勾股定理經(jīng)典案例及變式訓(xùn)練合集一、勾股定理基礎(chǔ)回顧勾股定理是直角三角形的核心性質(zhì)，也是平面幾何的重要工具，其內(nèi)容可概括為：文字表述：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。符號(hào)公式：若直角三角形的兩條直角邊為\(a\)、\(b\)，斜邊為\(c\)，則\(a^2+b^2=c^2\)。逆定理（判定直角三角形）：若三角形的三邊\(a\)、\(b\)、\(c\)滿足\(a^2+b^2=c^2\)，則該三角形為直角三角形（\(c\)為斜邊）。勾股定理的應(yīng)用場(chǎng)景廣泛，包括邊長(zhǎng)計(jì)算、折疊問(wèn)題、最短路徑、實(shí)際測(cè)量等，以下結(jié)合經(jīng)典案例與變式訓(xùn)練展開(kāi)分析。二、經(jīng)典案例解析（一）基礎(chǔ)邊長(zhǎng)計(jì)算：明確直角邊與斜邊案例1：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，求斜邊\(AB\)的長(zhǎng)度。分析：直接應(yīng)用勾股定理，\(AB^2=AC^2+BC^2\)。解答：\(AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)。案例2：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleB=90^\circ\)，\(AB=5\)，\(AC=13\)，求直角邊\(BC\)的長(zhǎng)度。分析：注意\(\angleB=90^\circ\)，故\(AB\)、\(BC\)為直角邊，\(AC\)為斜邊，需用\(BC^2=AC^2-AB^2\)。解答：\(BC=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\)。易錯(cuò)點(diǎn)：未明確直角頂點(diǎn)時(shí)，需分情況討論（如已知\(\triangleABC\)三邊為\(5\)、\(12\)、\(13\)，需判斷哪條邊為斜邊）。（二）折疊問(wèn)題：全等性質(zhì)與方程思想結(jié)合案例3：矩形\(ABCD\)中，\(AB=8\)，\(BC=6\)，將點(diǎn)\(B\)折疊至點(diǎn)\(D\)，折痕為\(EF\)，求\(EF\)的長(zhǎng)度。分析：1.折疊性質(zhì)：\(BE=DE\)（對(duì)應(yīng)邊相等），\(EF\)垂直平分\(BD\)（折痕是對(duì)稱軸）。2.設(shè)未知數(shù)：設(shè)\(BE=DE=x\)，則\(AE=AB-BE=8-x\)。3.列方程：在\(Rt\triangleADE\)中，\(AD^2+AE^2=DE^2\)，即\(6^2+(8-x)^2=x^2\)。解答：解方程得：\(36+64-16x+x^2=x^2\)，化簡(jiǎn)得\(16x=100\)，\(x=\frac{25}{4}\)。求\(EF\)：建立坐標(biāo)系，\(A(0,0)\)、\(B(8,0)\)、\(D(0,6)\)，\(E\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((8-\frac{25}{4},0)=(\frac{7}{4},0)\)。\(BD\)中點(diǎn)為\((4,3)\)，斜率為\(-\frac{3}{4}\)，故\(EF\)斜率為\(\frac{4}{3}\)，方程為\(y=\frac{4}{3}(x-\frac{7}{4})\)。當(dāng)\(y=6\)時(shí)，\(6=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}\)，解得\(x=\frac{25}{4}\)，故\(F(\frac{25}{4},6)\)。\(EF=\sqrt{(\frac{25}{4}-\frac{7}{4})^2+(6-0)^2}=\sqrt{(\frac{18}{4})^2+6^2}=\sqrt{\frac{81}{4}+36}=\frac{15}{2}\)。關(guān)鍵方法：折疊問(wèn)題的核心是“找相等線段”，通過(guò)設(shè)未知數(shù)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程。（三）最短路徑：化曲為直的轉(zhuǎn)化思想案例4：立方體\(ABCD-A'B'C'D'\)邊長(zhǎng)為\(a\)，求螞蟻從頂點(diǎn)\(A\)爬到頂點(diǎn)\(C'\)的最短路徑長(zhǎng)度。分析：立體圖形的最短路徑需展開(kāi)為平面圖形，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”。立方體有多種展開(kāi)方式，需計(jì)算不同路徑的長(zhǎng)度并取最小值。解答：1.展開(kāi)前面（\(ABCD\)）與上面（\(A'B'C'D'\)）：\(A\)點(diǎn)坐標(biāo)\((0,0)\)，\(C'\)點(diǎn)坐標(biāo)\((a,2a)\)，路徑長(zhǎng)度為\(\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a\)。2.展開(kāi)前面（\(ABCD\)）與右面（\(BCC'B'\)）：\(A\)點(diǎn)坐標(biāo)\((0,0)\)，\(C'\)點(diǎn)坐標(biāo)\((2a,a)\)，路徑長(zhǎng)度為\(\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a\)。3.其他展開(kāi)方式的路徑長(zhǎng)度均大于等于\(\sqrt{5}a\)。結(jié)論：最短路徑長(zhǎng)度為\(\sqrt{5}a\)。關(guān)鍵方法：將立體表面展開(kāi)為平面，轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的線段問(wèn)題。（四）實(shí)際應(yīng)用：構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題案例5：測(cè)量旗桿高度時(shí)，小明站在離旗桿底部\(12\)米處，眼睛離地面\(1.5\)米，視線與水平方向夾角為\(30^\circ\)，求旗桿高度（保留根號(hào)）。分析：構(gòu)造直角三角形\(ADE\)（\(D\)為眼睛位置，\(E\)為旗桿頂部投影點(diǎn)），其中\(zhòng)(AD=12\)米（水平距離），\(\angleADE=30^\circ\)，\(DE\)為旗桿頂部到眼睛的垂直距離。解答：在\(Rt\triangleADE\)中，\(\tan30^\circ=\frac{DE}{AD}\)，故\(DE=AD\cdot\tan30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\)米。旗桿高度\(=DE+眼睛高度=1.5+4\sqrt{3}\)米。另一種解法（勾股定理）：設(shè)\(DE=x\)，則視線\(AE=2x\)（\(30^\circ\)角所對(duì)直角邊是斜邊的一半），由\(x^2+12^2=(2x)^2\)得\(x=4\sqrt{3}\)，結(jié)果一致。三、變式訓(xùn)練提升以下變式題對(duì)應(yīng)上述經(jīng)典案例，難度逐步提升，重點(diǎn)訓(xùn)練解題思路的遷移。（一）基礎(chǔ)邊長(zhǎng)計(jì)算變式變式1：\(\triangleABC\)三邊為\(7\)、\(24\)、\(25\)，判斷該三角形是否為直角三角形。分析：驗(yàn)證是否滿足逆定理，\(7^2+24^2=49+576=625=25^2\)，故是直角三角形（\(25\)為斜邊）。變式2：等腰直角三角形斜邊為\(10\)，求直角邊長(zhǎng)度。分析：設(shè)直角邊為\(x\)，則\(x^2+x^2=10^2\)，解得\(x=5\sqrt{2}\)。變式3：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=BC=5\)，求斜邊\(AB\)上的高。分析：先求\(AB=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\)，再用面積法：\(\frac{1}{2}\cdotAC\cdotBC=\frac{1}{2}\cdotAB\cdoth\)，解得\(h=\frac{5\times5}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)。（二）折疊問(wèn)題變式變式1：矩形\(ABCD\)中，\(AB=10\)，\(BC=5\)，將點(diǎn)\(A\)折疊至\(CD\)邊上的點(diǎn)\(E\)，折痕為\(BF\)，求\(CF\)的長(zhǎng)度。分析：1.折疊性質(zhì)：\(AE=BE\)？不，折疊點(diǎn)\(A\)到\(E\)，折痕為\(BF\)，故\(AF=EF\)，\(AB=BE=10\)（對(duì)應(yīng)邊相等）。2.在\(Rt\triangleBCE\)中，\(BE=10\)，\(BC=5\)，故\(CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}\)，\(DE=CD-CE=10-5\sqrt{3}\)。3.設(shè)\(CF=x\)，則\(DF=5-x\)，在\(Rt\triangleDEF\)中，\(EF^2=DE^2+DF^2\)，而\(EF=AF=AB-BF\)？不，\(AF=EF\)，\(AF=AB-BF\)不對(duì)，\(AF\)是\(AD\)邊上的線段？不，矩形\(ABCD\)中，\(A\)在左上角，\(B\)在右上角，\(C\)在右下角，\(D\)在左下角，\(AB=10\)（長(zhǎng)），\(BC=5\)（寬），所以\(AD=BC=5\)，\(CD=AB=10\)。將點(diǎn)\(A\)折疊到\(CD\)邊上的點(diǎn)\(E\)，折痕為\(BF\)，\(F\)點(diǎn)應(yīng)在\(AD\)邊上（因?yàn)檎酆圻B接\(B\)和\(F\)，\(B\)在右上角，\(F\)在左邊的邊上）。所以\(AF=EF\)（折疊后對(duì)應(yīng)邊相等），\(AB=BE=10\)（對(duì)應(yīng)邊相等）。\(E\)在\(CD\)邊上，所以\(CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\)，\(DE=CD-CE=10-5\sqrt{3}\)。\(F\)在\(AD\)邊上，設(shè)\(AF=EF=y\)，則\(DF=AD-AF=5-y\)，在\(Rt\triangleDEF\)中，\(EF^2=DE^2+DF^2\)，即\(y^2=(10-5\sqrt{3})^2+(5-y)^2\)，展開(kāi)得\(y^2=100-100\sqrt{3}+75+25-10y+y^2\)，化簡(jiǎn)得\(0=200-100\sqrt{3}-10y\)，解得\(y=20-10\sqrt{3}\)，所以\(CF\)？不，\(F\)在\(AD\)邊上，\(CF\)是\(C\)到\(F\)的距離？不對(duì)，題目應(yīng)該是求\(DF\)的長(zhǎng)度？或者我可能搞錯(cuò)了折痕的位置，再想一下，矩形\(ABCD\)，\(AB=10\)（水平邊），\(BC=5\)（垂直邊），將點(diǎn)\(A\)折疊到\(CD\)邊上的點(diǎn)\(E\)，折痕應(yīng)該是連接\(A\)和\(E\)的垂直平分線，所以折痕\(BF\)中的\(F\)應(yīng)該在\(BC\)邊上？不對(duì)，可能我需要重新畫一下圖，假設(shè)\(A(0,0)\)，\(B(10,0)\)，\(C(10,5)\)，\(D(0,5)\)，點(diǎn)\(E\)在\(CD\)邊上，坐標(biāo)為\((e,5)\)，\(0\leqe\leq10\)，將點(diǎn)\(A(0,0)\)折疊到\(E(e,5)\)，折痕為\(BF\)，其中\(zhòng)(B(10,0)\)，\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為\((f,g)\)，在矩形的邊上（可能是\(BC\)邊或\(CD\)邊或\(AD\)邊）。折疊的性質(zhì)是：折痕\(BF\)是線段\(AE\)的垂直平分線，所以\(BF\)的中點(diǎn)在\(AE\)的垂直平分線上，且\(BF\)與\(AE\)垂直。\(AE\)的中點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{e}{2},\frac{5}{2})\)，斜率為\(\frac{5-0}{e-0}=\frac{5}{e}\)，所以\(BF\)的斜率為\(-\frac{e}{5}\)。\(B\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((10,0)\)，所以\(BF\)的方程為\(y-0=-\frac{e}{5}(x-10)\)，即\(y=-\frac{e}{5}x+2e\)。\(F\)點(diǎn)在矩形的邊上，假設(shè)\(F\)在\(BC\)邊上，\(BC\)邊的坐標(biāo)是\(x=10\)，\(0\leqy\leq5\)，代入\(BF\)方程得\(y=-\frac{e}{5}\times10+2e=-2e+2e=0\)，即\(F\)點(diǎn)與\(B\)點(diǎn)重合，不可能，所以\(F\)不在\(BC\)邊上。假設(shè)\(F\)在\(CD\)邊上，\(CD\)邊的坐標(biāo)是\(y=5\)，\(0\leqx\leq10\)，代入\(BF\)方程得\(5=-\frac{e}{5}x+2e\)，解得\(x=\frac{2e-5}{\frac{e}{5}}=10-\frac{25}{e}\)，因?yàn)閈(0\leqx\leq10\)，所以\(10-\frac{25}{e}\geq0\)，即\(e\geq\frac{5}{2}\)，符合條件。同時(shí)，\(F\)點(diǎn)在\(CD\)邊上，所以\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((10-\frac{25}{e},5)\)。另外，折疊后\(AF=EF\)，\(A(0,0)\)，\(F(10-\frac{25}{e},5)\)，\(E(e,5)\)，所以\(AF^2=(10-\frac{25}{e})^2+5^2\)，\(EF^2=(e-(10-\frac{25}{e}))^2+(5-5)^2=(e-10+\frac{25}{e})^2\)，所以\(AF^2=EF^2\)即\((10-\frac{25}{e})^2+25=(e-10+\frac{25}{e})^2\)，展開(kāi)左邊：\(100-\frac{500}{e}+\frac{625}{e^2}+25=125-\frac{500}{e}+\frac{625}{e^2}\)，右邊：\((e-10)^2+2(e-10)\cdot\frac{25}{e}+(\frac{25}{e})^2=e^2-20e+100+\frac{50(e-10)}{e}+\frac{625}{e^2}=e^2-20e+100+50-\frac{500}{e}+\frac{625}{e^2}=e^2-20e+150-\frac{500}{e}+\frac{625}{e^2}\)，左邊等于右邊，所以\(125-\frac{500}{e}+\frac{625}{e^2}=e^2-20e+150-\frac{500}{e}+\frac{625}{e^2}\)，兩邊減去相同項(xiàng)得\(125=e^2-20e+150\)，即\(e^2-20e+25=0\)，解得\(e=\frac{20\pm\sqrt{400-100}}{2}=\frac{20\pm\sqrt{300}}{2}=10\pm5\sqrt{3}\)，因?yàn)閈(e\leq10\)，所以\(e=10-5\sqrt{3}\)，所以\(E\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((10-5\sqrt{3},5)\)，\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((10-\frac{25}{e},5)\)，代入\(e=10-5\sqrt{3}\)，\(\frac{25}{e}=\frac{25}{10-5\sqrt{3}}=\frac{5}{2-\sqrt{3}}=5(2+\sqrt{3})=10+5\sqrt{3}\)，所以\(x=10-(10+5\sqrt{3})=-5\sqrt{3}\)，這顯然不在\(CD\)邊上（\(x\geq0\)），所以\(F\)點(diǎn)不在\(CD\)邊上，那\(F\)點(diǎn)應(yīng)該在\(AD\)邊上，\(AD\)邊的坐標(biāo)是\(x=0\)，\(0\leqy\leq5\)，代入\(BF\)方程得\(y=-\frac{e}{5}\times0+2e=2e\)，因?yàn)閈(y\leq5\)，所以\(2e\leq5\)，即\(e\leq\frac{5}{2}\)，符合條件。\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,2e)\)，在\(AD\)邊上（\(x=0\)，\(y=2e\)）?，F(xiàn)在，折疊后\(AF=EF\)，\(A(0,0)\)，\(F(0,2e)\)，所以\(AF=2e\)；\(E(e,5)\)，\(F(0,2e)\)，所以\(EF=\sqrt{(e-0)^2+(5-2e)^2}\)，所以\(AF=EF\)即\(2e=\sqrt{e^2+(5-2e)^2}\)，兩邊平方得\(4e^2=e^2+25-20e+4e^2\)，化簡(jiǎn)得\(0=e^2-20e+25\)，解得\(e=10\pm5\sqrt{3}\)，但\(e\leq\frac{5}{2}\)，所以\(e=10-5\sqrt{3}\approx10-8.66=1.34\)，符合\(e\leq2.5\)，所以\(E\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((10-5\sqrt{3},5)\)，\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,2e)=(0,20-10\sqrt{3})\)?，F(xiàn)在求\(CF\)的長(zhǎng)度，\(C\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((10,5)\)，\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,20-10\sqrt{3})\)，所以\(CF=\sqrt{(10-0)^2+(5-(20-10\sqrt{3}))^2}=\sqrt{100+(-15+10\sqrt{3})^2}=\sqrt{100+225-300\sqrt{3}+300}=\sqrt{625-300\sqrt{3}}\)，這個(gè)結(jié)果對(duì)嗎？或者可能我剛才的折痕位置理解錯(cuò)了，題目說(shuō)“將點(diǎn)\(A\)折疊到\(CD\)邊上的點(diǎn)\(E\)，折痕為\(BF\)”，\(B\)是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，\(F\)應(yīng)該是另一個(gè)頂點(diǎn)嗎？不，\(F\)是邊上的點(diǎn)，可能我應(yīng)該換一種方法，設(shè)\(F\)在\(BC\)邊上，\(CF=x\)，則\(BF=BC-CF=5-x\)，折疊后\(AF=EF\)，\(A\)到\(F\)的距離是\(\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{10^2+(5-x)^2}\)，\(E\)在\(CD\)邊上，\(CE=x\)（因?yàn)檎郫B后\(CF=CE\)？不對(duì)，折疊點(diǎn)\(A\)到\(E\)，折痕為\(BF\)，所以\(BF\)是對(duì)稱軸，\(A\)和\(E\)關(guān)于\(BF\)對(duì)稱，所以\(BE=BA=10\)，\(EF=AF\)，\(BE=10\)，\(BC=5\)，所以\(CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}\)，\(DE=CD-CE=10-5\sqrt{3}\)，\(AF=EF\)，\(AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{10^2+BF^2}\)，\(EF=\sqrt{DE^2+DF^2}\)，\(DF=BC-BF=5-BF\)（因?yàn)閈(DF\)是\(D\)到\(F\)的距離，\(F\)在\(BC\)邊上，\(D\)到\(B\)的水平距離是\(10\)，垂直距離是\(5\)，不對(duì)，\(F\)在\(BC\)邊上，坐標(biāo)是\((10,y)\)，\(0\leqy\leq5\)，\(D\)點(diǎn)坐標(biāo)是\((0,5)\)，所以\(DF=\sqrt{(10-0)^2+(y-5)^2}\)，\(EF=\sqrt{(10-e)^2+(y-5)^2}\)，\(E\)點(diǎn)坐標(biāo)是\((e,5)\)，\(BE=10\)，所以\(e=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}\)，所以\(E\)點(diǎn)坐標(biāo)是\((5\sqrt{3},5)\)，\(AF=\sqrt{(10-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{100+y^2}\)，\(EF=\sqrt{(5\sqrt{3}-10)^2+(5-y)^2}\)，因?yàn)閈(AF=EF\)，所以\(\sqrt{100+y^2}=\sqrt{(5\sqrt{3}-10)^2+(5-y)^2}\)，兩邊平方得\(100+y^2=(75-100\sqrt{3}+100)+(25-10y+y^2)\)，化簡(jiǎn)得\(100+y^2=200-100\sqrt{3}+25-10y+y^2\)，即\(100=225-100\sqrt{3}-10y\)，解得\(10y=125-100\sqrt{3}\)，\(y=12.5-10\sqrt{3}\)，這顯然不對(duì)，因?yàn)閈(y\geq0\)，\(10\sqrt{3}\approx17.32\)，所以\(y\)為負(fù)數(shù)，說(shuō)明\(F\)不在\(BC\)邊上，那\(F\)應(yīng)該在\(AD\)邊上，設(shè)\(F\)在\(AD\)邊上，\(AF=x\)，則\(FD=5-x\)，折疊后\(EF=AF=x\)，\(E\)在\(CD\)邊上，\(CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}\)，所以\(DE=10-5\sqrt{3}\)，在\(Rt\triangleEFD\)中，\(EF^2=DE^2+FD^2\)，即\(x^2=(10-5\sqrt{3})^2+(5-x)^2\)，展開(kāi)得\(x^2=100-100\sqrt{3}+75+25-10x+x^2\)，化簡(jiǎn)得\(0=200-100\sqrt{3}-10x\)，解得\(x=20-10\sqrt{3}\)，所以\(FD=5-x=5-(20-10\sqrt{3})=10\sqrt{3}-15\)，\(CF\)是\(C\)到\(F\)的距離，\(C\)點(diǎn)坐標(biāo)\((10,5)\)，\(F\)點(diǎn)坐標(biāo)\((0,x)=(0,20-10\sqrt{3})\)，所以\(CF=\sqrt{(10-0)^2+(5-(20-10\sqrt{3}))^2}=\sqrt{100+(-15+10\sqrt{3})^2}=\sqrt{100+225-300\sqrt{3}+300}=\sqrt{625-300\sqrt{3}}\)，這個(gè)結(jié)果可能正確，但可能我剛才的思路太復(fù)雜，其實(shí)折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是找到相等的線段，設(shè)未知數(shù)，列方程，不管\(F\)在哪個(gè)邊上，只要符合折疊的性質(zhì)就行。（三）最短路徑變式變式1：圓柱底面半徑為\(2\)，高為\(5\)，螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)\(A\)爬到頂面圓周上的點(diǎn)\(B\)（\(AB\)為底面直徑），求最短路徑長(zhǎng)度。分析：展開(kāi)圓柱側(cè)面為矩形，底面周長(zhǎng)為\(2\pi\times2=4\pi\)，高為\(5\)，\(A\)點(diǎn)坐標(biāo)\((0,0)\)，\(B\)點(diǎn)坐標(biāo)\((2\pi,5)\)（因?yàn)閈(AB\)是底面直徑，展開(kāi)后對(duì)應(yīng)矩形的中點(diǎn)），路徑長(zhǎng)度為\(\sqrt{(2\pi)^2+5^2}=\sqrt{4\pi^2+25}\)。變式2：圓錐底面半徑為\(3\)，高為\(4\)，螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)\(A\)爬到頂點(diǎn)\(P\)，再爬到底面圓周上的點(diǎn)\(B\)（\(AB\)為底面直徑），求最短路徑長(zhǎng)度。分析：1.圓錐側(cè)面展開(kāi)為扇形，母線長(zhǎng)\(PA=\sqrt{3^2+4^2}=5\)，扇形弧長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)\(2\pi\times3=6\pi\)，扇形圓心角\(\theta=\frac{6\pi}{5}\)（弧度）。2.展開(kāi)后，\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)在扇形上的距離為\(2\timesPA\times\sin(\frac{\theta}{2})=2\times5\times\sin(\frac{3\pi}{5})=10\sin(\frac{3\pi}{5})\)（利用等腰三角形性質(zhì)）。3.螞蟻路徑為\(PA+PB\)？不，螞蟻從\(A\)爬到\(P\)再爬到\(B\)，最短路徑是\(A\)到\(P\)到\(B\)，但其實(shí)展開(kāi)后\(A\)和\(B\)的最短路徑是線段\(AB\)，因?yàn)閈(P\)是扇形的圓心，所以\(PA=PB=5\)，\(\angleAPB=\theta=\frac{6\pi}{5}\)，所以\(AB=\sqrt{PA^2+PB^2-2\cdotPA\cdotPB\cdot\cos\theta}=\sqrt{25+25-