第1講平面向量的概念及線性運算復習要點1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義．一向量的有關概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模)零向量長度為0的向量叫做零向量，其方向是不確定的，零向量記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量二向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb三共線向量定理1．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.2．若a為非零向量，a0為其單位向量，則有a＝|a|·a0或a0＝eq\f(a,|a|).常/用/結/論1．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．2．已知eq\o(OA,\s\up15(→))＝λeq\o(OB,\s\up15(→))＋μeq\o(OC,\s\up15(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.1．判斷下列結論是否正確．(1)向量就是有向線段．()(2)零向量沒有方向．()(3)若向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up15(→))與向量eq\o(CD,\s\up15(→))是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．()2．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若a＋b＝0，則a＝－b，則a∥b，即充分性成立；若a∥b，但a＝－b不一定成立，即必要性不成立，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件．答案：A3．(多選)下列命題中，正確的是()A．若a與b都是單位向量，則a＝bB．直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量C．若用有向線段表示的向量Aeq\o(M,\s\up15(→))與Aeq\o(N,\s\up15(→))不相等，則點M與點N不重合D．海拔、溫度、角度都不是向量解析：A錯誤，由于單位向量長度相等，但是方向不確定；B錯誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；C正確，由于向量起點相同，但長度不相等，所以終點不同；D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量．答案：CD4．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與3a－b共線，則λ＝________.解析：方法一：設a＋λb＝k(3a－b)＝3ka－kb，∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－eq\f(1,3).方法二(特值法)：設a＝(1,0)，b＝(0,1)，則a＋λb＝(1，λ)，3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)題型向量基本概念的理解典例1(1)(多選)給出下列命題，錯誤的有()A．若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同只強調模和方向相同．B．若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形C．a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b平行不代表方向相同．D．已知λ，μ為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線若λ，μ取最特殊的實數(shù)呢？(2)設a，b都是非零向量，下列四個條件，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要條件是()兩個單位向量相等，說明方向相同．A．a＝b B．a＝2bC．a∥b且|a|＝|b| D．a，b方向相同解析：(1)A錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；B正確，因為eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，所以|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(DC,\s\up15(→))|且eq\o(AB,\s\up15(→))∥eq\o(DC,\s\up15(→))，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；D錯誤，當λ＝μ＝0時，若a，b共線，則λa和μb也共線，但是若λa，μb共線，則不一定a，b共線．a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．故選ACD．(2)eq\f(a,|a|)表示a方向上的單位向量，eq\f(b,|b|)表示b方向上的單位向量，因此eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)的充要條件是a與b同向．故選D．平面向量有關概念的四個關注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練1(多選)(2024·山東煙臺月考)給出下列命題，其中敘述錯誤的命題為()A．向量eq\o(AB,\s\up15(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up15(→))的長度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．|a|＋|b|＝|a－b|?a與b方向相反D．若非零向量a與非零向量b的方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同解析：A正確，eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BA,\s\up15(→))是相反向量，長度相等；B，C錯誤，當a，b其中之一為0時，不成立；D錯誤，當a＋b＝0時，不成立．故選BCD．答案：BCD題型向量線性運算的多維研討維度1向量加、減法的幾何意義典例2設非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則()兩對角線的長相等的平行四邊形是什么圖形？A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|解析：方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.方法二：在?ABCD中，連接AC，BD(圖略)，設Aeq\o(B,\s\up15(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up15(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝|Deq\o(B,\s\up15(→))|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選A．向量加減的常用法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．對點練2(1)(2024·山東青島二中月考)若|Aeq\o(B,\s\up15(→))|＝|Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝|Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝2，則|Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝________.(2)(2024·山東濰坊高三期末)如圖所示，O為坐標原點，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G是正弦函數(shù)y＝sinx圖象上的七個點，且在A，C兩點函數(shù)值最大，在B，D兩點函數(shù)值最小，E，F(xiàn)，G是函數(shù)的圖象與x軸的交點，則(Oeq\o(A,\s\up15(→))＋Oeq\o(B,\s\up15(→)))·(Oeq\o(C,\s\up15(→))＋Oeq\o(D,\s\up15(→)))＝________.解析：(1)因為|Aeq\o(B,\s\up15(→))|＝|Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝|Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以|Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(C,\s\up15(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(C,\s\up15(→))|＝2eq\r(3).(2)易知eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝2eq\o(OE,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝2eq\o(OG,\s\up15(→))，∴(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))·(Oeq\o(C,\s\up15(→))＋Oeq\o(D,\s\up15(→)))＝4Oeq\o(E,\s\up15(→))·Oeq\o(G,\s\up15(→))＝4|Oeq\o(E,\s\up15(→))|·|Oeq\o(G,\s\up15(→))|·cos0＝12π2.答案：(1)2eq\r(3)(2)12π2維度2向量的線性運算典例3(多選)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC邊上一點，且Beq\o(C,\s\up15(→))＝3Eeq\o(C,\s\up15(→))，F(xiàn)是AE的中點，則下列關系式正確的是()A．Beq\o(C,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(D,\s\up15(→))B．Aeq\o(F,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))C．Beq\o(F,\s\up15(→))＝－eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))D．Ceq\o(F,\s\up15(→))＝－eq\f(1,6)Aeq\o(B,\s\up15(→))－eq\f(2,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))觀察四個選項，以Aeq\o(B,\s\up15(→))，Aeq\o(D,\s\up15(→))為基底，先表示Beq\o(C,\s\up15(→))，進而得Aeq\o(E,\s\up15(→)).解析：因為Beq\o(C,\s\up15(→))＝Beq\o(A,\s\up15(→))＋Aeq\o(D,\s\up15(→))＋Deq\o(C,\s\up15(→))＝－Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(D,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(D,\s\up15(→))，多邊形法則．所以A正確；因為Aeq\o(F,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)Aeq\o(E,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Beq\o(E,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up15(→))＋\f(2,3)B\o(C,\s\up15(→))))，而Beq\o(C,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋Aeq\o(D,\s\up15(→))，代入可得Aeq\o(F,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))，所以B正確；因為Beq\o(F,\s\up15(→))＝Aeq\o(F,\s\up15(→))－Aeq\o(B,\s\up15(→))，而Aeq\o(F,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))，代入得Beq\o(F,\s\up15(→))＝－eq\f(2,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))，所以C不正確；因為Ceq\o(F,\s\up15(→))＝Ceq\o(D,\s\up15(→))＋Deq\o(A,\s\up15(→))＋Aeq\o(F,\s\up15(→))＝由已知向量表示未知向量．－eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up15(→))－Aeq\o(D,\s\up15(→))＋Aeq\o(F,\s\up15(→))，而Aeq\o(F,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))，代入得Ceq\o(F,\s\up15(→))＝－eq\f(1,6)Aeq\o(B,\s\up15(→))－eq\f(2,3)Aeq\o(D,\s\up15(→))，所以D正確．故選ABD．向量線性運算的解題策略(1)用幾個基本向量表示某個向量問題的一般步驟：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(3)利用向量的線性運算求參數(shù)的步驟：先通過向量的線性運算用兩個不共線的向量表示有關向量，然后對比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解．對點練3(1)(2024·河北質檢)在△ABC中，O為△ABC的重心．若eq\o(BO,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→))，則λ－2μ＝()A．－eq\f(1,2) B．－1C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)(2)(2024·遼寧大連模擬)在△ABC中，Aeq\o(D,\s\up15(→))＝2Deq\o(B,\s\up15(→))，Aeq\o(E,\s\up15(→))＝2Eeq\o(C,\s\up15(→))，P為線段DE上的動點，若Aeq\o(P,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→))，λ，μ∈R，則λ＋μ＝()A．1 B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,2) D．2解析：(1)如圖，連接BO并延長交AC于點M，∵點O為△ABC的重心，∴M為AC的中點，∴eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BA,\s\up15(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，又知eq\o(BO,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))＋μeq\o(AC,\s\up15(→))，∴λ＝－eq\f(2,3)，μ＝eq\f(1,3)，∴λ－2μ＝－eq\f(2,3)－2×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3)，故選D．(2)如圖所示，由題意知，Aeq\o(E,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)Aeq\o(C,\s\up15(→))，Aeq\o(D,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)Aeq\o(B,\s\up15(→))，設Deq\o(P,\s\up15(→))＝xeq\o(DE,\s\up15(→))，所以Aeq\o(P,\s\up15(→))＝Aeq\o(D,\s\up15(→))＋Deq\o(P,\s\up15(→))＝Aeq\o(D,\s\up15(→))＋xeq\o(DE,\s\up15(→))＝Aeq\o(D,\s\up15(→))＋x(Aeq\o(E,\s\up15(→))－Aeq\o(D,\s\up15(→)))＝xeq\o(AE,\s\up15(→))＋(1－x)Aeq\o(D,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)xeq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)(1－x)eq\o(AB,\s\up15(→))，所以μ＝eq\f(2,3)x，λ＝eq\f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)(1－x)＝eq\f(2,3).故選B．答案：(1)D(2)B題型共線向量定理應用的多維研討維度1利用共線向量定理求參數(shù)的值典例4已知a，b是兩個不共線的向量，向量b－ta，eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共線，求實數(shù)t的值．解：由a，b不共線，易知向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b為非零向量．由向量b－ta，eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共線，可知存在實數(shù)λ，使得b－ta＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(3,2)b))，共線向量定理．即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)λ))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)λ＋1))b.由a，b不共線，必有t＋eq\f(1,2)λ＝eq\f(3,2)λ＋1＝0.a，b不共線，但兩式相等，只有一種可能，即系數(shù)都是0.否則，不妨設t＋eq\f(1,2)λ≠0，則a＝eq\f(\f(3,2)λ＋1,t＋\f(1,2)λ)b.由兩個向量共線的充要條件知，a，b共線，與已知矛盾．所以由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)λ＝0，,\f(3,2)λ＋1＝0，))解得t＝eq\f(1,3).因此，當向量b－ta，eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共線時，t＝eq\f(1,3).另一種計算，以a，b為基底的條件下，兩向量共線?系數(shù)對應成比例．向量共線的兩種情況對點練4(2024·河南鄭州模擬)如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近點A的三等分點，點P在線段BN上且eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up15(→))，則實數(shù)m的值為()A．1 B．eq\f(1,3)C．eq\f(9,11) D．eq\f(5,11)解析：eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,11)))eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝meq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up15(→))，設eq\o(BP,\s\up15(→))＝λeq\o(BN,\s\up15(→))(0≤λ≤1)，則eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋λeq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up15(→))＋λeq\o(AN,\s\up15(→))，因為eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up15(→))，所以eq\o(AP,\s\up15(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up15(→))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1－λ，,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,11)，,m＝\f(5,11).))故選D．答案：D維度2三點共線問題典例5已知O，A，B是不共線的三點，且Oeq\o(P,\s\up15(→))＝meq\o(OA,\s\up15(→))＋neq\o(OB,\s\up15(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)若m＋n＝1，則Oeq\o(P,\s\up15(→))＝meq\o(OA,\s\up15(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋m(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))，∴eq\o(OP,\s\up15(→))－Oeq\o(B,\s\up15(→))＝m(eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))，即eq\o(BP,\s\up15(→))＝meq\o(BA,\s\up15(→))，∴eq\o(BP,\s\up15(→))與Beq\o(A,\s\up15(→))共線．由線性運算，最終轉化為三個點形成的兩個向量的線性關系．又∵Beq\o(P,\s\up15(→))與Beq\o(A,\s\up15(→))有公共點B，∴A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使Beq\o(P,\s\up15(→))＝λeq\o(BA,\s\up15(→))，轉化為兩個向量的線性關系，引入參數(shù)λ.∴Oeq\o(P,\s\up15(→))－Oeq\o(B,\s\up15(→))＝λ(Oeq\o(A,\s\up15(→))－Oeq\o(B,\s\up15(→)))．把Beq\o(P,\s\up15(→))和Beq\o(A,\s\up15(→))寫成以O為始點的向量的形式．又Oeq\o(P,\s\up15(→))＝meq\o(OA,\s\up15(→))＋neq\o(OB,\s\up15(→))，故有meq\o(OA,\s\up15(→))＋(n－1)Oeq\o(B,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))－λeq\o(OB,\s\up15(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up15(→))＋(n＋λ－1)Oeq\o(B,\s\up15(→))＝0.∵O，A，B三點不共線，∴Oeq\o(A,\s\up15(→))，Oeq\o(B,\s\up15(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.1．三點共線問題可轉化為向量共線問題來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．根據A，B，C三點共線求參數(shù)問題，只需將問題轉化為eq\o(AC,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))，再利用對應系數(shù)相等列出方程(組)，進而解出系數(shù)．2．三點共線的一個常用結論：A，B，C三點共線?存在實數(shù)λ，μ對平面內任意一點O(O不在直線BC上)滿足eq\o(OA,\s\up15(→))＝λeq\o(OB,\s\up15(→))