11第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

將任意連續(xù)信號(hào)分解成沖激函數(shù)的加權(quán)積分。引言在時(shí)域分析中，

將任意離散信號(hào)分解成單位樣值序列的加權(quán)和。

將信號(hào)分解為不同頻率正弦分量的線性組合，

引言在頻域分析中，

用頻譜分析的觀點(diǎn)來對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行分析，稱為信號(hào)的頻譜分析。稱為系統(tǒng)的頻域分析法或傅里葉變換分析法。分解的思想引言讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉法國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家。（1768-1830）經(jīng)典著作：《熱的解析理論》研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論：傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的函數(shù)表示為正弦基函數(shù)的線性組合或積分。命名紀(jì)念

傅里葉變換廣泛應(yīng)用在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、

統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域。引言讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉法國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家。（1768-1830）經(jīng)典著作：《熱的解析理論》研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論：傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)命名紀(jì)念極度癡迷熱學(xué)，認(rèn)為熱能包治百病，在夏天，關(guān)閉門窗，穿著厚厚的衣服，坐在火爐旁，最終被活活熱死。科學(xué)地認(rèn)識(shí)世界，理性地面對(duì)生活信號(hào)的分解+換個(gè)角度認(rèn)識(shí)信號(hào)77

4.1信號(hào)的正交分解主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院737472三原色紅綠藍(lán)色彩的合成4.1信號(hào)的正交分解=++灰色三原色紅綠藍(lán)色彩的合成4.1信號(hào)的正交分解=++紫色13913012復(fù)雜信號(hào)也可以分解為簡(jiǎn)單基本信號(hào)的和。4.1信號(hào)的正交分解13913012基本信號(hào)1基本信號(hào)2基本信號(hào)3復(fù)雜信號(hào)=+++如何確定各基本信號(hào)呢？一、矢量正交與正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)與Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定義：其內(nèi)積為0。即由兩兩正交的矢量組成的矢量集合---稱為正交矢量集。4.1信號(hào)的正交分解正交如三維空間中，以矢量vx=（1，0，0）、vy=（0，1，0）、vz=（0，0，1)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。一個(gè)三維空間的矢量A=(2，5，8)，可以用一個(gè)三維正交矢量集{vx，vy，vz}分量的線性組合表示：4.1信號(hào)的正交分解在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間。使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。

A=2vx+5vy+8vz

二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1、

信號(hào)正交：

即兩函數(shù)的內(nèi)積為04.1信號(hào)的正交分解定義在區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)和,若滿足則稱和

在區(qū)間內(nèi)正交。2、

正交函數(shù)集：

4.1信號(hào)的正交分解若個(gè)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間的正交函數(shù)集。3、

完備正交函數(shù)集：

則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。4.1信號(hào)的正交分解如果在正交函數(shù)集

之外，不存在函數(shù)

滿足=+++4.1信號(hào)的正交分解三角函數(shù)集：虛指數(shù)函數(shù)集：是區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集基本信號(hào)應(yīng)構(gòu)成三、信號(hào)的正交分解是嗎？三角函數(shù)集：完備正交函數(shù)集的證明三角函數(shù)集：此正交函數(shù)集包括無窮多項(xiàng)，它是完備的正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集的證明此正交函數(shù)集包括無窮多項(xiàng)，它是完備的正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集的證明虛指數(shù)函數(shù)集：=+++4.1信號(hào)的正交分解三角函數(shù)集：虛指數(shù)函數(shù)集：是區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。完備正交函數(shù)集基本信號(hào)應(yīng)構(gòu)成三、信號(hào)的正交分解4.1信號(hào)的正交分解=+++選取原則：使等式兩邊的均方誤差最小。系數(shù)如何確定?均方誤差：

=0

展開被積函數(shù)，注意到:①由序號(hào)不同的正交函數(shù)相乘的各項(xiàng)，其積分均為零，②所有不包含Ci

的各項(xiàng)對(duì)Ci

求導(dǎo)也等于零。則上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫為：4.1信號(hào)的正交分解=0求得4.1信號(hào)的正交分解=+++=+++當(dāng)時(shí)(為完備正交函數(shù)集)，均方誤差為零。帕斯瓦爾公式表明：在區(qū)間信號(hào)包含的能量恒等于在

完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。信號(hào)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)的和。4.1信號(hào)的正交分解4.1信號(hào)的正交分解三角函數(shù)集：虛指數(shù)函數(shù)集：是區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。

信號(hào)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)的和。

兩個(gè)完備正交函數(shù)集

總結(jié)：2626

4.2傅里葉級(jí)數(shù)主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院三角函數(shù)集：虛指數(shù)函數(shù)集：是區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。

信號(hào)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)的和。

兩個(gè)完備正交函數(shù)集

回顧：

若完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集，則周期信號(hào)展開的無窮級(jí)數(shù)就稱為“三角型傅里葉級(jí)數(shù)”。

若完備的正交函數(shù)集是指數(shù)函數(shù)集，則周期信號(hào)展開的無窮級(jí)數(shù)就稱為“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)”。

“三角型傅里葉級(jí)數(shù)”和“指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)”統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。三角函數(shù)集：虛指數(shù)函數(shù)集：傅里葉級(jí)數(shù)一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)，周期為，角頻率當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)，可分解為三角型傅里葉級(jí)數(shù)。

狄里赫利(Dirichlet)傅里葉在提出傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)堅(jiān)持認(rèn)為，任何一個(gè)周期信號(hào)都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。雖然這個(gè)結(jié)論在當(dāng)時(shí)引起許多爭(zhēng)議，但持異議者卻不能給出有力的不同論據(jù)。直到20年后(1829年)狄里赫利才對(duì)這個(gè)問題作出了令人信服的回答。狄里赫利認(rèn)為，只有在滿足一定條件時(shí)，周期信號(hào)才能展開成傅里葉級(jí)數(shù)。一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)，周期為，角頻率當(dāng)滿足狄里赫利條件時(shí)，可分解為三角型傅里葉級(jí)數(shù)。1.在一個(gè)周期內(nèi)，絕對(duì)可積；2.在一個(gè)周期內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；3.在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)有有限個(gè)極值點(diǎn)。

狄里赫利(Dirichlet)一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)集：如何分解

稱為傅里葉系數(shù)

是n的偶函數(shù)

是n的奇函數(shù)

An是n的偶函數(shù)一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)

是n的偶函數(shù)

是n的奇函數(shù)

n是n的奇函數(shù)一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)直流分量基波(一次諧波)二次諧波n次諧波任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)均可分解為：

直流分量和許多不同頻率的余弦分量。角頻率基波頻率n次諧波頻率n次諧波振幅n次諧波相位一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)：將周期信號(hào)分解為直流和不同頻率的諧波分量。三棱鏡：將白色光（可見光）分解為不同波長(zhǎng)的七色光。

（紅橙黃綠青藍(lán)紫）傅里葉級(jí)數(shù)為我們提供了研究周期信號(hào)的通用方法。

總結(jié)三角型傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式：一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)為我們提供了研究周期信號(hào)的通用方法。一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)例1：將如圖方波分解為三角型傅里葉級(jí)數(shù)。一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)例1：將如圖方波分解為三角型傅里葉級(jí)數(shù)。只含有正弦分量，無直流及余弦分量。只含有奇次諧波分量，無偶次諧波分量。一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)基波+3次諧波基波+3次諧波+5次諧波基波+3、5、7次諧波基波仿真結(jié)果一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)基波+3、5、…、21次諧波基波+3、5、…、41次諧波基波+3、5、…、101次諧波仿真結(jié)果諧波分量越多，

合成波形越接近于原方波

信號(hào)(除間斷點(diǎn)附近外）一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)

隨著所含諧波次數(shù)的增高，合成波形的尖峰越來越靠近

間斷點(diǎn)，但尖峰幅度并未明顯減小。吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象

合成波形所含諧波次數(shù)時(shí)，在間斷點(diǎn)處仍存在約9%的偏差,這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象

吉布斯現(xiàn)象又稱為吉布斯效應(yīng)，它是指：將具有不連續(xù)點(diǎn)的周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開后，當(dāng)選取的項(xiàng)數(shù)越多時(shí)（諧波次數(shù)越大時(shí)），在合成的波形中出現(xiàn)的尖峰越靠近原信號(hào)的間斷點(diǎn)。當(dāng)諧波次數(shù)n趨于無窮大時(shí)，該尖峰值趨于一個(gè)常數(shù)，大約等于總跳變值的9%。一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)一個(gè)信號(hào)包含什么頻率成分取決于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。三角型傅里葉級(jí)數(shù)：從頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行描述：將傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)與頻率

的關(guān)系描述出來。時(shí)域描述頻域描述一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)三角型傅里葉級(jí)數(shù)：幅度譜：反映周期信號(hào)各次諧波的幅度隨頻率變化的關(guān)系。相位譜：反映周期信號(hào)各次諧波的相位隨頻率變化的關(guān)系。將幅度譜和相位譜稱為信號(hào)的頻譜。一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)例2：求如下周期信號(hào)的周期T，基波角頻率，畫出其頻譜圖。

解：滿足三角型傅里葉級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式:一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)周期：基波角頻率：直流分量二次諧波三次諧波一、周期信號(hào)的分解——三角型傅里葉級(jí)數(shù)四次諧波幅度譜相位譜二、周期信號(hào)的分解——指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)虛指數(shù)函數(shù)集：周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)，可分解為指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)：稱為復(fù)傅里葉系數(shù)任何滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)均可分解為：

許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。三、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系三角型：三角型：指數(shù)型：總結(jié)周期信號(hào)分解為三角型和指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)：兩種形式傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系：總結(jié)是復(fù)傅里葉系數(shù)：是關(guān)于的偶函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)三、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系例3：用直接計(jì)算傳里葉系數(shù)的方法，求下圖所示周期函數(shù)的傳里葉系數(shù)（三角形式或和指數(shù)形式）。

解：首先計(jì)算周期函數(shù)的周期三、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系再根據(jù)公式計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)（1）三角形式（2）指數(shù)形式三、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系被積函數(shù)為偶函數(shù)被積函數(shù)為奇函數(shù)四、波形的對(duì)稱性與諧波特性1、若為偶函數(shù)，即的波形相對(duì)于縱坐標(biāo)軸對(duì)稱。的傅里葉級(jí)數(shù)包含直流分量和余弦分量。被積函數(shù)為奇函數(shù)被積函數(shù)為偶函數(shù)四、波形的對(duì)稱性與諧波特性2、若為奇函數(shù)，即的波形相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱。的傅里葉級(jí)數(shù)包含正弦分量。四、波形的對(duì)稱性與諧波特性3、若為奇諧函數(shù)時(shí)時(shí)四、波形的對(duì)稱性與諧波特性的傅里葉級(jí)數(shù)包含奇次諧波分量。3、若為奇諧函數(shù)四、波形的對(duì)稱性與諧波特性4、若為偶諧函數(shù)時(shí)時(shí)四、波形的對(duì)稱性與諧波特性的傅里葉級(jí)數(shù)包含偶次諧波分量。4、若為偶諧函數(shù)例3：利用奇偶性判斷下圖所示各周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)中所含的頻率量。四、波形的對(duì)稱性與諧波特性偶函數(shù)余弦分量奇諧函數(shù)奇次諧波分量包含奇次余弦分量奇函數(shù)正弦分量非奇諧非偶諧函數(shù)包含正弦分量四、波形的對(duì)稱性與諧波特性偶函數(shù)余弦分量偶諧函數(shù)偶次諧波分量包含偶次余弦分量非奇非偶函數(shù)奇諧函數(shù)奇次諧波分量包含奇次正弦、余弦分量直流和n次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率之和。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為:五、周期信號(hào)的功率——Parseval等式6060

4.3周期信號(hào)的頻譜主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院一、周期信號(hào)頻譜的概念

通過研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來研究信號(hào)的頻域特性。周期信號(hào)分解為直流分量和不同頻率的余弦分量之和。周期信號(hào)分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。周期相同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)不同，一、周期信號(hào)頻譜的概念信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系。信號(hào)的頻譜:振幅頻譜圖:相位頻譜圖:反映周期信號(hào)各次諧波的幅度隨頻率變化的關(guān)系。反映周期信號(hào)各次諧波的相位隨頻率變化的關(guān)系。單邊振幅頻譜圖，簡(jiǎn)稱單邊幅度譜。雙邊振幅頻譜圖，簡(jiǎn)稱雙邊幅度譜。單邊相位頻譜圖，簡(jiǎn)稱單邊相位譜。雙邊相位頻譜圖，簡(jiǎn)稱雙邊相位譜。一、周期信號(hào)頻譜的概念偶對(duì)稱奇對(duì)稱例1：周期信號(hào),求信號(hào)的周期T，基波角頻率，畫出單邊和雙邊頻譜圖，計(jì)算信號(hào)功率。解：應(yīng)用三角公式將表示為三角型傅里葉級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式:一、周期信號(hào)頻譜的概念直流分量周期周期信號(hào)周期：基波角頻率：三次諧波分量四次諧波分量一、周期信號(hào)頻譜的概念一、周期信號(hào)頻譜的概念一、周期信號(hào)頻譜的概念一、周期信號(hào)頻譜的概念的平均功率P：帕斯瓦爾功率等式：一、周期信號(hào)頻譜的概念練1：畫出如下周期信號(hào)的單邊振幅頻譜圖與相位頻譜圖。解：應(yīng)用三角公式將表示為三角型傅里葉級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式:一、周期信號(hào)頻譜的概念一、周期信號(hào)頻譜的概念此時(shí)常把幅度譜和相位譜畫在一張圖上。一、周期信號(hào)頻譜的概念例2：周期信號(hào)的雙邊頻譜如圖所示，

求其三角函數(shù)表達(dá)式。例3：如圖幅度為1，脈沖寬度為

，周期為T的矩形脈沖，求頻譜。二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)解：取樣函數(shù)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)Fn為實(shí)數(shù)，可以將幅度譜和相位譜畫在一個(gè)頻譜圖中。二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)n=0n=1n=2n=3n=4n=8周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：1、周期信號(hào)頻譜具有諧波(離散)性，各條譜線位置是基波頻率Ω的整數(shù)倍。2、一般具有收斂性，總趨勢(shì)減小。3、第一零點(diǎn)帶寬：

在允許一定失真的條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)表示，此頻率范圍稱為信號(hào)帶寬。二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)周期信號(hào)的頻帶寬帶（帶寬)：一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)帶寬:

不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)的絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成份，信號(hào)的帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間成反比，即越大，越??；越小，越大。二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)周期信號(hào)時(shí)域波形參數(shù)與頻域頻譜結(jié)構(gòu)的關(guān)系：信號(hào)周期：脈沖寬度：譜線間隔：第一零點(diǎn)帶寬：周期信號(hào)時(shí)域波形參數(shù)與頻域頻譜結(jié)構(gòu)的關(guān)系：演示1演示2當(dāng)時(shí)周期信號(hào)

非周期信號(hào)離散譜

連續(xù)譜周期信號(hào)時(shí)域波形參數(shù)與頻域頻譜結(jié)構(gòu)的關(guān)系：周期信號(hào)時(shí)域波形參數(shù)與頻域頻譜結(jié)構(gòu)的關(guān)系：一、周期信號(hào)頻譜的概念頻譜分析意義：通過對(duì)信號(hào)中各個(gè)頻率成分的幅值分布和能量（功率）分布進(jìn)行分析，得到

主要幅度和能量（功率）分布的頻率值。1、掌握信號(hào)頻譜的概念，會(huì)分析信號(hào)頻譜總結(jié)：信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系。2、明確信號(hào)頻譜分析的意義頻譜分析任務(wù)：主要分析信號(hào)是由什么頻率的正弦信號(hào)疊加得到的，以及這些正弦信號(hào)的振幅。一、周期信號(hào)頻譜的概念

實(shí)際中利用頻譜分析儀實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析總結(jié)：8383

4.4非周期信號(hào)的頻譜——傅里葉變換教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)非周期信號(hào)的頻譜分析分析工具：

周期信號(hào)的頻譜分析傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉變換頻譜特點(diǎn)：離散譜分析工具：①傅里葉變換的定義②常用信號(hào)傅里葉變換傅里葉變換的定義

非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。當(dāng)信號(hào)的周期T趨近于無窮大時(shí)，①譜線間隔

趨近于無窮小，信號(hào)的頻譜由離散譜變?yōu)檫B續(xù)譜。②各頻率分量的幅度Fn趨于無窮小，但這些無窮小量間有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念，表示單位頻率上的頻譜：依據(jù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：考慮到：T→∞，Ω→無窮小，nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量）傅里葉變換的定義頻譜密度：考慮到：T→∞，Ω→無窮小，記為dω；nΩ→ω同時(shí)，傅里葉變換的定義依據(jù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：傅里葉變換：傅里葉反變換：

稱為的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。稱為的傅里葉反變換或原函數(shù)。傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義

一般是復(fù)函數(shù)，寫為:非周期信號(hào)的頻譜是關(guān)于的偶函數(shù)。是關(guān)于的奇函數(shù)。（2）利用傅里葉變換關(guān)系式可方便計(jì)算一些特殊積分:傅里葉變換的定義函數(shù)的傅里葉變換存在的充分條件:說明:滿足絕對(duì)可積（1）上述推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。練1：圖示信號(hào)的傅里葉變換記為，完成選擇題：傅里葉變換的定義

解：解：DB

1、單邊指數(shù)信號(hào)

常用信號(hào)的傅里葉變換

2、雙邊指數(shù)信號(hào)

常用信號(hào)的傅里葉變換

3、門函數(shù)（矩形脈沖信號(hào)）

常用信號(hào)的傅里葉變換

4、單位沖激信號(hào)

常用信號(hào)的傅里葉變換

5、直流信號(hào)

直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，但其傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解?？蓸?gòu)造一函數(shù)序列逼近，即

滿足絕對(duì)可積條件，且的傅里葉變換是極限收斂的。這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。常用信號(hào)的傅里葉變換所以構(gòu)造常用信號(hào)的傅里葉變換

時(shí)域無限寬，頻域無限窄

常用信號(hào)的傅里葉變換6.符號(hào)函數(shù)信號(hào)符號(hào)函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，構(gòu)造函數(shù)常用信號(hào)的傅里葉變換

常用信號(hào)的傅里葉變換7.單位階躍信號(hào)因?yàn)樗?/p>

常用信號(hào)的傅里葉變換8.虛指數(shù)信號(hào)所以常用信號(hào)的傅里葉變換9.余弦信號(hào)

常用信號(hào)的傅里葉變換10.正弦信號(hào)

常用信號(hào)的傅里葉變換

1、單邊指數(shù)信號(hào)

2、雙邊指數(shù)信號(hào)

3、矩形脈沖信號(hào)

4、單位沖激信號(hào)

5、直流信號(hào)常用信號(hào)的傅里葉變換6.符號(hào)函數(shù)信號(hào)7.單位階躍信號(hào)8.虛指數(shù)信號(hào)9.余弦信號(hào)10.正弦信號(hào)常用信號(hào)的傅里葉變換常用信號(hào)的傅里葉變換練2：求出下列信號(hào)的傅里葉變換。

CB

D常用信號(hào)的傅里葉變換

練2：求出下列信號(hào)的傅里葉變換。A

B

D常用信號(hào)的傅里葉變換練2：求出下列信號(hào)的傅里葉變換。

A

B110110

4.5傅里葉變換的性質(zhì)主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)其它信號(hào)的傅里葉變換

常用信號(hào)的傅里葉變換傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的定義一、線性若則傅里葉變換的性質(zhì)？解：傅里葉變換的定義：例1：解：=_傅里葉變換的性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)若，設(shè)為常數(shù)則說明：信號(hào)在時(shí)域中的延時(shí)與頻域中的相移相對(duì)應(yīng)。傅里葉變換的性質(zhì)？解：傅里葉變換的定義：+例2：=解:傅里葉變換的性質(zhì)？√三、尺度變換性質(zhì)解:

a>0，

若則傅里葉變換的性質(zhì)設(shè)a為實(shí)常數(shù)？

a<0，

當(dāng)時(shí)，練1：解法一：時(shí)移性質(zhì)：尺度變換性質(zhì)：傅里葉變換的性質(zhì)√練1：解法二：時(shí)移性質(zhì)：尺度變換性質(zhì)：傅里葉變換的性質(zhì)√？四、頻移性質(zhì)解:則則說明：信號(hào)在頻域中的頻移與時(shí)域中的相移相對(duì)應(yīng)。傅里葉變換的性質(zhì)若，設(shè)為常數(shù)？？例3：解：利用常用信號(hào)的傅里葉變換對(duì)頻移性質(zhì)：傅里葉變換的性質(zhì)解：尺度變換性質(zhì)：頻移性質(zhì)：傅里葉變換的性質(zhì)練2：√？解：時(shí)移特性：尺度變換：頻移特性：傅里葉變換的性質(zhì)若，則練3：？√頻移性質(zhì)的應(yīng)用：實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜搬移頻譜右移個(gè)單位頻譜左移個(gè)單位頻分復(fù)用FDM技術(shù)頻移性質(zhì)的應(yīng)用：頻分復(fù)用FDM的基本思想：提高信道的頻帶利用率。通過對(duì)多路有限帶寬信號(hào)采用不同頻率進(jìn)行調(diào)制實(shí)現(xiàn)頻譜搬移，使得各路信號(hào)在頻率位置上錯(cuò)開，達(dá)到多路信號(hào)同時(shí)在一個(gè)信道內(nèi)傳輸?shù)哪康?。頻分復(fù)用FDM的優(yōu)點(diǎn)：頻分復(fù)用FDM技術(shù)頻移性質(zhì)的應(yīng)用：調(diào)制五、對(duì)稱性質(zhì)若則傅里葉變換的性質(zhì)eg：已知某傅里葉變換對(duì)應(yīng)用對(duì)稱性：應(yīng)用對(duì)稱性：例4：

求取樣函數(shù)

的頻譜函數(shù)。直接利用定義式不易求出Sa(t)的傅里葉變換，

利用對(duì)稱性則比較方便。解：傅里葉變換對(duì)：應(yīng)用對(duì)稱性：令傅里葉變換的性質(zhì)練4：解:傅里葉變換對(duì)：應(yīng)用對(duì)稱性：令傅里葉變換的性質(zhì)？√解：傅里葉變換對(duì)：應(yīng)用對(duì)稱性：傅里葉變換的性質(zhì)練5：？√練6：求函數(shù)的頻譜函數(shù)。解：傅里葉變換對(duì)：應(yīng)用對(duì)稱性：傅里葉變換的性質(zhì)？√六、卷積定理若則若則即時(shí)域卷積，則頻域相乘。即時(shí)域相乘，則頻域卷積。傅里葉變換的性質(zhì)例5：傅里葉變換的性質(zhì)建議：用三角函數(shù)傅里葉變換對(duì)、對(duì)稱性七、時(shí)域的微分和積分若則傅里葉變換的性質(zhì)例6：解：傅里葉變換對(duì)：應(yīng)用對(duì)稱性：傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域微分：練7：傅里葉變換的性質(zhì)？√解:時(shí)域微分：例7：解:傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域積分：練8：傅里葉變換的性質(zhì)練8：解:傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)√練8：例8：解:傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域積分：利用三角函數(shù)的傅里葉變換對(duì)八、頻域的微分和積分若則傅里葉變換的性質(zhì)解：例9：頻域微分：傅里葉變換的性質(zhì)解:例10：傅里葉變換的性質(zhì)頻域微分：九、帕斯瓦爾方程（parseval能量等式）證明：|F(jω)|2

為單位頻率上的信號(hào)能量(能量密度譜）傅里葉變換的性質(zhì)計(jì)算的能量。練9：解：帕斯瓦爾能量等式：傅里葉變換的性質(zhì)？√？解:例11：求信號(hào)

的能量。求F(jω)傅里葉變換的性質(zhì)十、相關(guān)定理若則相關(guān)定理：兩個(gè)信號(hào)相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中一個(gè)信號(hào)的傅里葉變換與另一個(gè)信號(hào)傅里葉變換的共軛之乘積。傅里葉變換的性質(zhì)練10：如圖信號(hào)的傅里葉變換記為，求：例題訓(xùn)練

解：傅里葉變換定義式：√練10：如圖信號(hào)的傅里葉變換記為，求：例題訓(xùn)練解：傅里葉反變換定義式：

√練10：如圖信號(hào)的傅里葉變換記為，求：例題訓(xùn)練解：帕斯瓦爾能量等式：

√練10：如圖信號(hào)的傅里葉變換記為，求：例題訓(xùn)練解：

利用圖解法求特殊時(shí)刻的卷積值√練11：求

例題訓(xùn)練解：？√練12：求

例題訓(xùn)練√解：由練11可知：Sa函數(shù)是偶函數(shù)，故解：常用變換對(duì)：時(shí)移性質(zhì)：例題訓(xùn)練練13：√解：先利用函數(shù)與沖激偶相乘的性質(zhì)將進(jìn)行化簡(jiǎn)：常用變換對(duì)：時(shí)移性質(zhì)：時(shí)域微分性質(zhì)：例題訓(xùn)練例12：解：常用變換對(duì)：對(duì)稱性：頻移性質(zhì)：時(shí)移性質(zhì)：例題訓(xùn)練例13：已知如圖，求。解：常用變換對(duì)：對(duì)稱性：例題訓(xùn)練例14：頻移性質(zhì)：例14：例題訓(xùn)練已知如圖，求。159159

4.6能量譜和功率譜主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

信號(hào)描述時(shí)域描述（表達(dá)式、波形）頻域描述

頻譜能量譜功率譜幅度譜相位譜確知信號(hào)頻譜隨機(jī)信號(hào)功率譜一、能量譜能量譜和功率譜帕斯瓦爾能量等式：定義能量密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為能量頻譜或能量譜。能量譜：?jiǎn)挝活l率的信號(hào)能量。能量譜只取決于頻譜函數(shù)的模，而與相位無關(guān)。信號(hào)的能量譜與其自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。二、功率譜能量譜和功率譜定義功率密度函數(shù)，稱為功率譜。功率譜：?jiǎn)挝活l率的信號(hào)功率。功率譜只取決于頻譜函數(shù)的模，而與相位無關(guān)。從中截取的一段，得到截取函數(shù)能量譜和功率譜功率信號(hào)的功率譜與其自相關(guān)函數(shù)是一對(duì)傅里葉變換。由于隨機(jī)信號(hào)不能用頻譜表示，通常利用自相關(guān)函數(shù)求其功率譜，利用功率譜來描述隨機(jī)信號(hào)的頻域特性。對(duì)于功率信號(hào)，自相關(guān)函數(shù)定義為：

能量譜和功率譜例：已知信號(hào)，求其自相關(guān)函數(shù)和功率譜。解：是功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)為：能量譜和功率譜自相關(guān)函數(shù)：功率譜：1661664.7周期信號(hào)的傅里葉變換主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院周期信號(hào)的傅里葉變換如何求？傅里葉級(jí)數(shù)離散譜傅里葉變換連續(xù)譜周期信號(hào)的傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系？教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

周期信號(hào)

非周期信號(hào)一、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換常用變換對(duì)：頻移性質(zhì)：線性性質(zhì)：周期信號(hào)：(1)

周期信號(hào)的頻譜由無窮多個(gè)沖激函數(shù)組成；(3)沖激的強(qiáng)度正比于傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，

為的倍。

(2)

只存在于

處；周期信號(hào)的傅里葉變換解：傅里葉變換對(duì)：頻移特性：周期信號(hào)的傅里葉變換例1：的傅里葉變換為√

線性：例2：周期單位沖激函數(shù)的傅里葉變換為

解：周期信號(hào)的傅里葉變換：√周期信號(hào)的傅里葉變換例3：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。解：周期信號(hào)f(t)可看作是非周期信號(hào)f0(t)的周期拓展。周期信號(hào)的傅里葉變換周期沖激信號(hào)卷積定理：周期信號(hào)的傅里葉變換★★周期信號(hào)的傅里葉變換：計(jì)算的兩種方法：法一：法二：將周期信號(hào)截取一個(gè)周期得到周期信號(hào)的傅里葉變換練1：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。周期信號(hào)的傅里葉變換解：周期信號(hào)的傅里葉變換：練2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。周期信號(hào)的傅里葉變換解：周期信號(hào)的傅里葉變換：練3：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。周期信號(hào)的傅里葉變換解：周期信號(hào)的傅里葉變換：179179

4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析主講人：吉利萍通信與信息工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）已知系統(tǒng)激勵(lì)和系統(tǒng)沖激響應(yīng)，則

時(shí)域分析方法：若卷積難以求解，怎么辦？

頻域分析方法

傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為：

無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。周期信號(hào)：

非周期信號(hào)：

基本信號(hào)：LTI系統(tǒng)的頻域分析一、基本信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，反映了輸出響應(yīng)的幅度和相位。LTI系統(tǒng)的頻域分析二、任意信號(hào)作用于LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)的頻域分析三、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅頻特性（幅頻響應(yīng)）相頻特性（相頻響應(yīng)）偶函數(shù)奇函數(shù)LTI系統(tǒng)的頻域分析解：

①已知單位沖激響應(yīng)求頻率響應(yīng)LTI系統(tǒng)的頻域分析例1：某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

√②已知微分方程求頻率響應(yīng)例2：某LTI系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)。例2：某LTI系統(tǒng)的微分方程為

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)。解：應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)對(duì)微分方程兩邊同時(shí)做傅里葉變換：LTI系統(tǒng)的頻域分析頻率響應(yīng)：沖激響應(yīng)：②已知微分方程求頻率響應(yīng)LTI系統(tǒng)的頻域分析該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)練1：描述系統(tǒng)的微分方程為

解：√例3：系統(tǒng)微分方程

,求時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)。解：對(duì)微分方程兩邊同時(shí)做傅里葉變換：LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：②已知微分方程求頻率響應(yīng)解：畫出電路頻域模型③已知電路圖求頻率響應(yīng)例4：電路中，以為輸出，求。LTI系統(tǒng)的頻域分析四、頻域分析法傅里葉變換①傅里葉變換②③傅里葉反變換④——傅里葉變換響應(yīng)法LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：LTI系統(tǒng)的頻域分析例5：如圖(a)的系統(tǒng)，帶通濾波器的頻率響應(yīng)

如圖(b)所示，其相頻特性。若輸入

，求輸出信號(hào)。LTI系統(tǒng)的頻域分析求解思路：①先求出的頻譜②再求出的頻譜③求出逆變換LTI系統(tǒng)的頻域分析解：①先求出的頻譜

√LTI系統(tǒng)的頻域分析②再求出的頻譜=

LTI系統(tǒng)的頻域分析③求出逆變換頻移性質(zhì)：例6：一個(gè)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的輸入為，求系統(tǒng)輸出。LTI系統(tǒng)的頻域分析求解思路：①先求出的頻譜②再求出的頻譜③求出逆變換解：①求LTI系統(tǒng)的頻域分析②再求出的頻譜LTI系統(tǒng)的頻域分析③求出逆變換=

對(duì)稱性：頻移：常用對(duì)：利用時(shí)移特性實(shí)現(xiàn)逆變換？線性：時(shí)移：三角型傅里葉級(jí)數(shù)法：若則LTI系統(tǒng)的頻域分析五、頻域分析法——傅里葉級(jí)數(shù)響應(yīng)法(周期信號(hào)）若LTI系統(tǒng)的激勵(lì)是：周期為

T

的信號(hào)則該系統(tǒng)的響應(yīng)也是：周期為

T

的信號(hào)解：(1)確定激勵(lì)包含的頻率成分和傅里葉系數(shù)讀圖：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

例7：LTI系統(tǒng)的和如圖，若

，求系統(tǒng)的響應(yīng)。(2)求出對(duì)應(yīng)頻率處系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(3)確定傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，寫出其表達(dá)式解法二：傅里葉變換響應(yīng)法對(duì)應(yīng)頻率相乘LTI系統(tǒng)的頻域分析練2：某LTI系統(tǒng)的當(dāng)輸入時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為

√解：LTI系統(tǒng)的頻域分析練3：某理想低通濾波器的特性如圖示，當(dāng)輸入

時(shí)，濾波器的響應(yīng)為解：讀圖五、頻域分析法——傅里葉級(jí)數(shù)響應(yīng)法(周期信號(hào)）指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)法：若LTI系統(tǒng)的激勵(lì)是：周期為

T

的信號(hào)則該系統(tǒng)的響應(yīng)也是：周期為

T

的信號(hào)若則LTI系統(tǒng)的頻域分析【見課本例4-41】六、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的作用:（1）傳輸作用（2）濾波作用系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行傳輸，要求信號(hào)盡量不失真。系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，濾波則要求濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/p>

信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，（1）無失真?zhèn)鬏敹x：

即輸入信號(hào)為，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)應(yīng)為：而沒有波形上的變化。只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，LTI系統(tǒng)的頻域分析無失真?zhèn)鬏?/p>

信號(hào)無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，（1）無失真?zhèn)鬏敹x：而沒有波形上的變化。只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，L