歷年考研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在考研數(shù)學(xué)中，極限的ε-δ語言定義中，ε表示的是（）。

A.函數(shù)值的范圍

B.點(diǎn)的距離

C.常數(shù)

D.變量的變化率

2.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)的必要條件是（）。

A.f(x)在x?處連續(xù)

B.f(x)在x?處可微

C.f(x)在x?處有極限

D.f(x)在x?處單調(diào)

3.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)微積分基本定理，∫[a,b]f(x)dx的值等于（）。

A.f(a)+f(b)

B.f'(x)在[a,b]上的積分

C.f(b)-f(a)

D.f(x)在[a,b]上的平均值

4.在多元函數(shù)微分學(xué)中，偏導(dǎo)數(shù)Duf(x,y)表示的是（）。

A.函數(shù)在x方向上的變化率

B.函數(shù)在y方向上的變化率

C.函數(shù)在u方向上的變化率

D.函數(shù)在x-y平面上的變化率

5.級(jí)數(shù)∑[n=1,∞](-1)^(n+1)/n收斂的判別方法是（）。

A.比較判別法

B.柯西判別法

C.拉格朗日判別法

D.萊布尼茨判別法

6.在定積分的應(yīng)用中，求曲線圍成的面積時(shí)，通常使用的方法是（）。

A.微元法

B.累加法

C.代數(shù)和法

D.幾何平均法

7.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則根據(jù)積分中值定理，∫[a,b]f(x)dx的值等于（）。

A.f(a)+f(b)

B.f'(ξ)(b-a)，其中ξ∈(a,b)

C.f(ξ)(b-a)，其中ξ∈(a,b)

D.f(ξ)2(b-a)，其中ξ∈(a,b)

8.在級(jí)數(shù)理論中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定（）。

A.條件收斂

B.發(fā)散

C.收斂

D.以上都不對(duì)

9.在曲線積分中，第二型曲線積分∫[C]Pdx+Qdy的值與路徑無關(guān)的條件是（）。

A.Pdx+Qdy是完全微分形式

B.?×(P,Q)=0

C.C為閉曲線

D.P和Q在C上連續(xù)

10.在傅里葉級(jí)數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π,π]上展開為傅里葉級(jí)數(shù)的條件是（）。

A.f(x)在[-π,π]上連續(xù)

B.f(x)在[-π,π]上可積

C.f(x)在[-π,π]上滿足狄利克雷條件

D.f(x)在[-π,π]上單調(diào)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在x→0時(shí)，可以用洛必達(dá)法則求極限的有（）。

A.lim(x→0)(sinx/x)

B.lim(x→0)(ex-1/x)

C.lim(x→0)(1-cosx/x2)

D.lim(x→0)(ln(1+x)/x)

E.lim(x→0)(x-sinx/x3)

2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）。

A.∑[n=1,∞](1/n)

B.∑[n=1,∞](1/n2)

C.∑[n=1,∞](-1)^(n+1)(1/n)

D.∑[n=1,∞](1/(n√n))

E.∑[n=1,∞](sin(1/n)/n)

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1,1)內(nèi)可導(dǎo)的有（）。

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x2sin(1/x)(x≠0),f(0)=0

C.f(x)=√(1-x2)

D.f(x)=arctan(x3)

E.f(x)=log|x|

4.下列命題中，正確的有（）。

A.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有界

B.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上必連續(xù)

C.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x?處必連續(xù)

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則f'(x)≥0

E.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處取得極值，且f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，則f'(x?)=0

5.下列運(yùn)算中，正確的有（）。

A.d/dx(x2sinx)=2xsinx+x2cosx

B.∫[a,b](x+1)dx=(1/2)x2+x|[a,b]

C.∫[0,π/2]sinxdx=-cosx|[0,π/2]

D.∫[1,e]lnxdx=xlnx-x|[1,e]

E.∫[0,1]√(1-x2)dx=π/4

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f'(x?)=5，則lim(x→x?)[f(x)-f(x?)]/(x-x?)的值為_______。

2.級(jí)數(shù)∑[n=1,∞](1/2^n)的和為_______。

3.函數(shù)f(x)=x3-3x+2的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_______。

4.若函數(shù)g(x)=∫[0,x]t2dt，則g'(x)的值為_______。

5.函數(shù)f(x)=e^(-x2)在區(qū)間[-1,1]上的平均值為_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]/x。

2.計(jì)算不定積分∫(x/(1+x2))dx。

3.計(jì)算定積分∫[0,π/2]sin2xdx。

4.計(jì)算二重積分∫∫[D]x2ydxdy，其中區(qū)域D是由拋物線y=x2和直線y=1所圍成。

5.計(jì)算級(jí)數(shù)∑[n=1,∞](n/2^n)的和。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.B

2.A

3.C

4.A

5.D

6.A

7.C

8.C

9.A

10.C

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,B,C,D,E

2.B,C,D

3.B,C,D,E

4.A,B,C,E

5.A,B,D,E

三、填空題答案

1.5

2.1

3.(1,0)

4.x3

5.√e/2

四、計(jì)算題答案及過程

1.解：原式=lim(x→0)[e^(ln(1+x)^(1/x))-e]/x

=lim(x→0)[e^(1/x*ln(1+x))-e]/x

=e*lim(x→0)[e^(1/x*ln(1+x)-1)-1]/x

=e*lim(x→0)[1+(1/x*ln(1+x)-1)+o(1/x*ln(1+x)-1)]/x

=e*lim(x→0)[(1/x*ln(1+x)-1)+o(1/x*ln(1+x)-1)]/x

=e*lim(x→0)[(1/x*(x-x2/2+o(x2))-1)+o(x-x2/2+o(x2)-x)]/x

=e*lim(x→0)[1-x/2+o(x)-1+o(x)]/x

=e*lim(x→0)[-x/2+o(x)]/x

=e*(-1/2)

=-e/2

2.解：令u=1+x2，則du=2xdx，xdx=du/2

原式=∫(1/u)*(du/2)=(1/2)∫(1/u)du=(1/2)ln|u|+C=(1/2)ln|1+x2|+C

3.解：原式=∫[0,π/2](1-cos2x)/2dx=(1/2)∫[0,π/2](1-cos2x)dx

=(1/2)[x-(sin2x)/2]|[0,π/2]=(1/2)[(π/2)-0]=π/4

4.解：區(qū)域D的邊界方程為y=x2和y=1，所以0≤x≤1，x2≤y≤1

原式=∫[0,1]∫[x2,1]x2ydydx=∫[0,1]x2[(y2/2)|[x2,1]]dx

=∫[0,1]x2(1/2-x?/2)dx=(1/2)∫[0,1](x2-x?)dx

=(1/2)[(x3/3-x?/7)|[0,1]]=(1/2)(1/3-1/7)=(1/2)*(4/21)=2/21

5.解法一：令S=∑[n=1,∞](n/2^n)

則(1/2)S=∑[n=1,∞](n/2^(n+1))=∑[n=2,∞]((n-1)/2^n)

S-(1/2)S=∑[n=1,∞](n/2^n)-∑[n=2,∞]((n-1)/2^n)=1/2+∑[n=2,∞](1/2^n)

=1/2+∑[n=1,∞](1/2^(n+1))=1/2+(1/4)/(1-1/2)=1/2+1/2=1

所以S=1

解法二：利用等比級(jí)數(shù)求和公式

S=∑[n=1,∞](n/2^n)=∑[n=1,∞]n(q^n)其中q=1/2

設(shè)T=∑[n=1,∞]q^n=q+q2+q3+...=q/(1-q)=(1/2)/(1-1/2)=1

則dT/dq=1+2q+3q2+...=∑[n=1,∞]nq^(n-1)=∑[n=0,∞](n+1)q^n

dT/dq=1/(1-q)2

所以S=qdT/dq|[0,1/2]=(1/2)*(1/(1-1/2)2)=(1/2)*4=2.(注意這里需要求導(dǎo)后帶入q=1/2，但解法一更直接)

五、知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要考察了高等數(shù)學(xué)（考研數(shù)學(xué)一）中的極限、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、級(jí)數(shù)和重積分等基礎(chǔ)知識(shí)。具體知識(shí)點(diǎn)分類如下：

(一)極限與連續(xù)

1.極限的概念與性質(zhì)：包括數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義（ε-δ語言），極限的保號(hào)性、唯一性、有界性等。

2.極限的計(jì)算方法：包括利用極限定義、四則運(yùn)算法則、夾逼定理、單調(diào)有界數(shù)列極限、重要極限（1）、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小代換、泰勒公式等。

3.函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)：包括函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義、區(qū)間上連續(xù)的概念，以及判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型（第一類、第二類）。

(二)一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)與微分的概念：包括導(dǎo)數(shù)的定義（幾何意義、物理意義）、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、微分的定義及其幾何意義。

2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、高階導(dǎo)數(shù)等。

3.微分中值定理：包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，以及它們在證明等式或不等式中的應(yīng)用。

4.函數(shù)的單調(diào)性與極值：包括利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的局部（極值）和絕對(duì)（最值）。

5.函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)：包括利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性區(qū)間，以及求函數(shù)的拐點(diǎn)。

(三)一元函數(shù)積分學(xué)

1.不定積分的概念與性質(zhì)：包括原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的幾何意義，不定積分的性質(zhì)。

2.不定積分的計(jì)算：包括基本積分公式表、換元積分法（第一類、第二類）、分部積分法。

3.定積分的概念與性質(zhì)：包括定積分的定義（黎曼和極限）、定積分的幾何意義（曲邊梯形面積），定積分的性質(zhì)。

4.定積分的計(jì)算：包括牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法、分部積分法，利用定積分計(jì)算面積、旋轉(zhuǎn)體體積等。

5.反常積分：包括無窮區(qū)間上的反常積分和瑕點(diǎn)處的反常積分的定義與計(jì)算。

(四)級(jí)數(shù)

1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)：包括級(jí)數(shù)的定義、收斂與發(fā)散，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，級(jí)數(shù)性質(zhì)等。

2.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法：包括正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法（比較判別法、極限比較判別法、比值判別法、根值判別法），交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂判別法（萊布尼茨判別法），絕對(duì)收斂與條件收斂。

3.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：包括收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域，冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算。

4.傅里葉級(jí)數(shù)：包括三角函數(shù)系的正交性，函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的條件（狄利克雷條件）。

(五)多元函數(shù)微積分學(xué)初步

1.偏導(dǎo)數(shù)與全微分：包括偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算，高階偏導(dǎo)數(shù)，全微分的定義與計(jì)算。

2.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：包括鏈?zhǔn)椒▌t。

3.多元函數(shù)的極值與最值：包括極值的必要條件（偏導(dǎo)數(shù)為零），利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷極值（充分條件），條件極值（拉格朗日乘數(shù)法）。

4.二重積分：包括二重積分的定義，二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系）。

(六)常微分方程初步（如果包含）

1.一階微分方程：包括可分離變量的微分方程，一階線性微分方程。

2.可降階的高階微分方程。

3.二階常系數(shù)線性微分方程。

六、各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

(一)選擇題：主要考察學(xué)生對(duì)基本概念、基本性質(zhì)和基本定理的掌握程度，以及簡單的計(jì)算能力。題目設(shè)計(jì)應(yīng)覆蓋廣泛，避免過于偏僻或需要復(fù)雜計(jì)算的題目。示例：

*考察導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在x?處可導(dǎo)的必要條件是f(x)在x?處連續(xù)。（考察基本概念）

*考察洛必達(dá)法則適用條件：lim(x→0)(sinx/x)可以用洛必達(dá)法則求極限。（考察定理應(yīng)用）

*考察級(jí)數(shù)收斂性：級(jí)數(shù)∑[n=1,∞](1/n2)收斂。（考察收斂判別法知識(shí)）

(二)多項(xiàng)選擇題：主要考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，以及對(duì)概念辨析的準(zhǔn)確性。題目中通常包含一個(gè)或多個(gè)正確選項(xiàng)，也可能包含干擾選項(xiàng)。示例：

*考察可導(dǎo)性：判斷哪些函數(shù)在指定點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。（考察導(dǎo)數(shù)定義、連續(xù)性、可微性等關(guān)系）

*考察積分性質(zhì)：判斷關(guān)于定積分性質(zhì)的命題是否正確。（考察定積分性質(zhì)）

*考察級(jí)數(shù)收斂性：判斷哪些級(jí)數(shù)收斂。（考察多種收斂判別法的