一、冪函數(shù)的基礎概念（一）定義形如\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)，\(x\)為自變量）的函數(shù)稱為冪函數(shù)。其中，\(\alpha\)是常數(shù)（稱為冪指數(shù)），\(x\)的取值范圍由\(\alpha\)決定（稱為定義域）。（二）定義域分析冪函數(shù)的定義域取決于冪指數(shù)\(\alpha\)的類型，具體規(guī)則如下：1.\(\alpha\)為正整數(shù)：定義域為\(\mathbb{R}\)（如\(y=x^2\)，\(x\in\mathbb{R}\)）。2.\(\alpha\)為負整數(shù)：定義域為\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)（如\(y=x^{-1}=\frac{1}{x}\)，\(x\neq0\)）。3.\(\alpha\)為分數(shù)：設\(\alpha=\frac{p}{q}\)（\(p,q\in\mathbb{Z}\)，\(q>0\)，\(p,q\)互質）：若\(q\)為奇數(shù)：定義域為\(\mathbb{R}\)（\(p>0\)，如\(y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}\)）或\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)（\(p<0\)，如\(y=x^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)）。若\(q\)為偶數(shù)：定義域為\([0,+\infty)\)（\(p>0\)，如\(y=x^{1/2}=\sqrt{x}\)）或\((0,+\infty)\)（\(p<0\)，如\(y=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)）。4.\(\alpha\)為無理數(shù)：定義域為\((0,+\infty)\)（如\(y=x^\pi\)，\(x>0\)）。注：定義域的核心邏輯是保證根號內非負、分母不為零。例如\(y=x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}\)，定義域為\(\mathbb{R}\)（因立方根對任意實數(shù)有定義）；而\(y=x^{3/2}=\sqrt{x^3}\)，定義域為\([0,+\infty)\)（因平方根要求被開方數(shù)非負）。二、冪函數(shù)的圖像與性質冪函數(shù)的圖像和性質主要由冪指數(shù)\(\alpha\)的符號（\(\alpha>0\)或\(\alpha<0\)）決定，以下分情況討論：（一）\(\alpha>0\)時的圖像與性質核心特征：圖像過原點\((0,0)\)和定點\((1,1)\)，在第一象限單調遞增。具體性質（以\(\alpha=1,2,1/2,1/3\)為例）：定義域：根據(jù)\(\alpha\)類型確定（如\(\alpha=1/2\)時，\(x\geq0\)）。值域：與定義域對應（如\(\alpha=2\)時，\(y\geq0\)；\(\alpha=1/3\)時，\(y\in\mathbb{R}\)）。奇偶性：\(\alpha\)為整數(shù)：奇數(shù)則奇函數(shù)（如\(y=x^3\)），偶數(shù)則偶函數(shù)（如\(y=x^2\)）。\(\alpha=\frac{p}{q}\)（\(q\)奇數(shù)）：\(p\)奇數(shù)則奇函數(shù)（如\(y=x^{1/3}\)），\(p\)偶數(shù)則偶函數(shù)（如\(y=x^{2/3}\)）。單調性：第一象限單調遞增（如\(y=x^{1/2}\)在\([0,+\infty)\)遞增）。（二）\(\alpha<0\)時的圖像與性質核心特征：圖像不過原點，過定點\((1,1)\)，在第一象限單調遞減。具體性質（以\(\alpha=-1,-2,-1/2\)為例）：定義域：\(x\neq0\)（如\(\alpha=-1\)時，\(x\neq0\)；\(\alpha=-1/2\)時，\(x>0\)）。值域：\(y>0\)（如\(y=x^{-1}=\frac{1}{x}\)，\(y\neq0\)）。奇偶性：\(\alpha\)為整數(shù)：奇數(shù)則奇函數(shù)（如\(y=x^{-1}\)），偶數(shù)則偶函數(shù)（如\(y=x^{-2}\)）。\(\alpha=\frac{p}{q}\)（\(q\)奇數(shù)）：\(p\)奇數(shù)則奇函數(shù)（如\(y=x^{-1/3}\)），\(p\)偶數(shù)則偶函數(shù)（如\(y=x^{-2/3}\)）。單調性：第一象限單調遞減（如\(y=x^{-1}\)在\((0,+\infty)\)遞減）。（三）關鍵定點所有冪函數(shù)（\(\alpha\neq0\)）都過定點\((1,1)\)（因\(1^\alpha=1\)）；當\(\alpha>0\)時，過原點\((0,0)\)（因\(0^\alpha=0\)）。三、常見特殊冪函數(shù)分析（一）正比例函數(shù)（\(\alpha=1\)）形式：\(y=x\)圖像：過原點的直線，斜率為1。性質：奇函數(shù)，定義域\(\mathbb{R}\)，值域\(\mathbb{R}\)，在\(\mathbb{R}\)上單調遞增。應用：物理中位移與時間的關系（\(s=vt\)，\(v\)為常數(shù)）。（二）反比例函數(shù)（\(\alpha=-1\)）形式：\(y=\frac{1}{x}\)圖像：雙曲線，分布在第一、三象限。性質：奇函數(shù)，定義域\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)，值域\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)，在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上單調遞減。應用：物理中速度與時間的關系（\(v=\frac{s}{t}\)，\(s\)為常數(shù)）。（三）二次函數(shù)（\(\alpha=2\)）形式：\(y=x^2\)圖像：拋物線，開口向上，頂點在原點。性質：偶函數(shù)，定義域\(\mathbb{R}\)，值域\([0,+\infty)\)，在\((-\infty,0]\)上單調遞減，在\([0,+\infty)\)上單調遞增。應用：物理中動能公式（\(E_k=\frac{1}{2}mv^2\)，\(m\)為常數(shù)）。（四）平方根函數(shù)（\(\alpha=1/2\)）形式：\(y=\sqrt{x}\)圖像：拋物線的一部分，位于第一象限，過原點。性質：非奇非偶，定義域\([0,+\infty)\)，值域\([0,+\infty)\)，在\([0,+\infty)\)上單調遞增。應用：幾何中正方形邊長與面積的關系（\(a=\sqrt{S}\)）。（五）立方根函數(shù)（\(\alpha=1/3\)）形式：\(y=\sqrt[3]{x}\)圖像：過原點的曲線，關于原點對稱。性質：奇函數(shù)，定義域\(\mathbb{R}\)，值域\(\mathbb{R}\)，在\(\mathbb{R}\)上單調遞增。應用：物理中物體體積與邊長的關系（\(a=\sqrt[3]{V}\)，如正方體）。四、冪函數(shù)的實際應用實例（一）物理中的冪函數(shù)模型動能公式：\(E_k=\frac{1}{2}mv^2\)（\(m\)為質量，\(v\)為速度）。這里\(v\)的指數(shù)為2，屬于二次冪函數(shù)，動能隨速度的平方增長。萬有引力公式：\(F=G\frac{Mm}{r^2}\)（\(G\)為引力常數(shù)，\(M,m\)為兩物體質量，\(r\)為距離）。\(r\)的指數(shù)為-2，引力隨距離的平方衰減。（二）經(jīng)濟中的冪函數(shù)模型需求函數(shù)：\(Q=kP^{-\alpha}\)（\(Q\)為需求量，\(P\)為價格，\(k>0\)，\(\alpha>0\)）。\(P\)的指數(shù)為-α，需求量隨價格的上升而下降（\(\alpha\)為需求彈性）。生產(chǎn)函數(shù)：\(Y=AK^\alphaL^{1-\alpha}\)（\(Y\)為產(chǎn)出，\(A\)為技術水平，\(K\)為資本，\(L\)為勞動）。這是柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，資本和勞動的指數(shù)之和為1（規(guī)模報酬不變）。（三）幾何中的冪函數(shù)模型正方形面積：\(S=a^2\)（\(a\)為邊長），指數(shù)為2。圓面積：\(S=\pir^2\)（\(r\)為半徑），指數(shù)為2。球體積：\(V=\frac{4}{3}\pir^3\)（\(r\)為半徑），指數(shù)為3。五、冪函數(shù)實訓題（一）基礎題（鞏固概念）1.求下列冪函數(shù)的定義域：（1）\(y=x^{3/4}\)；（2）\(y=x^{-2/3}\)；（3）\(y=x^\pi\)。答案：（1）\([0,+\infty)\)；（2）\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)；（3）\((0,+\infty)\)。2.判斷下列冪函數(shù)的奇偶性：（1）\(y=x^{5/3}\)；（2）\(y=x^{4/5}\)；（3）\(y=x^{-1/2}\)。答案：（1）奇函數(shù)（\(q=3\)奇數(shù)，\(p=5\)奇數(shù)）；（2）偶函數(shù)（\(q=5\)奇數(shù)，\(p=4\)偶數(shù)）；（3）非奇非偶（\(q=2\)偶數(shù)）。3.畫出\(y=x^{1/3}\)的圖像，并描述其性質。解析：圖像過原點和\((1,1)\)，關于原點對稱；定義域\(\mathbb{R}\)，值域\(\mathbb{R}\)，在\(\mathbb{R}\)上單調遞增。（二）提高題（深化理解）1.比較下列各組數(shù)的大?。海?）\(0.5^{2/3}\)與\(0.6^{2/3}\)；（2）\(2^{-1/2}\)與\(3^{-1/2}\)。解析：（1）\(y=x^{2/3}\)在\([0,+\infty)\)遞增，故\(0.5^{2/3}<0.6^{2/3}\)；（2）\(y=x^{-1/2}\)在\((0,+\infty)\)遞減，故\(2^{-1/2}>3^{-1/2}\)。2.求\(y=x^{2/3}\)的值域。解析：\(x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}\geq0\)，故值域為\([0,+\infty)\)。3.解不等式：\(\sqrt{x+1}>\sqrt{2x-1}\)。解析：\(y=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)遞增，故\(x+1>2x-1\)且\(x+1\geq0\)、\(2x-1\geq0\)，解得\(1/2\leqx<2\)。（三）應用題（解決實際問題）1.物理：物體下落距離物體自由下落的距離\(s\)（單位：米）與時間\(t\)（單位：秒）的關系為\(s=kt^{1/2}\)（\(k\)為常數(shù)）。已知\(t=4\)秒時，\(s=8\)米，求：（1）\(k\)的值；（2）\(t=9\)秒時的\(s\)。解析：（1）代入\(t=4\)、\(s=8\)，得\(8=k\cdot4^{1/2}=2k\)，故\(k=4\)；（2）\(s=4\cdot9^{1/2}=4\cdot3=12\)米。2.經(jīng)濟：需求函數(shù)某商品的需求函數(shù)為\(Q=100P^{-0.5}\)（\(Q\)為需求量，\(P\)為價格，單位：元）。求：（1）\(P=25\)時的需求量；（2）需求量為50時的價格。解析：（1）\(Q=100\cdot25^{-0.5}=100\cdot(1/5)=20\)；（2）\(50=100P^{-0.5}\)，解得\(P^{-0.5}=0.5\)，故\(P=(0.5)^{-2}=4\)元。3.幾何：正方形面積正方形的邊長\(a\)（單位：厘米）與面積\(S\)（單位：平方厘米）的關系為\(S=a^2\)。