第第頁第13講1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓中a，b，c，e的幾何意義。②會根據(jù)橢圓的方程解決橢圓的幾何性質(zhì)，會用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題。③會判斷點與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，會求直線與橢圓相交的弦長。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握橢圓的幾何量a，b，c，e的意義，會利用幾何量之間的關(guān)系，求相關(guān)幾何量的大小，會利用橢圓的幾何性質(zhì)解決與橢圓有關(guān)的點、弦、周長、面積等問題。知識點01：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝焦點焦距對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點離心率，【即學(xué)即練1】若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.知識點02：橢圓的簡單幾何性質(zhì)離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當(dāng)越接近1時，越接近，橢圓越扁；當(dāng)越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；當(dāng)且僅當(dāng)時，圖形為圓，方程為【即學(xué)即練2】已知橢圓E：的右焦點為，左頂點為，若E上的點P滿足軸，，則E的離心率為（

）A．B．C．D．知識點03：常用結(jié)論1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為：2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）3、橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2），，；（3）,，；知識點04：直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．【即學(xué)即練3】直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相離B．相切C．相交D．無法確定2、直線與橢圓的相交弦直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運(yùn)用）（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；（2）結(jié)論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標(biāo)為，則的斜率為運(yùn)用點差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故結(jié)論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：（3）.已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，．求：的面積（用、、表示）．設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·①由橢圓定義知：②，則得故【即學(xué)即練4】通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（

）A．B．3C．D．6題型01根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)【例1】橢圓與橢圓的（

）A．長軸相等B．短軸相等C．焦距相等D．長軸、短軸、焦距均不相等【例2】已知P點是橢圓上的動點，A點坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A．B．C．D．【變式1】已知橢圓的離心率為，下頂點為，點為上的任意一點，則的最大值是（

）A．B．C．D．【變式2】橢圓的焦距為4，則m的值為．題型02根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（

）A．B．C．D．【變式1】過點且與橢圓有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）．A．B．C．D．【變式2】“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（

）A．B．C．D．題型03求橢圓的離心率的值【例1】油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，某活動中將一把油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示.該傘的傘面是一個半徑為的圓形平面，圓心到傘柄底端距離為2，當(dāng)光線與地面夾角為時，傘面在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，該橢圓的離心率（

）

A．B．C．D．【例2】已知橢圓的左頂點為，點是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點.若直線的斜率之積為，則的離心率為（

）A．B．C．D．【變式1】已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（

）A．B．C．D．【變式2】已知，分別是橢圓：（）的左，右焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為（

）A．B．C．D．題型04求橢圓的離心率的最值或范圍【例1】點為橢圓的右頂點，為橢圓上一點（不與重合），若（是坐標(biāo)原點），則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【例2】已知橢圓上一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為橢圓右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是.【變式1】已知c是橢圓）的半焦距，則取最大值時橢圓的離心率是（

）A．B．C．D．【變式2】已知點，為橢圓上的兩點，點滿足，則的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．題型05根據(jù)橢圓離心率求參數(shù)【例1】設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A．B．C．D．【例2】橢圓（）的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A．B．C．D．【例3】橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內(nèi)切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是【變式1】已知橢圓的離心率，則的值可能是（

）A．3B．7C．3或D．7或【變式2】設(shè)，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的取值范圍是.題型06直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（

）A．相交B．相切C．相離D．不確定【變式1】已知以為焦點的橢圓與直線有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為（

）A．B．C．D．【變式2】已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍（

）A．B．C．D．題型07直線與橢圓相切【例1】已知過圓錐曲線上一點的切線方程為.過橢圓上的點作橢圓的切線，則過點且與直線垂直的直線方程為（

）A．B．C．D．【例2】已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，則橢圓上的一動點M到直線AB距離的最大值為．【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，動點在橢圓上運(yùn)動，則點到直線的距離的最大值為．題型08弦長【例1】已知橢圓，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為．【例2】已知橢圓C的兩個焦點分別是，，并且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓C相交于A，B兩點，當(dāng)線段AB的長度最大時，求直線l的方程．【變式1】已知點，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓E的方程：(2)設(shè)過橢圓的左焦點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩、，求的長．題型09中點弦和點差法【例1】已知橢圓C：，過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若點P恰為弦AB的中點，則直線l的斜率是（

）A．B．C．D．【例2】直線截橢圓所得弦的中點M與橢圓中心連線的斜率為．【例3】中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．【變式1】已知橢圓四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且線段的中點為，則橢圓C的方程是（

）A．B．C．D．【變式2】直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．【變式3】直線不與軸重合，經(jīng)過點，橢圓上存在兩點、關(guān)于對稱，中點的橫坐標(biāo)為.若，則橢圓的離心率為.題型10橢圓中三角形面積問題【例1】已知橢圓的離心率為，其左焦點為.直線交橢圓于不同的兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求的面積.【變式1】已知是橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于兩點（異于點），當(dāng)直線的斜率不存在時，．(1)求橢圓C的方程；(2)求面積的取值范圍．【變式2】已知圓，點是圓上的動點，是拋物線的焦點，為的中點，過作交于，記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過的直線交曲線于點、，若的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．課后鞏固練習(xí)一、單選題1．橢圓的焦點坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．2．已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則的離心率為（

）A．B．C．D．3．橢圓和（

）A．長軸長相等B．短軸長相等C．焦距相等D．頂點相同4．關(guān)于橢圓C：，有下面四個命題：甲：長軸長為4；乙：短軸長為2；丙：離心率為；?。海绻挥幸粋€假命題，則該命題是（

）A．甲B．乙C．丙D．丁5．已知分別為橢圓的兩個焦點，且的離心率為為橢圓上的一點，則的周長為（

）A．6B．9C．12D．156．橢圓中，點為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（

）A．B．C．D．7．過橢圓的中心作直線與橢圓交于A、B兩點，為橢圓的左焦點，則面積的最大值為（

）A．6B．12C．24D．488．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，圓：，點P和點B分別為橢圓C和圓A上的動點，當(dāng)取最小值3時，的面積為（

）A．B．C．2D．二、填空題9．橢圓上的點到直線:的距離的最小值為．10．過橢圓：的右焦點且傾斜角為的直線被橢圓截得的弦長為三、解答題11．已知是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，如果是直角三角形，求點的坐標(biāo)．12．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線交橢圓于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．B能力提升1．設(shè)橢圓的左右焦點分別為，，是橢圓上不與頂點重合的一點，記為的內(nèi)心．直線交軸于點，，且，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．2．已知橢圓方程為，為橢圓內(nèi)一點，以為中點的弦與橢圓交于點，與軸交于點，線段的中垂線與軸交于點，當(dāng)面積最小時，橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．第13講1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)隨堂檢測1.橢圓的長軸長、短軸長、離心率依次是（

）A．B．C．D．2.若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（

）A．6B．或C．D．或3.已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為（

）A．B．C．或D．4.若直線與橢圓有且只有一公共點，那么的值為（

）A．B．C．D．5.已知橢圓的右焦點為，過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于兩點，點位于第一象限，直線與橢圓另交于點，且，若，，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．6.橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A．B．C．D．7.若橢圓的弦AB被點平分，則AB所在直線的方程為（

）A．B．C．D．8.已知是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，若，則該橢圓的離心率是（

）A．B．C．D．9.若橢圓上存在點，使得到橢圓兩個焦點的距離之比為，則稱該橢圓為“倍徑橢圓”.則“倍徑橢圓”的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．10.已知橢圓焦點在軸，它與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.11.若橢圓的焦點在軸上，且與橢圓：的離心率相同，則橢圓的一個標(biāo)準(zhǔn)方