天津市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題詳解引言期中考試是高一學(xué)生半學(xué)期學(xué)習(xí)成果的重要檢測(cè)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)調(diào)整的關(guān)鍵依據(jù)。天津市高一上學(xué)期數(shù)學(xué)內(nèi)容以集合與常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)為核心，側(cè)重基礎(chǔ)應(yīng)用與邏輯思維考查。本文結(jié)合天津市考試風(fēng)格，梳理高頻考點(diǎn)，通過(guò)試題示例+詳細(xì)解析+易錯(cuò)點(diǎn)提醒+方法總結(jié)，幫助學(xué)生精準(zhǔn)把握解題規(guī)律，規(guī)避常見(jiàn)錯(cuò)誤。第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，常用邏輯用語(yǔ)是邏輯思維的工具，二者均為期中考試的必考點(diǎn)。1.1考點(diǎn)1：集合的基本概念試題示例：已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{1,a\}\)，若\(A=B\)，則\(a=\_\_\_\)。解析：第一步，解集合\(A\)中的方程：\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)，故\(A=\{1,2\}\)。第二步，由\(A=B\)，集合元素互異性要求\(B\)中的元素與\(A\)完全相同，故\(a=2\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：忽略集合元素的互異性：若\(B=\{1,1\}\)，則不符合集合定義；解方程時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤：如將\(x^2-3x+2=0\)解為\(x=1\)或\(x=3\)，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。方法總結(jié)：集合相等的判斷步驟：(1)化簡(jiǎn)集合（如解方程）；(2)對(duì)比元素，確保元素完全一致（注意互異性）。1.2考點(diǎn)2：集合的運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集）試題示例：設(shè)集合\(A=\{x|2x-1<5\}\)，\(B=\{x||x-1|\leq2\}\)，求\(A\capB\)，\(A\cupB\)。解析：第一步，解集合\(A\)：\(2x-1<5\Rightarrowx<3\)，故\(A=\{x|x<3\}\)。第二步，解集合\(B\)：\(|x-1|\leq2\Rightarrow-2\leqx-1\leq2\Rightarrow-1\leqx\leq3\)，故\(B=\{x|-1\leqx\leq3\}\)。第三步，用數(shù)軸法求交集與并集：\(A\capB\)：兩集合公共部分，即\(\{x|-1\leqx<3\}\)；\(A\cupB\)：兩集合所有元素，即\(\{x|x\leq3\}\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：解絕對(duì)值不等式出錯(cuò)：如將\(|x-1|\leq2\)解為\(x-1\leq2\)或\(x-1\geq-2\)（應(yīng)為“且”而非“或”）；端點(diǎn)處理錯(cuò)誤：如\(A\capB\)中\(zhòng)(x<3\)與\(x\leq3\)的交集是\(x<3\)，而非\(x\leq3\)。方法總結(jié)：集合運(yùn)算步驟：(1)解每個(gè)集合的不等式（化簡(jiǎn)集合）；(2)用數(shù)軸表示集合；(3)直觀求交集（公共部分）、并集（全部部分）。1.3考點(diǎn)3：集合間的關(guān)系（子集、真子集）試題示例：已知集合\(A=\{x|-1\leqx\leq2\}\)，\(B=\{x|x<a\}\)，若\(A\subseteqB\)，則\(a\)的取值范圍是\_\_\_。解析：\(A\subseteqB\)表示\(A\)的所有元素都在\(B\)中。用數(shù)軸表示\(A\)（\([-1,2]\)）和\(B\)（\((-\infty,a)\)），需滿足\(A\)的右端點(diǎn)\(2<a\)，故\(a>2\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：忽略空集：若\(A=\emptyset\)，則\(\emptyset\subseteqB\)對(duì)任意\(B\)成立，但本題\(A\neq\emptyset\)；端點(diǎn)方向錯(cuò)誤：如將\(a>2\)寫成\(a\geq2\)，此時(shí)\(2\inA\)但\(2\notinB\)，不符合\(A\subseteqB\)。方法總結(jié)：子集判斷技巧：(1)數(shù)軸法（適用于區(qū)間集合）；(2)列舉法（適用于有限集合）。注意：真子集（\(A\subsetneqqB\)）需額外滿足\(A\neqB\)。1.4考點(diǎn)4：常用邏輯用語(yǔ)（充分條件與必要條件）試題示例：“\(x>1\)”是“\(x^2>1\)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：充分性：若\(x>1\)，則\(x^2>1\)，成立；必要性：若\(x^2>1\)，則\(x>1\)或\(x<-1\)，不唯一，故必要性不成立。因此選A.充分不必要條件。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：混淆“充分”與“必要”：如認(rèn)為“\(x^2>1\)”能推出“\(x>1\)”，忽略\(x<-1\)的情況；邏輯關(guān)系顛倒：如將“\(p\Rightarrowq\)”理解為\(q\)是\(p\)的充分條件。方法總結(jié)：充分條件與必要條件判斷步驟：(1)明確\(p\)（條件）、\(q\)（結(jié)論）；(2)判斷\(p\Rightarrowq\)（充分性）和\(q\Rightarrowp\)（必要性）；(3)根據(jù)結(jié)果選擇選項(xiàng)。第二章函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心，本章考點(diǎn)覆蓋定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，均為期中考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)。2.1考點(diǎn)1：函數(shù)的定義域試題示例：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}+\log_2(3-x)\)的定義域。解析：函數(shù)定義域需滿足各部分有意義：1.根號(hào)部分：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；2.分式部分：\(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2\)；3.對(duì)數(shù)部分：\(3-x>0\Rightarrowx<3\)。取交集得定義域：\([1,2)\cup(2,3)\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：遺漏限制條件：如忘記對(duì)數(shù)真數(shù)\(3-x>0\)；區(qū)間表示錯(cuò)誤：如將\(x\geq1\)且\(x\neq2\)且\(x<3\)寫成\([1,3)\)（忽略\(x\neq2\)）。方法總結(jié)：求函數(shù)定義域的步驟：(1)逐一分析各部分的限制條件（根號(hào)≥0、分式分母≠0、對(duì)數(shù)真數(shù)>0等）；(2)取所有條件的交集（用區(qū)間或集合表示）。2.2考點(diǎn)2：函數(shù)的單調(diào)性（定義法證明）試題示例：證明函數(shù)\(f(x)=x^2+2x\)在區(qū)間\((-1,+\infty)\)上是增函數(shù)。解析：定義法證明步驟：1.取值：任取\(x_1,x_2\in(-1,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)；2.作差：\(f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2+2x_2)-(x_1^2+2x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1+2)\)；3.變形：分解因式（關(guān)鍵步驟），得到乘積形式；4.判斷符號(hào)：\(x_1<x_2\Rightarrowx_2-x_1>0\)；\(x_1>-1,x_2>-1\Rightarrowx_1+x_2+2>0\)；故\(f(x_2)-f(x_1)>0\)；5.下結(jié)論：\(f(x)\)在\((-1,+\infty)\)上是增函數(shù)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：變形不徹底：如未將差式分解為\((x_2-x_1)(x_2+x_1+2)\)，無(wú)法判斷符號(hào)；取值范圍錯(cuò)誤：如取\(x_1=-2\)（不在區(qū)間\((-1,+\infty)\)內(nèi)），導(dǎo)致\(x_1+x_2+2<0\)，結(jié)論錯(cuò)誤。方法總結(jié)：定義法證明單調(diào)性的核心是變形，常用方法有：分解因式（二次函數(shù)）、配方（二次函數(shù)）、通分（分式函數(shù)）。2.3考點(diǎn)3：函數(shù)的奇偶性試題示例：判斷函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2+1}{x}\)的奇偶性。解析：奇偶性判斷步驟：1.看定義域：\(f(x)\)的定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；2.算\(f(-x)\)：\(f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{-x}=\frac{x^2+1}{-x}=-f(x)\)；3.下結(jié)論：\(f(x)\)是奇函數(shù)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：忽略定義域?qū)ΨQ：如\(f(x)=x^2\)在\([0,+\infty)\)上不是偶函數(shù)（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；計(jì)算\(f(-x)\)錯(cuò)誤：如將\((-x)^2\)算成\(-x^2\)，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤。方法總結(jié)：奇偶性判斷口訣：“定義域?qū)ΨQ是前提，\(f(-x)\)與\(f(x)\)比高低”：若\(f(-x)=f(x)\)，則偶函數(shù)；若\(f(-x)=-f(x)\)，則奇函數(shù)；否則非奇非偶。2.4考點(diǎn)4：函數(shù)的值域（單調(diào)性法）試題示例：求函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在區(qū)間\([2,+\infty)\)上的值域。解析：1.判斷單調(diào)性：\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\([1,+\infty)\)上是增函數(shù)（可通過(guò)定義法證明）；2.求端點(diǎn)值：\(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)；3.下結(jié)論：當(dāng)\(x\geq2\)時(shí)，\(f(x)\geq\frac{5}{2}\)，故值域?yàn)閈([\frac{5}{2},+\infty)\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：誤用單調(diào)性：如\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1)\)上是減函數(shù)，在\([1,+\infty)\)上是增函數(shù)，需注意區(qū)間；端點(diǎn)值計(jì)算錯(cuò)誤：如\(f(2)=2+1=3\)，導(dǎo)致值域錯(cuò)誤。方法總結(jié)：?jiǎn)握{(diào)性法求值域步驟：(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（或極限）；(3)確定值域范圍。第三章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)，側(cè)重圖像性質(zhì)與單調(diào)性應(yīng)用，是期中考試的高頻考點(diǎn)。3.1考點(diǎn)1：指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算試題示例：計(jì)算：(1)\(2^{-1}+4^{\frac{1}{2}}-8^{\frac{1}{3}}\)；(2)\(\log_28+\log_39-\log_51\)。解析：(1)指數(shù)運(yùn)算：\(2^{-1}=\frac{1}{2}\)，\(4^{\frac{1}{2}}=2\)，\(8^{\frac{1}{3}}=2\)，故結(jié)果為\(\frac{1}{2}+2-2=\frac{1}{2}\)；(2)對(duì)數(shù)運(yùn)算：\(\log_28=3\)（\(2^3=8\)），\(\log_39=2\)（\(3^2=9\)），\(\log_51=0\)（\(5^0=1\)），故結(jié)果為\(3+2-0=5\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：指數(shù)冪公式記錯(cuò)：如\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)，\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)；對(duì)數(shù)公式記錯(cuò)：如\(\log_aa^b=b\)，\(\log_a1=0\)。方法總結(jié)：指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算技巧：(1)熟記基本公式（如上述）；(2)先化簡(jiǎn)再計(jì)算（如\(4^{\frac{1}{2}}=(2^2)^{\frac{1}{2}}=2\)）。3.2考點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)試題示例：函數(shù)\(f(x)=2^{x+1}\)的圖像是由\(y=2^x\)的圖像（）A.向左平移1個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位C.向上平移1個(gè)單位D.向下平移1個(gè)單位解析：指數(shù)函數(shù)圖像平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”（針對(duì)\(x\)的變化是左加右減，針對(duì)函數(shù)值的變化是上加下減）。\(f(x)=2^{x+1}=2^{(x+1)}\)，故是\(y=2^x\)向左平移1個(gè)單位，選A。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：平移方向顛倒：如將\(x+1\)理解為向右平移1個(gè)單位；混淆“針對(duì)\(x\)”與“針對(duì)函數(shù)值”：如\(f(x)=2^x+1\)是向上平移1個(gè)單位，而\(f(x)=2^{x+1}\)是向左平移1個(gè)單位。方法總結(jié)：指數(shù)函數(shù)圖像變換口訣：“左加右減括號(hào)內(nèi)，上加下減括號(hào)外”（括號(hào)內(nèi)指\(x\)的變化，括號(hào)外指函數(shù)值的變化）。3.3考點(diǎn)3：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用（比較大小）試題示例：比較下列各組數(shù)的大?。?1)\(\log_23\)與\(\log_25\)；(2)\(\log_{0.5}3\)與\(\log_{0.5}2\)。解析：(1)底數(shù)\(2>1\)，對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_2x\)在\((0,+\infty)\)上是增函數(shù)，故\(\log_23<\log_25\)；(2)底數(shù)\(0<0.5<1\)，對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_{0.5}x\)在\((0,+\infty)\)上是減函數(shù)，故\(\log_{0.5}3<\log_{0.5}2\)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：底數(shù)對(duì)單調(diào)性的影響：底數(shù)>1時(shí)增，0<底數(shù)<1時(shí)減，記反會(huì)導(dǎo)致大小關(guān)系顛倒；忽略真數(shù)大于0：如比較\(\log_2(-1)\)與\(\log_20\)，無(wú)意義。方法總結(jié)：對(duì)數(shù)式比較大小技巧：(1)同底數(shù)：看單調(diào)性；(2)不同底數(shù)：用中間值（如0或1），如\(\log_32<1<\log_23\)。第四章綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的整合能力，重點(diǎn)是函數(shù)與方程、函數(shù)實(shí)際應(yīng)用。4.1考點(diǎn)1：函數(shù)與方程（零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷）試題示例：求函數(shù)\(f(x)=2^x+x-3\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析：方法一：?jiǎn)握{(diào)性+零點(diǎn)存在定理1.單調(diào)性：\(2^x\)是增函數(shù)，\(x\)是增函數(shù)，故\(f(x)=2^x+x-3\)是\(\mathbb{R}\)上的增函數(shù)；2.計(jì)算端點(diǎn)值：\(f(0)=1+0-3=-2<0\)，\(f(1)=2+1-3=0\)，\(f(2)=4+2-3=3>0\)；3.結(jié)論：增函數(shù)在\(\mathbb{R}\)上只有一個(gè)零點(diǎn)（\(x=1\)）。方法二：圖像法畫出\(y=2^x\)與\(y=3-x\)的圖像，兩圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，故\(f(x)\)只有一個(gè)零點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)提醒：未結(jié)合單調(diào)性：僅用零點(diǎn)存在定理只能判斷存在零點(diǎn)，不能判斷個(gè)數(shù)；計(jì)算錯(cuò)誤：如\(f(1)=2+1-3=0\)，直接找到零點(diǎn)，無(wú)需再用其他方法。方法總結(jié)：零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)解方程法（直接解\(f(x)=0\)）；(2)圖像法（畫\(f(x)\)或分解為兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)）；(3)單調(diào)性+零點(diǎn)存在定理（適用于單調(diào)函數(shù)）。4.2