高中數(shù)學(xué)幾何題專項(xiàng)訓(xùn)練卷前言幾何是高中數(shù)學(xué)的核心模塊之一，涵蓋立體幾何與解析幾何兩大分支，約占高考數(shù)學(xué)總分的30%~40%。其考察重點(diǎn)包括：立體幾何：空間想象能力（三視圖、直觀圖）、邏輯推理能力（線面位置關(guān)系證明）、運(yùn)算求解能力（體積、表面積、空間角）；解析幾何：代數(shù)與幾何的融合（用方程表示曲線）、轉(zhuǎn)化與化歸能力（直線與圓錐曲線位置關(guān)系）、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（離心率、弦長(zhǎng)、最值）。本訓(xùn)練卷以高考高頻考點(diǎn)為導(dǎo)向，按“考點(diǎn)分析—典型例題—專項(xiàng)訓(xùn)練”的邏輯編排，注重解題技巧與思維過程的滲透，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固幾何知識(shí)，提升解題效率。一、立體幾何專項(xiàng)訓(xùn)練立體幾何的核心是“空間觀念”，需通過直觀感知—操作確認(rèn)—邏輯論證的過程，建立“點(diǎn)—線—面—體”的聯(lián)系。（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)與體積表面積1.考點(diǎn)分析基礎(chǔ)考點(diǎn)：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征；三視圖（長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等）、直觀圖（斜二測(cè)畫法）；高頻考點(diǎn)：組合體（如正方體挖去三棱錐、圓柱與圓錐組合）的體積、表面積計(jì)算；不規(guī)則幾何體的割補(bǔ)法（將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體）。2.典型例題例1（三視圖與體積計(jì)算）某幾何體的三視圖如圖所示（主視圖、左視圖為矩形，俯視圖為直角三角形），求該幾何體的體積。（注：主視圖長(zhǎng)為3，寬為2；左視圖長(zhǎng)為3，寬為1；俯視圖直角邊為2和1。）解題思路：由三視圖還原幾何體：主視圖與左視圖為矩形，說明幾何體為柱體；俯視圖為直角三角形，故該幾何體為直三棱柱（底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面）。底面直角三角形的面積：\(S=\frac{1}{2}\times2\times1=1\)；側(cè)棱長(zhǎng)度（即柱體的高）：主視圖的長(zhǎng)為3，故高\(yùn)(h=3\)；體積：\(V=S\timesh=1\times3=3\)。技巧總結(jié)：柱體體積=底面積×高，關(guān)鍵是通過三視圖確定底面形狀與高。3.專項(xiàng)訓(xùn)練題（1）若某幾何體的三視圖均為邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體的體積為______（提示：正方體挖去一個(gè)頂點(diǎn)處的三棱錐）。（2）已知圓錐的底面半徑為1，高為\(\sqrt{3}\)，則其側(cè)面積為______（提示：側(cè)面積=πrl，l為母線長(zhǎng)）。（3）一個(gè)球內(nèi)切于棱長(zhǎng)為2的正方體，求該球的表面積（提示：球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)）。（二）空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系1.考點(diǎn)分析基礎(chǔ)考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)（三公理、三推論）；高頻考點(diǎn)：線線平行/垂直、線面平行/垂直、面面平行/垂直的判定定理與性質(zhì)定理（如線面平行的判定：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行）。2.典型例題例2（線面平行的證明）在三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，D為AC的中點(diǎn)，求證：\(B_1C\parallel\)平面\(A_1BD\)。解題思路：目標(biāo)：證明\(B_1C\parallel\)平面\(A_1BD\)，需找到平面內(nèi)與\(B_1C\)平行的直線（線面平行判定定理）。輔助線：連接\(AB_1\)，交\(A_1B\)于點(diǎn)O（三棱柱的側(cè)棱平行且相等，故\(AB_1\)與\(A_1B\)互相平分）。推理：1.O為\(AB_1\)的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，故OD為\(\triangleAB_1C\)的中位線；2.中位線性質(zhì)：\(OD\parallelB_1C\)；3.\(OD\subset\)平面\(A_1BD\)，\(B_1C\not\subset\)平面\(A_1BD\)，故\(B_1C\parallel\)平面\(A_1BD\)。技巧總結(jié)：證明線面平行時(shí)，中位線或平行四邊形是常用的輔助線方法（目的是構(gòu)造線線平行）。3.專項(xiàng)訓(xùn)練題（1）在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，E為\(B_1C_1\)的中點(diǎn)，求證：\(AE\parallel\)平面\(A_1BD\)。（2）已知平面\(\alpha\perp\)平面\(\beta\)，\(\alpha\cap\beta=l\)，\(a\subset\alpha\)，\(a\perpl\)，求證：\(a\perp\beta\)（提示：面面垂直的性質(zhì)定理）。（三）空間角與距離1.考點(diǎn)分析空間角：異面直線所成角（范圍：\((0,\frac{\pi}{2}]\)）、線面角（范圍：\([0,\frac{\pi}{2}]\)）、二面角（范圍：\([0,\pi]\)）；空間距離：點(diǎn)到平面的距離（常用等體積法）、異面直線間的距離（較少考察）。2.典型例題例3（線面角的計(jì)算）在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求直線\(A_1B\)與平面\(ABC_1D_1\)所成的角。解題思路：線面角的定義：直線與它在平面內(nèi)的射影所成的角（最小角定理）。步驟：1.找射影：過\(A_1\)作平面\(ABC_1D_1\)的垂線，垂足為O。平面\(ABC_1D_1\)是矩形，\(A_1D_1\perpAD_1\)，\(A_1D_1\perpAB\)，故\(A_1D_1\perp\)平面\(ABC_1D_1\)？不對(duì)，平面\(ABC_1D_1\)包含\(AB\)和\(BC_1\)，\(A_1B\)在平面內(nèi)的射影應(yīng)為\(OB\)，其中O為\(A_1\)在平面內(nèi)的垂足。（修正：平面\(ABC_1D_1\)的法向量可通過坐標(biāo)法求，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，坐標(biāo)：\(A_1(0,0,1)\)，\(B(1,0,0)\)，平面\(ABC_1D_1\)的點(diǎn)：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C_1(1,1,1)\)，\(D_1(0,1,1)\)，法向量\(n=(0,1,0)\)（垂直于\(AB\)和\(AD_1\)）。直線\(A_1B\)的方向向量為\((1,0,-1)\)，線面角\(\theta\)滿足\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{A_1B},n\rangle|=\frac{|1×0+0×1+(-1)×0|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}×\sqrt{0^2+1^2+0^2}}=0\)？不對(duì)，說明我剛才的平面找錯(cuò)了，應(yīng)該是平面\(ABCD\)？不，題目是平面\(ABC_1D_1\)，其實(shí)正確的做法是：連接\(A_1D\)，交\(AD_1\)于點(diǎn)O，因?yàn)閈(A_1D\perpAD_1\)，\(A_1D\perpAB\)，所以\(A_1D\perp\)平面\(ABC_1D_1\)，故O為\(A_1\)在平面內(nèi)的垂足，\(OB\)為\(A_1B\)的射影，\(\angleA_1BO\)即為線面角。\(A_1B=\sqrt{2}\)，\(OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+1^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)？不對(duì)，等一下，正方體邊長(zhǎng)為1，\(A_1(0,0,1)\)，\(D(0,1,0)\)，\(AD_1(0,1,1)\)，\(A_1D\)的中點(diǎn)O坐標(biāo)為(0,0.5,0.5)，\(B(1,0,0)\)，\(OB\)的長(zhǎng)度為\(\sqrt{(1-0)^2+(0-0.5)^2+(0-0.5)^2}=\sqrt{1+0.25+0.25}=\sqrt{1.5}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)，\(A_1B=\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}\)，\(A_1O=\sqrt{(0-0)^2+(0.5-0)^2+(0.5-1)^2}=\sqrt{0+0.25+0.25}=\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，所以\(\sin\angleA_1BO=\frac{A_1O}{A_1B}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\)，故線面角為\(30^\circ\)（即\(\frac{\pi}{6}\)）。技巧總結(jié)：線面角的計(jì)算可通過找射影（幾何法）或向量法（計(jì)算方向向量與法向量的夾角，再取余角），幾何法需具備較強(qiáng)的空間想象能力，向量法更直接。3.專項(xiàng)訓(xùn)練題（1）在正三棱錐\(S-ABC\)中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求側(cè)棱與底面所成的角（提示：頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）。（2）已知二面角\(\alpha-l-\beta\)的大小為\(60^\circ\)，點(diǎn)P在平面\(\alpha\)內(nèi)，且P到l的距離為2，求P到平面\(\beta\)的距離（提示：用三角函數(shù)或向量法）。二、解析幾何專項(xiàng)訓(xùn)練解析幾何的核心是“用代數(shù)方法解決幾何問題”，需掌握曲線方程的建立與直線與曲線位置關(guān)系的處理。（一）直線與圓1.考點(diǎn)分析基礎(chǔ)考點(diǎn)：直線的方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式）、圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)式、一般式）；高頻考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系（相交、相切、相離，用圓心到直線的距離與半徑比較）；圓與圓的位置關(guān)系（用圓心距與半徑和/差比較）。2.典型例題例4（直線與圓的相切問題）求過點(diǎn)\(P(2,1)\)且與圓\(x^2+y^2=5\)相切的直線方程。解題思路：方法一：設(shè)直線方程為\(y-1=k(x-2)\)（點(diǎn)斜式），即\(kx-y+(1-2k)=0\)；直線與圓相切的條件：圓心(0,0)到直線的距離等于半徑\(\sqrt{5}\)，即\(\frac{|1-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{5}\)；解方程：\((1-2k)^2=5(k^2+1)\)→\(1-4k+4k^2=5k^2+5\)→\(k^2+4k+4=0\)→\((k+2)^2=0\)→\(k=-2\)；故直線方程為\(y-1=-2(x-2)\)，即\(2x+y-5=0\)；驗(yàn)證：是否存在斜率不存在的直線？即\(x=2\)，代入圓方程得\(4+y^2=5\)→\(y=±1\)，故\(x=2\)也是切線（過點(diǎn)(2,1)）。結(jié)論：切線方程為\(2x+y-5=0\)或\(x=2\)。技巧總結(jié)：求過定點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，必須考慮斜率不存在的情況，避免漏解。3.專項(xiàng)訓(xùn)練題（1）求圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的圓心到直線\(2x-y+3=0\)的距離（提示：用點(diǎn)到直線距離公式）。（2）已知圓\(C_1:x^2+y^2=1\)與圓\(C_2:(x-3)^2+(y-4)^2=r^2\)相切，求r的值（提示：外切時(shí)圓心距=半徑和，內(nèi)切時(shí)圓心距=半徑差）。（二）橢圓1.考點(diǎn)分析基礎(chǔ)考點(diǎn)：橢圓的定義（到兩焦點(diǎn)距離之和為2a）、標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在x軸/y軸）、幾何性質(zhì)（長(zhǎng)軸、短軸、焦距、離心率\(e=\frac{c}{a}\)）；高頻考點(diǎn)：橢圓的離心率計(jì)算（常與a、b、c的關(guān)系結(jié)合）、直線與橢圓的位置關(guān)系（聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理）。2.典型例題例5（橢圓的離心率）已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若\(\angleABF=90^\circ\)，求橢圓的離心率。解題思路：坐標(biāo)表示：F(-c,0)，A(a,0)，B(0,b)；向量法：\(\overrightarrow{BA}=(a,-b)\)，\(\overrightarrow{BF}=(-c,-b)\)；\(\angleABF=90^\circ\)等價(jià)于\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=0\)（向量垂直）；計(jì)算點(diǎn)積：\(a×(-c)+(-b)×(-b)=-ac+b^2=0\)→\(b^2=ac\)；由橢圓性質(zhì)\(b^2=a^2-c^2\)，代入得\(a^2-c^2=ac\)；兩邊除以\(a^2\)（標(biāo)準(zhǔn)化）：\(1-e^2=e\)→\(e^2+e-1=0\)；解得\(e=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}\)，取正根\(e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)（約0.618，黃金分割比）。技巧總結(jié)：離心率計(jì)算的關(guān)鍵是建立\(a、b、c\)的關(guān)系式，常通過幾何性質(zhì)（如垂直、中點(diǎn)）或定義轉(zhuǎn)化。3.專項(xiàng)訓(xùn)練題（1）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為\(\frac{1}{2}\)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（提示：分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況）。（2）橢圓\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)的右焦點(diǎn)為F，過F作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=6，求直線的斜率（提示：用弦長(zhǎng)公式\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|\)）。（三）拋物線1.考點(diǎn)分析基礎(chǔ)考點(diǎn)：拋物線的定義（到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離相等）、標(biāo)準(zhǔn)方程（開口方向：x軸正/負(fù)、y軸正/負(fù)）、幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程）；高頻考點(diǎn)：焦點(diǎn)弦問題（如弦長(zhǎng)、中點(diǎn)坐標(biāo)、斜率）、拋物線與直線的位置關(guān)系（聯(lián)立方程）。2.典型例題例6（拋物線的焦點(diǎn)弦）已知拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，求直線l的方程。解題思路：拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)F(2,0)，設(shè)直線l的方程為\(y=k(x-2)\)（k≠0）；聯(lián)立拋物線方程：\([k(x-2)]^2=8x\)→\(k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0\)；設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，由韋達(dá)定理得\(x1+x2=\frac{4k^2+8}{k^2}\)；中點(diǎn)坐標(biāo)公式：\(\frac{x1+x2}{2}=3\)→\(\frac{4k^2+8}{2k^2}=3\)→\(4k^2+8=6k^2\)→\(2k^2=8\)→\(k^2=4\)→\(k=±2\)；驗(yàn)證k=2時(shí)，直線方程為\(y=2(x-2)=2x-4\)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)(3,2)，左邊=2×3-4=2，符合；k=-2時(shí)，直線方程為\(y=-2x+4\)，代入中點(diǎn)坐標(biāo)得y=-2×3+4=-2≠2，舍去；故直線l的方程為\(y=2x-4\)。技巧總結(jié)：焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)問題常用韋達(dá)定理（將中點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系），避免求具體的點(diǎn)坐標(biāo)。3.專項(xiàng)訓(xùn)練題（1）拋物線\(y^2=4x\)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5，求P點(diǎn)的坐標(biāo)（提示：用拋物線定義，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線距離）。（2）過拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=6，求p的值（提示：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)=2p，當(dāng)直線垂直于對(duì)稱軸時(shí)）。三、答案與解析（一）立體幾何專項(xiàng)訓(xùn)練1.（1）\(\frac{5}{6}\)（正方體體積1，挖去的三棱錐體積\(\frac{1}{6}\)，故1-1/6=5/6）；（2）\(2\pi\)（母線長(zhǎng)\(l=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2\)，側(cè)面積=π×1×2=2π）；（3）\(4\pi\)（球的半徑=1，表面積=4π×12=4π）。2.（1）提示：取\(A_1D\)的中點(diǎn)F，連接EF、AF，證明四邊形AEFA_1為平行四邊形，故AE∥A_1F，再用線面平行判定定理；（2）提示：在平面β內(nèi)作l的垂線m，由α⊥β得m⊥α，故m⊥a，又a⊥l，l∩m=點(diǎn)，故a⊥β。3.（1）\(\arccos\frac{\sqrt{3}}{3}\)（底面中心到頂點(diǎn)距離為\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為\(\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\)？不對(duì)，等一下，正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，底面中心O到頂點(diǎn)A的距離為\(\frac{2}{3}×\sqrt{2^2-1^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，側(cè)棱SA=3，故側(cè)棱與底面所成角∠SAO的余弦值為\(\frac{AO}{SA}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}\)，正弦值為\(\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{3}}{9})^2}=\sqrt{1