初中數(shù)學(xué)等腰三角形專項練習題：基礎(chǔ)鞏固與思維拓展一、引言等腰三角形是初中幾何的核心內(nèi)容之一，既是全等三角形的延伸，也是后續(xù)學(xué)習等邊三角形、菱形、圓等知識的基礎(chǔ)。其“等邊對等角”“等角對等邊”的性質(zhì)及“三線合一”的特色，是解決角度計算、線段相等、圖形對稱問題的關(guān)鍵工具。本文通過基礎(chǔ)鞏固+思維拓展的分層練習，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握等腰三角形的知識點，提升解題能力。二、等腰三角形基礎(chǔ)概念回顧在練習前，先回顧等腰三角形的核心概念，確保解題方向正確：1.定義有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形（相等的兩邊稱為“腰”，第三邊稱為“底”；兩腰的夾角稱為“頂角”，腰與底的夾角稱為“底角”）。2.性質(zhì)（1）等邊對等角：等腰三角形的兩底角相等（如$AB=AC$，則$\angleB=\angleC$）；（2）三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合（簡稱“三線合一”，需注意：只有等腰三角形才有此性質(zhì)）；（3）軸對稱圖形：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊的垂直平分線（或頂角平分線所在直線）。3.判定（1）兩邊相等（定義法）；（2）等角對等邊：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（如$\angleB=\angleC$，則$AB=AC$）。三、專項練習題及解析（一）基礎(chǔ)性質(zhì)應(yīng)用：求角度或邊長例題1：已知等腰三角形的頂角為$80^\circ$，求底角的度數(shù)。思路點撥：等腰三角形的頂角已知，根據(jù)“等邊對等角”，兩底角相等；再利用三角形內(nèi)角和為$180^\circ$計算。解答：設(shè)底角為$x$，則$2x+80^\circ=180^\circ$，解得$x=50^\circ$。答案：底角為$50^\circ$。變式練習1：等腰三角形的一個底角為$70^\circ$，求頂角的度數(shù)。（答案：$40^\circ$）例題2：等腰三角形的腰長為$5$，底邊長為$6$，求底邊上的高。思路點撥：根據(jù)“三線合一”，底邊上的高也是底邊的中線，將底邊平分為兩段（各$3$）；再用勾股定理計算高。解答：設(shè)底邊上的高為$h$，則$h^2+3^2=5^2$，解得$h=4$。答案：底邊上的高為$4$。變式練習2：等腰三角形的底邊長為$8$，底邊上的高為$3$，求腰長。（答案：$5$）（二）判定定理應(yīng)用：證明等腰三角形例題3：如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$\angle1=\angle2$，求證：$\triangleADE$是等腰三角形。（圖提示：$DE$在$\triangleABC$內(nèi)部，$D$在$AB$上，$E$在$AC$上，$\angle1$是$\angleADE$，$\angle2$是$\angleAED$）思路點撥：要證明$\triangleADE$是等腰三角形，需證明兩邊相等或兩角相等；由$DE\parallelBC$可得同位角相等，結(jié)合$\angle1=\angle2$，推導(dǎo)$\angleADE=\angleAED$。解答：$\becauseDE\parallelBC$（已知），$\therefore\angle1=\angleB$（兩直線平行，同位角相等），$\angle2=\angleC$（兩直線平行，同位角相等）。又$\because\angle1=\angle2$（已知），$\therefore\angleB=\angleC$（等量代換），$\thereforeAB=AC$（等角對等邊）。進一步，$\angleADE=\angleB$，$\angleAED=\angleC$，$\therefore\angleADE=\angleAED$（等量代換），$\thereforeAD=AE$（等角對等邊），$\therefore\triangleADE$是等腰三角形（定義法）。變式練習3：如圖，$BD$是$\angleABC$的平分線，$DE\parallelAB$，交$BC$于$E$，求證：$\triangleBDE$是等腰三角形。（提示：利用角平分線和平行線性質(zhì)找相等角）（三）分類討論問題：避免漏解例題4：等腰三角形的兩邊長分別為$3$和$5$，求其周長。思路點撥：題目未明確“腰”和“底”，需分兩種情況討論：（1）腰長為$3$，底邊長為$5$；（2）腰長為$5$，底邊長為$3$；再驗證每種情況是否符合三角形三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊）。解答：情況1：腰長為$3$，底邊長為$5$，周長為$3+3+5=11$（$3+3>5$，符合三邊關(guān)系）；情況2：腰長為$5$，底邊長為$3$，周長為$5+5+3=13$（$5+3>5$，符合三邊關(guān)系）。答案：周長為$11$或$13$。變式練習4：等腰三角形的一個角為$50^\circ$，求其他兩個角的度數(shù)。（答案：$50^\circ$和$80^\circ$，或$65^\circ$和$65^\circ$）（四）綜合應(yīng)用：結(jié)合全等與平行線例題5：如圖，在等腰$\triangleABC$中，$AB=AC$，$BD$平分$\angleABC$，交$AC$于$D$，$DE\parallelBC$，交$AB$于$E$。求證：$DE=BE$。（圖提示：$AB=AC$，$BD$是$\angleABC$的平分線，$DE\parallelBC$）思路點撥：要證明$DE=BE$，需證明$\angleEBD=\angleEDB$（等角對等邊）；由$DE\parallelBC$可得$\angleEDB=\angleDBC$（內(nèi)錯角相等）；由$BD$平分$\angleABC$可得$\angleEBD=\angleDBC$（角平分線定義）；通過等量代換得到$\angleEBD=\angleEDB$。解答：$\becauseAB=AC$（已知），$\therefore\angleABC=\angleACB$（等邊對等角）。$\becauseDE\parallelBC$（已知），$\therefore\angleEDB=\angleDBC$（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），$\angleAED=\angleABC$（兩直線平行，同位角相等）。$\becauseBD$平分$\angleABC$（已知），$\therefore\angleEBD=\angleDBC$（角平分線定義）。$\therefore\angleEBD=\angleEDB$（等量代換），$\thereforeDE=BE$（等角對等邊）。四、解題技巧總結(jié)1.定類型：先判斷題目是性質(zhì)應(yīng)用（已知等腰三角形，求角度/邊長）還是判定應(yīng)用（證明等腰三角形）；2.找要素：明確等腰三角形的“腰”“底”“頂角”“底角”，避免混淆；3.驗條件：分類討論時，必須驗證是否符合三角形三邊關(guān)系（如兩邊之和大于第三邊）和內(nèi)角和定理（如角度之和為$180^\circ$）；4.用三線合一：遇到等腰三角形的“高”“中線”“角平分線”問題，優(yōu)先考慮“三線合一”，簡化計算。五、總結(jié)等腰三角形的核心是“等邊對等角”和“等角對等邊”，而“三線合一”是其特有的工具性性質(zhì)。通過分層練習，學(xué)生需掌握：基礎(chǔ)題：熟練應(yīng)用性質(zhì)求角度、邊長；中檔題：用判定定理證明等腰三角形；難題：分類討論避免漏解，綜合應(yīng)用全等、平行線等知識。建議學(xué)生在練習后總結(jié)錯題，重點