0,1,0,1,0,1)是否正交？

A.是

B.否

5.在六維坐標(biāo)系中，矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\)表示什么？

A.單位矩陣

B.零矩陣

C.對(duì)角矩陣

D.交換矩陣

6.六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)在向量(1,1,1,1,1,1)方向上的投影是多少？

A.3

B.4

C.5

D.6

7.在六維坐標(biāo)系中，下列哪個(gè)矩陣是正交矩陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

8.六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)與向量(2,3,4,5,6,7)的夾角余弦值是多少？

A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

9.在六維坐標(biāo)系中，矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\)的逆矩陣是什么？

A.單位矩陣

B.零矩陣

C.對(duì)角矩陣

D.交換矩陣

10.六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)與向量(6,5,4,3,2,1)的向量積是否存在？

A.存在

B.不存在

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.在六維坐標(biāo)系中，下列哪些向量是單位向量？

A.(1,0,0,0,0,0)

B.(0,1,0,0,0,0)

C.(0,0,1,0,0,0)

D.(0,0,0,1,0,0)

E.(0,0,0,0,1,0)

F.(0,0,0,0,0,1)

G.(1,1,1,1,1,1)

H.(1,1,1,1,1,0)

2.六維坐標(biāo)系中，下列哪些矩陣是正交矩陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)

E.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\)

F.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

3.在六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)與下列哪些向量正交？

A.(1,-1,1,-1,1,-1)

B.(2,3,4,5,6,7)

C.(0,0,0,0,0,0)

D.(6,-5,4,-3,2,-1)

E.(-1,-2,-3,-4,-5,-6)

F.(1,1,1,1,1,1)

4.六維坐標(biāo)系中，下列哪些矩陣是可逆矩陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

E.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

F.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

5.在六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)在下列哪些向量方向上的投影非零？

A.(1,0,0,0,0,0)

B.(0,1,0,0,0,0)

C.(0,0,1,0,0,0)

D.(0,0,0,1,0,0)

E.(0,0,0,0,1,0)

F.(0,0,0,0,0,1)

G.(1,1,1,1,1,1)

H.(1,-1,1,-1,1,-1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)的模長(zhǎng)為_(kāi)_____。

2.六維坐標(biāo)系中，向量(1,0,1,0,1,0)與向量(0,1,0,1,0,1)的點(diǎn)積為_(kāi)_____。

3.在六維坐標(biāo)系中，矩陣\(\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}\)的逆矩陣為_(kāi)_____。

4.六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)在向量(1,1,1,1,1,1)方向上的投影為_(kāi)_____。

5.在六維坐標(biāo)系中，向量(1,2,3,4,5,6)與向量(6,5,4,3,2,1)的夾角余弦值為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.在六維坐標(biāo)系中，計(jì)算向量(2,3,4,5,6,7)與向量(1,2,3,4,5,6)的向量積。

2.六維坐標(biāo)系中，給定矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)和向量\(\mathbf=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)，求解線性方程組\(A\mathbf{x}=\mathbf\)的解。

3.在六維坐標(biāo)系中，計(jì)算矩陣\(B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)與矩陣\(C=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\)的乘積。

4.六維坐標(biāo)系中，給定向量\(\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\end{pmatrix}\)和向量\(\mathbf{v}=\begin{pmatrix}6\\5\\4\\3\\2\\1\end{pmatrix}\)，計(jì)算向量\(\mathbf{u}\)和向量\(\mathbf{v}\)的向量積。

5.在六維坐標(biāo)系中，給定矩陣\(D=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，計(jì)算矩陣\(D\)的特征值和特征向量。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A

2.D

3.C

4.A

5.A

6.C

7.C

8.C

9.A

10.B

解題過(guò)程：

1.單位向量的模長(zhǎng)為1，只有A選項(xiàng)的模長(zhǎng)為1。

2.向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式為\(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2}\)，計(jì)算可得D選項(xiàng)的模長(zhǎng)為9。

3.向量的點(diǎn)積計(jì)算公式為\(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4+x_5y_5+x_6y_6\)，計(jì)算可得C選項(xiàng)的點(diǎn)積為63。

4.兩個(gè)向量正交的條件是它們的點(diǎn)積為0，計(jì)算可得A選項(xiàng)的點(diǎn)積為0。

5.單位矩陣的定義是主對(duì)角線元素為1，其余元素為0的矩陣，只有A選項(xiàng)符合。

6.向量在向量方向上的投影計(jì)算公式為\(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\)，計(jì)算可得C選項(xiàng)的投影為5。

7.正交矩陣的定義是矩陣的轉(zhuǎn)置與自身的乘積為單位矩陣，只有C選項(xiàng)符合。

8.兩個(gè)向量的夾角余弦值計(jì)算公式為\(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\)，計(jì)算可得C選項(xiàng)的余弦值為0.7。

9.逆矩陣的定義是矩陣的逆矩陣與原矩陣的乘積為單位矩陣，只有A選項(xiàng)符合。

10.向量積只定義在三維空間中，六維空間中不存在向量積，所以B選項(xiàng)正確。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,C,D,E,F

2.A,B,C,F

3.A,D,E

4.A,C,D,F

5.A,B,C,D,E,F,G,H

解題過(guò)程：

1.單位向量的模長(zhǎng)為1，計(jì)算可得A,B,C,D,E,F選項(xiàng)的模長(zhǎng)均為1。

2.正交矩陣的定義是矩陣的轉(zhuǎn)置與自身的乘積為單位矩陣，只有A,B,C,F選項(xiàng)符合。

3.兩個(gè)向量正交的條件是它們的點(diǎn)積為0，計(jì)算可得A,D,E選項(xiàng)的點(diǎn)積均為0。

4.可逆矩陣的定義是矩陣的行列式不為0，只有A,C,D,F選項(xiàng)的行列式不為0。

5.向量在向量方向上的投影非零的條件是兩個(gè)向量不共線，計(jì)算可得所有選項(xiàng)的投影均非零。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.9

2.2

3.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

4.2

5.-0.5

解題過(guò)程：

1.向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式為\(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2}\)，計(jì)算可得模長(zhǎng)為9。

2.向量的點(diǎn)積計(jì)算公式為\(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4+x_5y_5+x_6y_6\)，計(jì)算可得點(diǎn)積為2。

3.單位矩陣的定義是主對(duì)角線元素為1，其余元素為0的矩陣，所以逆矩陣為單位矩陣。

4.向量在向量方向上的投影計(jì)算公式為\(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\)，計(jì)算可得投影為2。

5.兩個(gè)向量的夾角余弦值計(jì)算公式為\(\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\)，計(jì)算可得余弦值為-0.5。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.向量積計(jì)算公式為\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}\)，但在六維坐標(biāo)系中，向量積不存在，所以答案為不存在。

2.線性方程組\(A\mathbf{x}=\mathbf\)的解可以通過(guò)矩陣的逆矩陣計(jì)算，解為\(\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf\)，計(jì)算可得解為\(\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\)。

3.矩陣乘積計(jì)算公式為\((AB)_{ij}=\sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}\)，計(jì)算可得乘積為\(\begin{pmatrix}1&1&1\\4&4&4\\7&7&7\end{pmatrix}\)。

4.向量積計(jì)算公式為\(\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\begin{pmatrix}u_2v_3-u_3v_2\\u_3v_1-u_1v_3\\u_1v_2-u_2v_1\end{pmatrix}\)，但在六維坐標(biāo)