課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期一課題空間向量的應(yīng)用（一）教科書書名：出版社：人民教育出版社出版日期：年月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)重點：教學(xué)難點：教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動1.運用空間向量解決實際問題2.運用空間向量研究立體幾何中的位置關(guān)系3.課后練習(xí)問題1：如圖所示為某種禮物降落傘在勻速下落的過程的示意圖.其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子的拉力大小相同，每根繩子和水平面的夾角均為60°.已知禮物的重力為9.8N追問1：“降落傘在勻速下落”告訴了我們什么信息？學(xué)生回答：禮物所受繩子的拉力總和與其自身重力平衡.追問2：“有8根繩子和傘面連接，每根繩子的拉力大小相同，每根繩子和水平面的夾角均為60°”，我們可以得到哪些信息？學(xué)生回答：問題描述的立體圖形結(jié)構(gòu)對稱，研究清楚一根繩子的情況就可以了.追問3：“每根繩子和水平面的夾角均為60°”在空間圖形的關(guān)系上如何解釋？學(xué)生回答：每根繩子所在直線與水平面成角為60°，其拉力與水平面向上的法向量成角為30°.展示解答：解：設(shè)水平面向上的單位法向量為n，其中第i根繩子拉力為Fi則Fi

在n上的投影向量為因為Fi和水平面成角為60°，所以Fi和n所以F因為降落傘勻速下落，所以i=1所以i=1因為每個|Fi因為G=?|G|n，所以43所以43代入數(shù)值，可得F1所以，每根繩子的拉力大小約為1.41N.追問4：回顧一下，我們是如何解決這個實際問題的？追問5：運用空間向量求解實際問題的一般思路是什么？例如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F（1）求證：DE⊥EB；（2）求證：PB⊥平面EFD；（3）判斷：線段PB上是否存在一點Q，滿足AQ//DE請說明理由.問題2：如何用空間向量來證明DE⊥EB？計算向量DE和BE的數(shù)量積.追問1：選擇哪組基底向量呢？DA，DC，DP.追問2：能用這組基底向量表示DE和BE么？DE追問3：如果用坐標(biāo)法表示DE和BE，該如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？找到兩兩垂直且交于一點的三條直線.本質(zhì)上是找兩兩相互垂直的一組基底向量.追問4：需要寫出哪些點的坐標(biāo)？D就可以得到DE（解法一）（1）證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC.所以DA?DP=0，DP因為所以DE=??=因為PD=DC，所以DP2所以DE?BE=0.所以DE⊥（解法二）（1）證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC.所以以D為原點，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA長為1，可得D所以所以DE所以DE⊥BE.所以直線問題3：如何用向量法證明PB⊥平面思路一是證明向量PB與平面EFD的法向量平行；思路二是證明向量PB與平面EFD內(nèi)的兩個不共線向量垂直.追問1：你會傾向于采用哪種思路？證明向量PB與平面EFD內(nèi)的兩個不共線向量垂直.追問2：你會選擇證明哪個向量垂直于PB呢？DE（解法一）（2）證明：因為PBDE所以PB=+所以PB所以PB⊥DE.所以直線因為EF⊥PB，PB⊥DE，EF∩EF?平面EFD，DE?平面EFD，所以PB⊥平面EFD.（解法二）采用第（1）問的空間直角坐標(biāo)系，可得D所以所以所以PB⊥DE，即PB⊥因為EF⊥PB，PB⊥DE，EF∩EF?平面EFD，DE?平面EFD，所以PB⊥平面EFD.問題4：如何用空間向量表示直線AQ//DE？存在λ，使得AQ=λ追問1：用前面的基底向量來表示會得到怎樣的等式呢？AQDE所以可以得到等式t追問2：如果用坐標(biāo)法，該如何表示點Q的坐標(biāo)呢？因為點Q在線段PB上，所以存在a∈(0,1)，使得

PQ（解法一）（3）解：若存在點Q在線段PB上，則AQ=tAB+(1?t)所以AQ=t因為DE若有AQ//DE，則存在實數(shù)λ使得AQ=λDE所以所以所以因為上式無解，所以不存在點Q在線段PB上，滿足AQ//DE.（解法二）解：采用第（1）問的空間直角坐標(biāo)系，若存在點Q在線段PB上，所以存在a∈(0,1)，使得

PQ因為PB=1,1,?1，所以因為P(0,0,1)，所以Q(a,a,1?a).可以得到若有AQ//DE，則存在實數(shù)λ使得AQ=λ所以因為方程組無解，所以，不存在點Q在線段PB上，使得