一、試題整體特點2023年北京市數(shù)學(xué)合格性考試嚴格遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》）的要求，以“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）為考查核心，聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，符合合格性考試“診斷學(xué)業(yè)水平、保障教育質(zhì)量”的定位。整體呈現(xiàn)以下三個特點：（一）命題依據(jù)：緊扣課標(biāo)與教材試題內(nèi)容完全覆蓋《課標(biāo)》中“必修課程”的核心知識點，如函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計概率等。命題素材多來源于教材中的例題、習(xí)題或其變形，例如函數(shù)定義域的求解、等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)、三視圖的識別等，均為教材中的基礎(chǔ)內(nèi)容。這種設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，重視基礎(chǔ)知識的落實。（二）考查目標(biāo)：聚焦基礎(chǔ)與素養(yǎng)試題以“基礎(chǔ)”為導(dǎo)向，重點考查學(xué)生對基本概念、基本公式、基本定理的理解與應(yīng)用。例如，選擇題中“判斷偶函數(shù)”“識別簡單隨機抽樣”等題目，直接考查概念的辨析；填空題中“求三棱錐體積”“計算直線與圓的位置關(guān)系”等題目，考查基本技能的掌握。同時，試題滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如函數(shù)圖像題考查“直觀想象”，統(tǒng)計題考查“數(shù)據(jù)分析”，數(shù)列題考查“邏輯推理”，體現(xiàn)了《課標(biāo)》對“素養(yǎng)導(dǎo)向”的要求。（三）難度分布：合理分層，符合合格性定位試題難度呈現(xiàn)“易中難”梯度分布，其中容易題（考查單一知識點，難度低）占比約70%，中等題（考查多個知識點的綜合，難度適中）占比約20%，難題（考查思維深度，難度較高）占比約10%。這種分布確保了大部分學(xué)生能通過考試，同時區(qū)分出學(xué)業(yè)水平較高的學(xué)生，符合合格性考試“全員參與、分層達標(biāo)”的要求。二、題型與考點具體分析2023年北京數(shù)學(xué)合格性考試題型包括選擇題、填空題、解答題三類，各類題型的考查重點與能力要求有所不同：（一）選擇題：覆蓋廣泛，注重基礎(chǔ)辨析選擇題共15題，覆蓋代數(shù)、幾何、統(tǒng)計概率三大模塊，每個模塊的基礎(chǔ)知識點均有涉及。例如：代數(shù)部分：考查函數(shù)定義域、奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)圖像識別（如$f(x)=x|x|$的圖像判斷），不等式解集（如一元二次不等式的求解），數(shù)列通項公式（如等差數(shù)列的首項與公差計算）。幾何部分：考查三視圖識別（如正方體、四棱錐的三視圖），線面位置關(guān)系（如直線與平面平行的判定），圓的方程（如圓心坐標(biāo)與半徑的求解）。統(tǒng)計概率部分：考查抽樣方法（如簡單隨機抽樣與分層抽樣的區(qū)別），頻率分布直方圖（如頻率與組距的關(guān)系），古典概型（如擲骰子事件的概率計算）。選擇題的設(shè)計注重概念的辨析，要求學(xué)生對基本概念有清晰的理解，避免混淆（如“偶函數(shù)”與“奇函數(shù)”的定義、“簡單隨機抽樣”與“分層抽樣”的適用場景）。（二）填空題：突出細節(jié)，考查基本技能填空題共5題，重點考查學(xué)生的基本技能與細節(jié)處理能力。例如：立體幾何：求三棱錐體積（需正確選擇底面與高，或用割補法轉(zhuǎn)化為熟悉幾何體）；求球的表面積（需記住球的表面積公式$4\pir^2$）。解析幾何：求直線與圓的位置關(guān)系（需計算圓心到直線的距離，再與半徑比較）；求橢圓的焦點坐標(biāo)（需掌握橢圓的標(biāo)準方程）。數(shù)列：求等比數(shù)列的公比（需利用等比數(shù)列的通項公式或等比中項公式）。填空題的易錯點主要在于“細節(jié)”，如計算時忘記乘系數(shù)（如錐體體積的$\frac{1}{3}$）、公式記錯（如球的表面積公式記成$2\pir^2$）、符號錯誤（如橢圓焦點坐標(biāo)的正負）。（三）解答題：強調(diào)應(yīng)用，體現(xiàn)素養(yǎng)落地解答題共5題，考查學(xué)生對知識的綜合應(yīng)用能力與核心素養(yǎng)。例如：統(tǒng)計題：給出一組數(shù)據(jù)，要求繪制頻率分布直方圖，計算均值與中位數(shù)（考查“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)）；數(shù)列題：根據(jù)遞推關(guān)系求通項公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列（考查“邏輯推理”與“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)）；函數(shù)題：求函數(shù)的定義域、單調(diào)性，并繪制函數(shù)圖像（考查“數(shù)學(xué)抽象”與“直觀想象”素養(yǎng)）；立體幾何題：證明線面平行（考查“邏輯推理”與“直觀想象”素養(yǎng)）；不等式題：解一元二次不等式，并求其在給定區(qū)間內(nèi)的最值（考查“數(shù)學(xué)運算”素養(yǎng)）。解答題要求學(xué)生寫出完整的解題步驟，體現(xiàn)“基本活動經(jīng)驗”的考查（如統(tǒng)計題中繪制頻率分布直方圖的步驟、數(shù)列題中證明等差數(shù)列的步驟）。三、典型試題深度解析（一）函數(shù)圖像題（選擇題）題目呈現(xiàn)：函數(shù)$f(x)=x|x|$的圖像是（）（選項為四個不同的圖像）?？疾橐c：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、特殊點的函數(shù)值。解題思路：1.判斷奇偶性：$f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)$，故$f(x)$為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，排除選項A（偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱）；2.取特殊點：當(dāng)$x=1$時，$f(1)=1×1=1$，選項B中$x=1$時$y=1$，選項C中$x=1$時$y=-1$，選項D中$x=1$時$y=0$，排除C、D；3.驗證單調(diào)性：當(dāng)$x>0$時，$f(x)=x^2$，單調(diào)遞增；當(dāng)$x<0$時，$f(x)=-x^2$，單調(diào)遞增，符合選項B的圖像。易錯警示：學(xué)生易忽略奇偶性的判斷，或特殊點取錯（如取$x=0$，此時$f(0)=0$，無法排除選項），導(dǎo)致選錯。（二）立體幾何體積題（填空題）題目呈現(xiàn)：一個幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是邊長為2的正方形，則該幾何體的體積是（）?？疾橐c：三視圖識別、四棱錐體積計算。解題思路：1.判斷幾何體形狀：主視圖與左視圖為三角形，說明是錐體；俯視圖為正方形，說明是四棱錐；2.計算底面積與高：底面是邊長為2的正方形，底面積$S=2×2=4$；主視圖中等腰三角形的高即為四棱錐的高$h$（假設(shè)主視圖中三角形的高為3，題目中未給出，此處為舉例），則體積$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}×4×3=4$。易錯警示：學(xué)生易將錐體當(dāng)成柱體（體積公式記為$Sh$），或看錯三視圖的形狀（如把四棱錐看成三棱錐），導(dǎo)致體積計算錯誤。（三）統(tǒng)計題（解答題）題目呈現(xiàn)：某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（單位：分）如下：80,85,90,75,85,95,70,80,85,90,…（數(shù)據(jù)略）。要求：（1）繪制頻率分布直方圖；（2）計算平均成績；（3）求中位數(shù)。考查要點：頻率分布直方圖的繪制、均值與中位數(shù)的計算。解題思路：1.繪制頻率分布直方圖：第一步：分組（如分為60-70、70-80、80-90、____四組）；第二步：計算每組的頻數(shù)（如70-80分有10人）；第三步：計算頻率（頻率=頻數(shù)/總數(shù)，如10/50=0.2）；第四步：計算組距（如10），則頻率/組距=0.2/10=0.02；第五步：繪制直方圖（橫軸為成績，縱軸為頻率/組距）。2.計算平均成績：用加權(quán)平均法，即$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}x_if_i$（$x_i$為每組的中點值，$f_i$為每組的頻數(shù)）。3.求中位數(shù)：找到累計頻率達到0.5的位置，即第25、26名學(xué)生的成績的平均值。易錯警示：學(xué)生易在繪制直方圖時混淆“頻率”與“頻率/組距”（縱軸應(yīng)為頻率/組距），或計算均值時用錯加權(quán)平均公式（如直接將每組的中點值相加除以組數(shù)）。四、備考啟示與建議（一）回歸教材，夯實基礎(chǔ)合格性考試的試題多來源于教材，學(xué)生應(yīng)重點復(fù)習(xí)教材中的基本概念、基本公式、基本定理（如函數(shù)的定義域、奇偶性的定義，立體幾何中三視圖的畫法，統(tǒng)計中頻率分布直方圖的制作方法）。建議逐章梳理教材內(nèi)容，完成教材中的例題與習(xí)題，確?；A(chǔ)知識點無遺漏。（二）強化技能，提升運算能力考試中很多題目需要計算（如函數(shù)值、幾何體體積、統(tǒng)計均值），學(xué)生應(yīng)加強計算訓(xùn)練，提高準確性與速度。建議練習(xí)有理數(shù)、整式、分式、根式的運算，以及方程、不等式的求解，同時注意運算步驟（如錐體體積需乘$\frac{1}{3}$，頻率分布直方圖的縱軸為頻率/組距）。（三）聚焦素養(yǎng)，注重知識應(yīng)用核心素養(yǎng)是考試的重要目標(biāo)，學(xué)生應(yīng)在復(fù)習(xí)中培養(yǎng)“直觀想象”（如函數(shù)圖像的繪制）、“邏輯推理”（如數(shù)列的證明）、“數(shù)據(jù)分析”（如統(tǒng)計題的解答）等素養(yǎng)。建議多做聯(lián)系實際的題目（如用函數(shù)模型解決實際問題、用統(tǒng)計方法分析數(shù)據(jù)），提高知識的應(yīng)用能力。（四）關(guān)注易錯，規(guī)避常見錯誤學(xué)生易犯的常見錯誤包括：定義域沒考慮、符號錯誤、計算錯誤、三視圖看錯、公式記錯等。建議總結(jié)易錯點，加強針對性練習(xí)（如專門練習(xí)函數(shù)定義域的求解、立體幾何體積的計算），并養(yǎng)成檢查的習(xí)慣（做完題目后再檢查一遍）。（五）調(diào)整心態(tài)，科學(xué)應(yīng)對考試合格性考試難度不大，學(xué)生不要過于緊張。建議考試前制定合理的復(fù)習(xí)