第4課時黃金分割教師備課素材示例●歸納導入如圖，學生以手中的標準五角星為操作材料，進行小組合作探究活動．(1)從圖中找出相等的角、相等的線段．(2)在圖中找出兩對相似比不同的相似三角形．小亮認為，eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，eq\f(AF,AG)＝eq\f(FG,AF).你同意他的看法嗎？(3)黃金分割的意義：如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果__eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)__，那么稱線段AB被點C黃金分割，其中點C叫做線段AB的__黃金分割點__，AC與AB的比叫做__黃金比__，近似數為__0.618__．(4)你能找出五角星圖中有哪幾個黃金分割點嗎？【教學與建議】教學：利用五角星，動手操作及量一量活動，探究黃金分割的定義．建議：學生通過探究活動，親歷知識的形成過程．●情景導入生活中有很多優(yōu)美的圖畫和建筑物，例如：古埃及胡夫金字塔，這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618.“蒙娜麗莎的微笑”的魅力所在是畫面中處處有黃金分割．為什么翩翩起舞的芭蕾舞演員要踮起腳？為什么身材苗條的時裝模特還要穿高跟鞋？為什么她們會給人感到和諧、平衡、舒適、美的感覺？它們都用到了黃金分割原理．【教學與建議】教學：用這些來源于生活的美麗圖片吸引學生的注意力，在好奇的環(huán)境中產生探索黃金分割特征的興趣．建議：可以讓學生尋找身邊的黃金分割圖形，以便理解黃金分割的特征．命題角度1理解黃金分割的定義要說明一個點是某線段的黃金分割點，可以證明這個點把原線段分成的兩部分滿足“較長比整體等于較短比較長”，也可證明這個點把原線段分成的長短兩部分滿足“較短比較長等于eq\f(\r(5)－1,2)”．【例1】(1)已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC>BC，則下列等式成立的是(C)A．AB2＝AC·CBB．CB2＝AC·ABC．AC2＝CB·ABD．AC2＝2AB·BC(2)已知點C是線段AB的一個黃金分割點，則AC∶AB為(D)A．eq\f(\r(5)－1,2)B．eq\f(3－\r(5),2)C．eq\f(\r(5)＋1,2)D．eq\f(\r(5)－1,2)或eq\f(3－\r(5),2)命題角度2利用黃金分割的性質解決實際問題將現實中的問題轉移到數學問題中，借助黃金分割的性質來解決相關計算問題．【例2】(1)小明同學發(fā)現自己的一本書的寬與長之比為黃金比．已知這本書的長為20cm，則它的寬約為(A)A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm(2)電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體．如圖，若舞臺AB的長為20m，則主持人應走到離A點至少__7.6__m處，如果他向B點再走__4.8__m，也處在比較得體的位置．(精確到0.1m)命題角度3利用黃金矩形求邊長在黃金矩形中剪下最大的正方形后，剩下的矩形仍是黃金矩形，根據相似多邊形的對應邊成比例求解．【例3】如圖，一般書本的紙張是原紙張多次對開得到的，矩形ABCD沿EF對開后，再把矩形EFCD沿MN對開，依此類推．若各種開本的矩形都相似，那么eq\f(AB,AD)等于(B)A．0.618B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．2高效課堂教學設計1．知道黃金分割的定義，會找一條線段的黃金分割點．2．會判斷某一點是不是一條線段的黃金分割點．3．能對黃金分割進行簡單應用．▲重點找一條線段的黃金分割點．▲難點黃金分割的應用．◆活動1創(chuàng)設情境導入新課(課件)展示課件：神奇的金字塔建筑美麗的大自然攝影迷人的芭蕾舞現實生活中存在許多優(yōu)美的圖畫和建筑，例如古埃及金字塔、大自然攝影、芭蕾舞，這些圖形的邊長之間的比都接近某一個數，你知道這個數是多少嗎？◆活動2實踐探究交流新知【探究1】如圖，動手量一量，五角星圖案中，線段AC，BC的長度，再計算eq\f(AC,AB)與eq\f(BC,AC)的值，你有什么發(fā)現？解：eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC).【探究2】一般地，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么稱線段AB被點C黃金分割，點__C__叫做線段__AB__的黃金分割點，__AC__與__AB__的比叫做黃金比．【探究3】一條線段有幾個黃金分割點，黃金分割時，黃金比＝eq\f(較長線段,原線段)，所以一條線段有__兩__個黃金分割點．◆活動3開放訓練應用舉例例1(教材P96例4)根據上圖，計算黃金比．【方法指導】黃金分割的定義．解：由eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，得AC2＝AB·BC.設AB＝1，AC＝x，則BC＝1－x.∴x2＝1×(1－x)，即x2＋x－1＝0.解這個方程，得x1＝eq\f(－1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(－1－\r(5),2)(不合題意，舍去).所以黃金比eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.例2如何找到一條線段的黃金分割點？已知線段AB，按照如下方法畫圖：(1)經過點B作BD⊥AB，使BD＝eq\f(1,2)AB；(2)連接DA，在DA上截取DE＝DB；(3)在AB上截取AC＝AE，則點C就是線段AB的黃金分割點．提出問題：為什么點C為線段AB的黃金分割點？【方法指導】設AB＝2，分別求出AC和BC的長，并計算eq\f(AC,AB)和eq\f(BC,AC)的值．解：AB＝2，則BD＝DE＝eq\f(1,2)AB＝1.∴AD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴AC＝AE＝AD－DE＝eq\r(5)－1，∴BC＝AB－AC＝2－(eq\r(5)－1)＝3－eq\r(5)，∴AC2＝(eq\r(5)－1)2＝6－2eq\r(5)，AB·BC＝2×(3－eq\r(5))＝6－2eq\r(5).∴AC2＝AB·BC，即eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC).∴點C是線段AB的黃金分割點．例3在人體軀干與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比值越接近0.618越給人以美感．小明的媽媽腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60，她的身高為1.60m，她應該穿多高的高跟鞋看起來會更美？【方法指導】想要看起來更美，則鞋底到肚臍的長度與身高之比應為黃金比，此題應根據已知條件求出肚臍到腳底的距離，再求高跟鞋的高度．解：設肚臍到腳底的距離為xm，根據題意，得eq\f(x,1.60)＝0.60，解得x＝0.96.設穿上ym高的高跟鞋看起來會更美，則eq\f(y＋0.96,1.60＋y)＝0.618.解得y≈0.075，而0.075m＝7.5cm.故她應該穿約為7.5cm高的高跟鞋看起來會更美．◆活動4隨堂練習1．點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么下列說法錯誤的是(D)A．線段AB被點C黃金分割B．點C叫做AB的黃金分割點C．AC與AB的比叫做黃金比D．AC＝eq\f(\r(5)－1,2)BC2．小明同學發(fā)現自己一本書的寬與長的比為黃金比．已知這本書的長為10cm，則它的寬約為(A)A．6.18cmB．6.80cmC．16.18cmD．3.82cm3．如圖，扇子的圓心角為α，余下扇形的圓心角為β，α與β的比通常用黃金比來設計，這樣的扇子造型美觀，若取黃金比為0.6，則α＝__135°__．4．以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點E，連接EB，延長DA到點F，使EF＝EB.以線段AF為邊作正方形AFGH，點H在AB上，如圖所示．(1)求線段AH，BH的長；(2)求證：AH2＝AB·BH；(3)根據(2)中的結論，你能找出圖中的黃金分割點嗎？解：(1)E為AD的中點，∴AE＝1.在Rt△AEB中，由勾股定理，得BE2＝AE2＋AB2＝12＋22.∴BE＝eq\r(5)，∴EF＝BE＝eq\r(5).∴AF＝eq\r(5)－1.∵四邊形AFGH是正方形，∴AH＝AF＝eq\r(5)－1，∴BH＝AB－AH＝2－(eq\r(5)－1)＝3－eq\r(5)；(2)AH2＝(eq\r(5)－1)2＝6－2eq\r(5)，AB·BH＝2×(3－eq\r(5))＝6－2eq\r(5)，∴AH2＝AB·BH；(3)H是線段AB的黃金分割點．◆活動5課堂小結與作業(yè)學生活動：