六年級數(shù)學第一單元重點習題解析一、引言六年級數(shù)學第一單元“分數(shù)乘法”是分數(shù)運算體系的基石，既是整數(shù)乘法的延伸（將“幾個相同整數(shù)相加”擴展到“幾個相同分數(shù)相加”），也是后續(xù)分數(shù)除法、百分數(shù)應(yīng)用（如“求一個數(shù)的百分之幾”）的基礎(chǔ)。本單元的核心內(nèi)容可概括為：三類計算（分數(shù)乘整數(shù)、分數(shù)乘分數(shù)、分數(shù)乘小數(shù)）、一種應(yīng)用（求一個數(shù)的幾分之幾是多少）、一個概念（倒數(shù)）。本文將圍繞這些重點，結(jié)合典型例題、算理解析、易錯點警示、拓展練習，幫助學生理清邏輯、突破難點，實現(xiàn)“知其然且知其所以然”。二、重點題型深度解析（一）分數(shù)乘整數(shù)：理解意義，掌握簡便計算題型定義：分數(shù)乘整數(shù)有兩層含義——①表示“幾個相同分數(shù)相加的和”（如\(3\times\frac{1}{2}\)表示3個\(\frac{1}{2}\)相加）；②表示“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”（如\(\frac{1}{2}\times3\)表示求3的\(\frac{1}{2}\)是多少）。計算規(guī)則：分子與整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；能約分的先約分再計算（簡化運算步驟）。典型例題：計算\(5\times\frac{3}{7}\)。解析：意義層面：5個\(\frac{3}{7}\)相加，即\(\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}+\frac{3}{7}=\frac{3\times5}{7}=\frac{15}{7}\)（或1\(\frac{8}{7}\)）；簡便計算：整數(shù)5與分母7互質(zhì)，無法約分，直接計算分子\(5\times3=15\)，分母保持7，結(jié)果為\(\frac{15}{7}\)。易錯點警示：常見錯誤：將分母與整數(shù)相乘（如\(5\times\frac{3}{7}\)誤算為\(\frac{3}{5\times7}=\frac{3}{35}\)），混淆了“分子乘整數(shù)”的規(guī)則；規(guī)避方法：牢記“分數(shù)乘整數(shù)，分母不變，分子乘整數(shù)”的口訣，可通過“加法驗證”（如\(2\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)）強化記憶。拓展練習：計算\(6\times\frac{2}{9}\)（答案：\(\frac{4}{3}\)，提示：先約分6和9，6÷3=2，9÷3=3，再計算\(2\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\)）。（二）分數(shù)乘分數(shù)：明確算理，約分徹底題型定義：分數(shù)乘分數(shù)表示“求一個分數(shù)的幾分之幾是多少”（如\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\)表示將\(\frac{1}{2}\)平均分成3份，取其中1份）。計算規(guī)則：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母；先約分再計算（避免結(jié)果分子分母過大，簡化后續(xù)化簡步驟）。典型例題：計算\(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\)。解析：算理層面：用圖形表示（如將一個長方形先涂滿\(\frac{2}{3}\)，再將這部分平均分成4份，取其中3份），最終涂色部分占整個長方形的\(\frac{2\times3}{3\times4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)；計算步驟：①先約分：分子2與分母4有公因數(shù)2（2÷2=1，4÷2=2），分子3與分母3有公因數(shù)3（3÷3=1，3÷3=1），約分后變?yōu)閈(\frac{1}{1}\times\frac{1}{2}\)；②計算：\(1\times1=1\)（分子），\(1\times2=2\)（分母），結(jié)果為\(\frac{1}{2}\)。易錯點警示：常見錯誤：約分不徹底（如\(\frac{6}{12}\)直接寫成\(\frac{3}{6}\)，未化簡為\(\frac{1}{2}\)）；規(guī)避方法：計算后檢查分子分母是否有公因數(shù)（如12和6的最大公因數(shù)是6，需繼續(xù)化簡），可借助“質(zhì)因數(shù)分解”（如\(6=2\times3\)，\(12=2\times2\times3\)，公因數(shù)為2×3=6）確認是否最簡。拓展練習：計算\(\frac{5}{6}\times\frac{4}{15}\)（答案：\(\frac{2}{9}\)，提示：分子5與分母15約分（5÷5=1，15÷5=3），分子4與分母6約分（4÷2=2，6÷2=3），后計算\(\frac{1\times2}{3\times3}=\frac{2}{9}\)）。（三）分數(shù)乘小數(shù)：靈活轉(zhuǎn)化，選擇最優(yōu)方法題型定義：分數(shù)與小數(shù)相乘，需將兩者統(tǒng)一為分數(shù)或小數(shù)后計算，常用方法有三種：1.小數(shù)化分數(shù)（適用于所有情況）；2.分數(shù)化小數(shù)（僅當分數(shù)能化為有限小數(shù)時適用，如\(\frac{1}{2}=0.5\)）；3.直接約分（小數(shù)與分母有公因數(shù)時，簡化運算）。典型例題：計算\(0.6\times\frac{2}{3}\)。解析：方法一（小數(shù)化分數(shù)）：\(0.6=\frac{3}{5}\)，則\(\frac{3}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{3\times2}{5\times3}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\)（0.4）；方法二（分數(shù)化小數(shù)）：\(\frac{2}{3}\approx0.6667\)，則\(0.6\times0.6667\approx0.4\)（近似值，不如分數(shù)準確）；方法三（直接約分）：\(0.6\)與分母3有公因數(shù)3（0.6÷3=0.2，3÷3=1），則\(0.2\times\frac{2}{1}=0.4\)（\(\frac{2}{5}\)）。易錯點警示：常見錯誤：將小數(shù)與分子約分（如\(0.6\times\frac{2}{3}\)誤算為\(0.6\times2\div3=1.2\div3=0.4\)，雖結(jié)果正確，但邏輯不嚴謹，易混淆“約分對象”）；規(guī)避方法：直接約分時，小數(shù)應(yīng)與分母約分（如0.6是分子部分的系數(shù)，分母是3，兩者有公因數(shù)3），再與分子相乘（0.6÷3=0.2，0.2×2=0.4）。拓展練習：計算\(0.75\times\frac{4}{5}\)（答案：\(\frac{3}{5}\)，提示：0.75=\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{5}\)）。（四）分數(shù)乘法的簡便運算：遷移定律，靈活應(yīng)用題型定義：整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律、分配律對分數(shù)乘法同樣適用，合理運用可簡化計算（如避免計算大數(shù)）。交換律：\(a\timesb=b\timesa\)（如\(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{3}\)）；結(jié)合律：\(a\timesb\timesc=a\times(b\timesc)\)（如\(\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}\times\frac{5}{3}=\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}\)）；分配律：\(a\times(b+c)=a\timesb+a\timesc\)（如\(\frac{1}{4}\times(8+4)=\frac{1}{4}\times8+\frac{1}{4}\times4=2+1=3\)）。典型例題：計算\(\frac{5}{6}\times(12+\frac{3}{5})\)。解析：應(yīng)用分配律展開：\(\frac{5}{6}\times12+\frac{5}{6}\times\frac{3}{5}\)；分別計算：①\(\frac{5}{6}\times12\)：12與分母6約分（12÷6=2），得\(5\times2=10\)；②\(\frac{5}{6}\times\frac{3}{5}\)：分子5與分母5約分（得1），分子3與分母6約分（3÷3=1，6÷3=2），得\(\frac{1}{2}\)；合并結(jié)果：\(10+\frac{1}{2}=10\frac{1}{2}\)（或10.5）。易錯點警示：常見錯誤：分配律漏乘（如\(\frac{5}{6}\times(12+\frac{3}{5})\)誤算為\(\frac{5}{6}\times12+\frac{3}{5}=10+\frac{3}{5}=10\frac{3}{5}\)）；規(guī)避方法：分配律的核心是“括號內(nèi)的每一項都要與括號外的數(shù)相乘”，可通過“字母公式”（\(a\times(b+c)=a\timesb+a\timesc\)）強化記憶，避免漏項。拓展練習：計算\((\frac{1}{3}+\frac{1}{6})\times18\)（答案：9，提示：\(\frac{1}{3}\times18+\frac{1}{6}\times18=6+3=9\)）。（五）求一個數(shù)的幾分之幾是多少：找準單位“1”，理清數(shù)量關(guān)系題型定義：這是本單元的核心應(yīng)用題型，也是后續(xù)百分數(shù)應(yīng)用（如“求一個數(shù)的百分之幾”）的基礎(chǔ)。關(guān)鍵是確定單位“1”（即被看作整體“1”的量），數(shù)量關(guān)系為：\[\text{單位“1”的量}\times\text{分率}=\text{分率對應(yīng)的量}\]單位“1”的找法：“的”字前面的量（如“科技書是故事書的\(\frac{2}{3}\)”，單位“1”是“故事書”）；“比”字后面的量（如“小紅比小明多\(\frac{1}{4}\)”，單位“1”是“小明”）。典型例題1（基本型）：小明有12本故事書，科技書的數(shù)量是故事書的\(\frac{1}{2}\)，科技書有多少本？解析：單位“1”：故事書數(shù)量（已知，12本）；分率：\(\frac{1}{2}\)（科技書占故事書的比例）；計算：科技書數(shù)量=12×\(\frac{1}{2}\)=6（本）。典型例題2（變式型：求剩余）：小紅有20元零花錢，花了\(\frac{1}{5}\)，還剩多少元？解析：單位“1”：總零花錢（20元）；分率：\(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)（剩余零花錢占總零花錢的比例）；計算：剩余零花錢=20×\(\frac{4}{5}\)=16（元）（或20-20×\(\frac{1}{5}\)=20-4=16元）。典型例題3（變式型：比多/比少）：某果園有蘋果樹80棵，梨樹比蘋果樹少\(\frac{1}{4}\)，梨樹有多少棵？解析：單位“1”：蘋果樹數(shù)量（80棵）；分率：\(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)（梨樹占蘋果樹的比例）；計算：梨樹數(shù)量=80×\(\frac{3}{4}\)=60（棵）。易錯點警示：常見錯誤：找錯單位“1”（如“梨樹比蘋果樹少\(\frac{1}{4}\)”，誤將“梨樹”當作單位“1”）；規(guī)避方法：用“替換法”驗證（如“梨樹比蘋果樹少\(\frac{1}{4}\)”，即“梨樹=蘋果樹-蘋果樹×\(\frac{1}{4}\)”，單位“1”是蘋果樹）。拓展練習：某商店進了50件衣服，賣出了\(\frac{3}{5}\)，還剩多少件？（答案：20件，提示：剩余=50×(1-\(\frac{3}{5}\))=50×\(\frac{2}{5}\)=20）。（六）倒數(shù)的認識：明確定義，掌握求法概念定義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)（如\(\frac{3}{4}\times\frac{4}{3}=1\)，則\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{4}{3}\)互為倒數(shù)）。注意：倒數(shù)是相互的（不能說“\(\frac{3}{4}\)是倒數(shù)”，應(yīng)說“\(\frac{3}{4}\)是\(\frac{4}{3}\)的倒數(shù)”）；0沒有倒數(shù)（0乘任何數(shù)都得0，無法得到1）；1的倒數(shù)是1（1×1=1）。求倒數(shù)的方法：分數(shù)：交換分子與分母的位置（如\(\frac{2}{5}\)的倒數(shù)是\(\frac{5}{2}\)）；整數(shù)（0除外）：寫成“1/整數(shù)”（如7的倒數(shù)是\(\frac{1}{7}\)）；小數(shù)：先化為分數(shù)，再交換分子分母（如0.25=\(\frac{1}{4}\)，倒數(shù)是4）；帶分數(shù)：先化為假分數(shù)，再交換分子分母（如1\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{3}{2}\)，倒數(shù)是\(\frac{2}{3}\)）。典型例題：求\(\frac{5}{8}\)和0.6的倒數(shù)。解析：\(\frac{5}{8}\)的倒數(shù)：交換分子分母，得\(\frac{8}{5}\)；0.6的倒數(shù)：0.6=\(\frac{3}{5}\)，交換分子分母得\(\frac{5}{3}\)（或1÷0.6=\(\frac{5}{3}\)）。易錯點警示：常見錯誤：認為0有倒數(shù)（0乘任何數(shù)都得0，無法得到1）；規(guī)避方法：牢記“0沒有倒數(shù)，1的倒數(shù)是1”的結(jié)論，可通過“乘積驗證”（如\(\frac{5}{8}\times\frac{8}{5}=1\)）確認倒數(shù)是否正確。拓展練習：求\(\frac{1}{9}\)和10的倒數(shù)（答案：9；\