第一章鎖相環(huán)路的基本工作原理第一節(jié)鎖定與跟蹤的概念第二節(jié)環(huán)路組成第三節(jié)環(huán)路的動態(tài)方程第四節(jié)一階鎖相環(huán)路的捕獲、鎖定與失鎖習(xí)題第一節(jié)鎖定與跟蹤的概念

鎖相環(huán)路(PLL)是一個相位跟蹤系統(tǒng),方框表示如圖1-1

所示。設(shè)輸入信號

ui(t)=Uisin［ωit+θi(t)］(1-1)圖1-1相位跟蹤系統(tǒng)框圖(a)電壓信號圖；(b)相位表示圖若輸入信號是未調(diào)載波,θi(t)即為常數(shù),是ui(t)的初始相位；若輸入信號是角調(diào)制信號(包括調(diào)頻調(diào)相),θi(t)即為時間的函數(shù)。

設(shè)輸出信號

uo(t)=Uocos［ωot+θo(t)］(1-2)一、相位關(guān)系的描述

從圖上可以得到兩個信號的瞬時相位之差

qe(t)=［wit+qi(t)］－［wot+qo(t)］

=(wi－wo)t+qi(t)－qo(t)

(1-3)圖1-2輸入信號和輸出信號的相位關(guān)系(a)絕對相位表示；(b)相對相位表示前面已經(jīng)說到,被控振蕩器的自由振蕩角頻率wo是系統(tǒng)的一個重要參數(shù),它的載波相位wot可以作為一個參考相位。這樣一來,輸入信號的瞬時相位可以改寫為

(1-4)

令(1-5)

為輸入信號頻率與環(huán)路自由振蕩頻率之差,稱為環(huán)路的固有頻差。

再令

(1-6)為輸入信號以ωot為參考的瞬時相位,因此,(1-4)式可以改寫為

(1-7)

同理,輸出信號的瞬時相位可以改寫為

(1-8)

(1-9)將(1-6)式和(1-9)式代入(1-3)式,得到環(huán)路的瞬時相位差

(1-10)

應(yīng)用上述描述方法,矢量圖可以畫成圖1-2(b)所示形式。系統(tǒng)的瞬時相位差θe(t)=θ1(t)－θ2(t)，瞬時頻差

(1-11)二、捕獲過程

從輸入信號加到鎖相環(huán)路的輸入端開始,一直到環(huán)路達(dá)到鎖定的全過程,稱為捕獲過程。一般情況,輸入信號頻率wi與被控振蕩器自由振蕩頻率wo不同,即兩者之差Dwo≠0。若沒有相位跟蹤系統(tǒng)的作用,兩信號之間相差

將隨時間不斷增長。圖1-3捕獲過程中瞬時相差與瞬時頻差的典型時間圖(a)瞬時相差時間圖；(b)瞬時頻差時間圖三、鎖定狀態(tài)

捕獲狀態(tài)終了,環(huán)路的狀態(tài)穩(wěn)定在下面討論環(huán)路輸入固定頻率信號,即dqi(t)／dt=0時的特殊情況。這是環(huán)路分析中經(jīng)常遇到的一種情況。此時

式中qi為常數(shù),是輸入信號的起始相位。而當(dāng)環(huán)路經(jīng)捕獲過程進(jìn)入同步之后,據(jù)(1-12)式,輸出信號的瞬時相位qo(t)和瞬時頻偏(t)應(yīng)滿足下述關(guān)系：

將此式代入輸出信號表達(dá)式(1-2),得由上述可知,在輸入固定頻率信號的條件之下,環(huán)路進(jìn)入

同步狀態(tài)后,輸出信號與輸入信號之間頻差等于零,相差等于

常數(shù),即

(1-13)四、環(huán)路的基本性能要求

如上所述,環(huán)路有兩種基本的工作狀態(tài)。

其一是捕獲過程。評價捕獲過程性能有兩個主要指標(biāo)。一個是環(huán)路的捕獲帶Dwp,即環(huán)路能通過捕獲過程而進(jìn)入同步狀態(tài)所允許的最大固有頻差|Dwo|max。若Dwo>Dwp,環(huán)路就不能通過捕獲進(jìn)入同步狀態(tài)。故

(1-14)

另一個指標(biāo)是捕獲時間Tp,它是環(huán)路由起始時刻t0到進(jìn)入同步狀態(tài)的時刻ta之間的時間間隔,即

(1-15)第二節(jié)環(huán)路組成

鎖相環(huán)路為什么能夠進(jìn)入相位跟蹤,實現(xiàn)輸出與輸入信號的同步呢？因為它是一個相位的負(fù)反饋控制系統(tǒng)。這個負(fù)反饋控制系統(tǒng)是由鑒相器(PD)、環(huán)路濾波器(LF)和電壓控制振蕩器(VCO)三個基本部件組成的,基本構(gòu)成如圖1-4所示。圖1-4鎖相環(huán)路的基本構(gòu)成一、鑒相器

鑒相器是一個相位比較裝置,用來檢測輸入信號相位q1(t)

與反饋信號相位q2(t)之間的相位差qe(t)。輸出的誤差信號ud(t)是相差qe(t)的函數(shù),即

ud(t)=f［qe(t)］圖1-5正弦鑒相器及其模型(a)電壓模型；(b)相位模型設(shè)相乘器的相乘系數(shù)為Km［單位為1／V］,輸入信號ui(t)與反饋信號uo(t)經(jīng)相乘作用再經(jīng)過低通濾波器(LPF)濾除2wo成分之后,得到誤差電壓

令

(1-16)

為鑒相器的最大輸出電壓,則

(1-17)

這就是正弦鑒相特性,如圖1-6所示。圖1-6正弦鑒相器特性二、環(huán)路濾波器

環(huán)路濾波器具有低通特性,輸入輸出關(guān)系如圖1-7(a)所示。它與圖1-5(a)中低通濾波器的作用不同，對環(huán)路參數(shù)調(diào)整起著決定性的作用。從以后各章的分析中可以逐步看到,它對環(huán)路的各項性能都有著重要的影響。圖1-7環(huán)路濾波器及其模型(a)電壓模型；(b)相位模型

1.RC積分濾波器

這是結(jié)構(gòu)最簡單的低通濾波器,電路構(gòu)成如圖1-8(a)所示,

其傳輸算子

(1-18)圖1-8

RC積分濾波器的組成與對數(shù)頻率特性(a)組成；(b)頻率特性令p=jΩ,并代入(1-18)式,即可得濾波器的頻率特性

(1-19)

2.無源比例積分濾波器

無源比例積分濾波器如圖1-9(a)所示,它與RC積分濾波器相比,附加了一個與電容器串聯(lián)的電阻R2,這樣就增加了一個可調(diào)參數(shù),它的傳輸算子為

(1-20)

式中，τ1=(R1+R2)C，τ2=R2C。這是兩個獨立的可調(diào)參數(shù),其頻率響應(yīng)為

(1-21)據(jù)此可作出對數(shù)頻率特性,如圖1-9(b)所示。這也是一個低通濾波器,與RC積分濾波器不同的是,當(dāng)頻率很高時圖1-9無源比例積分濾波器的組成與對數(shù)頻率特性(a)組成；(b)頻率特性

3.有源比例積分濾波器

有源比例積分濾波器由運算放大器組成,電路如圖1-10(a)所示,它的傳輸算子若運算放大器的增益A很高,則假如環(huán)路原來工作在鑒相特性的正斜率處,那么加入有源比例積分濾波器之后就自動地工作到鑒相特性的負(fù)斜率處,其負(fù)號與有源比例積分濾波器的負(fù)號相抵消。因此,這個負(fù)號對環(huán)路的工作沒有影響,分析時可以不予考慮。故傳輸算子可以近似為

(1-22)

(1-22)式所給傳輸算子的分母中只有一個p,是一個積分因子,故高增益的有源比例積分濾波器又稱為理想積分濾波器。顯然,A越大就越接近理想積分濾波器。此濾波器的頻率響應(yīng)為

(1-23)圖1-10有源比例積分濾波器的組成與對數(shù)頻率特性(a)組成；(b)頻率特性三、壓控振蕩器

壓控振蕩器是一個電壓-頻率變換裝置,在環(huán)中作為被控振蕩器,它的振蕩頻率應(yīng)隨輸入控制電壓uc(t)線性地變化,即應(yīng)有變換關(guān)系

(1-24)圖1-11壓控振蕩器的控制特性由于壓控振蕩器的輸出反饋到鑒相器上,對鑒相器輸出誤差電壓ud(t)起作用的不是其頻率,而是其相位

即

改寫成算子形式為

(1-25)圖1-12壓控振蕩器的模型四、環(huán)路相位模型

前面已分別得到了環(huán)路的三個基本部件的模型,按圖1-4的環(huán)路構(gòu)成,不難將這三個模型連接起來得到環(huán)路的模型,如

圖1-13所示。圖1-13鎖相環(huán)路的相位模型第三節(jié)環(huán)路的動態(tài)方程

按圖1-13所示的環(huán)路相位模型,不難導(dǎo)出環(huán)路的動態(tài)方程

(1-26)

(1-27)將(1-27)式代入(1-26)式得

(1-28)

令環(huán)路增益

(1-29)將(1-29)式代入(1-28)式得

(1-30)

這就是鎖相環(huán)路動態(tài)方程的一般形式。從物理概念上可以逐項理解它的含意。式中pqe(t)顯然是環(huán)路的瞬時頻差。右邊第一項

在固定頻率輸入的情況下,dqi(t)／dt=0,則pq1(t)就是固有頻差Dwo。式中最后一項包括它是瞬時相位差qe(t)作用下的誤差電壓瞬時值。

是誤差電壓經(jīng)環(huán)路濾波器過濾之后加到壓控振蕩器上的控制電壓的瞬時值。

是控制電壓uc(t)加至壓控振蕩器所引起振蕩頻率wv(t)相對于自由振蕩頻率wo的頻差。這個由于控制作用所引起的頻差不妨

稱之為控制頻差。于是動態(tài)方程(1-30)構(gòu)成了如下的關(guān)系：

瞬時頻差=固有頻差－控制頻差

這個關(guān)系式在環(huán)路動作的始終都是成立的。環(huán)路對輸入固定頻率的信號鎖定之后,穩(wěn)態(tài)頻差等于零,穩(wěn)態(tài)相差qe(∞)為一固定值。此時誤差電壓即為直流,它經(jīng)過F(j0)的過濾作用之后所得到的控制電壓也是直流。從方程(1-30)可以解出穩(wěn)態(tài)相位差

(1-31)

據(jù)此式可計算鎖相環(huán)路的穩(wěn)態(tài)相位差。

【計算舉例

】

已知正弦型鑒相器的最大輸出電壓Ud=2V,壓控振蕩器的控制靈敏度Ko=104Hz／V(或者Ko=2π×104rad／s·V),則環(huán)路增益

K=UdKo=2×104Hz=4π×104rad／s

壓控振蕩器的自由振蕩頻率ωo／2π=103kHz。

若輸入信號的固定頻率ωi／2π=1010kHz,則固有頻差

在環(huán)路達(dá)到鎖定時的控制頻差應(yīng)等于固有頻差,相應(yīng)的直流控制電壓值為

前面介紹的前兩種常用環(huán)路濾波器的F(j0)=1,故直流的誤差電壓也等于1V。

據(jù)(1-31)式計算,穩(wěn)態(tài)相位差若緩慢地將輸入信號頻率增高,當(dāng)達(dá)到wi／2π=1020kHz,即Δwo=4π×104rad／s時,可以算得Uc=Ud=2V,達(dá)到鑒相器輸出的最大值,可以算得此時的qe(∞)=π／2。這就是環(huán)路能夠保持鎖定狀態(tài)的極限。繼續(xù)增大Δwo,環(huán)路就將失鎖,這個最大的

Δwo值就稱為環(huán)路的同步帶,此環(huán)路的同步帶為

ΔwH=4π×104rad／s

若緩慢地將輸入信號頻率降低,可得到保持鎖定狀態(tài)的極限是980kHz。因此,這個環(huán)路的同步范圍為1020－980=40kHz。例如采用RC積分濾波器的環(huán)路,將(1-18)式代入(1-30)式得動態(tài)方程

(1-32)

采用無源比例積分濾波器環(huán)路,將(1-20)式代入(1-30)式得動態(tài)方程

(1-33)

采用有源比例積分濾波器的環(huán)路,將(1-22)式代入(1-30)式得動態(tài)方程

(1-34)第四節(jié)一階鎖相環(huán)路的捕獲、鎖定與失鎖

最簡單的鎖相環(huán)路是沒有濾波器的鎖相環(huán)路,即

F(p)=1

(1-35)

將此式代入環(huán)路動態(tài)方程的一般形式(1-30)式得

pqe(t)=pq1(t)－Ksinqe(t)

(1-36)

這是一個一階非線性微分方程。故這種鎖相環(huán)路也就稱為一階鎖相環(huán)路。一階環(huán)路的動態(tài)方程(1-36)是可以解析求解的。但為了更便于理解它工作的物理過程,建立環(huán)路性能指標(biāo)的基礎(chǔ)概念,這里采用圖解的方法。假設(shè)輸入為固定頻率,即

且令(1-37)

是常數(shù),再令

(1-38)

是環(huán)路的瞬時頻差,將(1-37)、(1-38)式代入(1-36)式后可得

(1-39)一、Δwo<K時的捕獲與鎖定

(1-39)式在平面內(nèi)時所對應(yīng)的圖形是一條縱坐標(biāo)為Δwo的水平線與一個幅度等于K的正弦曲線之差的曲線。由于Δwo<K,該曲線應(yīng)與橫軸相交,圖形如圖1-14所示。圖1-14

Dwo<K時的一階環(huán)動態(tài)方程圖解狀態(tài)向鎖定點A靠攏的過程是漸近的。從理論上說,因為A點的真正到達(dá)A點所需的時間為無窮大。實際上只要接近A點到一定的范圍之內(nèi),就可以認(rèn)為環(huán)路達(dá)到了鎖定狀態(tài)。對于鎖定狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)相差,可令(1-39)式中的為零來求得

(1-40)圖1-15一階環(huán)捕獲過程中相差隨時間的變化二、Δwo>K時的失鎖狀態(tài)

Δwo>K時的與θe(t)關(guān)系曲線如圖1-16所示。相軌跡不與橫軸相交,平衡點消失,成為一條單方向運動的正弦曲線。不論初始狀態(tài)處于相軌跡上的哪一點,狀態(tài)都將按箭頭所指方向沿相軌跡一直向右轉(zhuǎn)移,環(huán)路無法鎖定,處于失鎖狀態(tài)。在失鎖狀態(tài)時,環(huán)路瞬時相差無休止地增長,不斷地進(jìn)行周期跳越；瞬時頻差則周期性地在Δwo±K的范圍內(nèi)擺動。圖1-16

Δwo>K時的一階環(huán)動態(tài)方程圖解圖1-17一階環(huán)失鎖狀態(tài)的qe(t)、uc(t)、wv(t)和的時間圖(a)相差變化；(b)控制電壓變化；(c)VCO瞬時頻率變化；(d)瞬時頻差變化圖1-17(c)中,wv(t)－wo為控制頻差,wi－wv(t)為瞬時頻差,而wi－wo為固有頻差?？梢娫谡麄€過程中,這三者之間的關(guān)系總是滿足如下關(guān)系式:

瞬時頻差=固有頻差-控制頻差

據(jù)圖1-17(c)可作出瞬時頻差的曲線,如圖1-17(d)所示。從上述圖解分析可以看出,牽引作用的大小直接取決于控制電壓的直流分量uco,而uco的大小又取決于差拍波不對稱的程度。差拍波不對稱的程度則由固有頻差Δwo與環(huán)路增益K的相對比值所決定。計算表明,它們之間的關(guān)系為

(1-41)

【計算舉例

】

已知一階環(huán)Ud=1V,Ko=20kHz／V,fo=1MHz。當(dāng)輸入信號頻率fi=1030kHz時,環(huán)路不能鎖定,處于差拍狀態(tài)。試計算

由于頻率牽引現(xiàn)象,壓控振蕩器的平均頻率為多少？

環(huán)路增益

K=KoUd=20kHz

固有頻差

Δwo=2p(1030－1000)×103=6p×104rad／s代入(1-41)式計算

即=1.00764MHz,已使壓控振蕩器頻率向fi方向牽引7.64kHz。若再使fi向fo靠攏一些,仍不使它鎖定,則牽引作用會更加明顯。三、Δwo=K

時的臨界狀態(tài)

Δwo=K是一種臨界情況。這時,軌跡正好與橫軸相切,A點與B點重合為一點,如圖1-18所示。這個點所對應(yīng)的環(huán)路狀態(tài)實際上是不穩(wěn)定的,這種臨界狀態(tài)的出現(xiàn)有兩種情況。圖1-18

Δwo=K時一階環(huán)動態(tài)方程圖解就一階環(huán)而言,顯然

ΔwH=K

(1-42)

顯然,一階環(huán)的捕獲帶

Δwp=K

(1-43)顯然,一階環(huán)的快捕帶

ΔwL=K(1-44)

綜上所述,一階環(huán)的同步帶、捕獲帶和快捕帶都相等，在數(shù)值上等于環(huán)路增益,即

ΔwH=Δwp=ΔwL=K(1-45)

【計算舉例

】

已知一階鎖相環(huán)路鑒相器的Ud=2V,壓控振蕩器的Ko=104H