相似三角形專題訓(xùn)練試題與解析引言相似三角形是初中幾何的核心內(nèi)容，也是連接全等三角形、三角函數(shù)、圓、函數(shù)等知識(shí)的橋梁。在中考中，相似三角形的考查覆蓋基礎(chǔ)概念、判定定理、性質(zhì)應(yīng)用及綜合壓軸題，分值占比約10%-15%。掌握相似三角形的解題邏輯，不僅能提升幾何推理能力，更能為解決復(fù)雜綜合題奠定基礎(chǔ)。本文通過基礎(chǔ)概念辨析、判定定理應(yīng)用、性質(zhì)綜合運(yùn)用、中考熱點(diǎn)綜合四大專題，結(jié)合典型試題與詳細(xì)解析，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“知識(shí)記憶”到“能力突破”的跨越。一、基礎(chǔ)概念與性質(zhì)辨析：筑牢認(rèn)知根基核心考點(diǎn)：相似比的定義、對(duì)應(yīng)邊/角的識(shí)別、周長(zhǎng)比與面積比的關(guān)系。易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“相似比”與“面積比”、對(duì)應(yīng)邊/角匹配錯(cuò)誤。試題1（概念判斷）下列關(guān)于相似三角形的說法，正確的是（）A.對(duì)應(yīng)邊相等的三角形相似B.對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似C.相似比為1的三角形全等D.面積比等于相似比答案：B、C解析：A項(xiàng)：對(duì)應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形，全等是相似的特殊情況（相似比為1），但相似三角形對(duì)應(yīng)邊不一定相等，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似（AA判定定理），故B正確；C項(xiàng)：相似比為1時(shí)，對(duì)應(yīng)邊相等，三角形全等，故C正確；D項(xiàng)：面積比等于相似比的平方，故D錯(cuò)誤。試題2（性質(zhì)應(yīng)用）若△ABC∽△DEF，相似比為2:3，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為______，面積比為______。答案：2:3；4:9解析：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。因此周長(zhǎng)比為2:3，面積比為22:32=4:9。提醒：面積比是相似比的平方，這是中考高頻易錯(cuò)點(diǎn)，需重點(diǎn)記憶。二、判定定理專項(xiàng)訓(xùn)練：掌握核心方法核心考點(diǎn)：AA（角角）、SAS（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等）、SSS（三邊對(duì)應(yīng)成比例）判定定理。關(guān)鍵：準(zhǔn)確識(shí)別“對(duì)應(yīng)角”與“對(duì)應(yīng)邊”，避免“兩邊成比例但夾角不相等”的誤區(qū)。試題3（AA判定：平行線型相似）如圖，在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E。若AD=2，DB=3，則△ADE與△ABC的相似比為______。答案：2:5解析：DE∥BC→∠ADE=∠B，∠AED=∠C（同位角相等），故△ADE∽△ABC（AA）。相似比為對(duì)應(yīng)邊的比，即AD:AB=2:(2+3)=2:5。模型總結(jié)：“A”型相似（DE∥BC）是中考最常見的相似模型，相似比等于線段AD:AB或AE:AC。試題4（SAS判定：夾角的重要性）已知△ABC和△A'B'C'，AB=4，BC=5，∠B=60°；A'B'=8，B'C'=10，∠B'=60°。判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由。答案：相似解析：計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的比：AB:A'B'=4:8=1:2，BC:B'C'=5:10=1:2；夾角∠B=∠B'=60°（相等）；根據(jù)SAS判定定理（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等），△ABC∽△A'B'C'。提醒：若夾角不相等，即使兩邊成比例，三角形也不相似（如一個(gè)角為60°，另一個(gè)角為120°）。試題5（SSS判定：三邊對(duì)應(yīng)成比例）△ABC的三邊長(zhǎng)為3、4、5，△DEF的三邊長(zhǎng)為6、8、10。判斷△ABC與△DEF是否相似，并說明理由。答案：相似解析：計(jì)算三邊對(duì)應(yīng)比：3:6=1:2，4:8=1:2，5:10=1:2；三邊對(duì)應(yīng)成比例，根據(jù)SSS判定定理，△ABC∽△DEF。拓展：3-4-5和6-8-10均為直角三角形（32+42=52），也可通過AA判定（直角相等，另一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等）。三、性質(zhì)定理綜合應(yīng)用：提升解題能力核心考點(diǎn)：利用相似三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度、面積、角度，或結(jié)合比例線段解決問題。技巧：通過“對(duì)應(yīng)邊成比例”建立方程，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算。試題6（求線段長(zhǎng)度）△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，BC=4，則EF=______。答案：8解析：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即AB:DE=BC:EF；代入數(shù)值：3:6=4:EF→EF=（6×4）/3=8。關(guān)鍵：準(zhǔn)確識(shí)別對(duì)應(yīng)邊（AB對(duì)應(yīng)DE，BC對(duì)應(yīng)EF），可通過“對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊”確定。試題7（面積與相似比的關(guān)系）△ABC∽△DEF，面積比為9:16，則相似比為______，周長(zhǎng)比為______。答案：3:4；3:4解析：面積比=相似比2→相似比=√(9:16)=3:4；周長(zhǎng)比=相似比=3:4。逆向應(yīng)用：若相似比為k，則面積比為k2，周長(zhǎng)比為k，需靈活轉(zhuǎn)換。試題8（比例線段與平行線）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，AE=3，則AC=______。答案：9解析：AD:DB=1:2→AD:AB=1:3；DE∥BC→△ADE∽△ABC（AA）→AE:AC=AD:AB=1:3；故AC=AE×3=3×3=9。模型總結(jié)：“X”型或“A”型相似中，平行線分線段成比例，比例關(guān)系與相似比一致。四、綜合應(yīng)用與中考熱點(diǎn)：突破難點(diǎn)瓶頸核心考點(diǎn)：相似三角形與函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）、圓、三角函數(shù)的結(jié)合。中考趨勢(shì)：綜合題多以“相似+函數(shù)”或“相似+圓”為載體，考查學(xué)生的綜合分析能力。試題9（相似與圓：切線與圓周角）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，過C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D。若AC=2，BC=1，求CD的長(zhǎng)。答案：2√5/3解析：1.切線性質(zhì)：OC⊥CD→∠OCD=90°；2.直徑圓周角：AB是直徑→∠ACB=90°（直徑所對(duì)圓周角為直角）；3.角的轉(zhuǎn)化：∠OCA=∠A（OA=OC，等腰三角形），∠OCA+∠OCB=90°，∠OCB+∠BCD=90°→∠A=∠BCD；4.相似判定：∠D=∠D（公共角），∠A=∠BCD→△ACD∽△CBD（AA）；5.比例計(jì)算：△ACD∽△CBD→AC/CB=AD/CD=CD/BD；設(shè)BD=x，則AD=AB+BD=√(AC2+BC2)+x=√(22+12)+x=√5+x；由AC/CB=AD/CD→2/1=(√5+x)/CD→CD=(√5+x)/2；由CD/BD=AD/CD→CD2=BD×AD→[(√5+x)/2]2=x(√5+x)；展開化簡(jiǎn)：5+2√5x+x2=4x√5+4x2→3x2+2√5x-5=0；解得正根：x=√5/3（負(fù)根舍去）；故CD=(√5+√5/3)/2=2√5/3?？偨Y(jié)：圓與相似的結(jié)合需利用切線性質(zhì)、圓周角定理等轉(zhuǎn)化角，再通過相似三角形建立方程求解。試題10（相似與三角函數(shù)：實(shí)際應(yīng)用）在陽光下，某一時(shí)刻，身高1.6米的小明測(cè)得自己的影長(zhǎng)為0.8米，同時(shí)測(cè)得旁邊一棵大樹的影長(zhǎng)為4米，求這棵大樹的高度。答案：8米解析：1.模型建立：太陽光線平行，小明與影子、大樹與影子均構(gòu)成直角三角形；2.相似判定：兩個(gè)直角三角形的銳角（太陽光線與地面夾角）相等→△小明∽△大樹（AA）；3.比例計(jì)算：小明身高/大樹身高=小明影長(zhǎng)/大樹影長(zhǎng)→1.6/h=0.8/4→h=（1.6×4）/0.8=8米。應(yīng)用價(jià)值：相似三角形是解決“測(cè)量高度/距離”問題的常用工具，如旗桿高度、河寬等。試題11（相似與二次函數(shù)：壓軸題）如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)，與y軸交于C(0,3)。點(diǎn)D在拋物線上，且△ABD∽△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。答案：D(0,3)或D(2,3)或D(1+√7,-3)或D(1-√7,-3)解析：1.確定△ABC的形狀：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)，AB=4，AC=√10，BC=3√2，△ABC為一般三角形；2.相似條件分析：△ABD∽△ABC，有兩種對(duì)應(yīng)方式：方式1：△ABD∽△ABC（A→A，B→B，D→C）：此時(shí)D與C重合，即D(0,3)；方式2：△ABD∽△ACB（A→A，B→C，D→B）：對(duì)應(yīng)邊AB:AC=BD:CB=AD:AB，通過坐標(biāo)法建立方程求解（過程略）；方式3：△ABD∽△BAC（A→B，B→A，D→C）：對(duì)應(yīng)邊AB:BA=BD:AC=AD:BC，結(jié)合拋物線方程求解（過程略）；3.驗(yàn)證解的合理性：代入拋物線方程驗(yàn)證D點(diǎn)是否在拋物線上，排除無效解。提醒：二次函數(shù)中的相似問題需考慮所有可能的對(duì)應(yīng)方式，避免遺漏解。五、備考建議：高效提升策略1.夯實(shí)基礎(chǔ)：牢記相似三角形的定義、判定定理（AA、SAS、SSS）、性質(zhì)定理（周長(zhǎng)比、面積比），重點(diǎn)區(qū)分“對(duì)應(yīng)邊”與“對(duì)應(yīng)角”；2.總結(jié)模型：熟悉“A”型、“X”型、母子相似（Rt△中的斜高）、一線三等角等常見模型，快速識(shí)別相似三角形；3.多做真題：研究近3年中考真題，關(guān)注“相似+函數(shù)”