專題2.5應用一元二次方程 目錄TOC\o"12"\h\u一.知識梳理與題型精析 1知識點（一）解可化為一元二次方程的分式方程 1【題型1】解可化為一元二次方程的分式方程 2知識點（二）傳播問題、增長率問題、握手、循環(huán)賽問題 2【題型2】傳播問題 2【題型3】增長率問題 2【題型4】握手和循環(huán)賽問題 3知識點（三）圖形問題和動態(tài)幾何問題 3【題型5】圖形問題 4【題型6】動態(tài)幾何問題 4知識點（四）數(shù)字問題、營銷問題 5【題型7】數(shù)字問題 6【題型8】營銷問題 6知識點（五）工程問題、行程問題 6【題型8】工程問題 7【題型9】行程問題 7二．同步練習 81.基礎夯實（選擇題6題，填空題6題，解答題2題） 82.鞏固提升（選擇題6題，填空題6題，解答題4題） 113.直通中考（選擇題4題，填空題4題，解答題3題） 14一.知識梳理與題型精析知識點（一）解可化為一元二次方程的分式方程解題步驟：1.

確定最簡公分母，去分母轉化為整式方程2.

整理整式方程為標準形式3.

求解一元二次方程4.

驗根（關鍵步驟，不可省略）5.

寫出原方程的解【題型1】解可化為一元二次方程的分式方程知識點（二）傳播問題、增長率問題、握手、循環(huán)賽問題【題型2】傳播問題【例題2】（2425九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期中）若一人患上流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有144人被傳染上流感，這時引起有關部門注意，加以控制，以后每輪傳染少5人，問第四輪傳染后共有多少人患流感？【變式2】（2425九年級上·天津和平·期中）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感，設每輪傳染中平均一個人傳染了個人，則下列結論不正確的是（

）【題型3】增長率問題【例題3】．（2425八年級下·山東煙臺·期末）隨著旅游旺季的到來，煙臺某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，3月份游客人數(shù)為1.6萬人，5月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個月該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；（2）預計6月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)6月1日至6月20日已接待游客2.125萬人，則6月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【變式2】（2025·四川綿陽·二模）據(jù)調(diào)查，某村2022年的人均收入為30000元，2024年的人均收入為36300元．若從2022年到2024年該村人均收入的平均增長率不變，按此平均增長率預測2025年該村的人均收入是元．【題型4】握手和循環(huán)賽問題【例題4】（2425八年級下·遼寧·階段練習）月份學校要組織本年度“校長杯”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊之間都賽一場），計劃安排場比賽，請問參賽球隊有多少？【變式1】（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在一次同學聚會時，大家相互握手問候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么參加這次聚會的同學共有（

）人．A．9 B．10 C．45 D．46【變式2】（2324九年級上·西藏拉薩·期中）組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，計劃安排15場比賽，邀請個球隊參加比賽．知識點（三）圖形問題和動態(tài)幾何問題基本圖形：靠墻問題盒子折疊問題平移問題等量關系：利用矩形周長公式和面積公式建立等量關系

動態(tài)幾何問題：三角形動態(tài)問題四邊形動態(tài)問題等量關系：由點的速度求出線段長，利用圖形性質(zhì)建立等量關系【題型5】圖形問題【題型6】動態(tài)幾何問題A． B． C． D．知識點（四）數(shù)字問題、營銷問題

1.數(shù)字問題基本形式：一個三位數(shù)，設個位數(shù)字為，這個三位數(shù)為100+10+；2.

營銷問題基本形式：（1）單件利潤=售價成本價；（2）總利潤=單件利潤×銷量.【題型7】數(shù)字問題【例題7】（2425九年級上·河南洛陽·階段練習）一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2，個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個數(shù)小1，求這個兩位數(shù)．【變式1】（2425九年級上·河北石家莊·階段練習）若一個兩位數(shù)比它的十位數(shù)字與個位數(shù)字和的平方少2，且個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，則這個兩位數(shù)是（

）A．23 B．34 C．23或34 D．或【變式2】（2425九年級上·江蘇宿遷·期中）若一個數(shù)的平方與的差等于這個數(shù)的倍，則這個數(shù)為．【題型8】營銷問題【例題8】（2425九年級上·重慶合川·期中）今年11月份，某商場購進了一批T恤和襯衣，商家用16000元購買T恤，12000元購買襯衣，每件T恤和每件襯衣進價之和為100元，且購進T恤的數(shù)量是襯衣的2倍．（1）求商場購買T恤和襯衣的進貨單價；（2）商場在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當T恤的銷售單價為每件80元，襯衣的銷售單價為每件120元時，平均每天可賣出50件T恤，30件襯衣，據(jù)統(tǒng)計，襯衣的銷售單價每降低5元，平均每天可以多賣出5件．為減少庫存，商家在保證T恤的售價和銷量不變且不考慮其他因素的情況下，想使T恤和襯衣平均每天的總獲利為4000元，則每件襯衣的售價為多少元？【變式1】（2425八年級下·山東·期末）在2020年元旦期間，某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當銷售價為2900元時，平均每天能銷售出8臺；而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？設每臺冰箱定價元，根據(jù)題意，可列方程為（

）【變式2】（2324九年級上·河南信陽·階段練習）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件．若要使一天的總利潤為1120元，則該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為．知識點（五）工程問題、行程問題工程問題：（1）工作量=工作效率×工作時間；（2）工作效率=工作量÷工作時間（單位時間完成的工作量）；（3）工作時間=工作量÷工作效率；

行程問題：（1）路程=速度×時間；（2）速度=路程÷時間；（3）時間=路程÷速度【題型8】工程問題【例題8】（2023·遼寧鞍山·一模）某花木園，計劃在園中栽96棵桂花樹，開工后每天比原計劃多栽2棵，結果提前4天完成任務．問原計劃每天栽多少棵？【變式1】（2223八年級下·上海靜安·期中）為加強防汛工作，市工程隊準備對蘇州河一段長為2240米的河堤進行加固，由于采用新的加固模式，現(xiàn)在計劃每天加固的長度比原計劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數(shù)將比原計劃縮短2天，為進一步縮短該段加固工程的時間，如果要求每天加固224米，那么在現(xiàn)在計劃的基礎上，每天加固的長度還要再增加多少米？【變式2】（2223九年級上·重慶渝中·期末）某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．（1）求A型設備每小時鋪設的路面長度；【題型9】行程問題【例題9】（2024·廣東廣州·模擬預測）今年年初一美麗的白鵝潭江而進行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當晚該公園附近路段實施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．（1）求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？（1）甲運動后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運動到第三次相遇時，它們運動了多少時間？【變式2】（2324九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運動，叫做勻變速直線運動．在此運動過程中，每個時間段的平均速度為初速度和末速度的算術平均數(shù)，路程等于時間與平均速度的乘積．若一個小球以5米/秒的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4秒后小球停止運動．（1）小球的滾動速度平均每秒減少多少？二．同步練習?1.基礎夯實（選擇題6題，填空題6題，解答題2題）一、單選題1．（2425八年級下·山東煙臺·期中）淇淇同學在計算正數(shù)的平方時，誤算成與的積，求得的答案比正確答案小，則正數(shù)的值是（

）2．（2025·廣西南寧·模擬預測）畢業(yè)將至，九（1）班全體學生互贈祝?？ǎ操涀８？?560張，問：九（1）班共有多少名學生？設九（1）班共有名學生，根據(jù)題意可列方程為（

）A．2 B． C．1 D．4．（2425八年級下·浙江寧波·期末）寧波市積極推進綠色出行，某品牌共享電動車2023年注冊用戶為50萬戶，2025年預計增長至80萬戶，設這兩年用戶數(shù)的年平均增長率為x，可列方程為（

）5．（2425八年級下·安徽淮南·期末）如圖1是小明同學用手機拍攝的一張家鄉(xiāng)風景照片，照片的長為8分米，寬為6分米，現(xiàn)在想在原照片的四周圍用寬度相同的金色紙邊進行裝裱，如圖2．如果要求裝裱后的圖片面積是80平方分米．則裝裱用的金色紙片的寬是（

）A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米二、填空題7．（2425九年級上·湖南衡陽·期中）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字之和是5，十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后所得的數(shù)與原數(shù)相乘，得736，這個兩位數(shù)是．8．（2425八年級下·山東泰安·期末）小明在與Deepseek對話中輸入如下的文字，經(jīng)過40秒的深度思考和驗證，Deepseek給出的這個數(shù)應該是．有沒有這樣一個數(shù)，先計算它的平方，再減去它的3倍后再加上4，結果等于這個數(shù)？9．（2425九年級上·廣西南寧·期中）某地進行“迎國慶振興杯”籃球邀請賽，賽制為單循環(huán)（每兩隊之間賽一場），若計劃安排21場比賽，則邀請個球隊參賽．11．（2425九年級上·甘肅天水·期末）某大型樓盤陸續(xù)交付后，家裝燈具店紛紛推出各類優(yōu)惠政策．某燈具店通過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)當成本為每個30元的臺燈的售價為每個40元時，平均每天售出600個；若售價每個每下降2元，每日銷售量就增加400個．為迎接“雙十一”，該店決定降價促銷．在庫存為1220個臺燈的情況下，若預計日銷售獲利恰好為8400元，則每個臺燈的售價應為元．三、解答題（1）用含x的代數(shù)式表示的長．14．（2425八年級下·安徽合肥·期末）新能源汽車采用電能作為動力來源，減少二氧化碳氣體的排放，達到保護環(huán)境的目的，其市場需求逐年上升．（1）某品牌新能源汽車1月份銷售量為30萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐月遞增，3月份的銷售量達到36.3萬輛．求從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長率．（2）某汽車銷售公司搶占先機，購進一款進價為12萬元/輛的該品牌新能源汽車，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當該款汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低1萬元，平均每周多售出2輛，若該店計劃下調(diào)售價使平均每周的銷售利潤為144萬元．為了推廣新能源汽車，并且此次銷售盡量讓利于顧客，求該店下調(diào)后每輛汽車的售價．2.鞏固提升（選擇題6題，填空題6題，解答題4題）一、單選題1．（2425八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了（

）人A．2 B．8 C．10 D．42．（2425八年級下·安徽合肥·期末）某城市2022年新能源汽車公共充電樁數(shù)量為萬個，該市通過兩年建設，2024年底充電樁總數(shù)達到萬個，按相同的增長率，預計2025年底充電樁總數(shù)達到多少萬個（

）A．40 B．48 C．52 D．565．（2425九年級上·山東臨沂·期末）九州大廈將進價為40元/件的襯衫以60元/件出售時，平均每天能賣出30件，若每降價1元，則每天可多賣出5件，如果降價元，每天盈利800元，那么可列方程為（

）

圖1

圖2A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題8．（2024·云南昆明·一模）如圖三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個點，第二行有個點第行有個點，已知前行共有個點，則的值為．11．（2024九年級·全國·競賽）望望同學和他的體育教練王老師同時從圓形跑道上的同一起點出發(fā)，都按順時針方向跑步，王老師的速度比望望的速度快多了，過一段時間后王老師第一次從后面追上了望望，這時王老師立即改變方向，按逆時針方向以原來的速度跑去，當他們倆再次相遇時，望望恰好跑了4圈，則王老師的速度與望望的速度之比為．三、解答題13．（2425八年級下·上海松江·期末）學校購買一批獎品．已知種獎品的單價比種獎品單價便宜9元，用128元購買種獎品的數(shù)量和用272元購買種獎品的數(shù)量總共是32個．（1）求、兩種獎品的單價各是多少元？（2）該校計劃購買、兩種獎品共80個，且種獎品的數(shù)量不大于種獎品數(shù)量的3倍，請你設計出最省錢的購買方案，并求出最低購買費用．15．（2425八年級下·山東威?！て谀┠畴娖魃虉鰪膹S家購進了，兩種型號的洗衣機，已知一臺型洗衣機的進價比一臺型洗衣機的進價多600元，用14400元購進型洗衣機與用10800元購進型洗衣機的臺數(shù)相同．（1）求一臺型洗衣機和一臺型洗衣機的進價各為多少元？（2）在銷售過程中，型洗衣機因為造型精致，噪音小而更受消費者的歡迎．該商場決定停止購進型洗衣機，并對庫存貨品進行降價銷售，力求盡快清空庫存貨品．經(jīng)市場調(diào)查，當型洗衣機的售價為2800元時，每天可售出臺，在此基礎上，售價每降低100元，每天將多售出1臺，如果每天該商場銷售型洗衣機的利潤為5400元，請問該商場應將型洗衣機的售價定為多少元？16．（2025·福建泉州·模擬預測）閱讀材料：（1）甲在3秒內(nèi)經(jīng)過的路程為_____________；（單位：m）（2）求出發(fā)后，甲、乙速度相等的時間；（3）求出發(fā)后，甲、乙相遇的時間．3.直通中考（選擇題4題，填空題4題，解答題3題）一、單選題1．（2025·黑龍江·中考真題）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品