第五章

連續(xù)系統(tǒng)的

域分析信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)復(fù)頻率：

內(nèi)容綱要1.拉普拉斯變換的定義2.常用信號(hào)的拉氏變換

3.拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系5.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3拉普拉斯逆變換5.4復(fù)頻域分析1.拉氏變換求解微分方程2.系統(tǒng)函數(shù)的定義3.系統(tǒng)的S域框圖4.電路的S域模型信號(hào)分析系統(tǒng)分析5.1拉普拉斯變換信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)5.1拉普拉斯變換皮埃爾-西蒙·拉普拉斯他長(zhǎng)期從事大行星運(yùn)動(dòng)理論和月球運(yùn)動(dòng)理論方面的研究，發(fā)表巨著《天體力學(xué)》，第一次提出天體力學(xué)的名詞，是經(jīng)典天體力學(xué)的代表作。被譽(yù)為法國(guó)的牛頓和天體力學(xué)之父，是天體力學(xué)的主要奠基人。法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士。1749年3月生于法國(guó)，1827年3月卒于巴黎。他發(fā)表專著《宇宙體系論》，書中提出了對(duì)后來(lái)有重大影響的關(guān)于行星起源的星云假說(shuō)。在這部書中，他提出了第一個(gè)科學(xué)的太陽(yáng)系起源理論——星云說(shuō)。他發(fā)表專著《概率分析理論》，是分析概率論的創(chuàng)始人，被譽(yù)為應(yīng)用數(shù)學(xué)的先驅(qū)。5.1拉普拉斯變換拉普拉斯在研究天體問(wèn)題的過(guò)程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。拉普拉斯把牛頓的萬(wàn)有引力定律應(yīng)用到整個(gè)太陽(yáng)系，1773年解決了一個(gè)當(dāng)時(shí)著名的難題：解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時(shí)土星的軌道又在不斷地膨脹。拉普拉斯用數(shù)學(xué)方法證明行星平均運(yùn)動(dòng)的不變性，即行星的軌道大小只有周期性變化，并證明為偏心率和傾角的3次冪。1784～1785年，拉普拉斯求得天體對(duì)其外任一質(zhì)點(diǎn)的引力分量可以用一個(gè)勢(shì)函數(shù)來(lái)表示，這個(gè)勢(shì)函數(shù)滿足一個(gè)偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。5.1拉普拉斯變換拉普拉斯曾任拿破侖的老師，和拿破侖結(jié)下不解之緣。在席卷法國(guó)的政治變革中，包括拿破侖的興起和衰落，他的威望和他將數(shù)學(xué)應(yīng)用于軍事問(wèn)題的才能保護(hù)了他。突出才能

護(hù)身符挖掘、培養(yǎng)、鉆研一技之長(zhǎng)

安身立命之本、強(qiáng)國(guó)興國(guó)之柱5.1拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換的定義傅里葉變換向人們開啟了一扇不同的窗戶（頻域）來(lái)觀察世界，但仍存在

局限性

：信號(hào)必須滿足狄利赫里條件如：

、

等增長(zhǎng)信號(hào)

不存在傅里葉變換。

妙招：給信號(hào)

乘衰減因子

，為實(shí)常數(shù)，使

收斂，滿足狄里赫利條件。(一)從傅里葉變換到拉普拉斯變換5.1拉普拉斯變換相應(yīng)的傅里葉逆變換為：令

,有

對(duì)

作傅里葉變換：5.1拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換：雙邊拉普拉斯逆變換：符號(hào)表示:5.1拉普拉斯變換從上述推導(dǎo)過(guò)程可知：（1）是信號(hào)

的傅里葉變換；（2）是信號(hào)的雙邊拉氏變換；（3）是雙邊拉普拉斯變換在

的特例；（4）許多原來(lái)不存在傅里葉變換的信號(hào)都可能存在拉氏變換。雙邊拉普拉斯變換：傅里葉變換：5.1拉普拉斯變換

雙邊拉氏變換存在的充分條件：

下面舉例分析雙邊拉氏變換收斂域的問(wèn)題。使

的雙邊拉氏變換存在的

的取值范圍稱為收斂域。(二)雙邊拉氏變換的收斂域5.1拉普拉斯變換例1:求因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

解:因果信號(hào)拉氏變換的收斂域?yàn)槟硹l直線以右的平面收斂邊界收斂域5.1拉普拉斯變換例2:

求反因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

反因果信號(hào)拉氏變換的收斂域?yàn)槟硹l直線以左的平面解:5.1拉普拉斯變換例3:求雙邊信號(hào)

的雙邊拉普拉斯變換。

解:雙邊信號(hào)拉氏變換的收斂域必為帶狀區(qū)域當(dāng)

時(shí)，收斂域：當(dāng)

時(shí)，沒有共同的收斂域，拉氏變換不存在。5.1拉普拉斯變換例4:求下列信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。5.1拉普拉斯變換(三)單邊拉普拉斯變換實(shí)際生活中的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，

時(shí)，

。從而雙邊拉氏變換式可寫為：?jiǎn)芜吚绽棺儞Q簡(jiǎn)稱拉氏變換本課程主要討論單邊拉氏變換。單邊拉氏變換的收斂域必然是：

，故可以省略。5.1拉普拉斯變換（1）

的單邊拉氏變換和雙邊拉氏變換可能相等也可能不相等。（2）的雙邊拉氏變換和的單邊拉氏變換相等。（3）指數(shù)階信號(hào)()的單邊拉氏變換一定存在。（4）非指數(shù)階信號(hào)的拉氏變換不存在，如。（5）有界的非周期信號(hào)的拉氏變換一定存在。雙邊拉氏變換：?jiǎn)芜吚献儞Q：分析下列說(shuō)法是否正確？√√√√√5.1拉普拉斯變換學(xué)習(xí)拉普拉斯變換有什么用？拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛

應(yīng)用，特別是在力學(xué)系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)等

系統(tǒng)科學(xué)中都起著重要作用。拉普拉斯變換是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)

和

復(fù)變量函數(shù)

間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉氏變換，在復(fù)數(shù)域中進(jìn)行各種運(yùn)算，

再將運(yùn)算結(jié)果作拉氏逆變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，

往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。5.1拉普拉斯變換二、常用信號(hào)的拉氏變換單位沖激信號(hào)

沖激偶信號(hào)

5.1拉普拉斯變換階躍信號(hào)

、常數(shù)5.1拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)5.1拉普拉斯變換當(dāng)時(shí),實(shí)信號(hào)

當(dāng)時(shí)，虛指數(shù)信號(hào)

當(dāng)

時(shí)，復(fù)指數(shù)信號(hào)

5.1拉普拉斯變換余弦信號(hào)

5.1拉普拉斯變換正弦信號(hào)

5.1拉普拉斯變換周期信號(hào)

主周期信號(hào)的拉氏變換5.1拉普拉斯變換練1:求圖示周期信號(hào)的拉普拉斯變換。

解:周期：

主周期信號(hào)：

圖示周期信號(hào)的拉氏變換：

5.1拉普拉斯變換常用信號(hào)的拉氏變換5.1拉普拉斯變換三、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系單邊拉氏變換：傅里葉變換：要討論二者的關(guān)系，

必須為因果信號(hào)

收斂邊界

0的三種情況：5.1拉普拉斯變換(1)收斂邊界,

如:

即

的收斂域包含

軸則

的傅里葉變換存在，且收斂域包含

軸5.1拉普拉斯變換(2)收斂邊界,

即

的收斂邊界為

軸則

的傅里葉變換存在，且如:收斂邊界為

軸5.1拉普拉斯變換(3)收斂邊界,