第3章光的衍射3.1衍射的基本理論3.2夫朗和費衍射3.3菲涅耳衍射3.4光柵和波帶片3.5全息照相3.6傅里葉光學、二元光學、近場光學基礎簡介例題3.1衍射的基本理論3.1.１光的衍射現(xiàn)象光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發(fā)生的偏離直線傳播的現(xiàn)象。光的衍射，也可以叫光的繞射，即光可繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區(qū)域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現(xiàn)出光強的不均勻分布。通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。如圖3-1所示，讓一個足夠亮的點光源S發(fā)出的光透過一個圓孔Σ，照射到屏幕K上，并且逐漸改變圓孔的大小，就會發(fā)現(xiàn)：當圓孔足夠大時，在屏幕上看到一個均勻光斑，光斑的大小就是圓孔的幾何投影(圖3-1(a))；隨著圓孔逐漸減小，起初光斑也相應地變小，而后光斑開始模糊，并且在圓斑外面產(chǎn)生若干圍繞圓斑的同心圓環(huán)(圖3-1(b))，當使用單色光源時，這是一組明暗相間的同心環(huán)帶，當使用白色光源時，這是一組色彩相間的彩色環(huán)帶；此后再使圓孔變小，光斑及圓環(huán)不但不跟著變小，反而會增大起來。這就是光的衍射現(xiàn)象。圖3-1光的衍射現(xiàn)象3.1.2惠更斯—菲涅耳原理惠更斯原理是描述波動傳播過程的一個重要原理，其主要內(nèi)容是:如圖3-2所示的波源S，在某一時刻所產(chǎn)生波的波陣面為Σ，則Σ面上的每一點都可以看作是一個次波源，它們發(fā)出球面次波，其后某一時刻的波陣面Σ′，即是該時刻這些球面次波的包跡面，波陣面的法線方向就是該波的傳播方向?；莞乖砟軌蚝芎玫亟忉尮獾闹本€傳播，光的反射和折射方向，但不能說明衍射過程及其強度分布。菲涅耳在研究了光的干涉現(xiàn)象后，考慮到次波來自于同一光源，應該相干，因而波陣面Σ′上每一點的光振動應該是在光源和該點之間任一波面(例如Σ面)上的各點發(fā)出的次波場疊加的結果。這就是惠更斯—菲涅耳原理。圖3-2惠更斯原理

利用惠更斯—菲涅耳原理可以解釋衍射現(xiàn)象：在任意給定的時刻，任一波面上的點都起著次波波源的作用，它們各自發(fā)出球面次波，障礙物以外任意點上的光強分布，即是沒有被阻擋的各個次波源發(fā)出的次波在該點相干疊加的結果。根據(jù)惠更斯—菲涅耳原理，圖3-3所示的一個單色光源S對于空間任意點P的作用，可以看作是S和P之間任一波面Σ上各點發(fā)出的次波在P點相干疊加的結果。假設Σ波面上任意點Q的光場復振幅為E(Q)，在Q點取一個面元dσ，則σ面元上的次波源對P點光場的貢獻為~圖3-3單色點光源S對P點的光作用式中，C是比例系數(shù)；r=QP,K(θ)稱為傾斜因子，它是與元波面法線和QP的夾角θ(稱為衍射角)有關的量，按照菲涅耳的假設：當θ=0時，K有最大值；隨著θ的增大，K迅速減?。划敠取荭?2時，K=0。因此，圖中波面Σ上只有ZZ′范圍內(nèi)的部分對P點光振動有貢獻。所以P點的光場復振幅為(3.1-1)這就是惠更斯—菲涅耳原理的數(shù)學表達式，稱為惠更斯—菲涅耳公式。當S是點光源時，

Q點的光場復振幅為(3.1-2)式中，R是光源到Q點的距離。在這種情況下，E(Q)可以從積分號中提出來，但是由于K(θ)的具體形式未知，不可能由(3.1-1)式確切地確定E(P)值。因此，從理論上來講，這個原理是不夠完善的。~~3.1.3基爾霍夫衍射公式

1.基爾霍夫積分定理假設有一個單色光波通過閉合曲面Σ傳播(圖3-4)，在t時刻、空間P點處的光電場為(3.1-3)若P是無源點，該光場應滿足如下的標量波動方程：(3.1-4)圖3-4積分曲面將(3.1-3)式代入，可得(3.1-5)式中,k=ω/c，該式即為亥姆霍茲(Helmholtz)方程。

現(xiàn)在假設有另一個任意復函數(shù)G，它也滿足亥姆霍茲方程~(3.1-6)且在Σ面內(nèi)和Σ面上有連續(xù)的一、二階偏微商(個別點除外)。如果作積分(3.1-7)其中，表示在Σ上每一點沿向外法線方向的偏微商，則由格林定理，有式中，V是Σ面包圍的體積。利用亥姆霍茲方程關系，左邊的被積函數(shù)在V內(nèi)處處為零，因而根據(jù)所滿足的條件，可以選取為球面波的波函數(shù)：這個函數(shù)除了在r=0點外，處處解析。因此，(3.1-7)式中的Σ應選取圖3-4所示的復合曲面Σ+Σε，其中Σε是包圍P點、半徑為小量ε的球面，該積分為(3.1-8)(3.1-9)由(3.1-8)式，有(3.1-10)對于Σε面上的點，cos(n,r)=-1,r=ε,所以，因此故有這就是亥姆霍茲—基爾霍夫積分定理。它將P點的光場與周圍任一閉合曲面Σ上的光場聯(lián)系了起來，實際上可以看作是惠更斯—菲涅耳原理的一種較為完善的數(shù)學表達式。(3.1-11)

2.基爾霍夫衍射公式現(xiàn)在將基爾霍夫積分定理應用于小孔衍射問題，在某些近似條件下，可以化為與菲涅耳表達式基本相同的形式。如圖3-5所示，有一個無限大的不透明平面屏，其上有一開孔Σ，用點光源S照明，并設Σ的線度δ滿足λ<δ<<Min(r,l)

圖3-5球面波在孔徑Σ上的衍射其中Min(r,l)表示r,l中較小的一個。為了應用基爾霍夫積分定理求P點的光場，圍繞P點作一閉合曲面。該閉合曲面由三部分組成：開孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1，以P點為中心、R為半徑的大球的部分球面Σ2。在這種情況下，P點的光場復振幅為(3.1-12)

下面確定這三個面上的 。對于Σ和Σ1面，基爾霍夫假定：①在Σ上， 的值由入射波決定，與不存在屏時的值完全相同。因此(3.1-14)式中，A是離點光源單位距離處的振幅，cos(n,l)表示外向法線n與從S到Σ上某點Q的矢量l之間夾角的余弦。(3.1-13)②在不透明屏的背照面Σ1上，E=0, 。通常稱這兩個假定為基爾霍夫邊界條件。應當指出，這兩個假定都是近似的，因為屏的存在必然會干擾Σ處的場，特別是開孔邊緣附近的場。在Σ1上，光場值也并非處處絕對為零。但是嚴格的衍射理論表明，在上述開孔線度的限制下，誤差并不大，作為近似理論處理，仍然可以采用這種假定。對于Σ2面，r=R,cos(n,R)=1,且有因此，在Σ2上的積分為式中，Ω是Σ2對P點所張的立體角，dω是立體角元。索末菲(Sommerfeld)指出，在輻射場中，(索末菲輻射條件)，而當R→∞時，(eikR/R)R是有界的，所以上面的積分在R→∞時(球面半徑R取得足夠大)為零。

通過上述討論可知，在(3.1-12)式中，只需要考慮對孔徑面Σ的積分，即將(3.1-10)式和(3.1-13)、(3.1-14)式代入上式，略去法線微商中的1/r和1/l(它們比k要小得多)項，得到(3.1-15)此式稱為菲涅耳—基爾霍夫衍射公式。與(3.1-1)式進行比較，可得因此，如果將積分面元dσ視為次波源的話，(3.1-15)式可解釋為：①P點的光場是Σ上無窮多次波源產(chǎn)生的，次波源的復振幅與入射波在該點的復振幅成正比，與波長λ成反比；②因子(-i)表明，次波源的振動相位超前于入射波π/2；③傾斜因子K(θ)表示了次波的振幅在各個方向上是不同的，其值在0與1之間。如果一平行光垂直入射到Σ上，則cos(n,l)=-1,cos(n,r)=cosθ，因而當θ=0時，K(θ)=1,這表明在波面法線方向上的次波貢獻最大;當θ=π時，K(θ)=0。這一結論說明,菲涅耳在關于次波貢獻的研究中假設K(π/2)=0是不正確的。(3.1-16)在上面的討論中，我們假定了光從光源到P點除有衍射屏外，沒有遇到其它任何面，且入射光波是球面波。將這種討論推廣到光波為更復雜形狀的情況，結果發(fā)現(xiàn)，只要波陣面各點的曲率半徑比波長大得多，所包含的角度足夠小，則基爾霍夫理論的結果與惠更斯—菲涅耳原理推斷的結果仍大體相同。進一步考察菲涅耳—基爾霍夫衍射公式可以得出：①該式對于光源和觀察點是對稱的，這意味看S點源在P點產(chǎn)生的效果，與在P點放置同樣強度的點源在S點產(chǎn)生的效果相同。有時，稱這個結論為亥姆霍茲互易定理(或可逆定理)。②由基爾霍夫衍射公式的討論，可以得到關于互補屏的衍射光分布——巴俾涅(Babinet)原理。若兩個衍射屏Σ1和Σ2中，一個屏的開孔部分正好與另一個屏的不透明部分對應，反之亦然，這樣一對衍射屏稱為互補屏，如圖3-6所示。設和分別表示Σ1和Σ2單獨放在光源和觀察屏之間時，觀察屏上P點的光場復振幅，表示無衍射屏時P點的光場復振幅。根據(jù)上述討論，和可表示成對Σ1和Σ2開孔部分的積分，而兩個屏的開孔部分加起來正好是整個平面，因此，(3.1-17)這個結論就是巴俾涅原理。該式說明，兩個互補屏在衍射場中某點單獨產(chǎn)生的光場復振幅之和等于無衍射屏、光波自由傳播時在該點產(chǎn)生的光場復振幅。因為光波自由傳播時，光場復振幅容易計算，所以利用巴俾涅原理可以方便地由一種衍射屏的衍射光場，求出其互補衍射屏產(chǎn)生的衍射光場。圖3-6互補衍射屏由巴俾涅原理立即可以得到如下兩個結論：①若＝0，則。因此，放置一個屏時，相應于光場為零的那些點，在換上它的互補屏時，光場與沒有屏時一樣；②若＝0,則。這就意味著在＝0的那些點，和的相位差為π，而光強度I1(P)＝和I2(P)=相等。就是說，兩個互補屏不存在時光場為零的那些點，互補屏產(chǎn)生完全相同的光強度分布。例如，當一個點源通過一理想透鏡成像時，像平面上的光分布除了O點源像點附近外，其它各處強度皆為零。這時，如果把互補屏放在物與像之間，則除O點附近以外，均有I1=I2。

3.基爾霍夫衍射公式的近似

1)傍軸近似在一般的光學系統(tǒng)中，對成像起主要作用的是那些與光學系統(tǒng)光軸夾角極小的傍軸光線。對于傍軸光線，圖3-7所示的開孔Σ的線度和觀察屏上的考察范圍都遠小于開孔到觀察屏的距離，因此，下面的兩個近似條件通常都成立：①cos(n,r)≈1,于是K(θ)≈1；②r≈z1。這樣，(3.1-15)可以簡化為(3.1-18)圖3-7孔徑Σ的衍射2)距離近似——菲涅耳近似和夫朗和費近似

(1)衍射區(qū)的劃分為了對距離的影響有一明確的概念，首先考察單色光經(jīng)過衍射小孔后的衍射現(xiàn)象。圖3-8表示一個單色平面光波垂直照射圓孔Σ的衍射情況。若在離Σ很近的K1處觀察透過的光，將看到邊緣比較清晰的光斑，其形狀、大小和圓孔基本相同，可以看做是圓孔的投影，這時光的傳播大致可以看做是直線傳播。圖3-8衍射現(xiàn)象的演變?nèi)艟嚯x再遠些，例如在K2面上觀察時，將看到一個邊緣模糊的稍微大些的圓光斑，光斑內(nèi)有一圈圈的亮暗環(huán)，這時已不能看做是圓孔的投影了。隨著觀察平面距離的增大，光斑范圍不斷擴大，但光斑中圓環(huán)數(shù)逐漸減少，而且環(huán)紋中心表現(xiàn)出從亮到暗，又從暗到亮的變化。當觀察平面距離很遠時，如在K4位置，將看到一個較大的中間亮、邊緣暗，且在邊緣外有較弱的亮、暗圓環(huán)的光斑。此后，觀察距離再增大，只是光斑擴大，但光斑形狀不變。

從上述衍射現(xiàn)象的演變可以看出，離衍射孔不同距離處，衍射圖樣是不同的。因此，可將衍射區(qū)劃分為衍射效應可以忽略的幾何投影區(qū)、衍射效應不能忽略的近場衍射區(qū)(衍射圖樣形狀隨距離變化，如K2、K3及其前后的范圍)和遠場衍射區(qū)(衍射圖樣基本形狀保持不變，如K4面所在區(qū)域)。當然，近場、遠場的劃分是相對的，對一定波長的光來說，衍射孔徑愈大，相應的近場和遠場的距離也愈遠。此外，如果入射光波不是平面波而是發(fā)散的球面波，則近場圖樣將移到更遠的距離范圍，而遠場圖樣可能不再出現(xiàn)。

(2)菲涅耳近似和夫朗和費近似用基爾霍夫衍射公式計算衍射孔的衍射時，可以按照離衍射孔距離的不同將衍射公式進行兩種不同的近似。下面求出相應的兩種衍射的近似計算公式。①菲涅耳近似。如圖3-7所示,設 ，則由幾何關系有當z1大到滿足(3.1-19)時，上式第三項及以后的各項都可略去，簡化為(3.1-20)這一近似稱為菲涅耳近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射(或近場衍射)。在菲涅耳近似下，

P點的光場復振幅為(3.1-21)②夫朗和費近似。當觀察屏離孔的距離很大，滿足(3.1-22)時，可將r進一步簡化為(3.1-23)這一近似稱為夫朗和費近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫夫朗和費衍射(或遠場衍射)。在夫朗和費近似下，

P點的光場復振幅為(3.1-24)由以上討論可知，菲涅耳衍射和夫朗和費衍射是傍軸近似下的兩種衍射情況，二者的區(qū)別條件是觀察屏到衍射屏的距離z1與衍射孔的線度(x1,y1)之間的相對大小。例如，當λ=0.63μm，孔徑線度為2mm，觀察距離z1>>1cm時為菲涅耳衍射，z1>>

3m時為夫朗和費衍射。3.2夫朗和費衍射3.2.1夫朗和費衍射裝置由上節(jié)的討論已知，對于夫朗和費衍射，觀察屏必須放置在遠離衍射屏的地方。如圖3-9(a)所示，設xOy平面是遠離開孔平面的觀察平面，按照惠更斯—菲涅耳原理，xOy平面上任一點P的光場，可以看做是開孔處入射波面Σ上各點次波波源發(fā)出的球面次波在P點產(chǎn)生光場的疊加。由于P點很遠，從波面上各點到P點的光線近似平行，因而P點的光場也就是由Σ面上各點沿θ方向發(fā)射光場的疊加。如果在孔后面(緊靠孔面)放置一個焦距為f的透鏡L(圖3-9(b))，則由于透鏡的作用，與光軸夾角為θ的入射平行光線將會聚在后焦平面上的P′點。因此，圖3-9(b)中的P′點與圖3-9(a)中的P點一一對應。圖3-9遠場與透鏡后焦面對應如果只考慮單色平面光波垂直入射到開孔平面上的夫朗和費衍射，則通常都采用圖3-10所示的夫朗和費衍射裝置：單色點光源S放置在透鏡L1的前焦平面上，所產(chǎn)生的平行光垂直入射到開孔Σ上，由于開孔的衍射，在透鏡L2的后焦平面上可以觀察到開孔Σ的夫朗和費衍射圖樣，其光場復振幅分布由(3.1-24)式給出。圖3-10夫朗和費衍射裝置(3.2-1)(3.2-2)式中現(xiàn)在假設開孔面上的光場均勻分布，可令因為透鏡緊貼孔徑，可視z1≈f,所以，后焦平面上的光場復振幅可表示為3.2.2夫朗和費矩形孔和圓孔衍射

1.夫朗和費矩形孔衍射對于圖3-10所示的夫朗和費衍射裝置，若衍射孔是矩形孔，則在透鏡焦平面上觀察到的衍射圖樣如圖3-11所示。這個衍射圖樣的主要特征是衍射亮斑集中分布在兩相互垂直的方向上(x軸和y軸)，并且x軸上的亮斑寬度與y軸上亮斑寬度之比，恰與矩形孔在兩個軸上的寬度關系相反。圖3-11夫朗和費矩形孔衍射圖樣

圖3-12是夫朗和費矩形孔衍射裝置的光路圖。根據(jù)(3.2-1)式，透鏡焦平面上P(x,y)點的光場復振幅為式中， 是觀察屏中心點P0處的光場復振幅；a,b分別是矩形孔沿x1,y1軸方向的寬度；α、β分別為(3.2-3)(3.2-4)(3.2-5)圖3-12夫朗和費矩形孔衍射光路則在P(x,y)點的光強度為式中，I0是P0點的光強度，且有I0=|Cab|2。(3.2-6)(1)衍射光強分布對于沿x軸的光強度分布，因y=0，有(3.2-7)當α=0時(對應于P0點)，有主極大，IM/I0=1。在α=mπ(m=±1,±2,…)處，有極小值，IM=0，與這些α值相應的點是暗點，暗點的位置為(3.2-8)相鄰兩暗點之間的間隔為(3.2-9)在相鄰兩個暗點之間有一個強度次極大，次極大的位置由下式?jīng)Q定:即(3.2-10)這一方程可以利用圖解法求解。如圖3-13所示，在同一坐標系中分別作出曲線F=tanα和F=α，其交點即為方程的解。頭幾個次極大所對應的α值，已列于表3-1中。在圖3-13中還給出了沿x方向的光強度分布。圖3-13用作圖法求衍射次極大在圖3-13中還給出了沿x方向的光強度分布。夫朗和費矩形孔衍射在y軸上的光強度分布由(3.2-11)決定，其分布特性與x軸類似。在x,y軸以外各點的光強度，可按(3.2-6)式進行計算，圖3-14給出了一些特征點的光強度相對值。顯然，盡管在xOy面內(nèi)存在一些次極大點，但它們的光強度極弱。圖3-14夫朗和費矩形孔衍射圖樣中一些特征點的相對強度(2)中央亮斑矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑處，其邊緣在x,y軸上的位置是(3.2-12)中央亮斑面積為(3.2-13)該式說明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比，在相同波長和裝置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，但是，由可見，相應的P0點光強度愈小。(3.2-14)(3)衍射圖形狀當孔徑尺寸a=b,即為方形孔徑時，沿x,y方向有相同的衍射圖樣。當a≠b，即對于矩形孔徑，其衍射圖樣沿x,y方向的形狀雖然一樣，但線度不同。例如，a<b時，衍射圖樣沿x軸亮斑寬度比沿y軸的亮斑寬度大，如圖3-11所示。

2.夫朗和費圓孔衍射由于光學儀器的光瞳通常是圓形的，因而討論圓孔衍射現(xiàn)象對光學儀器的應用，具有重要的實際意義。夫朗和費圓孔衍射的討論方法與矩形孔衍射的討論方法相同，只是由于圓孔結構的幾何對稱性，采用極坐標處理更加方便。如圖3-15所示，設圓孔半徑為a,圓孔中心O1位于光軸上，則圓孔上任一點Q的位置坐標為ρ1、j1，與相應的直角坐標x1,y1的關系為x1=ρ1cosj1

y1=ρ1sinj1

圖3-15夫朗和費圓孔衍射光路

類似地，觀察屏上任一點P的位置坐標ρ、φ與相應的直角坐標的關系為由此，P點的光場復振幅按照(3-22)式，在經(jīng)過坐標變換后為(3.2-15)式中是衍射方向與光軸的夾角，稱為衍射角。在這里，已利用了sinθ≈θ

的近似關系。(3.2-16)根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的積分表示式可將(3.2-15)式變換為這里已利用了J0(kρ1θ)為偶函數(shù)的性質。再由貝塞爾函數(shù)的性質可得(3.2-17)(3.2-18)式中，J1(x)為一階貝塞爾函數(shù)。因此，P點的光強度為

由(3.2-18)式，可以得到夫朗和費圓孔衍射的如下特點：

(1)衍射圖樣由于Φ=kaθ，夫朗和費圓孔衍射的光強度分布僅與衍射角θ有關(或者，由于θ=ρ/f，僅與ρ有關)，而與方位角φ坐標無關。這說明，夫朗和費圓孔衍射圖樣是圓形條紋(圖3-16)。圖3–16圓孔夫朗和費衍射圖樣(2)衍射圖樣的極值特性由貝塞爾函數(shù)的級數(shù)定義，可將(3.2-18)式表示為該強度分布曲線如圖3-17所示。當Φ=0時，即對應光軸上的P0點，有I=I0，它是衍射光強的主極大值。當Φ滿足J1(Φ)=0時，I=0，這些Φ值決定了衍射暗環(huán)的位置。在相鄰兩個暗環(huán)之間存在一個衍射次極大值，其位置由滿足下式的Φ值決定：(3.2-19)(3.2-20)這些次極大值位置即為衍射亮環(huán)的位置。上式中，J2(Φ)為二階貝塞爾函數(shù)。表3-2列出了中央的幾個亮環(huán)和暗環(huán)的Φ值及相對光強大小。圖3–17夫朗和費圓孔衍射光強度分布(3)愛里斑由表3-2可見，中央亮斑集中了入射在圓孔上能量的83.78%，這個亮斑叫愛里斑。愛里斑的半徑ρ0由第一光強極小值處的Φ值決定，即因此(3.2-21)或以角半徑θ0表示(3.2-22)愛里斑的面積為式中，S為圓孔面積?？梢?，圓孔面積愈小，愛里斑面積愈大，衍射現(xiàn)象愈明顯。只有在S=0.61πfλ

時，S0=S。(3.2-23)

3.光學成像系統(tǒng)的分辨本領(分辨率)1)瑞利判據(jù)從幾何光學的觀點看，每個像點應該是一個幾何點，因此，對于一個無像差的理想光學成像系統(tǒng)，其分辨本領應當是無限的，即兩個點物無論靠得多近，像點總可分辨開。但實際上，光波通過光學成像系統(tǒng)時，總會因光學孔徑的有限性產(chǎn)生衍射，這就限制了光學成像系統(tǒng)的分辨本領。通常，由于光學成像系統(tǒng)具有光闌、透鏡外框等圓形孔徑，因而討論它們的分辨本領時，都是以夫朗和費圓孔衍射為理論基礎。

如圖3-18所示，設有S1和S2兩個非相干點光源，間距為ε，它們到直徑為D的圓孔距離為R，則S1和S2對圓孔的張角α為由于圓孔的衍射效應，S1和S2將分別在觀察屏上形成各自的衍射圖樣。假設其愛里斑關于圓孔的張角為θ0，則由(3.2-22)式有(3.2-25)(3.2-24)圖3-18兩個點物的衍射像的分辨

根據(jù)瑞利判據(jù)，將一個點物衍射圖樣的中央極大位置與另一個點物衍射圖樣的第一個極小位置重合的狀態(tài)作為光學成像系統(tǒng)的分辨極限，認為此時光學系統(tǒng)恰好可分辨開這兩個點物。這時，兩點物衍射圖樣的重疊區(qū)中點光強度約為每個衍射圖樣中心最亮處光強度的73.5%(對于縫隙形光闌，約為81%)。于是，由于衍射效應，一個光學成像系統(tǒng)對點物成像的愛里斑角半徑θ0決定了該系統(tǒng)的分辨極限。2)幾種光學成像系統(tǒng)的分辨本領

(1)人眼睛的分辨本領人眼的成像作用可以等價于一個單凸透鏡。通常人眼睛的瞳孔直徑約為1.5～6mm（視入射光強的大小而定)。當人眼瞳孔直徑為2mm時，對于最敏感的光波波長λ=0.55μm，按(3.2-25)式可以算得人眼的最小分辨角αe為通常由實驗測得的人眼最小分辨角約為1′(=2.9×10-4rad)，與上面計算的結果基本相符。(3.2-26)(2)望遠鏡的分辨本領望遠鏡的作用相當于增大人眼睛的瞳孔。設望遠鏡物鏡的圓形通光孔徑直徑為D，若有兩個物點恰好能為望遠鏡所分辨開，則根據(jù)瑞利判據(jù)，這兩個物點對望遠鏡的張角α為(3.2-27)這也就是望遠鏡的最小分辨角公式。該式表明，望遠鏡物鏡的直徑D愈大，分辨本領愈高，并且，這時像的光強也增加了。例如，天文望遠鏡物鏡的直徑做得很大(可達6m)，原因之一就是為了提高分辨本領。對于λ=0.55μm的單色光來說，其最小分辨角α=0.023′=1.12×10-7rad，比人眼的分辨本領要大三千倍左右。通常在設計望遠鏡時，為了充分利用望遠鏡物鏡的分辨本領，應使望遠鏡的放大率保證物鏡的最小分辨角經(jīng)望遠鏡放大后等于眼睛的最小分辨角，即放大率應為(3.2-28)(3)照相物鏡的分辨本領照相物鏡一般都是用于對較遠物體的成像，感光底片的位置大致與照相物鏡的焦平面重合。若照相物鏡的孔徑為D，相應第一極小的衍射角為θ0，則底片上恰能分辨的兩條直線之間的距離ε′為習慣上，照相物鏡的分辨本領用底片上每毫米內(nèi)能成多少條恰能分開的線條數(shù)N表示，N為(3.2-29)(3.2-30)式中，D/f是照相物鏡的相對孔徑?？梢姡障辔镧R的相對孔徑愈大，分辨本領愈高。例如，對于D/f=1∶3.5的常用照相物鏡，若λ=0.55μm，則N=1490×1/3.5=425(條/mm)。作為照相系統(tǒng)總分辨本領的要求來說，感光底片的分辨本領應大于或等于物鏡的分辨本領。例如，對于上面的例子，應選擇分辨本領大于425條/mm的底片。(4)顯微鏡的分辨本領顯微鏡由物鏡和目鏡組成，在一般情況下系統(tǒng)成像的孔徑為物鏡框，因此，限制顯微鏡分辨本領的是物鏡框(即孔徑光闌)。顯微鏡物鏡的成像如圖3-19所示。點物S1和S2位于物鏡前焦點外附近，由于物鏡的焦距很短，因而S1和S2發(fā)出的光波以很大的孔徑角入射到物鏡，其像S1′和S2′離物鏡較遠。雖然S1和S2離物鏡很近，它們的像也是物鏡邊緣(孔徑光闌)的夫朗和費衍射圖樣，其愛里斑的半徑為(3.2-31)圖3-19顯微鏡的分辨本領由于顯微鏡物鏡的成像滿足阿貝(Abbe)正弦條件(3.2-32)式中，n和n′分別是物方和像方折射率，在n′=1時，因lD′,有因而，能分辨兩點物的最小距離為(3.2-34)(3.2-33)式中，NA=nsinu稱為物鏡的數(shù)值孔徑。由此可見，提高顯微鏡分辨本領的途徑是：①增大物鏡的數(shù)值孔徑，例如，利用油浸物鏡可以獲得最大的數(shù)值孔徑(約1.4)；②減小波長，例如，電子顯微鏡利用電子束的波動性成像，由于其波長可達10-3nm，因而分辨本領將比可見光顯微鏡提高幾十萬倍，只是由于電子顯微鏡的數(shù)值孔徑較小，其分辨本領實際上僅提高千倍以上。3.2.3夫朗和費單縫和多縫衍射

1.夫朗和費單縫衍射對于上面討論的夫朗和費矩形孔衍射，如果矩形孔一個方向的尺寸比另一個方向大得多，如b>>a,則該矩形孔的衍射就變成一個單(狹)縫衍射(圖3-20(a))。這時，沿y方向的衍射效應不明顯，只在x方向有亮暗變化的衍射圖樣(圖3-20(b))。按照(3.2-1)式，衍射屏上P點的光場復振幅為(3.2-35)圖3-20單縫夫朗和費衍射裝置式中， 是觀察屏中心點P0處的光場復振幅。相應P點的光強度為(3.2-36)式中， ，α=kax/(2f)=(πa/λ)(x/f)≈(πasinθ)/λ,θ為衍射角。在衍射理論中，通常稱(sinα/α)2為單縫衍射因子。因此，矩形孔衍射的相對強度分布是兩個單縫衍射因子的乘積。在單縫衍射實驗中，常采用與單縫平行的線光源代替點光源，這時，在觀察屏上將得到一些與單縫平行的直線衍射條紋(圖3-21)。圖3–21用線光源照明的單縫夫朗和費衍射裝置

單縫衍射圖樣的主要特征是：

(1)單色光照明的衍射光強分布單色光照明時，當α=0，對應于θ=0的衍射位置是光強中央主極大值(亮條紋)；當α=mπ時，對應于滿足的衍射角方向為光強極小值(暗條紋)。對(3.2-37)式兩邊取微分，有(3.2-37)由此可得相鄰暗條紋的角寬度Δθ為(3.2-38)在衍射角很小時，相鄰暗條紋的角寬度為對于中央亮條紋，其角寬度Δθ0為Δθ的兩倍，即(3.2-40)(3.2-39)上式說明，當λ一定時，a小，則Δθ大，衍射現(xiàn)象顯著。例如，a=100λ時，Δθ=0.573°，即第一極小偏離入射光方向僅0.573°，光能量的大部分沿θ=0°方向傳播，衍射不明顯，可視為直線傳播；當a=10λ時，第一極小偏離入射光方向達57°，衍射效應顯著；當a≈λ時，Δθ～90°，中央主極大已擴大到整個開孔的幾何陰影區(qū)。

(2)白光照明白光照明時，衍射條紋呈現(xiàn)彩色，中央是白色，向外依次是由紫到紅變化。

2.夫朗和費多縫衍射所謂多縫，是指在一塊不透光的屏上，刻有N條等間距、等寬度的通光狹縫。夫朗和費多縫衍射的裝置如圖3-22所示。其每條狹縫均平行于y1方向，沿x1方向的縫寬為a,相鄰狹縫的間距為d。在研究多縫衍射時，必須注意縫后透鏡L2的作用。由于L2的存在，使得衍射屏上每個單縫的衍射條紋位置與縫的位置無關，即縫垂直于光軸方向平移時，其衍射條紋的位置不變，因此，利用平行光照射多縫時，其每一個單縫都要產(chǎn)生自己的衍射，形成各自的一套衍射條紋。當每個單縫等寬時，各套衍射條紋在透鏡焦平面上完全重疊，其總光強分布為它們的干涉疊加。圖3-22夫朗和費多縫衍射裝置1)多縫衍射的光強分布假設圖3–22中的S是線光源，則N個狹縫受到平面光波的垂直照射。如果選取最下面的狹縫中心作為x1的坐標原點，并只計x方向的衍射，則按照(3.2-1)式，觀察屏上P點的光場復振幅為式中(3.2-42)它表示在x1方向上相鄰的兩個間距為d的平行等寬狹縫，在P點產(chǎn)生光場的相位差。相應于P點的光強度為(3.2-43)式中，I0=［Aab/(λf)］2是單縫衍射情況下P0

點的光強。

由上述討論可以看出，平行光照射多縫時，其每個狹縫都將在P點產(chǎn)生衍射場，由于這些光場均來自同一光源，彼此相干，將因干涉效應，使觀察屏上的光強度重新分布。因此，多縫衍射現(xiàn)象包含有衍射和干涉雙重效應。

由(3.2-43)式可見，N個狹縫的衍射光強關系式中包含有兩個因子：一個是單縫衍射因子(sinα/α)2；另外一個因子是［sin(Nj/2)/sin(j/2)］2，根據(jù)以上公式的推導過程可以看出，它是N個等振幅，等相位差的光束干涉因子。因此，多縫衍射圖樣具有等振幅，等相位差多光束干涉和單縫衍射的特征。為簡單起見，我們以雙縫衍射情況予以說明。此時，N=2,P點的光強為(3.2-44)顯然，式中的因子［sinj/sin(j/2)］2正是前面討論過的等振幅雙光束干涉因子。根據(jù)這個式子，繪出了如圖3-23所示的、d=3a情況下的雙縫衍射強度分布曲線，其中，圖(a)是等振幅雙光束干涉強度分布cos2(j／2)曲線，圖(b)是單縫衍射強度分布(sinα/α)2曲線，圖(c)是雙縫衍射強度分布曲線。由該圖可見，雙縫衍射強度分布是等振幅雙光束干涉和單縫衍射的共同作用結果，實際上也可看做是等振幅雙光束干涉受到單縫衍射的調制。圖3-23雙縫衍射強度分布曲線綜上所述，多縫衍射是干涉和衍射的共同效應，它可看作是等振幅、等相位差多光束干涉受到單縫衍射的調制。需要指出的是，單縫衍射因子只與單縫本身的性質有關，而多光束干涉因子則因源于狹縫的周期性排列，與單縫本身的性質無關。因此，如果有N個性質相同，但形狀與上述狹縫有異的孔徑周期排列，則在其衍射強度分布公式中，仍將有上述的多光束干涉因子。此時，只要把單個衍射孔徑的衍射因子求出來，乘以多光束干涉因子，即是這種周期性孔徑衍射的光強度分布。為了更清楚起見，圖3-24給出了夫朗和費單縫和五種多縫的衍射圖樣照片。圖3-24夫朗和費單縫、雙縫、多縫衍射的衍射圖樣照片2)多縫衍射圖樣特性多縫衍射圖樣特性可以由多光束干涉和單縫衍射特性確定。

(1)多縫衍射的強度極值①多縫衍射主極大。由多光束干涉因子可以看出，當j=2mπm=0,±1,±2,…或dsinθ=mλ

時，多光束干涉因子為極大值，稱此時的多縫衍射為主極大。由于 ，因而多縫衍射主極大強度為(3.2-46)(3.2-45)它們是單縫衍射在各級主極大位置上所產(chǎn)生強度的N2倍，其中，零級主極大的強度最大，等于N2

I。②多縫衍射極小。當Nj/2等于π的整數(shù)倍，而j/2不是π的整數(shù)倍，即m=0,±1,±2,…;m′=1,2,…,N-1或(3.2-47)時，多縫衍射強度最小，為零。比較(3.2-45)式和(3.2-47)式可見，在兩個主極大之間，有(N-1)個極小。由(3.2-47)式，相鄰兩個極小(零值)之間(Δm′=1)的角距離Δθ為(3.2-48)③多縫衍射次極大。由多光束干涉因子可見，在相鄰兩個極小值之間，除了是主極大外，還可能是強度極弱的次極大。在兩個主極大之間，有(N-2)個次極大，次極大的位置可以通過對(3.2-43)式求極值確定，近似由求得。例如，在m=0和

m=1級主極大之間，次極大位置出現(xiàn)在共(N-2)個。在Nφ/2≈3π/2時，衍射強度為即最靠近零級主極大的次極大強度，只有零級主極大的4.5%。此外，次極大的寬度隨著N的增大而減小。當N很大時，它們將與強度零點混成一片，成為衍射圖樣的背景。(2)多縫衍射主極大角寬度多縫衍射主極大與相鄰極小值之間的角距離是Δθ，主極大的條紋角寬度為(3.2-49)該式表明，狹縫數(shù)N愈大，主極大的角寬度愈小。(3)缺級由于多縫衍射是干涉和衍射的共同效應，因而存在缺級現(xiàn)象。對于某一級干涉主極大的位置，如果恰有sinα/α=0，即相應的衍射角θ同時滿足dsinθ=mλm=0,±1,±2,…

asinθ=nλ

n=±1,±2,…

或(3.2-50)則該級主極大將消失，多縫衍射強度變?yōu)榱悖蔀槿奔墶?/p>

從以上討論可以看出，在多縫衍射中，隨著狹縫數(shù)目的增加，衍射圖樣有兩個顯著的變化：一是光的能量向主極大的位置集中(為單縫衍射的N2倍)；二是亮條紋變得更加細而亮(約為雙光束干涉線寬的1/N)。對于一個N=104的多縫來說，這將使主極大光強增大108倍，條紋寬度縮為萬分之一。另外，由(3.2-45)式可知，干涉主極大位置隨入射光的波長變化，同一級次的主極大方向(衍射角θ)，將隨著波長的增加而增大，并且，當衍射角θ不大時，這種變化近于線性關系。3.2.4巴俾涅原理應用例如，對于圖3-21所示的用線光源照明單縫的夫朗和費衍射裝置，如果將單縫衍射屏換成同樣寬度的不透光窄帶(或細絲)，則在衍射圖樣中央以外的地方，將有與單縫衍射類似的衍射圖樣。這是因為單縫和窄帶是一對互補屏，在觀察屏上，除中央點外，均有，所以根據(jù)巴俾涅原理，除中央點外，單縫和窄帶(或細絲)的衍射圖樣相同。因此，可以直接將單縫衍射特性應用于窄帶(或細絲)衍射中。例如，窄帶(或細絲)衍射的暗條紋間距公式為(3.2-51)在窄帶(細絲)衍射的實驗中，如果測出了衍射暗條紋的間距e,可以計算出窄帶(細絲)的寬度(直徑)。目前已經(jīng)應用的激光細絲測徑儀，就是利用這個原理測量細絲(例如金屬或纖維絲)直徑的。3.3菲涅耳衍射3.3.1菲涅耳衍射的菲涅耳波帶法

1.菲涅耳圓孔衍射——菲涅耳波帶法

1)菲涅耳波帶法圖3-25繪出了一個單色點光源S照射圓孔衍射屏的情況，P0是圓孔中垂線上的一點，在某時刻通過圓孔的波面為MOM′，半徑為R。圖3-25圓孔衍射的波帶法示意圖

現(xiàn)在以P0為中心，以r1,r2,…,rN為半徑，在波面上作圓，把MOM′分成N個環(huán)帶，所選取的半徑為因此，相鄰兩個環(huán)帶上的相應兩點到P0點的光程差為半個波長，這樣的環(huán)帶叫菲涅耳半波帶(或菲涅耳波帶)。根據(jù)惠更斯—菲涅耳原理，P0點的光場振幅應為各波帶在P0點產(chǎn)生光場振幅的疊加,假定點源和P0點到衍射屏的距離都比波長大得多，可視同一波帶上點的傾斜因子相同，P0點的光振幅近似為

AN=a1－a2+a3－a4+…±aN

(3.3-1)式中，設a1、a2、…、aN分別為第1、第2、……、第N個波帶在P0點產(chǎn)生光場振幅的絕對值。當N為奇數(shù)時，aN前面取+號;N為偶數(shù)時，aN前面?。?。這種取法是由于相鄰的波帶在P0點引起的振動相位相反決定的。因此，為利用菲涅耳波帶法求P0點的光強，首先應求出各個波帶在P0點振動的振幅。

由惠更斯—菲涅耳原理可知，各波帶在P0點產(chǎn)生的振幅aN主要由三個因素決定：波帶的面積大小ΔSN；波帶到P0點的距離rN；波帶對P0點連線的傾斜因子K(θ)，且-(3.3-2)(1)波帶面積ΔSN

在圖3-26中，設圓孔對P0點共露出N個波帶，這N個波帶相應的波面面積是(3.3-3)圖3-26求波帶面積式中，h為OO′長度。因為所以(3.3-4)又由于rN=r0+Nλ/2，故有(3.3-5)將(3.3-4)式、(3.3-5)式代入(3.3-5)式中，得(3.3-6)同樣也可以求得(N－1)個波帶所對應的波面面積為兩式相減，即得第N個波帶的面積為(3.3-7)(3.3-8)由此可見，波帶面積隨著序數(shù)N的增大而增加。但由于通常波長λ相對于R和r0很小，λ2項可以略去，因此可視各波帶面積近似相等。(2)各波帶到P0點的距離因為rN和rN-1是第N個波帶的兩個邊緣到P0點的距離，所以第N個波帶到P0點的距離可取兩者的平均值，即(3.3-9)這說明第N個波帶到P0點的距離隨著序數(shù)N的增大而增加。(3)傾斜因子K(θ)由圖3-26可見，傾斜因子為(3.3-10)將(3.3-8)式、(3.3-9)式和(3.3-10)式代入(3.3-2)式，可以得到各個波帶在P0點產(chǎn)生的光振動振幅(3.3-11)可見，各個波帶產(chǎn)生的振幅aN的差別只取決于傾角θN。由于隨著N增大，θN也相應增大，所以各波帶在P0點所產(chǎn)生的光場振幅將隨之單調減小，又由于這種變化比較緩慢，所以近似有下列關系：于是，在N為奇數(shù)時N為偶數(shù)時，當N較大時，aN-1≈aN，故有(3.3-12)下面給出波帶數(shù)N和圓孔半徑ρN之間的關系。由圖3-26可以看出：因為將其代入(3.3-4)式，可得所以，一般情況下，均有r0>>Nλ，故(3.3-13)這就是圓孔半徑ρN和露出的波帶數(shù)N之間的關系。該式也可表示成露出的波帶數(shù)N與圓孔半徑ρN的關系，(3.3-14)2)菲涅耳圓孔衍射由以上對菲涅耳波帶法的討論可知，菲涅耳圓孔衍射有如下特點：

(1)r0對衍射現(xiàn)象的影響由(3.3-14)式可見，對于一定的ρN和R，露出的波帶數(shù)N隨r0變化。r0不同，N也不同，從而P0點的光強度也不同。由(3.3-12)式，當N為奇數(shù)時，對應是亮點；N為偶數(shù)時，對應是暗點。所以，當觀察屏前后移動(r0變化)時，P0點的光強將明暗交替地變化，這是典型的菲涅耳衍射現(xiàn)象。在ρN和R一定時，隨著r0的增大，N減小，菲涅耳衍射效應很顯著。當r0大到一定程度時，可視r0→∞，露出的波帶數(shù)N不再變化，且為(3.3-15)該波帶數(shù)稱為菲涅耳數(shù)，它是一個描述圓孔衍射效應的很重要的參量。此后，隨著r0的增大，P0點光強不再出現(xiàn)明暗交替的變化，逐漸進入夫朗和費衍射區(qū)。而當r0很小時，N很大，衍射效應不明顯。當r0小到一定程度時，可視光為直線傳播。(2)N對衍射現(xiàn)象的影響在R和r0一定時，圓孔對P0露出的波帶數(shù)N與圓孔半徑有關，N∝ρ2N。于是，孔大，露出的波帶數(shù)多，衍射效應不顯著；孔小，露出的波帶數(shù)少，衍射效應顯著。當孔趨于無限大時，aN→0,(3.3-16)這說明孔很大時，P0點的光強不再變化，這正是光直線傳播的特點。因此，光的直線傳播，實際是透光孔徑較大情況下的一種特殊情況。光波波前完全不被遮擋時的P0點光場振幅A0，只是有圓孔時第一個波帶在P0點產(chǎn)生光場振幅a1的一半。這說明，當孔小到只露出一個波帶時，P0點的光強度由于衍射效應，增為無遮擋時P0點光強度的4倍。

(3)波長對衍射現(xiàn)象的影響當波長增大時，N減少。這說明在ρN、R、r0一定的情況下，長波長光波的衍射效應更為顯著，更能顯示出其波動性。

(4)軸外點的衍射對于軸外任意點P的光強度，原則上也可以用同樣的方法進行討論。如圖3-27所示，為了確定不在軸上的任意點P的光強，可先設想衍射屏不存在，以M0為中心，對于P點作半波帶，然后再放上圓孔衍射屏，圓孔中心為O。這時由于圓孔和波面對P點的波帶不同心，波帶的露出部分如圖3-28

所示，圖中為了清楚起見，把偶數(shù)帶畫上了斜線。于是，這些波帶在P點引起振動的振幅大小，不僅取決于波帶的數(shù)目，還取決于每個波帶露出部分的大小。精確計算P點的合成振動振幅是很復雜的，但可以預計，當P點逐漸偏離P0點時，有的地方衍射光會強些，有些地方會弱些。

圖3-27軸外點波帶的分法圖3-28軸外點波帶的分布

由于整個裝置是軸對稱的，在觀察屏上離P0點距離相同的P點都應有同樣的光強，因此菲涅耳圓孔衍射圖樣是一組亮暗相間的同心圓環(huán)條紋，中心可能是亮點，也可能是暗點。應當指出，上述的討論僅對點光源才成立，如果不是點光源，將因有限大小光源中的每一個點源都產(chǎn)生自己的一套衍射圖樣，導致干涉圖形變得模糊。

2.菲涅耳圓屏衍射與上面的情況不同，如果用一個不透明的圓形板(或一切具有圓形投影的不透明障礙物)替代圓孔衍射屏，將會產(chǎn)生怎樣的衍射圖樣?

如圖3-29所示，S為單色點光源，MM′為圓屏，P0為觀察點。分析方法與前相同，仍然由P0對波面作波帶，只是在圓屏的情況下，開頭的N個波帶被擋住，第(N+1)個以外的波帶全部通光。因此，P0點的合振幅為這就是說，只要屏不十分大，(N+1)為不大的有限值，則P0點的振幅總是剛露出的第一個波帶在P0點所產(chǎn)生的光場振幅的一半，即P0點永遠是亮點，所不同的只是光的強弱有差別而已。如果圓屏較大，P0點離圓屏較近，N是一個很大的數(shù)目，則被擋住的波帶就很多，P0點的光強近似為零，基本上是幾何光學的結論：幾何陰影處光強為零。(3.3-17)圖3-29菲涅耳圓屏衍射

對于不在軸上的P點，圓屏位置與波帶不同心，其合振動振幅隨P點位置的不同而有起伏?？紤]到圓屏的對稱性，可以預計：圓屏衍射是以P0點為中心，在其周圍有一組明暗交替的衍射環(huán)。而在遠離P0的點，由于圓屏只擋住波帶的很小一部分，衍射效應可忽略，其情況與幾何光學的結論一致。最后應當指出，如果我們把圓屏和同樣大小的圓孔作為互補屏來考慮，并不存在在夫朗和費衍射條件下得出的除軸上點外，兩個互補屏的衍射圖樣相同的結論。這是因為對于菲涅耳衍射，無窮大的波面將在觀察屏上產(chǎn)生一個非零的均勻振幅分布，而不像夫朗和費情形，除軸上點以外處處振幅為零。

3.菲涅耳直邊衍射——振幅矢量加法

一個平面光波或柱面光波通過與其傳播方向垂直的不透明直邊(例如，刮臉刀片直邊)后，將在觀察屏幕上呈現(xiàn)出圖3-30所示的衍射圖樣：在幾何陰影區(qū)的一定范圍內(nèi)，光強度不為零，而在陰影區(qū)外的明亮區(qū)內(nèi),光強度出現(xiàn)有規(guī)律的不均勻分布。圖3-30菲涅耳直邊衍射圖樣及光強分布1)振幅矢量加法如圖3-31所示，S為一個垂直于圖面的線光源，其波面AB是以光源為中心的柱面，MM′是垂直于圖面有一直邊的不透明屏，并且直邊與線光源平行。顯然，觀察屏上各點的光強度取決于波陣面上露出部分在該點產(chǎn)生的光場，并且，在與線光源S平行方向上的各觀察點具有相同的振幅。為求觀察屏上各點的光場，先將直邊外的波陣面相對于觀察屏上P點分成若干直條狀半波帶，然后再將各個直條狀半波帶在P點產(chǎn)生的光場復振幅進行矢量相加，故常稱這種菲涅耳波帶法為振幅矢量加法。與此相應，前面關于菲涅耳圓孔衍射的討論，可稱為代數(shù)加法。圖3-31菲涅耳直邊衍射

假定先將直邊屏MM′拿掉，如圖3-32(a)所示，以SM0P0為中線，將柱面波的波面分成許多直條狀半波帶：相鄰帶的相應點在P0點所產(chǎn)生的光場相位相反。從P0點向光源看去，其半波帶形狀如圖3-32(b)所示。圖3-32柱面波的半波帶例如，自M0點向上把第一個半波帶分成9條波帶元，各波帶元在P0點產(chǎn)生的光場振幅矢量分別為Δa1,Δa2,…,Δa9，通過矢量加法，就可得到第一個半波帶在P0點產(chǎn)生的光場振幅矢量，如圖3-33(a)中的A1。同樣,可以得到第二個直條半波帶在P0點產(chǎn)生的光場振幅矢量A2。此二半波帶在P0點產(chǎn)生的合光場振幅如圖中的矢量A所示。顯然，這個結果與前面的環(huán)形半波帶的情況不同，在那里其合振幅接近于零。如果我們繼續(xù)重復上述作法，并把M0以上的各半波帶都分成無限多直條波帶元，進行矢量作圖，就將得到圖3-33(b)所示的光滑的曲線，此曲線趨近于Z，矢量

表示上半個波面所有波帶在P0點產(chǎn)生的光場振幅。圖3-33振幅矢量加法顯然，對于下半個波面對P0點光場的作用，也可以在同一坐標面的第三象限內(nèi)畫出一條對應的曲線。因此，上下兩部分波面對P0點的作用就畫成圖3-34所示的曲線，稱為科紐(Cornu)螺線。螺線中兩終點的連線表示整個波面在P0點所產(chǎn)生的光場振幅的大小。圖3-34科紐螺線2)菲涅耳直邊衍射

根據(jù)振幅矢量法，可以很方便地討論菲涅耳直邊衍射圖樣。①對于圖3-31中光源與直邊邊緣連線上的觀察點P0，由于直邊屏把下半部分波面全部遮住，只有上半部分波面對P0點產(chǎn)生作用，因而，P0點的光場振幅大小OZ為波面無任何遮擋時的振幅大小Z′Z的一半，而光強為其1/4。②對于直邊屏幾何陰影界上方的P1點，由它向光源S作的直線與波面交于C1?，F(xiàn)由C1開始，重新對波面分成許多半波帶，與P0點情況相比較，相當于M0點移到了C1,C1以上的半個波面完全不受遮擋，因而它在P1點產(chǎn)生的光場振幅由科紐螺線上的OZ表示。對于C1以下的半個波面，有一部分被直邊屏遮擋，只露出一小部分對P1有作用，在圖3-35所示的科紐螺線中，以M1′O表示。這樣，整個露出的波面對P1點產(chǎn)生的光場復振幅，在科紐螺線中以OZ和MO′的矢量和，即M1Z′Z表示。M1′在科紐螺線中的位置取決于P1點到P0點的距離，P1點離P0愈遠，M1′點沿螺線愈接近Z′。這就是說，隨著P1點位置的改變，P1點的振幅或光強是改變的，并且與M2′、M4′、…相應的點有最大光強度，而與M3′、M5′、…相應的點有最小的光強度。因此，在幾何陰影界上方靠近P0處的光強分布不均勻，有亮暗相間的衍射條紋，對于離P0足夠遠的地方，光強度基本上正比于(Z′Z)2,有均勻的光強分布。圖3-35用科紐螺線討論直邊衍射③對于P0點以下的P2點，它與S的連線交波面于C2點。C2以下的半個波面被直邊屏遮擋，C2以上的半個波面也有一部分被遮擋。因此，P2點的合光場振幅矢量的一端為Z，另一端為M1″，即為M1″Z，P2點的光強度正比于(M1″Z)2。M1″隨P2點的位置不同，沿著螺線移動，P2離P0愈遠，其上光強愈小，當P2離P0足夠遠時，光強度趨于零。根據(jù)上面的討論，可以解釋圖3-30所示的直邊衍射圖樣和光強分布。

4.菲涅耳單縫衍射利用振幅矢量加法可以很方便地討論菲涅耳單縫衍射現(xiàn)象。如圖3-36(a)所示，單縫的每一邊猶如一個直邊，遮去了大部分的波面，而單縫露出的波面對觀察點的作用，可以通過科紐螺線作圖得到，在菲涅耳單縫衍射中，條紋強度分布與縫的寬度有關。圖3-36(b)給出了一些寬度不同的單縫菲涅耳衍射圖樣的照片。每一組的三張照片是由三種不同曝光時間得出的。在它們旁邊畫出了相應的強度曲線(橫軸的粗實線代表縫寬)。圖3–36菲涅耳單縫衍射3.3.2菲涅耳衍射的積分解法如前所述，在菲涅耳近似下，觀察點的衍射光場復振幅表示式為由于式中的被積函數(shù)含有指數(shù)函數(shù)，而且是x1和y1的二次項指數(shù)函數(shù)，就使得衍射積分的求解十分困難，只有在特殊情況下，才能得到解析解。下面討論一些特殊情況下的菲涅耳衍射問題。(3.3-18)

1.圓孔軸線上的菲涅耳衍射為求得圓孔軸線上的菲涅耳衍射光場分布，建立如圖3-37所示的柱坐標系，衍射孔半徑為R，圓孔軸線與z軸重合，圓孔上任一點Q的坐標為(ρ1,j1,0)，觀察面上點的坐標為(ρ,j,z)。圖3-37圓孔軸上菲涅耳衍射分析示意圖假設用單位振幅的平面光波垂直入射照明圓孔，觀察點P(ρ,j,z)在z軸上，有ρ=0，則菲涅耳衍射積分(3.3-18)式可寫成(3.3-19)相應的光強度分布為(3.3-20)光強度分布隨z的變化曲線如圖3-38所示：隨著z的增大，I(0,j)在z等于…，R2/5λ，R2/3λ，R2/λ處，取極大值；在兩個極大值之間有一個零極小值，說明軸線上光強度有亮暗變化。進一步，當z>R2/λ時，軸上衍射光強度隨著z的增加而單調減小，I(0,j)不再有亮暗交替變化。圖3-38圓孔軸上菲涅耳衍射光強分布

2.直邊的菲涅耳衍射菲涅耳衍射另一類能夠直接求解的特殊情況是由直邊構成的簡單孔的衍射，如矩形、狹縫和半無限大開孔的情況，這些衍射問題可以通過菲涅耳積分進行計算。設邊長為2a的方孔被單位振幅的單色平面光波垂直照明，應用(3.3-18)式得(3.3-21)作變量代換，(3.3-21)式簡化為(3.3-22)式中的積分上下限分別為(3.3-23)(3.3-24)為求解(3.3-22)式，引入菲涅耳積分及菲涅耳積分函數(shù)(3.3-25)菲涅耳積分特性可用圖3-34所示的科鈕螺線描述，在該圖中，分別以C和S作為某點的直角坐標x和y，當τ取所有的可能值時，即可繪出科鈕螺線。由科鈕螺線可得菲涅耳積分具有如下性質：(3.3-26)應用菲涅耳積分，(3.3-22)式可改寫為(3.3-27)相應的光強分布為(3.3-28)利用菲涅耳積分求解衍射光場分布一般按如下步驟進行：對于給定的觀察點P(x,y)，將x,y代入(3.3-23)式，確定積分上下限v1、v2和w1、w2；再由菲涅耳積分表確定C(v1)，C(v2)，S(w1)，S(w2)的值；然后把上述值代入(3.3-27)式和(3.3-28)式，便可求得該觀察點的光場復振幅和光強度I(x,y)值。對各觀察點重復以上步驟，便可確定菲涅耳衍射光場分布。對于矩形孔，菲涅耳衍射的光場復振幅和光強度沿x和y的分布形式相同。圖3-39所示為光場振幅大小隨x的變化曲線。圖3-39矩形孔菲涅耳衍射振幅曲線單縫菲涅耳衍射可作為矩形孔衍射的一個特例來處理，只需將矩形孔的一個對邊向y(或x)軸方向無限延伸，便成為單縫。此時有w1=－∞,w2=∞。由菲涅耳積分性質可知：C(∞)－C(－∞)=S(∞)－S(－∞)=0把此值代入(3.3-27)式和(3.3-28)式，分別得到單縫菲涅耳衍射的光場復振幅和光強度分布為(3.3-29)(3.3-30)如果單縫的寬度遠大于照明波長，在菲涅耳衍射中衍射的影響主要在直邊附近的范圍。對于直邊的菲涅耳衍射光場分布可以只考慮狹縫的一個邊，而將其另一個邊看做在無窮遠處。此時，可以取v1=－∞，及C(－∞)=S(－∞)=－1/2，代入(3.3-29)和(3.3-30)式，得到直邊菲涅耳衍射的復振幅和光強度分布為(3.3-32)(3.3-31)如果觀察點離開幾何投影的陰影區(qū)足夠遠，這時可近似認為v2=∞，及C(∞)=S(∞)=1/2，代入(3.3-31)式，得(3.3-33)這實際上就是無衍射屏時觀察點上的復振幅。如果觀察點剛好在幾何投影的陰影區(qū)邊緣，則有v2=0，及C(0)=S(0)=0，代入(3.3-31)式得(3.3-34)可見在幾何陰影區(qū)邊緣上的光場復振幅值等于無阻擋時的一半，而光強度是無阻擋時的1/4。如果觀察點在幾何投影的陰影區(qū)，而且離開陰影邊緣足夠遠，便可近似認為v2=∞，可得(3.3-34)即觀察點在較深陰影區(qū)時，與完全阻擋時一樣。直邊菲涅耳衍射的光強度分布曲線如圖3-30所示。3.4衍射的應用3.4.1衍射光柵——光譜儀

1.衍射光柵

1)光柵概述衍射光柵是一種應用非常廣泛、非常重要的光學元件，通常講的衍射光柵都是基于夫朗和費多縫衍射效應進行工作的。所謂光柵，就是由大量等寬、等間隔的狹縫構成的光學元件。世界上最早的光柵是夫朗和費在1819年制成的金屬絲柵網(wǎng)，現(xiàn)在的一般光柵是通過在平板玻璃或金屬板上刻劃出一道道等寬、等間距的刻痕制成的。隨著光柵理論和技術的發(fā)展，光柵的衍射單元已不再只是通常意義下的狹縫了，廣義上可以把光柵定義為：凡是能使入射光的振幅或相位，或者兩者同時產(chǎn)生周期性空間調制的光學元件。正是從這個意義上來說，出現(xiàn)了所謂的晶體光柵、超聲光柵、晶體折射率光柵等新型光柵。

光柵根據(jù)其工作方式分為兩類，一類是透射光柵，另一類是反射光柵。如果按其對入射光的調制作用來分類，又可分為振幅光柵和相位光柵?，F(xiàn)在通用的透射光柵是在平板玻璃上刻劃出一道道等寬、等間距的刻痕，刻痕處不透光，無刻痕處是透光的狹縫。反射式光柵是在金屬反射鏡面上刻劃出一道道刻痕，刻痕處發(fā)生漫反射，未刻痕處在反射方向上發(fā)生衍射。這兩種光柵只對入射光的振幅進行調制，改變了入射光的振幅透射系數(shù)或反射系數(shù)的分布，所以是振幅光柵。一塊光柵的刻痕通常很密，在光學光譜區(qū)采用的光柵刻痕密度為0.2～2400條/mm，目前在實驗室研究工作中常用的是600條/mm和1200條/mm，總數(shù)為5×104條。因此，制作光柵是一項非常精密的工作。一塊光柵刻劃完成后，可作為母光柵進行復制，實際上大量使用的是這種復制光柵。2)光柵方程由多縫衍射理論知道，衍射圖樣中亮線位置的方向由下式?jīng)Q定：

dsinθ=mλ

m=0,±1,±2,…

(3.4-1)式中，間距d通常稱為光柵常數(shù)；θ為衍射角。在光柵理論中，(3.4-1)式稱為光柵方程。該式僅適于光波垂直入射光柵的情況，對于更一般的斜入射情況，光柵方程的普遍表示式為

d(sinj±sinθ)=mλ

m=0,±1,±2,…(3.4-2)式中，j為入射角(入射光與光柵平面法線的夾角)；θ為衍射角(相應于第m級衍射光與光柵平面法線的夾角)。

下面以平面透射光柵為例，導出(3.4-2)式光柵方程。如圖3-40(a)所示，當平行光以入射角j斜入射到透射光柵上時，光線R1比相鄰的光線R2超前dsinj，在離開光柵時，R2比R1超前dsinθ，所以這兩支光的光程差為對于圖3-40(b)的情況，光線R1總比R2超前，故光程差為將上面二式合并于一式表示，即得產(chǎn)生極大值的條件為圖3-40透射光柵的衍射對于圖3-41所示的反射光柵，同樣也可以證明(3.4-2)式的光柵方程。當入射光與衍射光在光柵法線同一側時，(3.4-2)式取+號；異側時，取－號。圖3–41反射光柵的衍射3)衍射光柵的分光原理由光柵方程可見，對于給定光柵常數(shù)d的光柵，當用復色光照射時，除零級衍射光外，不同波長的同一級衍射光不重合，即發(fā)生“色散”現(xiàn)象，這就是衍射光柵的分光原理。對應于不同波長的各級亮線稱為光柵譜線，不同波長光譜線的分開程度隨著衍射級次的增大而增大，