在平面幾何中，角平分線與垂直平分線是兩類重要的“對稱軸”，它們分別圍繞“角”與“線段”展開，通過“距離相等”的核心性質(zhì)，成為連接線段、角、三角形等幾何元素的關鍵工具。本文將系統(tǒng)梳理兩者的定義、核心性質(zhì)、擴展結論及應用場景，力求專業(yè)嚴謹且具有實用價值。一、角平分線：從“角”到“距離相等”的集合1.1角平分線的定義幾何定義：從角的頂點出發(fā)，把一個角分成兩個相等角的射線，叫做這個角的平分線（AngleBisector）。集合定義：角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。這一定義揭示了角平分線的本質(zhì)——它是滿足特定距離條件的點的軌跡。1.2角平分線的核心性質(zhì)角平分線的性質(zhì)圍繞“距離相等”展開，包含性質(zhì)定理與判定定理（互逆關系）：（1）性質(zhì)定理內(nèi)容：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。符號語言：若射線\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，點\(P\)在\(AD\)上，且\(PE\perpAB\)、\(PF\perpAC\)（\(E\)、\(F\)為垂足），則\(PE=PF\)（如圖1）。注：此處“距離”指垂線段的長度，而非點到邊的任意線段長度。（2）判定定理內(nèi)容：到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。符號語言：若點\(P\)到\(\angleBAC\)的兩邊\(AB\)、\(AC\)的距離\(PE=PF\)（\(PE\perpAB\)、\(PF\perpAC\)），則點\(P\)在\(\angleBAC\)的平分線\(AD\)上。說明：性質(zhì)定理是“從線到點”的推導（線上點滿足距離相等），判定定理是“從點到線”的推導（滿足條件的點在這條線上），兩者共同構成角平分線的完整刻畫。1.3角平分線的擴展性質(zhì)角平分線在三角形中具有豐富的擴展結論，其中最核心的是三角形內(nèi)心與角平分線分對邊成比例定理：（1）三角形的內(nèi)心定義：三角形的三條角平分線交于一點，該點稱為三角形的內(nèi)心（Incenter）。性質(zhì)：內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，到三角形三邊的距離相等（等于內(nèi)切圓半徑）。位置：內(nèi)心始終在三角形內(nèi)部（無論三角形是銳角、直角還是鈍角）。（2）角平分線分對邊成比例定理內(nèi)容：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段，與鄰邊對應成比例。符號語言：在\(\triangleABC\)中，若\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，交\(BC\)于點\(D\)，則\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)（如圖2）。推廣：三角形的外角平分線（平分外角且與對邊延長線相交）也滿足類似比例關系，即\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\)（絕對值相等，方向相反）。二、垂直平分線：從“線段”到“距離相等”的集合2.1垂直平分線的定義幾何定義：過線段的中點且垂直于該線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（PerpendicularBisector），又稱“中垂線”。集合定義：垂直平分線是到線段兩端點距離相等的所有點的集合。這一定義同樣揭示了其本質(zhì)——滿足到線段兩端點距離相等的點的軌跡。2.2垂直平分線的核心性質(zhì)垂直平分線的性質(zhì)圍繞“到線段兩端點距離相等”展開，同樣包含性質(zhì)定理與判定定理（互逆關系）：（1）性質(zhì)定理內(nèi)容：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。符號語言：若直線\(MN\)是線段\(AB\)的垂直平分線（\(O\)為\(AB\)中點，\(MN\perpAB\)），點\(P\)在\(MN\)上，則\(PA=PB\)（如圖3）。（2）判定定理內(nèi)容：到線段兩端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上。符號語言：若點\(P\)滿足\(PA=PB\)，則點\(P\)在線段\(AB\)的垂直平分線\(MN\)上。2.3垂直平分線的擴展性質(zhì)垂直平分線在三角形中的擴展結論主要涉及三角形外心與等腰三角形的三線合一：（1）三角形的外心定義：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點稱為三角形的外心（Circumcenter）。性質(zhì)：外心是三角形外接圓的圓心，到三角形三個頂點的距離相等（等于外接圓半徑）。位置：外心的位置與三角形形狀有關：銳角三角形：外心在三角形內(nèi)部；直角三角形：外心在斜邊中點（斜邊為外接圓直徑）；鈍角三角形：外心在三角形外部。（2）等腰三角形的“三線合一”內(nèi)容：在等腰三角形中，頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（即同一條線），且這條線也是底邊的垂直平分線。符號語言：若\(\triangleABC\)是等腰三角形（\(AB=AC\)），則：頂角平分線\(AD\)也是底邊\(BC\)的中線（\(BD=DC\)）、底邊\(BC\)的高（\(AD\perpBC\)），同時也是\(BC\)的垂直平分線。三、角平分線與垂直平分線的區(qū)別與聯(lián)系3.1核心區(qū)別**維度****角平分線****垂直平分線****定義對象**角（從頂點出發(fā)的射線）線段（過中點且垂直的直線）**核心性質(zhì)**到角兩邊的距離相等到線段兩端點的距離相等**軌跡本質(zhì)**角內(nèi)部的點軌跡線段所在平面的點軌跡**三角形交點**內(nèi)心（到三邊距離相等）外心（到三頂點距離相等）3.2內(nèi)在聯(lián)系兩者均以“距離相等”為核心，且在等腰三角形中存在交集：等腰三角形的頂角平分線同時也是底邊的垂直平分線（三線合一）；它們都是對稱軸：角平分線是角的對稱軸，垂直平分線是線段的對稱軸。四、應用場景：從幾何證明到實際問題4.1幾何證明中的應用（1）證明線段相等例：如圖4，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(DE\perpAB\)于\(E\)，\(DF\perpAC\)于\(F\)，求證\(DE=DF\)。思路：直接應用角平分線的性質(zhì)定理（角平分線上的點到兩邊距離相等）。（2）證明角相等例：如圖5，\(MN\)是線段\(AB\)的垂直平分線，點\(C\)在\(MN\)上，求證\(\angleACM=\angleBCM\)。思路：由垂直平分線性質(zhì)得\(AC=BC\)，再由等腰三角形性質(zhì)（等邊對等角）得\(\angleCAM=\angleCBM\)，最后通過全等三角形（\(\triangleACM\cong\triangleBCM\)）證明角相等。（3）證明比例關系例：如圖6，在\(\triangleABC\)中，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，交\(BC\)于\(D\)，若\(AB=6\)，\(AC=4\)，\(BC=5\)，求\(BD\)的長度。思路：應用角平分線分對邊成比例定理（\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)），設\(BD=3k\)，\(DC=2k\)，則\(3k+2k=5\)，解得\(k=1\)，故\(BD=3\)。4.2尺規(guī)作圖中的應用（1）作角平分線（圖7）步驟：1.以角頂點\(O\)為圓心，任意長為半徑畫弧，交角兩邊于\(A\)、\(B\)兩點；2.分別以\(A\)、\(B\)為圓心，大于\(\frac{1}{2}AB\)的長為半徑畫弧，兩弧交于點\(P\)；3.過\(O\)、\(P\)作射線\(OP\)，則\(OP\)即為\(\angleAOB\)的平分線。（2）作線段垂直平分線（圖8）步驟：1.分別以線段\(AB\)的兩端點\(A\)、\(B\)為圓心，大于\(\frac{1}{2}AB\)的長為半徑畫弧，兩弧交于\(C\)、\(D\)兩點；2.過\(C\)、\(D\)作直線\(CD\)，則\(CD\)即為線段\(AB\)的垂直平分線。4.3實際問題中的應用（1）找“到兩直線距離相等”的點例：在兩條相交道路（形成角）旁建一個加油站，要求加油站到兩條道路的距離相等，問加油站應建在何處？思路：兩條道路形成的角的平分線上（角平分線的集合定義）。（2）找“到兩地點距離相等”的點例：在村莊\(A\)和村莊\(B\)之間建一個文化中心，要求文化中心到\(A\)、\(B\)的距離相等，問文化中心應建在何處？思路：線段\(AB\)的垂直平分線上（垂直平分線的集合定義）。五、總結：幾何中的“距離相等”工具角平分線與垂直平分線是平面幾何中最基礎的軌跡工具，它們通過“距離相等”的核心性質(zhì)，將角、線段、三角形等元素連接成一個有機整體。無論是幾何證明中的線段/角相等、比例關系，還是實際問題中的選址問題，兩者都發(fā)揮著不可替代的作