《圓內(nèi)接多邊形》知識回顧1.圓周角定義1.頂點(diǎn)在圓上，2.兩邊都與圓相交的角.（二者必須同時具備）.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該圓弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等.2.圓周角定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握圓內(nèi)接四邊形及其對角的性質(zhì).2.掌握圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì).課堂導(dǎo)入觀察下面的圖形，圖中的多邊形與圓有什么位置關(guān)系？如果一個多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.知識點(diǎn)1新知探究四個頂點(diǎn)都在同一個圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.每一個圓都有無數(shù)個內(nèi)接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓.知識點(diǎn)1新知探究如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.

猜想：∠A與∠C，∠B與∠D之間的關(guān)系為：

∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o.知識點(diǎn)1新知探究∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，如何證明你的猜想呢？圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).知識點(diǎn)1新知探究CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E∵∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.圖中∠A與∠DCE的大小有何關(guān)系？知識點(diǎn)1新知探究圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.跟蹤訓(xùn)練新知探究（邵陽中考）如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=120°，則∠BOD的大小是()A.80° B.120° C.100° D.90°B解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A=180°-∠BCD=60°，由圓周角定理得，∠BOD=2∠A=120°．隨堂練習(xí)1如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形.AB與DC的延長線交于點(diǎn)G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC=50°，則∠DBC的度數(shù)為()CA.50° B.60° C.80° D.90°

F隨堂練習(xí)2

100

A.8 B.12 C.16 D.20隨堂練習(xí)3解：∵四邊形BCDE內(nèi)接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直徑，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，

隨堂練習(xí)3

C課堂小結(jié)圓內(nèi)接四邊形的角的“三種關(guān)系”：1.對角互補(bǔ)，若四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，則∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.2.四個內(nèi)角的和是360°，若四邊形ABCD為⊙O

的內(nèi)接四邊形，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.3.任一外角與其相鄰的內(nèi)角的對角相等，簡稱圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對角．對接中考1

70

對接中考2如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的度數(shù)為()CA.45° B.50° C.60° D.75°

對接中考3求證：圓內(nèi)接平行四邊形是矩形.已知：平行四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形.求證：四邊形ABCD是矩形.證明：∵平行四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，∴∠B=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形．

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)123456789101112131.如圖，四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉

O

，若∠

B

＝92°，則∠

D

的度數(shù)是

(

B

)A.92°B.88°C.98°D.108°第1題圖【解析】∵四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉

O

，∠

B

＝92°，∴∠

D

＋∠

B

＝180°，解得∠

D

＝88°.B2.【教材第88頁練習(xí)第5題改編】如圖，四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉

O

，它

的一個外角∠

CBE

＝70°，則∠

D

的度數(shù)為(

B

)A.110°B.70°C.140°D.160°第2題圖B【解析】∵四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉

O

，它的一個外角∠

CBE

＝70°，∴∠

ABC

＋∠

CBE

＝180°，∠

ABC

＋∠

D

＝180°.∴∠

D

＝∠

CBE

＝70°.123456789101112133.(保定期中)如圖，

AB

是☉

O

的直徑.若∠

ADE

＝115°，則∠

EBA

的度數(shù)為(

A

)A.65°B.55°C.35°D.25°A123456789101112134.(邢臺校聯(lián)考期中)如圖，四邊形

ABCD

為☉

O

的內(nèi)接四邊形，若

∠

B

＝110°，則∠

AOC

的度數(shù)為(

C

)A.110°B.120°C.140°D.160°C【解析】∵四邊形

ABCD

為☉

O

的內(nèi)接四邊形，∴∠

B

＋∠

D

＝180°.∵∠

B

＝110°，∴∠

D

＝180°－110°＝70°.由圓周角定理，得∠

AOC

＝2∠

D

＝140°.123456789101112135.如圖，

A

，

B

，

C

是☉

O

上的點(diǎn)，且∠

ACB

＝140°.在這個圖中，下列

度數(shù)的圓周角：40°，50°，90°，140°，僅用無刻度的直尺能畫出的有

(

D

)A.1個B.2個C.3個D.4個D12345678910111213【解析】作直徑

AD

，連接

BD

，

AB

，如圖，則∠

ACB

＋∠

D

＝180°，∴∠

D

＝180°－140°＝40°.∵

AD

為☉

O

的直徑，∴∠

ABD

＝90°.∴∠

BAD

＝90°－∠

D

＝50°.

∴∠

AEB

＝∠

ACB

＝140°.123456789101112136.(石家莊開學(xué)考試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，點(diǎn)

A

在

x

軸

的正半軸上，點(diǎn)

B

在

y

軸的負(fù)半軸上，☉

D

經(jīng)過

A

，

B

，

O

，

C

四點(diǎn)，

若∠

ACO

＝120°，

AB

＝2，則點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為(

D

)A.(0，1)B.(1，0)第6題圖D12345678910111213

123456789101112137.如圖，四邊形

ABCD

是☉

O

的內(nèi)接四邊形，∠

D

＝3∠

B

，則∠

B

的

度數(shù)為

?.第7題圖45°

12345678910111213

8.(保定期中)有一道題目：“如圖，已知

AB

是☉

O

的弦，點(diǎn)

D

在

☉

O

上，且

OD

⊥

AB

，

C

是☉

O

上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)

A

，

B

重合)，若∠

AOD

＝60°，求∠

ACB

的度數(shù).”甲答：∠

ACB

的度數(shù)為60°；乙答：∠

ACB

的度數(shù)為30°；丙答：∠

ACB

的度數(shù)為120°.則正確的是(

B

)BA.只有甲答的對B.甲、丙答案合在一起才完整C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整第8題圖12345678910111213【解析】如圖所示，連接

OB

，分兩種情況討論：

12345678910111213②當(dāng)點(diǎn)

C1在劣弧

AB

上，∵∠

ACB

＝60°，∴∠

AC1

B

＝180°－∠

ACB

＝180°－60°＝120°.綜上可知，∠

ACB

的度數(shù)為60°或120°.∴甲、丙答案合在一起才完整.123456789101112139.如圖，四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉

O

，∠

ABC

＝135°，

AC

＝4，則☉

O

的

半徑為(

B

)A.4第9題圖B【解析】如圖，連接

OA

，

OC

.

∵四邊形

ABCD

內(nèi)接于☉

O

，∠

ABC

＝135°，∴∠

ADC

＝45°.∴∠

AOC

＝2∠

ADC

＝90°.由勾股定理，得

OA2＋

OC2＝

AC2.12345678910111213

【解析】如圖所示，以

O

為圓心，

OA

長為半徑作圓，連接

OA

，

OB

，

過點(diǎn)

O

作

OF

⊥

AB

于點(diǎn)

F

，45°或135°

12345678910111213即

OA2＋

OB2＝

AB2.∴∠

AOB

＝90°.在劣弧

AB

上取點(diǎn)

E

，連接

AE

，

EB

，在優(yōu)弧

AB

上取點(diǎn)

G

，連接

AG

，BG

，

∴∠

AEB

＝180°－∠

AGB

＝135°.綜上所述，弦

AB

所對的圓周角的度數(shù)為45°或135°.12345678910111213

此題考查的是圓周角定理及垂徑定理，解答此題時需注意一條弦所

對的圓周角有兩個，這兩個角互為補(bǔ)角.易錯警示1234567891011121311.如圖，圓內(nèi)接四邊形

ABCD

的對角線

AC

，

BD

交于點(diǎn)

E

，

BD

平分

∠

ABC

，∠

BAC

＝∠

ADB

.

(1)求證：

BD

為圓的直徑；

12345678910111213(2)過點(diǎn)

C

作

CF

∥

AD

交

AB

的延長線于點(diǎn)

F

，若

AC

＝

AD

，

BF

＝3，

求此圓半徑的長.(2)解：∵

BD

是圓的直徑，∴∠

BAE

＋∠

DAE

＝90°，∠

BAE

＝∠

ADE

.

∴∠

ADE

＋∠

DAE

＝90°.∴∠

AED

＝90°.∵

BD

是圓的直徑，∴

BD

垂直平分

AC

.

12345678910111213

12345678910111213

∵

BD

是圓的直徑，∴圓的半徑長是6.12345678910111213

12.

(滄州二模)某圓形舞臺的圓心為

O

，

A

，

B

是舞臺邊

緣上兩個固定位置，由線段

AB

及優(yōu)弧

ACB

(

C

是該弧的中點(diǎn))圍成的區(qū)

域是表演區(qū).如圖1，在

A

處安裝一臺監(jiān)控器，其監(jiān)控的角度為70°.如圖

2，若再加一臺該型號的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個區(qū)域，則下

列方案可行的是(

A

)A甲：在

B

處放置；乙：在

M

處放置；丙：在

N

處放置.A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙12345678910111213【解析】①若在

B

處放置，如圖1所示，連接

BC

.

∵

C

是優(yōu)弧

ACB

的中點(diǎn)，

∴∠

CBA

＝∠

CAB

＝70°.∴在

B

處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到∠

CBA

所對的區(qū)域，即兩臺監(jiān)控器可滿

足監(jiān)控到表演區(qū)的整個區(qū)域，故甲方案可行；12345678910111213②若在

M

處放置，如圖2所示，連接

AM

，

CM

，

BC

.

由①知，∠

CBA

＝70°.由圓周角定理，得∠

CMA

＝∠

CBA

＝70°，∴在

M

處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到∠

CMA

所對的區(qū)域，