烈山區(qū)一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+1)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={1},則實數(shù)a的值為？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a,b∈R），則a的值為？

A.-2

B.2

C.-1

D.1

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

5.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，若a?=10,a??=25，則S??的值為？

A.150

B.225

C.300

D.375

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實數(shù)a的值為？

A.3

B.-3

C.2

D.-2

8.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+9=0平行，則ab的值為？

A.9

B.-9

C.3

D.-3

9.已知三角形ABC的三邊長分別為3,4,5，則角B的大小是？

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性是？

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=2^x

B.y=log?/?(x)

C.y=x2

D.y=-x+1

2.若函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值分別是M和m，則M+m的值為？

A.-8

B.-4

C.4

D.8

3.已知直線l?:y=kx+b與直線l?:y=mx+c的交點為P(1,2)，則下列說法正確的有？

A.k=m

B.b≠c

C.P點同時在直線l?和l?上

D.直線l?和l?的斜率之積為-1

4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則下列說法正確的有？

A.f(x)的最小值為3

B.f(x)在x=-2處取得最小值

C.f(x)是偶函數(shù)

D.f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減

5.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，則下列說法正確的有？

A.公比q=2

B.a?=32

C.S?=31

D.數(shù)列{a?}的前n項和Sn總是大于0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=sin(x+α)在x=π/4處取得最小值，則α的值為_______（用π表示）。

2.已知圓C?:x2+y2-2x+4y-4=0與圓C?:x2+y2+6x-8y+k=0相外切，則實數(shù)k的值為_______。

3.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=2處取得極小值，則實數(shù)a的值為_______。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，則邊c的長度為_______。

5.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為Sn，若a?=10，S??=120，則該等差數(shù)列的公差d的值為_______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{3x+2y-z=1

{x-y+2z=-2

{2x-y+z=0

3.已知函數(shù)f(x)=e^(2x)-3x+1，求其在區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值。

4.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，求向量a與向量b的夾角余弦值。

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2-bc。若sinA=3/5，求cosB的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

2.C

3.A

4.A

5.B

6.C

7.A

8.D

9.D

10.A

解題過程：

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)大于0，即x-1>0，解得x>1，故定義域為(1,+∞)。

2.解方程組：{x2-3x+2=0=>(x-1)(x-2)=0=>x=1或x=2=>A={1,2}

{ax=1=>x=1時a=1;x=2時a=1/2=>A∩B={1}=>a=1

3.z2=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i

z2+az+b=0=>2i+a(1+i)+b=0=>2i+a+ai+b=0

=>(a+b)+(2+a)i=0=>a+b=0且2+a=0=>a=-2,b=2

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=10，a??=a?+9d=25

=>25-10=(a?+9d)-(a?+4d)=>5=5d=>d=1

S??=(15/2)(a?+a??)=(15/2)(a?+a?+14d)=(15/2)(a?+a?+14)=(15/2)(2a?+14)

=15(a?+7)=15(a?+(a?-4d)+7)=15(a?+3)=15(10+3)=15*13=195

但更簡單的方法是S??=(15/2)(a?+a??)=(15/2)(10+25)=(15/2)*35=15*17.5=262.5

似乎計算有誤，重新計算S??=(15/2)(a?+a??)=(15/2)(10+25)=(15/2)*35=15*17.5=262.5

再次檢查，S??=(15/2)(a?+a??)=(15/2)(10+25)=(15/2)*35=15*17.5=262.5

發(fā)現(xiàn)S??=(15/2)(2a?)=15a?=>a?=(2S??)/15=(2*195)/15=390/15=26

S??=15a?=15*13=195=>選項有誤，應(yīng)為195

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0=>(x2-4x)+(y2+6y)=3

=>(x-2)2-4+(y+3)2-9=3=>(x-2)2+(y+3)2=16

圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑r=√16=4。

7.f'(x)=3x2-a

f'(1)=3(1)2-a=3-a=0=>a=3

驗證：f''(x)=6x,f''(1)=6>0，故x=1處為極小值點。

8.直線l?:ax+3y-6=0的斜率k?=-a/3

直線l?:3x+by+9=0的斜率k?=-3/b

l?∥l?=>k?=k?=>-a/3=-3/b=>ab=9。

9.32+42=9+16=25=52，故△ABC為直角三角形，直角在C處。

sinB=b/c=4/5=>cosB=a/c=√(c2-b2)/c=√(25-16)/5=√9/5=3/5

但題目問角B的大小，sinB=3/5=>B=arcsin(3/5)≈36.87°，不在選項中。

檢查cosB的計算，cosB=√(c2-a2)/c=√(25-9)/5=√16/5=4/5，不在選項中。

可能題目有誤，若cosB=3/5=>sinB=4/5=>B=53.13°，不在選項中。

正確的直角三角形計算應(yīng)為cosB=a/c=3/5=>B=53.13°。

10.f'(x)=e^x-1

在區(qū)間(0,+∞)上，e^x>1=>f'(x)=e^x-1>0，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,C

2.B,D

3.C,D

4.A,B,C

5.A,B,D

解題過程：

1.y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增。

y=log?/?(x)是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/2<1，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

y=x2是二次函數(shù)，開口向上，對稱軸x=0，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

y=-x+1是直線，斜率為-1，在R上單調(diào)遞減。

故單調(diào)遞增的有A和C。

2.f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)

令f'(x)=0=>x=0或x=2

f(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1

f(0)=03-3(0)+1=1

f(2)=23-3(2)+1=8-6+1=3

f(3)=33-3(3)+1=27-9+1=19

M=max{f(-2),f(0),f(2),f(3)}=max{-1,1,3,19}=19

m=min{f(-2),f(0),f(2),f(3)}=min{-1,1,3,19}=-1

M+m=19+(-1)=18

但選項無18，檢查f(1)=1-3+1=-1

M=max{-1,1,3,19}=19

m=min{-1,1,3,-1}=-1

M+m=19+(-1)=18

選項無18，重新計算f(1)=1-3+1=-1

M=max{-1,1,3,19}=19

m=min{-1,1,3,-1}=-1

M+m=19+(-1)=18

選項無18，可能是題目或選項錯誤。若取f(3)=M=19,f(-2)=m=-1,M+m=18

若取f(2)=M=3,f(-2)=m=-1,M+m=2

若取f(0)=M=1,f(-2)=m=-1,M+m=0

最接近的選項是B(-4)，可能是題目有誤。

正確答案應(yīng)為18，若無18則題目有誤。

3.P(1,2)在l?上=>2=k(1)+b=>k+b=2

P(1,2)在l?上=>2=m(1)+c=>m+c=2

C.P點同時在直線l?和l?上=>該點坐標(biāo)滿足兩條直線方程=>正確。

D.直線l?和l?的斜率之積為-1=>k*m=-1=>m=-1/k

由m+c=2=>-1/k+c=2=>c=2+1/k

由k+b=2=>b=2-k

l?:y=kx+(2-k)=>y=k(x-1)+2

l?:y=(-1/k)x+(2+1/k)=>y=-(x/k)+2+1/k

l?∥l?=>k=-1/k=>k2=1=>k=±1

若k=1,b=1,m=-1=>l?:y=x+1,l?:y=-x+1=>k*m=-1=>-1=-1,成立。

若k=-1,b=3,m=1=>l?:y=-x+3,l?:y=x+1=>k*m=-1=>-1=-1,成立。

故D正確。

A.k=m=>m=k=>m+c=2=>k+c=2=>k+b=2=>b=c=>k=m=>正確。

B.b≠c=>k+b≠k+c=>2≠2=>矛盾=>錯誤。

故正確選項為A和D。

4.f(x)=|x-1|+|x+2|=3,x∈(-∞,-2]

=-x+1-x-2=-2x-1,x∈(-2,1]

=x-1-x-2=-3,x∈(1,+∞)

在x=-2處，f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3+0=3

在x=1處，f(1)=|1-1|+|1+2|=0+3=3

故f(x)的最小值為3=>A正確。

最小值在x=-2和x=1處取得=>B錯誤。

f(-x)=|-x-1|+|-x+2|=|x+1|+|x-2|=f(x)=>C正確。

在區(qū)間(-∞,-2)上，f(x)=-2x-1,f'(x)=-2<0=>f(x)單調(diào)遞減=>D正確。

故正確選項為A,C,D。

5.a?=1,a?=8=a?q2=>8=1*q2=>q2=8=>q=±√8=±2√2

A.公比q=2√2=>正確。

B.a?=a?q?=1*(2√2)?=(2√2)?=2?(√2)?=16*4=64=>正確。

C.S?=a?(1-q?)/(1-q)=1(1-(2√2)?)/(1-2√2)

(2√2)?=2?(√2)?=32*4√2=128√2

S?=(1-128√2)/(1-2√2)

S?=(1-128√2)/(1-2√2)*(1+2√2)/(1+2√2)

=(1-128√2)(1+2√2)/(1-(2√2)2)

=(1-128√2)(1+2√2)/(1-8)

=(1-128√2)(1+2√2)/(-7)

=-[(1)(1)+(1)(2√2)-(128√2)(1)-(128√2)(2√2)]/7

=-[1+2√2-128√2-256]/7

=-[-255-126√2]/7

=[255+126√2]/7

由于分子含√2，不為整數(shù)=>C錯誤。

D.當(dāng)q=2√2時，S?=[255+126√2]/7>0

當(dāng)q=-2√2時，a?=a?q3=1*(-2√2)3=-8√2<0,a?=a?q=(-8√2)*(-2√2)=32>0

S?=a?(1-q?)/(1-q)=1(1-(-2√2)?)/(1-(-2√2))=1(1-(-32√2))/(1+2√2)

=(1+32√2)/(1+2√2)

=(1+32√2)/(1+2√2)*(1-2√2)/(1-2√2)

=(1+32√2)(1-2√2)/(1-(2√2)2)

=(1+32√2)(1-2√2)/(1-8)

=(1+32√2)(1-2√2)/(-7)

=-[(1)(1)+(1)(-2√2)+(32√2)(1)+(32√2)(-2√2)]/7

=-[1-2√2+32√2-64]/7

=-[-63+30√2]/7

=[63-30√2]/7

S?=[63-30√2]/7<0(因為√2≈1.414,30√2≈42.42>63)

故D錯誤。

故正確選項為A,B。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.sin(x+α)在x=π/4處取得最小值(-1)=>x+α=3π/2+2kπ(k∈Z)

=>π/4+α=3π/2+2kπ=>α=3π/2-π/4+2kπ=5π/4+2kπ

最簡形式為α=5π/4。

2.圓C?:(x-1)2+(y+2)2=52

圓C?:(x+3)2+(y-4)2=(-8+k)

C?圓心(1,-2),半徑r?=5

C?圓心(-3,4),半徑r?=√(k-8)

C?與C?相外切=>|C?C?|=r?+r?

=>√[(1-(-3))2+(-2-4)2]=5+√(k-8)

=>√[42+(-6)2]=5+√(k-8)

=>√(16+36)=5+√(k-8)

=>√52=5+√(k-8)

=>2√13=5+√(k-8)

=>2√13-5=√(k-8)

=>(2√13-5)2=k-8

=>4*13-2*5*2√13+25=k-8

=>52-20√13+25=k-8

=>77-20√13=k-8

=>k=85-20√13

3.f(x)=x3-ax+1=>f'(x)=3x2-a

x=2處取得極小值=>f'(2)=3(2)2-a=0=>12-a=0=>a=12。

4.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC

=>c2=32+42-2(3)(4)(1/2)

=>c2=9+16-24*(1/2)

=>c2=25-12

=>c2=13

=>c=√13。

5.等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d=10

S??=(10/2)(a?+a??)=5(a?+a?+9d)=5(2a?+9d)=10(a?+4.5d)

S??=120=>10(a?+4.5d)=120=>a?+4.5d=12

=>a?+(a?-4d)+4.5d=12=>10+0.5d=12=>0.5d=2=>d=4。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+2x+1)+2]/(x+1)dx

=∫[(x+1)2+2]/(x+1)dx=∫(x+1)dx+∫2/(x+1)dx

=∫xdx+∫dx+2∫1/(x+1)dx

=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

2.解方程組：

{3x+2y-z=1(①)

{x-y+2z=-2(②)

{2x-y+z=0(③)

①+②=>4x+y=-1(④)

②+③=>3x+z=-2(⑤)

由④=>y=-1-4x

代入③=>2x-(-1-4x)+z=0=>2x+1+4x+z=0=>6x+z=-1=>z=-1-6x

代入⑤=>3x+(-1-6x)=-2=>3x-1-6x=-2=>-3x-1=-2=>-3x=-1=>x=1/3

y=-1-4(1/3)=-1-4/3=-7/3

z=-1-6(1/3)=-1-2=-3

解為x=1/3,y=-7/3,z=-3。

3.f(x)=e^(2x)-3x+1

f'(x)=2e^(2x)-3

令f'(x)=0=>2e^(2x)-3=0=>e^(2x)=3/2=>2x=ln(3/2)=>x=ln(3/2)/2=(ln3-ln2)/2

f''(x)=4e^(2x)

f''(x)>0,故x=(ln3-ln2)/2處為極小值點。

f(0)=e^0-3(0)+1=1+1=2

f(1)=e^2-3+1=e^2-2

f((ln3-ln2)/2)=e^(ln(3/2))-3((ln3-ln2)/2)+1=3/2-(3/2)(ln3-ln2)+1=3/2-3ln3/2+3ln2/2+1=5/2-3ln3/2+3ln2/2

M=max{f(0),f(1),f((ln3-ln2)/2)}

m=min{f(0),f(1),f((ln3-ln2)/2)}

M+m=f(0)+f(1)=2+e^2-2=e^2

或M+m=f((ln3-ln2)/2)+f(1)=(5/2-3ln3/2+3ln2/2)+(e^2-2)

=1/2+e^2-3ln3/2+3ln2/2

選項無e^2，若題目有誤。

4.a=(1,2,-1),b=(2,-1,1)

a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*1=2-2-1=-1

|a|=√(12+22+(-1)2)=√(1+4+1)=√6

|b|=√(22+(-1)2+12)=√(4+1+1)=√6

cosθ=a·b/(|a||b|)=-1/(√6*√6)=-1/6。

5.a2=b2+c2-bc=>a2+bc=b2+c2

=>(b-c)2=2bc

=>a2=2bc=>bc=a2/2

由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

sin2A=(a/2R)2=a2/(4R2)

sin2B=(b/2R)2=b2/(4R2)

sin2C=(c/2R)2=c2/(4R2)

cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)

a2=b2+c2-bc

=>cosB=(b2+c2-b2-c2+bc)/(2ac)=bc/(2ac)=1/(2a)

sinA=3/5=>sin2A=9/25=>1-cos2A=9/25=>cos2A=16/25=>cosA=±4/5

在△ABC中，a2=b2+c2-bc>0=>b2+c2>bc=>cosC>0=>C為銳角=>A也為銳角=>cosA=4/5

cosB=1/(2a)=1/(2*5)=1/10。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

**一、集合與函數(shù)**

-集合的概念、表示法、運算（并、交、補(bǔ)）

-函數(shù)的概念、定義域、值域、基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）

-基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的性質(zhì)和圖像

-復(fù)數(shù)的基本概念、幾何意義、運算

**二、數(shù)列**

-數(shù)列的概念、通項公式、前n項和

-等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、性質(zhì)

-數(shù)列的極限、遞推關(guān)系

**三、不等式**

-不等式的性質(zhì)、證明方法（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）

-一元二次不等式、高次不等式、分式不等式的解法

-含絕對值不等式的解法

-不等式的應(yīng)用（證明不等式、求最值）