上海高中數(shù)學2020必修第三冊第11章空間直線與平面（預(yù)修課程）專題13球知識點1.球的定義名稱定義圖形表示相關(guān)概念球半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球如圖可記作：球O球心：半圓的圓心半徑：連接球心和球面上任意一點的線段直徑：連接球面上兩點并經(jīng)過球心的線段；知識點2球的對稱性球具有豐富的對稱性，所有經(jīng)過球心的直線都可以作為球的旋轉(zhuǎn)軸，每條旋轉(zhuǎn)軸與球面交點之間的線段都是球的直徑；知識點3平面截球球的截面均是圓面，球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓．知識點4.地球的經(jīng)緯度用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圓（如圖）的圓周稱為緯線，按照南北方向分為南緯和北緯；過球心的大圓的半圓周（如圖）稱為經(jīng)線；按照約定，通過英國倫敦格林尼治天文臺原址的那條經(jīng)線稱為０度經(jīng)線；知識點5.球的體積公式球的體積：設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.知識點6.球的表面積球的表面積：設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍；知識點7球的性質(zhì)圓的主要性質(zhì)球的主要性質(zhì)1平面內(nèi)與定點距離等于定長的點集（軌跡）空間與定點距離等于定長的點集（軌跡）是球面2同圓（或等圓）的半徑相等，直徑是半徑的2倍同球（或等球）的半徑相等，直徑是半徑的2倍3與弦垂直的直徑過弦的中點，圓半徑2＝圓心到弦距離2＋弦長的一半2與截面積垂直的直徑過截面圓的圓心，球半徑2＝球心到截面圓距離2＋截面圓的半徑24不過圓心的弦小于直徑；經(jīng)過圓心的弦是直徑，是最大的弦不過球心的截得的是球的小圓，其半徑和面積都小于球的大圓的半徑和面積；經(jīng)過球心的截面截得的是球的大圓，是最大的截面圓5過切點的圓半徑垂直于圓的切線過切點的球半徑垂直于球的切面6圓周長＝2π×圓半徑大圓周長＝2π×球半徑題型1：球的結(jié)構(gòu)特征辨析【例1】下列命題中，真命題的是．（選填序號）①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線；②球的任意兩個大圓的交點的連線是球的直徑；③用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓；④以半圓的直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做球；⑤空間中到定點的距離等于定長的所有的點構(gòu)成的曲面是球面．【答案】①②⑤【分析】根據(jù)球的相關(guān)概念和性質(zhì)即可求解.【解析】解：對于①，球的半徑是球面上任意一點與球心連線的線段，所以①對.對于②，球的任意兩個大圓的交點的連線經(jīng)過球心，所以是球的直徑，所以②對.對于③，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面，而不是圓，所以③錯.對于④，以半圓的直徑所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做球面，而不是球，所以④錯.對于⑤，空間中到定點的距離等于定長的所有的點構(gòu)成的曲面是球面，故⑤對.故答案為：①②⑤【跟蹤訓練】1．有下列說法：①球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段；②球的直徑是球面上任意兩點間的連線段；③用一個平面截一個球，得到的是一個圓；④不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓.則正確命題的序號是.【答案】①④【分析】由球的定義和截面性質(zhì)可逐項判斷得可得答案.【解析】由球的定義可得①是正確的；因為直徑一定過球心，故②不對；用平面截球，得到的是一個圓面，而不是一個圓，③不對.由球的定義可得過球心的截面的最大的截面，且截面的半徑就是球的半徑,則不過球心的截面截得的圓叫做球的小圓，故④正確.故答案為：①④.題型2：球的截面性質(zhì)及計算【方法點撥】球的截面的性質(zhì)：球的截面是圓面；球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面；設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離就是球心到截面圓心O1的距離，則有OO1＝eq\r(R2－r2)；【例2】已知球的半徑為10cm，若它的一個截面圓的面積為36πcm2，則球心與截面圓圓心的距離是cm.【答案】8【分析】根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)即可求解.【解析】如圖，設(shè)截面圓的半徑為r，球心與截面圓圓心之間的距離為d，球半徑為R.由題意知，R=10cm，由πr2=36π，得r=6cm，故答案為：8【跟蹤訓練】【答案】米【分析】根據(jù)圓的周長公式可直接求得結(jié)果.即地球赤道長度會增大米.故答案為：米.2．（2023上?！の挥袑W高二期中）已知球的半徑為25,有兩個平行平面截球所得的截面面積分別是49和400,則這兩個平行平面間的距離為___________【答案】9或39【分析】先根據(jù)兩個截面圓的面積分別求出對應(yīng)圓的半徑，再分析出兩個截面所存在的兩種情況，最后對每一種情況分別求出兩個平行平面的距離即可.如圖①所示.當球的球心在兩個平行平面的外側(cè)時，這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之差，如圖②所示.當球的球心在兩個平行平面的之間時，這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之和.故答案為：9或39.【點睛】本題主要考查兩個平行平面間的距離計算問題.此題重點考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系以及空間想象能力和計算能力.本題的易錯點在于只考慮一種情況，從而漏解.題型3：球面距離【方法點撥】球面上兩點間的距離是指過這兩點的球的大圓上兩點間的劣弧長，求球面距離的步驟是先求兩點間的直線距離，在大圓中求球心角，再求球面距離；【答案】、這兩地的球面距離是，故答案為：．【點睛】本題考查球的有關(guān)經(jīng)緯度知識，球面距離，弧長公式，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．【例4】已知地球半徑為，處于同一經(jīng)度上的甲乙兩地，甲地緯度為北緯75°，乙地緯度為北緯15°，則甲乙兩地的球面距離是【答案】【分析】同一緯度的兩地之間與球心共在一個大圓上,根據(jù)緯度差即可求得圓心角,進而求得兩地間距離.【解析】由題意可知,同一緯度的兩地之間與球心共在一個大圓上當甲地緯度為北緯75°,乙地緯度為北緯15°,則兩地間所在的大圓圓心角為60°故答案為【點睛】本題考查了球的截面性質(zhì),大圓及球面距離的求法,屬于基礎(chǔ)題.【跟蹤訓練】1．地球半徑為R，則南緯30°的緯線圈長為________________________【答案】eq\r(3)πR；【解析】如圖是過球心O及緯線圈圓心O1的軸截面，則∠OAO1＝30°，AO＝R，∴AO1＝R·cos30°＝eq\f(\r(3),2)R，∴緯線圈周長為2π·AO1＝eq\r(3)πR；【答案】故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)球面兩點的距離等于這兩點與球心構(gòu)成的面與球體所成的截面圓的劣弧長，進而根據(jù)弧長公式求兩點的球面距離.題型4：球的體積【例5】已知兩球體積之比為27：1，它們的半徑之比為【答案】【分析】根據(jù)球的體積公式求解故答案為：【例6】已知圓臺上?下底面圓周都在球面上，且下底面過球心，母線與底面所成的角為，則圓臺的體積與球體積之比為.【分析】設(shè)出球的半徑，求出圓臺上底面半徑，圓臺的高，求出圓臺體積，球的體積即可．【解析】如圖，設(shè)球的半徑OA＝OB＝2，由題意可知∠OAB＝，故△OAB是等邊三角形，【跟蹤訓練】1．（2021秋?黃浦區(qū)校級月考）若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為，則球的體積為．【分析】根據(jù)題意求出球的半徑，再計算球的體積．【解答】解：如圖所示，依題意知，截面圓的半徑為r＝AC＝，球心O到截面圓的距離為d＝OC＝，所以球的半徑為R＝OA＝＝3，所以球的體積為V＝π×33＝36π．故答案為：36π．【點評】本題考查了球的體積計算問題，也考查了球面被平面所截的截面圓問題，是基礎(chǔ)題．2．個平面截一個球得到面積為的圓面，球心到這個圓面的距離等于球半徑的一半，則該球的體積等于.【答案】【分析】根據(jù)截面半徑和球心到截面的距離與球的半徑的勾股關(guān)系直接求解.故答案為:.題型5：球的表面積【例7】已知球的體積為，則該球的表面積為.【答案】【分析】由球的體積公式求出球的半徑R，再由表面積公式計算即可．故答案為：【例8】在邊長為1的正方形中裁去一個如圖所示的扇形，再將剩余的陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為．【答案】【分析】圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓柱去掉一個半徑為1的半球，利用圓柱和球的表面積公式進行計算可得答案．【解析】圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體是圓柱去掉一個半徑為1的半球，圓柱的底面半徑為1，高為1，所以圓柱的底面面積為π×12＝π，圓柱的側(cè)面積為2π×1×1＝2π，則所得幾何體的表面積為2π＋π＋2π＝5π．故答案為：5π．【跟蹤訓練】1．若球的體積是，則球的表面積是.【答案】【分析】求出球體的半徑，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.故答案為：.2．（2021秋?奉賢區(qū)校級期中）兩個球的體積之比為8：27，那么這兩個球的表面積的比為．【分析】由題意，設(shè)兩個球的半徑，表示出求的表面積和體積；根據(jù)體積比，得到表面積的比．【解答】解：設(shè)兩個球的半徑分別為r，R，由兩個球的體積之比為8：27，得到r3：R3＝8：27，所以r：R＝2：3，那么這兩個球的表面積的比為r2：R2＝4：9；故答案為：4：9．【點評】本題考查了球的體積和表面積；明確體積、表面積公式是關(guān)鍵．3．已知半球的半徑為2，如圖，截面圓平行于半球的底面的，以該截面圓為底面挖去一個圓柱，則剩下的幾何體的表面積的最大值為.

【答案】【分析】畫圖，設(shè)球的半徑為，圓柱的高為，底面半徑為，建立方程由基本不等式求出的最大值，然后求出剩下的幾何體的表面積如圖所示：

因此剩下的幾何體的表面積為：故答案為：.題型6：球的切、接問題【例9】已知正方體的棱長為1，則該正方體外接球的體積與其內(nèi)切球表面積之比為（）【答案】D【分析】由正方體性質(zhì)知，它的外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，利用球體積，表面積公式計算得結(jié)果.故選：D【點睛】本題主要考查了正方體的性質(zhì)，球的體積，表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.【例10】已知長方體的棱長分別為3，4，5，長方體的各個頂點都在一個球面上，則該球的表面積等于_______________．【分析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征，可得長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，由此求出球的半徑，進而可得球的表面積.【詳解】因為長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，該長方體的棱長分別為3，4，5，【例11】已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）【答案】B【詳解】當球為該圓錐的內(nèi)切球時，此時球的半徑最大，如圖所示，故選：B.【跟蹤訓練】A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球直徑與棱長相等，結(jié)合已知條件及球體體積公式求正方體的棱長，進而求正方體的表面積.【詳解】正方體性質(zhì)知：內(nèi)切球的直徑等于棱長，故選：C.2．如圖，半徑為的球中有一內(nèi)接圓柱，當圓柱的側(cè)面積最大時，球的體積與該圓柱的體積之比是（）C． D．【答案】B故選：B.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.3．（2021·上海·高二專題練習）古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，若球的表面積等于圓柱的側(cè)面積，則球的體積與圓柱的體積之比為_________.【答案】【詳解】設(shè)球的半徑為，高為，則圓柱的底面半徑為.故答案為：【點睛】本題考查球和圓柱的體積和表面積的計算及其應(yīng)用，考查球和圓柱的性質(zhì)，屬于中檔題.題型7：球的綜合【例12】（2022秋·上海靜安·高二上海市回民中學?？计谥校┤鐖D，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.(1)若釘身長度是釘帽高度的3倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；(2)若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結(jié)果精確到mm）.(2)55mm.（2）設(shè)釘身的長度為，表示出釘身的體積.根據(jù)已知求出釘身加工后的體積，列出方程，求解即可得出答案.【跟蹤訓練】1．在一個如圖所示的直角梯形ABCD內(nèi)挖去一個扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一圈．(1)請在圖中畫出所得幾何體并說明所得的幾何體的結(jié)構(gòu)特征；(2)求所得幾何體的表面積和體積．【答案】(1)答案見解析【分析】（1）直接由旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征得結(jié)論；（2）結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算該組合體的表面積和體積.【詳解】（1）根據(jù)題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉(zhuǎn)一圈后所得幾何體是上部是圓錐,下部是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球的組合體;（2）該組合體的表面積為組合的體積為2．（2023秋·高二課時練習）如圖，圓柱內(nèi)接于球O，已知球O的半徑R＝2，設(shè)圓柱的底面半徑為r．

(1)以r為變量，表示圓柱的表面積和體積；(2)當r為何值時，該球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大，最大值是多少？【答案】(1)【分析】（1）取中點，連接，根據(jù)勾股定理求出的值，即可求得圓柱的表面積和體積；（2）利用基本不等式可求得圓柱的側(cè)面積最大值，利用等號成立的條件可求得的值.【詳解】（1）解：記圓柱底面的一條直徑為，取中點，連接.

一、填空題1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為【答案】8π；【解析】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π；2．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是________cm.【答案】4eq\r(3)；【解析】如圖所示，由題意知，北緯30°所在小圓的周長為12π，則該小圓的半徑r＝6，其中∠ABO＝30°，所以該地球儀的半徑R＝eq\f(6,cos30°)＝4eq\r(3)cm；3．（2022秋·上海青浦·高二上海市青浦高級中學?？计谀┕畔ＥD數(shù)學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球．該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是，現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為．【答案】【分析】利用圓柱的表面積求出球的表面積，然后求出球的半徑，最后求出圓柱的底面半徑和高，利用圓柱和球的體積差，求出水的體積即可.故答案為：4．（2023春·上海浦東新·高二上海師大附中?？茧A段練習）一個與球心距離為的平面截球所得的圓的面積為，則球的體積為．【分析】先求出截面圓半徑，再求球半徑，最后根據(jù)球體積公式得結(jié)果.【詳解】因為與球心距離為的平面截球所得的圓面面積為，所以該截面圓的半徑為1，【答案】故其外接球的表面積的最小值為，故答案為：故答案為：．【答案】2【分析】根據(jù)三棱錐的外接球幾何關(guān)系和勾股定理即可求.【詳解】

設(shè)球的半徑為，所以外接球的半徑為2.故答案為：2.8．（2023秋·高二課時練習）已知正三棱柱的所有頂點都在同一個半徑為的球面上，則該三棱柱側(cè)面積的最大值為.【詳解】如下圖所示：

【分析】連接，求出，圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐中間挖掉一個球，再根據(jù)圓錐和球的體積公式即可得解.圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為一個圓錐中間挖掉一個球，球的半徑為，【分析】由空間想象得到為棱長為5的正方體，去掉中心處棱長為1的正方體，各角去掉正方體減去一個頂點為球心半徑為1的球后余下部分，各棱處去掉長方體減去一條高為軸，1為底面半徑的圓柱后的部分，再結(jié)合正方體、球體、圓柱的體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，動球在運動過程中經(jīng)過區(qū)域可看作棱長為5的正方體，先去掉中心處棱長為1的正方體，8個角處去掉：棱長為1的正方體減去一個頂點為球心半徑為1的球后剩余部分，12條棱處去掉：底面邊長為1，高為3的棱柱減去一條高為3，底面半徑為1的圓柱后剩余部分，【點睛】關(guān)鍵點點睛：二、選擇題13．（2022秋·上海徐匯·高二位育中學?？计谀┤绻麅蓚€球的表面積之比為4：9，那么這兩個球的體積之比為（

）A．8：27 B．2：13 C．4：943 D．2：9【答案】A【分析】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據(jù)此即可計算.故選：A.14．（2023春·上海楊浦·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知球的半徑為5，球心到平面的距離為3，則平面截球所得的小圓的半徑長是（

）

A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用截面距及球半徑由勾股定理計算即可求得截面圓半徑.則小圓的半徑長即為，故選：D15．（2020?新課標Ⅰ）已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A．64π B．48π C．36π D．32π【分析】畫出圖形，利用已知條件求出OO1，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積．【解答】解：由題意可知圖形如圖：⊙O1的面積為4π，可得O1A＝2，則AO1＝ABsin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半徑為：R＝＝4，球O的表面積：4×π×42＝64π．故選：A．【點評】本題考查球的內(nèi)接體問題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵．A．1 B． C． D．2【答案】C此時取得最大值，所以的最大值為，故選：C三、解答題17．（1）已知球的直徑為2，求它的表面積和體積；（2）已知球的體積為eq\f(108π,3)，求它的表面積；（3）若三個球的表面積之比為1∶4∶9，求這三個球的體積之比；【解析】（1）因為直徑為2，所以半徑R＝1，所以表面積S球＝4πR2＝4π×12＝4π，體積V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π.（2）因為V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(108,3)π，所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.（3）設(shè)三個球的半徑分別為R1，R2，R3，∵三個球的表面積之比為1∶4∶9，∴4πReq\o\al(2,1)∶4πReq\o\al(2,2)∶4πReq\