1.1菱形的性質(zhì)與判定學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形必定是（

）A．菱形 B．對角線相互垂直的四邊形C．正方形 D．對角線相等的四邊形2．如圖，菱形中，，，則菱形的周長為（

）

A．48 B．40 C．24 D．203．如圖，兩個相同的菱形拼接在一起，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)F；分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；連結(jié)并延長，交于點(diǎn)E．連結(jié)，若，則的長為（）A．5 B．8 C．12 D．105．如圖，四邊形中，，，連接，那么的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．如圖，四邊形是菱形，，且，為對角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)取最小值時的長（

）A． B．3 C．1 D．27．如圖，在菱形中，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上．若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．9．菱形相鄰兩角的比為，那么菱形的對角線長與邊長的比為（）A． B． C． D．10．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長為（

）

A．16 B．15 C．14 D．1311．如圖，和是菱形外的兩個等邊三角形，連接則的最大值為（

）A． B． C．3 D．12．下列命題中，正確的是（

）A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．菱形的對角線相等C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對稱圖形二、填空題13．如圖，方格紙中有一個四邊形（A，B，C，D均為格點(diǎn)）若方格紙中每個最小正方形的邊長為1，則該四邊形的面積為．

14．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，若以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，AB所在直線為x軸，點(diǎn)B（2，0），當(dāng)BP＋取最小值時，在下列結(jié)論中：①CP=2AP；②△APD是等腰三角形；③點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，）；④直線BP的解析式是y=－x＋．其中正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號）．15．如圖，菱形的周長為20，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接，則．16．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段及其延長線上，且，給出下列條件：①；②；③：從中選擇一個條件使四邊形是菱形，你認(rèn)為這個條件是（只填寫序號）．17．如圖，菱形的兩條對角線、相交于點(diǎn)，，，則菱形的面積為．三、解答題18．如圖，菱形的對角線相交于點(diǎn)，求菱形的高．19．如圖，在菱形中，，．過點(diǎn)作對角線的平行線與邊的延長線相交于點(diǎn)，為邊上的一個動點(diǎn)（不與端點(diǎn)，重合），連接，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)求四邊形的周長和面積．(3)記的周長和面積分別為和，的周長和面積分別為和，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①，②，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．20．如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，且，連接交于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求菱形的面積．21．如圖，在菱形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)G．求證：．22．如圖，已知菱形的邊長為，，求這個菱形的兩條對角線的長．23．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)試探究BE滿足什么條件時，∠EFD＝∠BCD，并說明理由．24．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=BC=6cm，∠ADC=60°，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線DA運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB運(yùn)動，連接CE、CF和EF，設(shè)運(yùn)動時間為t(s)．(1)當(dāng)t=3s時，連接AC與EF交于點(diǎn)G，如圖①所示，則EF=________；(2)當(dāng)E、F分別在線段AD和AB上時，如圖②所示，①求證：△CEF是等邊三角形；②連接BD交CE于點(diǎn)G，若BG=BC，求EF的長和此時的t值．(3)當(dāng)E、F分別運(yùn)動到DA和AB的延長線上時，如圖③所示，若EF=3cm，直接寫出此時t的值．參考答案題號12345678910答案DDADBDDDDA題號1112答案DA1．D【分析】根據(jù)四邊形為菱形得到，由三角形的中位線定理得到，；，，得出，即可得到答案．【詳解】解：連接、交于點(diǎn)，

四邊形是菱形，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，是三角形的中位線，，，同理，，，，四邊形必定是對角線相等的四邊形．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理．這類題的一般解法是：借助圖形，充分抓住已知條件，找準(zhǔn)問題的突破口，由淺入深多角度，多側(cè)面探尋，聯(lián)想符合題設(shè)的有關(guān)知識，合理組合發(fā)現(xiàn)的新結(jié)論，圍繞所探結(jié)論環(huán)環(huán)相加，步步逼近，所探結(jié)論便會被“逼出來”．2．D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識．由菱形的性質(zhì)得到，，由勾股定理求出，即可得到菱形的周長．【詳解】解：，四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∴菱形的周長為，故選：D．3．A【分析】根據(jù)菱形對角線平分一組對角求出，再根據(jù)菱形鄰角互補(bǔ)求出，由此即可利用周角的定義求出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形對角線平分一組對角，菱形鄰角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】連接，設(shè)交于點(diǎn)O．證明四邊形是菱形，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)O．由作圖可知：平分，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴∴在中，．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】先證明四邊形是菱形，得到，再求出即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形中，，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，熟知菱形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，當(dāng)E,F,G,C共線時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長．【詳解】解：如圖：∵將ΔABG繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到ΔEBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴ΔBFG是等邊三角形，∴BF=BG=FG，∴AG+BG+CG=EF+FG+CG，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)E,F,G,C共線時，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長，過E點(diǎn)作EH⊥BC交CB的延長線于H，如上圖所示：∴∠EBH=60°，∵，∴，EH=3，∴EC=2EH=6，∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的對角線平分一組對角．根據(jù)菱形的對角線平分一組對角即可求解．【詳解】解：在菱形中，，，故選：D．8．D【分析】先利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，，四邊形是菱形，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，即為4，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得菱形的兩內(nèi)角，設(shè)菱形的邊長為1，根據(jù)勾股定理求得其兩條對角線的長，從而可得到其比值．【詳解】因?yàn)榱庑蜗噜彽膬山腔パa(bǔ)，所以得到較小的角的度數(shù)是，較大的角是．設(shè)菱形的邊長為1，則角所對的對角線長為1，角所對的對角線長是，所以它們所對的對角線長與邊長的比為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是求出菱形的兩個內(nèi)角的度數(shù)．10．A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得；然后通過證明得到四邊形為平行四邊形，再由推出四邊形為菱形；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得、、，利用勾股定理計(jì)算出的長，進(jìn)而可得的長．【詳解】解：如圖，是的角平分線，．四邊形是平行四邊形，，，，，同理可得，四邊形為平行四邊形．，四邊形為菱形．，，．在中，，．故選：C．

【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理，掌握兩種四邊形的性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．11．D【分析】作于M，作于點(diǎn)N，連接，當(dāng)點(diǎn)E，M，N，F(xiàn)共線時，取得最大值，即此時的值最大．設(shè)菱形的邊長為2，求出，，，證明四邊形是平行四邊形，求出，進(jìn)而可求出的最大值．【詳解】解：作于M，作于點(diǎn)N，連接，∵，∴當(dāng)點(diǎn)E，M，N，F(xiàn)共線時，取得最大值，即此時的值最大．設(shè)菱形的邊長為2，∵和是菱形外的兩個等邊三角形，∴，，，∵，∴，，同理可求：，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴的最大值為∶．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．12．A【詳解】解：A．兩點(diǎn)之間，線段最短，故本選項(xiàng)命題正確，符合題意；B．菱形的對角線互相垂直，但不一定相等，故本選項(xiàng)命題錯誤，不符合題意；C．正五邊形的外角和為，故本選項(xiàng)命題錯誤，不符合題意；D．直角三角形不一定是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)命題錯誤，不符合題意．13．12【分析】先證明四邊形是菱形，再由圖可知菱形的兩對角線分別為6、4，根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式可求解．【詳解】由網(wǎng)格圖可知，即四邊形是菱形，由圖可得，菱形的兩對角線長分別為6、4，則該菱形的面積為．故答案為：12．【點(diǎn)睛】主要考查菱形的面積公式：對角線的積的一半，還考查了學(xué)生的讀圖能力．14．①②④【分析】過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)P'，過點(diǎn)P'作P'J⊥AB于點(diǎn)J，過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時，的值最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CP'=2P'B，再證得AP'=P'B，可得CP'=2AP'，故①正確；連接DP'，由菱形的對稱性得P'D=P'B=P′A，故②正確；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到P'A=2AJ=2，進(jìn)而得到，可得到點(diǎn)，故③錯誤；利用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，可得④正確，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)P'，過點(diǎn)P'作P'J⊥AB于點(diǎn)J，過點(diǎn)P作PQ⊥AD于點(diǎn)Q．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥CB，AC平分∠DAB，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，∴，∵PQ⊥AD，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P'重合時，的值最小，最小值為BH的長，∵AD∥CB，∴P'B⊥CB，∵∠BCA=30°，∴CP'=2P'B，∵∠AHB=90°，∠BAD=60°，∴∠ABH=30°，∴∠AP'B=∠BAP'，∴AP'=P'B，∴CP'=2AP'，故①正確；連接DP'，由菱形的對稱性得P'D=P'B=P′A，∴△P'AD是等腰三角形，故②正確；∵P'A=P'B，P'J⊥AB，∴，∵∠BAC=30°，∴P'A=2AJ=2，∴，∴點(diǎn)，故③錯誤；設(shè)直線BP的解析式為，，解得：，∴直線BP的解析式為，故④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出，再證是的中位線，即可得出答案．【詳解】解：∵菱形的周長為20，∴，∵E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，故答案為：．16．②【分析】根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段及其延長線上，且，即可證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可作出判斷．【詳解】解：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，①時，四邊形是矩形，不一定是菱形；②時，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴是的垂直平分線，∴，∴平行四邊形是菱形；③四邊形是平行四邊形，則一定成立，故不一定是菱形．故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，垂直平分線的性質(zhì)．菱形的判定常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．理解和掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．17．【分析】本題考查了菱形的面積，根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可求解，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，，∴，故答案為：．18．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，先根據(jù)菱形對角線互相垂直平分得到的長，以及，再利用勾股定理求出的長，最后利用菱形面積計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，且對角線相交于點(diǎn)O，∴，∴，∵是菱形的高，∴，∴．19．(1)見解析(2)的周長為：，的面積為：；(3)①；②的值為定值，這個定值為；【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)得：，由兩組對邊分別平行的四邊形可得結(jié)論；（2）設(shè)對角線與相交于點(diǎn)．根據(jù)直角三角形角的性質(zhì)得的長，由勾股定理得的長和的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得其周長和面積；（3）①先根據(jù)三角形的周長計(jì)算，確定的最大值和最小值即可；根據(jù)軸對稱的最短路徑問題可得：當(dāng)在處時，的值最小，最小值是，由圖形可知：當(dāng)在點(diǎn)處時，的值最大，構(gòu)建直角三角形計(jì)算即可；②的值為定值，這個定值為，根據(jù)面積公式可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，即．∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：設(shè)對角線與相交于點(diǎn)．∵四邊形是菱形，，∴．在中，，∴．∴．∴的周長為：，的面積為：；（3）①∵，∵和關(guān)于直線對稱，∴當(dāng)在處時，的值最小，最小值是，當(dāng)在點(diǎn)處時，的值最大，如圖，過作，交的延長線于，∵，∴，∵，∴，中，，由勾股定理得：，∴的最大值是：，∵為邊上的一個動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），∴，即；②的值為定值，這個定值為；理由是：．【點(diǎn)睛】考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形度角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積和周長公式，解（1）的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，解（2）的關(guān)鍵是計(jì)算和的長，解（3）的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)建直角三角形．20．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形對角線互相垂直且平分．（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出，證出，由得出，即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，根據(jù)菱形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形為菱形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴菱形的面積．21．見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握菱形的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再通過證明即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴．22．，【分析】先由菱形的性質(zhì)得，，，，，再求，證明是等邊三角形，即可求得長，然后由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出的長，進(jìn)而可求對角線的長．【詳解】解：設(shè)對角線、相交于點(diǎn)，如圖，∵菱形，∴，，，，，∴，∴，是等邊三角形，∴∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；對角線互相垂直平分；每條對角線平分一組對角．23．(1)見解析(2)當(dāng)BE⊥CD時，∠EFD＝∠BCD，理由見解析【分析】（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，由平行線的性質(zhì)可得∠CAD=∠ACD，再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，再由條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是姜形；(2)首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進(jìn)而得到∠EFD=∠BCD【詳解】（1）證明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC(SSS)．∴∠BAC＝∠DAC．∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD．∴∠DAC＝∠ACD．∴AD＝CD．∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD．∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：當(dāng)BE⊥CD時，∠EFD＝∠BCD．理由：由(1)知四邊形ABCD為菱形，∴∠BCF＝∠DCF．在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF(SAS)．∴∠CBF＝∠CDF．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°．∴∠BCD+∠CBF＝∠EFD+∠CDF＝90°∴∠EFD＝∠BCD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，同角或等角的余角相等，靈活運(yùn)用三角形全等的判定及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24．(1)3(2)①見解析；②EF=（9?3）cm，t=（6-6）s．(3)t=(3+3)s．【分析】（1）由條件可知△ADC，△ABC都是等邊三角形，證明CE=CF，AE=AF，可得出AC垂直平分線段EF，由30°直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）①只要證明△DCE≌△ACF，得出CE=CF，∠DCE=∠ACF，可得出∠ECF=60°，則結(jié)論得證；②連接AC，交BD于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EN⊥CD，垂足為N，由BD=2BO求出BD長，證明DE=DG，可求出DE長，則t的值可求出，在Rt△DEN中，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出EN=9-3，在Rt△ECN中可得∠ECN=45°，求出CE的長，則CE=EF可求出；（3）作CH⊥AB于H．先求出BH=3，CH=3，在Rt△CFH中，由勾股定理可求出HF，則BF和AF可求出．【詳解】（1）解：如圖①中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC=6cm，∠ADC=60°，∴四邊形ABCD是菱形，∴DA=DC=AB=BC，∴△A