職高數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)資料包一、函數(shù)的基本概念與表示函數(shù)是數(shù)學(xué)中描述變量間依賴關(guān)系的核心工具，也是職高數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)模塊。本部分從定義、三要素、表示方法入手，構(gòu)建函數(shù)的底層邏輯。（一）函數(shù)的定義設(shè)集合\(A\)、\(B\)是非空數(shù)集，若對\(A\)中的每一個元素\(x\)，通過某種對應(yīng)法則\(f\)，都有\(zhòng)(B\)中唯一確定的元素\(y\)與之對應(yīng)，則稱\(f\)為從\(A\)到\(B\)的函數(shù)，記作：\[f:A\toB,\quady=f(x)\]其中，\(x\)稱為自變量，\(A\)稱為函數(shù)的定義域；\(y\)稱為因變量，\(B\)稱為函數(shù)的陪域，\(f(A)=\{f(x)\midx\inA\}\subseteqB\)稱為函數(shù)的值域。（二）函數(shù)的三要素函數(shù)的本質(zhì)由定義域、值域、對應(yīng)法則共同決定，三者缺一不可：1.定義域：自變量\(x\)的取值范圍（需滿足實際意義或數(shù)學(xué)規(guī)則，如分母不為0、根號內(nèi)非負、對數(shù)真數(shù)>0等）；2.對應(yīng)法則：將\(x\)映射到\(y\)的規(guī)則（如表達式、表格、圖像等）；3.值域：因變量\(y\)的取值范圍（由定義域和對應(yīng)法則推導(dǎo)）。注：若兩個函數(shù)的三要素完全相同，則稱它們?yōu)橥缓瘮?shù)（如\(f(x)=x\)與\(g(x)=\sqrt{x^2}\)不是同一函數(shù)，因值域不同）。（三）函數(shù)的表示方法1.解析法：用數(shù)學(xué)表達式表示函數(shù)（如\(y=2x+1\)、\(y=x^2-3x+2\)）；2.列表法：用表格列出自變量與因變量的對應(yīng)值（如三角函數(shù)表、對數(shù)表）；3.圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的曲線表示函數(shù)（如一次函數(shù)的直線、二次函數(shù)的拋物線）。例：用解析法表示“半徑為\(r\)的圓的面積”：\(S(r)=\pir^2\)（定義域\(r>0\)，值域\(S>0\)）。（四）例題與練習(xí)例題1：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{3x-2}+\frac{1}{x-1}\)的定義域。解答：根號內(nèi)非負：\(3x-2\geq0\Rightarrowx\geq\frac{2}{3}\)；分母不為0：\(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1\)；定義域：\(\left[\frac{2}{3},1\right)\cup(1,+\infty)\)。練習(xí)1：求函數(shù)\(f(x)=\log_2(x-3)+\frac{1}{\sqrt{x-2}}\)的定義域。（答案：\((3,+\infty)\)）二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是分析函數(shù)行為的關(guān)鍵，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值。（一）單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\subseteq\text{定義域}\)上有定義，若對任意\(x_1<x_2\inI\)，都有：\(f(x_1)<f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增；\(f(x_1)>f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞減。判斷方法：1.定義法：作差\(f(x_2)-f(x_1)\)，判斷符號；2.圖像法：從左到右，圖像上升則遞增，下降則遞減；3.導(dǎo)數(shù)法（若學(xué)過）：\(f'(x)>0\Rightarrow\)遞增，\(f'(x)<0\Rightarrow\)遞減。例：證明\(f(x)=2x+1\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。解答：任取\(x_1<x_2\)，則\(f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)>0\)，故遞增。（二）奇偶性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域關(guān)于原點對稱（即\(x\in\text{定義域}\Rightarrow-x\in\text{定義域}\)），則：若\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)為奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點對稱）；若\(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)為偶函數(shù)（圖像關(guān)于\(y\)軸對稱）。注：定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)，一定是非奇非偶函數(shù)（如\(f(x)=x^2,x\in[0,1]\)）。例：判斷\(f(x)=x^3-2x\)的奇偶性。解答：定義域\(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點對稱；\(f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-(x^3-2x)=-f(x)\)；故\(f(x)\)為奇函數(shù)。（三）周期性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(D\)，若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x\inD\)，都有\(zhòng)(x+T\inD\)且\(f(x+T)=f(x)\)，則\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)稱為其周期（最小的正周期稱為最小正周期）。常見周期函數(shù)：正弦函數(shù)\(\sinx\)：周期\(2\pi\)；余弦函數(shù)\(\cosx\)：周期\(2\pi\)；正切函數(shù)\(\tanx\)：周期\(\pi\)。（四）最值定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若存在\(x_0\inI\)，使得對任意\(x\inI\)，都有：\(f(x)\leqf(x_0)\)，則\(f(x_0)\)為\(f(x)\)在\(I\)上的最大值；\(f(x)\geqf(x_0)\)，則\(f(x_0)\)為\(f(x)\)在\(I\)上的最小值。求法：1.圖像法：觀察圖像的最高點（最大值）、最低點（最小值）；2.導(dǎo)數(shù)法（若學(xué)過）：求極值點，比較極值與端點值；3.配方或公式法（如二次函數(shù)）：\(y=ax^2+bx+c\)的最值為頂點縱坐標(biāo)（需考慮定義域）。（五）例題與練習(xí)例題2：求函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+5\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。解答：配方：\(f(x)=(x-2)^2+1\)，頂點\((2,1)\)；端點值：\(f(0)=5\)，\(f(3)=2\)；故最大值為\(5\)（\(x=0\)時），最小值為\(1\)（\(x=2\)時）。練習(xí)2：求函數(shù)\(f(x)=-x^2+2x+3\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最值。（答案：最大值\(4\)，最小值\(0\)）三、常見函數(shù)類型及其性質(zhì)職高數(shù)學(xué)中，一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)是核心內(nèi)容，需重點掌握其圖像與性質(zhì)。（一）一次函數(shù)（線性函數(shù)）定義：形如\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)，\(k\)為斜率，\(b\)為截距）的函數(shù)。性質(zhì)：定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\(\mathbb{R}\)；單調(diào)性：\(k>0\)時遞增，\(k<0\)時遞減；奇偶性：\(b=0\)時為奇函數(shù)（\(y=kx\)），否則非奇非偶；圖像：過點\((0,b)\)和\((-\frac{k},0)\)的直線。應(yīng)用：成本函數(shù)（\(C(x)=固定成本+單位可變成本\times產(chǎn)量\)）、速度函數(shù)（\(v(t)=at+v_0\)）等。（二）二次函數(shù)（拋物線）定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的函數(shù)。性質(zhì)：定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\(a>0\)時\([\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)\)，\(a<0\)時\((-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a}]\)；對稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；頂點坐標(biāo)：\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；單調(diào)性：\(a>0\)時，\((-\infty,-\frac{2a}]\)遞減，\([-\frac{2a},+\infty)\)遞增；\(a<0\)時相反；奇偶性：\(b=0\)時為偶函數(shù)（\(y=ax^2+c\)），否則非奇非偶；圖像：開口方向由\(a\)決定（\(a>0\)向上，\(a<0\)向下）。應(yīng)用：利潤最大化（\(P(x)=-ax^2+bx+c\)）、面積最大化（如矩形圍欄面積）等。（三）指數(shù)函數(shù)定義：形如\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的函數(shù)。性質(zhì)：定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\((0,+\infty)\)；單調(diào)性：\(a>1\)時遞增（如\(y=2^x\)），\(0<a<1\)時遞減（如\(y=(\frac{1}{2})^x\)）；奇偶性：非奇非偶；圖像：過點\((0,1)\)，當(dāng)\(a>1\)時，\(x\to+\infty\)時\(y\to+\infty\)，\(x\to-\infty\)時\(y\to0\)；當(dāng)\(0<a<1\)時相反。應(yīng)用：人口增長（\(N(t)=N_0e^{rt}\)）、復(fù)利計算（\(A(t)=P(1+r)^t\)）等。（四）對數(shù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)）定義：形如\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(a\)為底數(shù)）的函數(shù)。性質(zhì)：定義域：\((0,+\infty)\)（真數(shù)>0）；值域：\(\mathbb{R}\)；單調(diào)性：\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減；奇偶性：非奇非偶；圖像：過點\((1,0)\)，當(dāng)\(a>1\)時，\(x\to+\infty\)時\(y\to+\infty\)，\(x\to0^+\)時\(y\to-\infty\)；當(dāng)\(0<a<1\)時相反。應(yīng)用：pH值計算（\(\text{pH}=-\log_{10}[H^+]\)）、地震震級（里氏震級\(M=\log_{10}\frac{A}{A_0}\)）等。（五）三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）1.正弦函數(shù)：\(y=\sinx\)定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\([-1,1]\)；周期性：\(2\pi\)；奇偶性：奇函數(shù)（\(\sin(-x)=-\sinx\)）；單調(diào)性：在\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]\)遞增，在\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]\)遞減（\(k\in\mathbb{Z}\)）。2.余弦函數(shù)：\(y=\cosx\)定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\([-1,1]\)；周期性：\(2\pi\)；奇偶性：偶函數(shù)（\(\cos(-x)=\cosx\)）；單調(diào)性：在\([2k\pi,\pi+2k\pi]\)遞減，在\([\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]\)遞增（\(k\in\mathbb{Z}\)）。3.正切函數(shù)：\(y=\tanx\)定義域：\(\{x\midx\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)；值域：\(\mathbb{R}\)；周期性：\(\pi\)；奇偶性：奇函數(shù)（\(\tan(-x)=-\tanx\)）；單調(diào)性：在\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)\)遞增（\(k\in\mathbb{Z}\)）。應(yīng)用：簡諧振動（\(x(t)=A\sin(\omegat+\phi)\)）、交流電（\(i(t)=I_m\sin(\omegat+\phi)\)）等。（六）例題與練習(xí)例題3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為1000元，單位可變成本為20元/件，售價為50元/件。求：（1）總成本函數(shù)\(C(x)\)；（2）revenue函數(shù)\(R(x)\)；（3）利潤函數(shù)\(P(x)\)；（4）盈虧平衡點（利潤為0時的產(chǎn)量）。解答：（1）\(C(x)=固定成本+可變成本=1000+20x\)；（2）\(R(x)=售價\times產(chǎn)量=50x\)；（3）\(P(x)=R(x)-C(x)=50x-(1000+20x)=30x-1000\)；（4）令\(P(x)=0\)，則\(30x-1000=0\Rightarrowx=\frac{1000}{30}\approx33.33\)，故產(chǎn)量需達到34件才能盈利。練習(xí)3：某商店銷售某種商品，當(dāng)銷量\(x\leq10\)件時，每件售價100元；當(dāng)銷量\(x>10\)件時，每增加1件，售價降低5元（但售價不低于70元）。求revenue函數(shù)\(R(x)\)，并求當(dāng)銷量為多少時revenue最大。（答案：\(R(x)=\begin{cases}100x,&0\leqx\leq10\\-5x^2+150x,&10<x\leq16\\70x,&x>16\end{cases}\)，最大值為1125元（\(x=15\)時））四、函數(shù)的實際應(yīng)用函數(shù)建模是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵步驟，核心是找到變量間的依賴關(guān)系。（一）函數(shù)建模的一般步驟1.確定變量：設(shè)自變量（如產(chǎn)量、時間）和因變量（如成本、revenue）；2.收集數(shù)據(jù)：通過觀察或?qū)嶒灚@取變量間的關(guān)系；3.選擇模型：根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇函數(shù)類型（如線性、二次、指數(shù)）；4.驗證模型：用數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性；5.應(yīng)用模型：解決實際問題（如求最值、預(yù)測）。（二）常見應(yīng)用場景1.經(jīng)濟領(lǐng)域：成本函數(shù)、revenue函數(shù)、利潤函數(shù)、需求函數(shù)；2.物理領(lǐng)域：位移函數(shù)（\(s(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+s_0\)）、速度函數(shù)（\(v(t)=at+v_0\)）；3.幾何領(lǐng)域：面積函數(shù)（\(S(r)=\pir^2\)）、體積函數(shù)（\(V(r)=\frac{4}{3}\pir^3\)）；4.生物領(lǐng)域：人口增長函數(shù)（\(N(t)=N_0e^{rt}\)）、藥物代謝函數(shù)（\(C(t)=C_0e^{-kt}\)）。（三）專業(yè)案例分析（旅游專業(yè)）案例：某旅行社組織旅游，每人收費1000元，若人數(shù)超過20人，每增加1人，每人收費減少20元（人數(shù)不超過50人）。求：（1）revenue函數(shù)\(R(x)\)；（2）當(dāng)人數(shù)為多少時revenue最大。解答：（1）設(shè)人數(shù)為\(x\)，則：當(dāng)\(0\leqx\leq20\)時，\(R(x)=1000x\)；當(dāng)\(20<x\leq50\)時，每人收費為\(1000-20(x-20)=1400-20x\)，故\(R(x)=x(1400-20x)=-20x^2+1400x\)；綜上，\(R(x)=\begin{cases}1000x,&0\leqx\leq20\\-20x^2+1400x,&20<x\leq50\end{cases}\)。（2）當(dāng)\(0\leqx\leq20\)時，\(R(x)\)遞增，最大值為\(R(20)=____\)元；當(dāng)\(20<x\leq50\)時，\(R(x)=-20(x-35)^2+____\)（配方），頂點為\((35,____)\)，故最大值為____元（\(x=35\)時）；綜上，當(dāng)人數(shù)為35時，revenue最大。五、易錯點與常見誤區(qū)總結(jié)1.定義域忽略：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)時，忘記分母\(x\neq2\)；2.奇偶性判斷陷阱：定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)（如\(f(x)=x^2,x\in[0,1]\)），即使\(f(-x)=f(x)\)，也不是偶函數(shù)；3.二次函數(shù)最值的區(qū)間限制：求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([2,4]\)上的最值時，頂點\((1,2)\)不在區(qū)間內(nèi)，故最小值為\(f(2)=3\)