數(shù)學(xué)競賽高一題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+1)=2f(x)\)，則\(f(2)\)的值是\(f(1)\)的多少倍？A.2B.4C.8D.162.在三角形ABC中，若\(\angleA=60^\circ\)，\(\angleB=45^\circ\)，則\(\angleC\)的度數(shù)是多少？A.75^\circB.60^\circC.45^\circD.30^\circ3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=3a_n+2\)，則\(a_3\)的值是多少？A.16B.17C.19D.204.若復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(z^2\)的值是多少？A.\(2i\)B.\(-2i\)C.\(2\)D.\(-2\)二、填空題（每題5分，共20分）5.已知函數(shù)\(y=x^2-4x+4\)，求該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。\(\boxed{\text{答案}}\)6.在等差數(shù)列中，若\(a_2+a_4=10\)，\(a_3=6\)，則首項(xiàng)\(a_1\)的值是多少？\(\boxed{\text{答案}}\)7.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(1,3)\)，求向量\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)。\(\boxed{\text{答案}}\)8.已知雙曲線\(x^2-y^2=1\)，求該雙曲線的漸近線方程。\(\boxed{\text{答案}}\)三、解答題（每題10分，共60分）9.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。10.已知三角形ABC的三邊長分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，且滿足\(a^2+b^2+c^2=9\)，\(a+b+c=3\)，求三角形ABC的面積。11.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。12.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(g(x)=x^2-4x+m\)，若\(f(x)\)與\(g(x)\)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。13.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（其中\(zhòng)(a>b>0\)），其焦點(diǎn)在x軸上，離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。14.已知函數(shù)\(f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx\)，求\(f(x)\)的最小正周期和最大值。四、證明題（每題10分，共20分）15.證明：對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，\(\cos^2x+\sin^2x=1\)。16.證明：對于任意正整數(shù)\(n\)，\(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)。---答案一、選擇題1.B2.D3.C4.C二、填空題5.頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,0)\)。6.首項(xiàng)\(a_1=2\)。7.向量\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)為\((3,2)\)。8.漸近線方程為\(y=\pmx\)。三、解答題9.函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,1)\)。極小值點(diǎn)為\(x=-1\)，極大值點(diǎn)為\(x=1\)。10.三角形ABC的面積為\(\sqrt{3}\)。11.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=2^n-1\)。12.實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍為\(m<4\)。13.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\