一元一次不等式應(yīng)用題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題一、引言一元一次不等式應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是中考的高頻考點(diǎn)。它通過(guò)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，考查學(xué)生分析問(wèn)題、建立不等式、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和邏輯推理能力。掌握這類(lèi)題目的解法，不僅能提高數(shù)學(xué)成績(jī)，還能為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、方程等知識(shí)奠定基礎(chǔ)。二、常見(jiàn)題型及專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（一）分配問(wèn)題題型特點(diǎn)：將資源（人數(shù)、物品、房間等）分配給不同對(duì)象，滿足“至少”“最多”“不空不滿”等條件。解題關(guān)鍵：根據(jù)總資源不變，列出關(guān)于分配對(duì)象數(shù)量的不等式，注意變量的整數(shù)性（如房間數(shù)、人數(shù)不能為小數(shù)）。**例題1：宿舍分配問(wèn)題**某學(xué)校組織學(xué)生春游，需要安排住宿。若每間宿舍住4人，則有18人沒(méi)有床位；若每間宿舍住6人，則有一間宿舍不空也不滿（即住1-5人）。問(wèn)有多少間宿舍？解答：設(shè)宿舍數(shù)量為\(x\)間，則總?cè)藬?shù)為\(4x+18\)（每間住4人時(shí)的總?cè)藬?shù)）。當(dāng)每間住6人時(shí)，前\(x-1\)間住滿（共\(6(x-1)\)人），最后一間住的人數(shù)為\((4x+18)-6(x-1)\)，需滿足：\[1\leq(4x+18)-6(x-1)\leq5\]化簡(jiǎn)不等式：\[1\leq-2x+24\leq5\]分兩步解：左邊：\(1\leq-2x+24\Rightarrow-23\leq-2x\Rightarrowx\leq11.5\)右邊：\(-2x+24\leq5\Rightarrow-2x\leq-19\Rightarrowx\geq9.5\)因此，\(x\)的取值范圍是\(9.5\leqx\leq11.5\)。由于\(x\)為整數(shù)，故\(x=10\)或\(11\)。驗(yàn)證：當(dāng)\(x=10\)時(shí)，總?cè)藬?shù)\(=4\times10+18=58\)，每間住6人，9間住54人，最后一間住4人（符合“不空不滿”）。當(dāng)\(x=11\)時(shí)，總?cè)藬?shù)\(=4\times11+18=62\)，10間住60人，最后一間住2人（符合條件）。答：有10或11間宿舍。**訓(xùn)練題1**某班同學(xué)去植樹(shù)，若每人植3棵，則剩20棵；若每人植4棵，則有一人植的樹(shù)少于3棵（即1或2棵）。問(wèn)有多少名同學(xué)？（答案：21或22名）**訓(xùn)練題2**某工廠生產(chǎn)零件，若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)10個(gè)，則剩15個(gè)；若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)12個(gè)，則有一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件少于8個(gè)。問(wèn)有多少臺(tái)機(jī)器？（答案：11或12臺(tái)）（二）方案選擇問(wèn)題題型特點(diǎn)：給出兩種或多種方案（如套餐、優(yōu)惠方式），比較哪種方案更劃算，通常需要找到臨界點(diǎn)（兩種方案費(fèi)用相等時(shí)的變量值）。解題關(guān)鍵：設(shè)變量表示影響方案的因素（如通話時(shí)間、購(gòu)買(mǎi)數(shù)量），列出各方案的費(fèi)用表達(dá)式，通過(guò)不等式比較。**例題2：購(gòu)物方案問(wèn)題**某超市推出兩種優(yōu)惠方式：A方式：滿200元減50元；B方式：打8折。問(wèn)購(gòu)買(mǎi)多少元的商品時(shí)，選擇A方式更劃算？解答：設(shè)購(gòu)買(mǎi)商品金額為\(x\)元（\(x\geq200\)，因A方式需滿200元才生效）。A方式費(fèi)用：\(x-50\)；B方式費(fèi)用：\(0.8x\)。要使A方式更劃算，需\(x-50<0.8x\)，解得：\[0.2x<50\Rightarrowx<250\]答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)金額在200元到250元之間時(shí)，選擇A方式更劃算。**訓(xùn)練題3**某健身房推出兩種會(huì)員套餐：A套餐：月費(fèi)100元，每次健身收費(fèi)5元；B套餐：月費(fèi)200元，每次健身免費(fèi)。問(wèn)每月健身多少次時(shí)，選擇B套餐更劃算？（答案：超過(guò)20次）**訓(xùn)練題4**某書(shū)店推出兩種購(gòu)書(shū)優(yōu)惠：A方式：買(mǎi)一本原價(jià)，第二本打7折；B方式：每本打8.5折。問(wèn)購(gòu)買(mǎi)多少本原價(jià)相同的書(shū)時(shí)，選擇A方式更劃算？（假設(shè)每本書(shū)原價(jià)為\(a\)元，答案：超過(guò)2本）（三）銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題題型特點(diǎn)：涉及成本、售價(jià)、銷(xiāo)量、利潤(rùn)（或利潤(rùn)率），要求利潤(rùn)（或利潤(rùn)率）不低于某一值。解題關(guān)鍵：利潤(rùn)公式：\(\text{利潤(rùn)}=(\text{售價(jià)}-\text{進(jìn)價(jià)})\times\text{銷(xiāo)量}\)；利潤(rùn)率公式：\(\text{利潤(rùn)率}=\frac{\text{利潤(rùn)}}{\text{進(jìn)價(jià)}}\times100\%\)。根據(jù)題意列出關(guān)于售價(jià)或銷(xiāo)量的不等式。**例題3：銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題**某商店銷(xiāo)售一種服裝，每件進(jìn)價(jià)為80元，售價(jià)為120元時(shí)，每天可賣(mài)出20件。若售價(jià)每降低5元，每天可多賣(mài)出10件。問(wèn)售價(jià)降低多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)不低于1200元？解答：設(shè)售價(jià)降低\(x\)元（\(x\)為5的倍數(shù)，方便計(jì)算；若\(x\)為任意數(shù)，邏輯一致），則：新售價(jià)：\(120-x\)元；新銷(xiāo)量：\(20+\frac{10}{5}x=20+2x\)件；利潤(rùn)：\((120-x-80)(20+2x)=(40-x)(20+2x)\)。要求利潤(rùn)不低于1200元，列不等式：\[(40-x)(20+2x)\geq1200\]展開(kāi)并整理：\[800+80x-20x-2x^2\geq1200\Rightarrow-2x^2+60x-400\geq0\Rightarrowx^2-30x+200\leq0\]解二次不等式（求根公式）：\[x=\frac{30\pm\sqrt{900-800}}{2}=\frac{30\pm10}{2}\Rightarrowx=10\text{或}20\]因此，\(10\leqx\leq20\)。答：售價(jià)降低10到20元時(shí)，每天利潤(rùn)不低于1200元。**訓(xùn)練題5**某商店銷(xiāo)售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為2元，售價(jià)為3元時(shí)，每天可賣(mài)出100瓶。若售價(jià)每提高0.5元，每天可少賣(mài)出10瓶。問(wèn)售價(jià)提高多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)不低于150元？（答案：0.5到2元）**訓(xùn)練題6**某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為100元，售價(jià)為150元時(shí)，每月可賣(mài)出500件。若售價(jià)每降低10元，每月可多賣(mài)出100件。問(wèn)售價(jià)降低多少元時(shí)，每月的利潤(rùn)不低于____元？（答案：0到10元）（四）行程問(wèn)題題型特點(diǎn)：涉及速度、時(shí)間、路程，要求速度（或時(shí)間）滿足“至少”“不超過(guò)”等條件。解題關(guān)鍵：路程公式：\(\text{路程}=\text{速度}\times\text{時(shí)間}\)，根據(jù)題意列出關(guān)于速度（或時(shí)間）的不等式。**例題4：行程時(shí)間問(wèn)題**某人要在1小時(shí)內(nèi)從A地趕到B地，全程25千米。他先以15千米/小時(shí)的速度走了半小時(shí)，剩下的路程他至少要以多少千米/小時(shí)的速度行駛？解答：設(shè)剩下的路程速度為\(x\)千米/小時(shí)，剩下的路程為\(25-15\times0.5=17.5\)千米，剩下的時(shí)間為\(0.5\)小時(shí)。要求剩下的路程在0.5小時(shí)內(nèi)走完，列不等式：\[0.5x\geq17.5\Rightarrowx\geq35\]答：剩下的路程至少要以35千米/小時(shí)的速度行駛。**訓(xùn)練題7**一輛汽車(chē)從甲地到乙地，全程300千米，計(jì)劃5小時(shí)到達(dá)。前2小時(shí)每小時(shí)行50千米，剩下的路程每小時(shí)至少要行多少千米？（答案：\(\frac{200}{3}\approx66.67\)千米/小時(shí)）**訓(xùn)練題8**甲、乙兩人從相距100千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度為6千米/小時(shí)，乙的速度為4千米/小時(shí)。問(wèn)乙至少要提前多少小時(shí)出發(fā)，才能在甲出發(fā)后2小時(shí)內(nèi)相遇？（答案：0.5小時(shí)）（五）工程問(wèn)題題型特點(diǎn)：涉及工作量、工作效率、工作時(shí)間，要求“提前完成”或“增加人數(shù)后完成”。解題關(guān)鍵：設(shè)工作量為1（單位工作量），工作效率=\(\frac{1}{\text{單獨(dú)完成時(shí)間}}\)，根據(jù)工作量關(guān)系列不等式。**例題5：工程時(shí)間問(wèn)題**一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要12天，乙單獨(dú)做需要18天。兩人合作，至少需要多少天才能完成這項(xiàng)工程的75%？解答：設(shè)合作\(x\)天完成75%（即\(\frac{3}{4}\)），甲的效率為\(\frac{1}{12}\)，乙的效率為\(\frac{1}{18}\)，合作效率為\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{5}{36}\)。列不等式：\[\frac{5}{36}x\geq\frac{3}{4}\Rightarrowx\geq\frac{3}{4}\times\frac{36}{5}=5.4\]答：至少需要6天（天數(shù)為整數(shù)）。**訓(xùn)練題9**一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要20天，乙隊(duì)單獨(dú)做需要30天。兩隊(duì)合作，需要多少天才能完成這項(xiàng)工程的80%？（答案：\(\frac{24}{5}=4.8\)天，即至少5天）**訓(xùn)練題10**某工程需要在10天內(nèi)完成，甲隊(duì)單獨(dú)做需要15天，乙隊(duì)單獨(dú)做需要20天。兩隊(duì)合作，能否在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成？若不能，需要增加丙隊(duì)，丙隊(duì)單獨(dú)做需要25天，問(wèn)至少需要多少天才能完成？（答案：兩隊(duì)合作需要\(\frac{60}{7}\approx8.57\)天，能完成）（六）濃度問(wèn)題題型特點(diǎn)：涉及溶液濃度（\(\text{濃度}=\frac{\text{溶質(zhì)質(zhì)量}}{\text{溶液質(zhì)量}}\times100\%\)），要求混合后濃度不低于（或不超過(guò)）某一值。解題關(guān)鍵：混合后溶質(zhì)質(zhì)量=原溶質(zhì)質(zhì)量之和，混合后溶液質(zhì)量=原溶液質(zhì)量之和，列出濃度不等式。**例題6：濃度配制問(wèn)題**現(xiàn)有濃度為10%的糖水200克，要配制濃度不低于15%的糖水，需要加入濃度為25%的糖水多少克？解答：設(shè)加入\(x\)克25%的糖水，混合后：溶質(zhì)質(zhì)量：\(200\times10\%+x\times25\%=20+0.25x\)克；溶液質(zhì)量：\(200+x\)克。要求濃度不低于15%，列不等式：\[\frac{20+0.25x}{200+x}\geq15\%\]兩邊乘\(200+x\)（正數(shù)，不等號(hào)方向不變）：\[20+0.25x\geq0.15(200+x)\Rightarrow20+0.25x\geq30+0.15x\Rightarrow0.1x\geq10\Rightarrowx\geq100\]答：至少加入100克25%的糖水。**訓(xùn)練題11**現(xiàn)有濃度為30%的酒精溶液100克，要稀釋到濃度不超過(guò)20%，需要加入多少克水？（答案：至少50克）**訓(xùn)練題12**現(xiàn)有濃度為5%的鹽水400克，要配制濃度為10%的鹽水，需要加入濃度為20%的鹽水多少克？（答案：200克）三、解題策略總結(jié)1.審清題意：找出關(guān)鍵詞（如“至少”“最多”“不超過(guò)”“不低于”），確定不等關(guān)系。2.設(shè)未知數(shù)：選擇與問(wèn)題直接相關(guān)的變量（如宿舍數(shù)、通話時(shí)間），注意變量的取值范圍（如整數(shù)、正數(shù)）。3.列不等式：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子，確保不等式方向正確（“不低于”用“≥”，“不超過(guò)”用“≤”）。4.解不等式：按照解一元一次不等式的步驟（去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1）求解，注意系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)變號(hào)。5.驗(yàn)證結(jié)果：將解代入原問(wèn)題，驗(yàn)證是否符合實(shí)際情況（如宿舍數(shù)為整數(shù)、速度為正數(shù)）。6.規(guī)范作答：用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言回答問(wèn)題，確保答案完整。四、綜合訓(xùn)練題1.某商店銷(xiāo)售一種筆記本，進(jìn)價(jià)為每本10元，售價(jià)為每本15元時(shí)，每天可賣(mài)出50本。若售價(jià)每降低1元，每天可多賣(mài)出10本。問(wèn)售價(jià)降低多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)不低于300元？（答案：0到2元）2.某人要在3小時(shí)內(nèi)從A地到B地，全程120千米。他先以30千米/小時(shí)的速度走了1小時(shí)，剩下的路程他至少要以多少千米/小時(shí)的速度行駛？（答案：45千米/小時(shí)）3.某工廠生產(chǎn)一批零件，若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)8個(gè)，則剩20個(gè)；若每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)10個(gè)，則有一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的零件少于5個(gè)。問(wèn)有多少臺(tái)機(jī)器？（答案：13或14臺(tái)）4.某電信公司推出兩種套餐：A套餐月租費(fèi)30元，通話費(fèi)0.08元/分鐘；B套餐月租費(fèi)50元，通話費(fèi)0.05元/分鐘。問(wèn)每月通話多少分鐘時(shí)，選擇B套餐更劃算？（答案：超過(guò)666.67分鐘，即至少667分鐘）5.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水500克，要配制濃度不超過(guò)25%的鹽水，需要加入濃度為30%的鹽水多少克？（答案：最多500克）五、答案與解析（綜合訓(xùn)練題）1.解答：設(shè)降價(jià)\(x\)元，利潤(rùn)為\((15-x-10)(50+10x)