基于MATLAB計(jì)算Haldane模型的拓?fù)湫再|(zhì)摘要:Haldane模型是一個(gè)具有廣泛應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型，可以在不同領(lǐng)域中用于描述和研究各種復(fù)雜系統(tǒng)的行為。計(jì)算Haldane模型的拓?fù)湫再|(zhì)對(duì)于理解新型物質(zhì)形態(tài)、探索拓?fù)浣^緣體和量子反?；魻柌牧系奈锢頇C(jī)制以及研究量子霍爾效應(yīng)等物理現(xiàn)象具有重要意義。本論文的研究目的是在Haldane模型中計(jì)算其拓?fù)湫再|(zhì)。貝利曲率是描述能帶的拓?fù)湫再|(zhì)的重要參數(shù)，而陳數(shù)是刻畫拓?fù)湎嘧兊年P(guān)鍵指標(biāo)。在本文的研究方法中，我們以Haldane模型為例，使用MATLAB編程環(huán)境來(lái)建立兩能帶模型，并介紹了貝利曲率和陳數(shù)的計(jì)算公式。通過(guò)本文的研究，我們不僅在理論層面上深化了對(duì)Haldane模型拓?fù)湫再|(zhì)的理解，還展示了MATLAB在計(jì)算物理中的重要應(yīng)用。我們的計(jì)算結(jié)果可為相關(guān)領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)研究提供有價(jià)值的參考，同時(shí)對(duì)于進(jìn)一步探索拓?fù)湮飸B(tài)具有一定的指導(dǎo)意義。最后，本文給出了研究結(jié)論總結(jié)，并展望了進(jìn)一步研究的方向。通過(guò)完成本論文，我收獲了用MATLAB熟練分析物理模型拓?fù)湫再|(zhì)的方法。關(guān)鍵詞：貝利曲率陳數(shù)Haldane模型MATLAB編程環(huán)境TopologypropertiesoftheHaldanemodelcalculatedusingMATLABAbstract：TheHaldanemodelisamathematicallyvaluablemodelwithwideapplications,usedtodescribeandstudythebehaviorofvariouscomplexsystemsindifferentfields.CalculatingthetopologicalpropertiesoftheHaldanemodeliscrucialforunderstandingthephysicsofnovelmaterialphases,exploringthemechanismsoftopologicalinsulatorsandintegerquantumHallmaterials,andinvestigatingphenomenasuchasthequantumHalleffect.TheaimofthisstudyistocalculatethetopologicalpropertiesoftheHaldanemodel.Berrycurvatureservesasacrucialparameterfordescribingthetopologicalpropertiesofbandstructures,whiletheChernnumberisakeyindicatoroftopologicalphasetransitions.Inthispaper,wetaketheHaldanemodelasanexampleandusetheMATLABprogrammingenvironmenttoestablishatwo-bandmodel,introducingtheformulasforcalculatingBerrycurvatureandChernnumber.Throughourresearch,wenotonlydeepenthetheoreticalunderstandingofthetopologicalpropertiesoftheHaldanemodelbutalsodemonstratethesignificantapplicationofMATLABincomputationalphysics.Ourcomputationalresultscanprovidevaluablereferencesforexperimentalstudiesinrelatedfieldsandofferguidanceforfurtherexplorationoftopologicalstatesofmatter.Finally,wesummarizetheresearchconclusionsandoutlinedirectionsforfuturestudies.Byfinishingthispaper,IhavegainedproficiencyinanalyzingthetopologicalpropertiesofphysicalmodelsusingMATLAB.Keywords:BerrycurvatureChernnumberHaldanemodelMATLABprogrammingenvironment目錄TOC\o"1-3"\h\u6155摘要 =1\*ROMANI30878ABSTRACT =2\*ROMANII166071引言 173281.1研究背景 1216381.1.1Haldane模型的歷史 1208091.1.2Haldane模型的發(fā)展 271181.2研究意義 3121001.2.1貝利曲率和陳數(shù)的性質(zhì) 3152371.2.2基于MATLAB的貝利曲率和陳數(shù)計(jì)算的研究意義 491582理論模型 5248672.1Haldane模型介紹 5120632.2貝利相位和貝利聯(lián)絡(luò)簡(jiǎn)介 9147572.3貝利曲率和陳數(shù)定義 10267723MATLAB計(jì)算方法 12113803.1MATLAB編程環(huán)境介紹 12312953.2Haldane模型中拓?fù)湫再|(zhì)的計(jì)算 13251633.2.1Haldane模型中貝利曲率與陳數(shù) 1373773.2.2代碼邏輯與參數(shù)調(diào)控 1483074實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析 16參考文獻(xiàn) 20附錄 21致謝 23基于MATLAB計(jì)算Haldane模型的拓?fù)湫再|(zhì)1引言1.1研究背景1.1.1Haldane模型的提出1988年Haldane[1]提出了一個(gè)著名的基于石墨烯晶格的模型——無(wú)朗道能級(jí)的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的無(wú)自旋費(fèi)米子模型，得到了二維狄拉克方程相同形式的兩個(gè)獨(dú)立的有效哈密頓量。它給我們?cè)谕負(fù)浣^緣子和拓?fù)湎嘧兎矫娴难芯繋?lái)了很多啟發(fā)。在六角蜂窩晶格的二維電子氣中，實(shí)現(xiàn)在沒有外磁場(chǎng)情況下的整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的相變，從平庸的絕緣體相轉(zhuǎn)變?yōu)榉瞧接沟慕^緣體相。從基礎(chǔ)物理研究的角度來(lái)看，Haldane模型是一個(gè)具有高度理論價(jià)值的模型。它能夠用來(lái)探究量子力學(xué)中的各種現(xiàn)象，例如量子隧穿、量子干涉、量子糾纏等。通過(guò)對(duì)該模型的研究，可以更深入地理解量子力學(xué)的原理和規(guī)律，為量子力學(xué)的發(fā)展提供更加堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。同時(shí)，Haldane模型在材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理研究中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。該模型可以用來(lái)描述一類具有特殊電子結(jié)構(gòu)的材料，例如石墨烯、拓?fù)浣^緣體等。通過(guò)對(duì)該模型的研究，可以更好地理解這些材料的物理性質(zhì)，為新型材料的設(shè)計(jì)和制備提供理論指導(dǎo)。1.1.2Haldane模型的發(fā)展近年來(lái)，Haldane模型在物理學(xué)領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛的應(yīng)用，尤其涉及到拓?fù)洳牧系难芯?。后續(xù)的發(fā)展包括對(duì)其性質(zhì)、應(yīng)用和局限性的深入研究，以及提出新的模型和理論來(lái)拓展其應(yīng)用范圍。研究者們發(fā)現(xiàn)Haldane模型可以用于描述各種類型的拓?fù)洳牧?，如整?shù)量子霍爾效應(yīng)、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)、拓?fù)浣^緣體等。這使得Haldane模型成為了研究拓?fù)洳牧系幕A(chǔ)工具之一。隨著對(duì)Haldane模型研究的深入，一些新的模型和理論也被提出來(lái)。這些模型和理論旨在解決Haldane模型在應(yīng)用中的局限性，并拓展其適用范圍。除了理論研究，Haldane模型的應(yīng)用也得到了廣泛的關(guān)注。人們開始探索如何利用Haldane模型來(lái)制備新的拓?fù)洳牧?，以及如何利用這些材料開發(fā)新型的電子器件和量子計(jì)算機(jī)等。2005年，英國(guó)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了石墨烯材料后，Haldane模型變得更加重要[2]。2010年，Inoue等[3]提出了利用外光場(chǎng)方法調(diào)節(jié)六角蜂窩晶格的Haldane模型的相變，其中陳數(shù)在刻畫系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧儠r(shí)起到重要的作用。2012年，江南大學(xué)理學(xué)院王義翔和吳亞敏通過(guò)運(yùn)用具有處理時(shí)間周期性的Floquet定理，深入探究了光場(chǎng)與晶格間的相互作用，特別是在兩種不同Haldane模型——六角蜂窩晶格與正方晶格中的表現(xiàn)。在詳盡的參數(shù)空間分析中，繪制了陳數(shù)相圖，并觀察到兩個(gè)系統(tǒng)中相圖的顯著差異。這種差異主要?dú)w因于不同物理機(jī)制對(duì)系統(tǒng)時(shí)間反演對(duì)稱性的破壞作用。為了更全面地理解這一現(xiàn)象，從多個(gè)角度提出了實(shí)驗(yàn)?zāi)M的建議。此研究所得結(jié)果為利用外光場(chǎng)方法調(diào)控材料的拓?fù)湎嗵峁┝丝赡苄?，?duì)于相關(guān)領(lǐng)域的研究具有重要的指導(dǎo)意義[4]。2021年，浙江大學(xué)莫林翰從拓?fù)湟暯浅霭l(fā)，深入研究了Haldane模型的淬火動(dòng)力學(xué)特性，特別是通過(guò)糾纏譜和幾率密度的分析。在遭遇量子淬火的突變過(guò)程中，糾纏譜展現(xiàn)出的零能交叉點(diǎn)，實(shí)際上能夠映射出淬火前哈密頓量所蘊(yùn)含的非平庸拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這一糾纏譜是通過(guò)在平移不變性得到保護(hù)的方向上，將系統(tǒng)分割為兩個(gè)條狀子系統(tǒng)后，進(jìn)行精確計(jì)算而得出的。此外，莫林翰還詳細(xì)探討Haldane模型淬火后動(dòng)力學(xué)演化的幾何屬性。特別是在陳數(shù)C等于1的拓?fù)湎嘀校m纏譜中的零能交叉點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱向動(dòng)量，會(huì)隨著時(shí)間反演對(duì)稱性和空間反演對(duì)稱性參數(shù)的調(diào)整而發(fā)生相應(yīng)的變化。這一發(fā)現(xiàn)不僅深化了我們對(duì)Haldane模型淬火動(dòng)力學(xué)的理解，也為拓?fù)湮锢砗土孔哟慊痤I(lǐng)域的進(jìn)一步研究提供了重要的線索和啟示[5]。2022年，浙江大學(xué)季亨茜選取Haldane模型作為研究案例，在平衡體系背景下，對(duì)單粒子糾纏譜交叉點(diǎn)的動(dòng)量kc進(jìn)行了明確的定義，將其作為描述Haldane模型特性的幾何量。她進(jìn)一步探究了拓?fù)潴w系中這一幾何量的固有屬性，并深入分析了在淬火過(guò)程后，該幾何量所展現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)這些研究，季亨茜不僅揭示了Haldane模型中幾何量與拓?fù)湫再|(zhì)的緊密關(guān)系，還為我們理解淬火過(guò)程中體系動(dòng)力學(xué)的變化提供了有力的理論支撐[6]。2022年，河北師范大學(xué)李慶敏借助平均場(chǎng)理論與無(wú)規(guī)相近似方法，深入探討了蜂窩晶格相互作用的Haldane模型中次近鄰跳躍項(xiàng)中相位驅(qū)動(dòng)的拓?fù)淞孔酉嘧儸F(xiàn)象及拓?fù)淦娈悜B(tài)。經(jīng)過(guò)細(xì)致的數(shù)值與解析計(jì)算，李慶敏成功揭示了多種不同的拓?fù)湮飸B(tài)，具體表現(xiàn)為陳數(shù)C=2的拓?fù)渥孕芏炔ā㈥悢?shù)C=1的拓?fù)渥孕芏炔ㄒ约俺Ｒ?guī)的反鐵磁自旋密度波。這一研究工作不僅豐富了我們對(duì)關(guān)聯(lián)量子反?；魻柦^緣體拓?fù)淞孔酉嘧兊恼J(rèn)識(shí)，也為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供了寶貴的啟示[7]。2023年，蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院、蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心、蘇州大學(xué)高等研究院和江蘇省薄膜材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室中朱德軍與杭志宏等人選取了Haldane模型作為核心研究體系，深化了拓?fù)潆娐穼?duì)相互作用調(diào)制的研究范疇。他們精心設(shè)計(jì)并構(gòu)建了一種針對(duì)緊束縛模型在位勢(shì)能進(jìn)行調(diào)制的一般性方法。通過(guò)靈活調(diào)整Haldane模型的在位勢(shì)能，包括整體勢(shì)能的改變、對(duì)蜂窩晶格不同原子施加差異化的在位勢(shì)能，以及精確調(diào)控邊界原子的在位勢(shì)能等手段，團(tuán)隊(duì)成功地實(shí)現(xiàn)了對(duì)界面態(tài)的有效調(diào)制。特別是他們創(chuàng)造性地提出了相應(yīng)的電路實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案，這為進(jìn)一步調(diào)控和利用界面態(tài)提供了新穎且富有洞察力的思路。這一研究不僅豐富了我們對(duì)拓?fù)潆娐返睦斫?，也為未?lái)的應(yīng)用探索開辟了新的方向[8]。1.2研究意義1.2.1貝利曲率和陳數(shù)的性質(zhì)在材料科學(xué)和凝聚態(tài)物理學(xué)中，研究材料電子結(jié)構(gòu)已經(jīng)成為一個(gè)重要的研究方向。特別是，在拓?fù)洳牧项I(lǐng)域，貝利曲率和陳數(shù)作為在材料中描述拓?fù)湫再|(zhì)的物理量引起了廣泛關(guān)注。貝利曲率可以量化材料電子能帶的彎曲程度，而陳數(shù)則是描述能帶之間的拓?fù)湫再|(zhì)。因此，研究貝利曲率和陳數(shù)的計(jì)算方法對(duì)于理解材料的特殊性質(zhì)具有重要意義。在過(guò)去的幾十年中，許多理論和實(shí)驗(yàn)方法被提出來(lái)計(jì)算材料電子能帶中的貝利曲率和陳數(shù)。在理論方面，量子力學(xué)和拓?fù)淅碚摰幕驹肀粦?yīng)用于計(jì)算和描述貝利曲率和陳數(shù)。而在實(shí)驗(yàn)方面，材料科學(xué)家們通過(guò)使用角分辨光電子能譜儀（ARPES）等實(shí)驗(yàn)技術(shù)來(lái)測(cè)量和確定材料的能帶結(jié)構(gòu)和貝利曲率、陳數(shù)等物理量。貝利曲率是描述材料電子能帶中的幾何性質(zhì)的關(guān)鍵指標(biāo)。貝利曲率的大小和正負(fù)決定了電荷在材料中的運(yùn)動(dòng)方式，從而對(duì)電子輸運(yùn)性質(zhì)、電磁波傳播以及光學(xué)性質(zhì)等方面產(chǎn)生重要影響。對(duì)貝利曲率的深入研究有助于揭示材料的幾何拓?fù)涮卣?，推?dòng)拓?fù)洳牧系脑O(shè)計(jì)和合成。貝利曲率具有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于研究拓?fù)洳牧系奶匦灾陵P(guān)重要。[9]貝利曲率是一個(gè)局域的物理量，它的值取決于波函數(shù)在動(dòng)量空間中的微小演化情況。因此，貝利曲率可以用于描述材料中的局域拓?fù)涮卣?。貝利曲率也是?duì)稱性保護(hù)的指標(biāo)。在具有特定對(duì)稱性的材料中，貝利曲率可以幫助我們預(yù)測(cè)材料中存在的拓?fù)湫再|(zhì)。此外，貝利曲率具有額外的拓?fù)洳蛔冃?。這意味著貝利曲率在局域形變下保持不變，從而可以幫助我們理解材料中的拓?fù)湎嘧冞^(guò)程。[10]最后，貝利曲率還可以用于計(jì)算材料的哈密頓量的拓?fù)洳蛔兞?，從而幫助我們研究材料的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湫再|(zhì)。貝利曲率作為能帶演化過(guò)程中的曲率度量，具有重要的定義和性質(zhì)。通過(guò)對(duì)貝利曲率的計(jì)算和分析，我們可以揭示材料的拓?fù)湫再|(zhì)，并為設(shè)計(jì)和制備新型材料提供指導(dǎo)和理論支持。[11]陳數(shù)是描述材料拓?fù)湫再|(zhì)的宏觀指標(biāo)。陳數(shù)是用來(lái)刻畫材料的拓?fù)湎鄳B(tài)的性質(zhì)，與材料的局域和全局的拓?fù)湫再|(zhì)密切相關(guān)。陳數(shù)在量子霍爾效應(yīng)、拓?fù)浣^緣體和拓?fù)涑瑢?dǎo)體等領(lǐng)域的研究中有著重要的應(yīng)用。通過(guò)研究陳數(shù)可以揭示材料的非平庸拓?fù)鋺B(tài)以及其導(dǎo)致的特殊電子輸運(yùn)性質(zhì)。1.2.2基于MATLAB的貝利曲率和陳數(shù)計(jì)算的研究意義MATLAB作為一種強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算工具，廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、工程學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。在貝利曲率和陳數(shù)的計(jì)算中，MATLAB提供了便捷且高效的編程環(huán)境，使得研究人員能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算出這些物理量。MATLAB提供了豐富的計(jì)算函數(shù)和工具箱，可以用于復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算。這些功能極大地方便了貝利曲率和陳數(shù)的計(jì)算過(guò)程，提高了計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率?；贛ATLAB的貝利曲率和陳數(shù)計(jì)算方法可以幫助研究人員深入理解貝利曲率和陳數(shù)的物理意義和計(jì)算原理。通過(guò)編寫計(jì)算程序，研究人員可以逐步了解計(jì)算過(guò)程中的各個(gè)環(huán)節(jié)，加深對(duì)貝利曲率和陳數(shù)的理論認(rèn)識(shí)?；贛ATLAB的貝利曲率和陳數(shù)計(jì)算方法具有廣泛的適用性。MATLAB提供了靈活的編程環(huán)境，可以根據(jù)不同的研究需要和算法要求進(jìn)行擴(kuò)展和修改。因此，基于MATLAB的計(jì)算方法可以適用于不同類型的材料體系和拓?fù)湎鄳B(tài)，為研究人員提供了一個(gè)通用的計(jì)算框架?；贛ATLAB的貝利曲率和陳數(shù)計(jì)算具有重要的研究意義。通過(guò)深入研究貝利曲率和陳數(shù)的物理意義和計(jì)算方法，并利用MATLAB進(jìn)行計(jì)算，可以為拓?fù)洳牧系脑O(shè)計(jì)和應(yīng)用提供理論指導(dǎo)，并推動(dòng)該領(lǐng)域的發(fā)展。同時(shí)，基于MATLAB的計(jì)算方法也為其他領(lǐng)域的物理計(jì)算提供了有益的參考和借鑒。

2理論模型2.1Haldane模型介紹圖2.1（a)Haldane模型的晶格圖(b)Haldane模型的相圖[6]圖2.1（a）是Haldane模型的結(jié)構(gòu)圖。A和B分別表示體系的兩個(gè)子晶格，紅色背景的區(qū)域包括了一個(gè)元胞，其中包含一個(gè)A格點(diǎn)和B格點(diǎn)。圖中和分別是一對(duì)晶格矢量，整個(gè)晶格的格點(diǎn)位置可以用它們來(lái)描述。最中間晶格的箭頭表示次近鄰晶格的耦合，Haldane模型中次近鄰的耦合是復(fù)數(shù)，會(huì)帶一個(gè)相位。我們這邊取的沿著箭頭方向，也就是順時(shí)針方向的耦合帶的相位為+?，而逆時(shí)針為??。注意這邊每個(gè)六角晶格內(nèi)的總磁通量為0。圖2.1（b）這里的參數(shù)M為格點(diǎn)的勢(shì)能強(qiáng)度，?為次近鄰躍遷的相位。在參數(shù)空間(M,?)中，Haldane模型存在非平庸拓?fù)湎郈=1,C=-1和平庸相C=0.Haldane模型是1988年Haldane提出的實(shí)現(xiàn)量子反?；魻栃?yīng)的第一個(gè)模型，量子反常霍爾效應(yīng)是不需要外加磁場(chǎng)就能產(chǎn)生量子化霍爾電導(dǎo)的效應(yīng)。Haldane模型是在有A、B兩個(gè)次晶格的六角晶格中，最近鄰和次近鄰的格點(diǎn)之間分別存在實(shí)數(shù)的和復(fù)數(shù)的耦合強(qiáng)度、后者會(huì)破壞系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性。它的實(shí)空間哈密頓量如下(2.1)式中ci+,ci分別為實(shí)空間的產(chǎn)生湮滅算符，ni為粒子數(shù)算符。t為最近鄰格點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度，為實(shí)數(shù)，在本文中都取為1。t'為次近鄰格點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度，對(duì)于跳躍方向平行于a1、t'=t1；對(duì)于跳躍方向平行于a2，取t'=t2；對(duì)于跳躍方向平行于a1-a2，取在一個(gè)兩邊均為周期邊界條件的系統(tǒng)中，可以通過(guò)以下傅里葉變換來(lái)求動(dòng)量空間的哈密頓量(2.2)(2.3)式中和分別為動(dòng)量空間產(chǎn)生湮滅算符，針對(duì)A,B次晶格分別為、和、。如下為一個(gè)位移相差的次近鄰的例子，(2.4)即得(2.5)此種變換應(yīng)用到最近鄰及其其他次近鄰可以將哈密頓量寫在動(dòng)量空間中(2.6)式中H（k）是泡利矩陣，(2.7)這里和是分別沿著和取的，，且取?？梢杂檬噶繉?duì)應(yīng)的環(huán)繞數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)是否具有拓?fù)湫再|(zhì)，也就是讓和歷經(jīng)第一布里淵區(qū)，檢驗(yàn)矢量形成的封閉曲面是否包含坐標(biāo)原點(diǎn)，若包含原點(diǎn)，則系統(tǒng)具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)。對(duì)于不同的參數(shù)，可能會(huì)使系統(tǒng)分別處于非平庸拓?fù)湎嗪推接瓜嗷蛘呤遣煌姆瞧接雇負(fù)湎嘀?，因?yàn)橥負(fù)涫怯赡芟侗Ｗo(hù)的，所以可以通過(guò)計(jì)算能隙關(guān)閉時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)來(lái)得到不同相之間的界限，能隙為(2.8)從而可以得到非平庸拓?fù)湎嗪推接瓜嗟慕缦逓?，各個(gè)區(qū)域是否對(duì)應(yīng)于拓?fù)湎嗫梢酝ㄟ^(guò)陳數(shù)的計(jì)算來(lái)確定。首先重新定義（kx,ky圖2.3Haldane模型兩種邊界條件[5]，沿x軸是鋸齒形邊界條件，沿y軸是扶手形邊界條件x,y的選取見圖2.3）規(guī)范下的哈密頓量成分為(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)二維系統(tǒng)的陳數(shù)計(jì)算公式為(2.13)式中。在六角晶格倒格矢中存在著兩個(gè)特殊點(diǎn)和,被稱為狄拉克點(diǎn)。在原本石墨烯中這兩個(gè)狄拉克點(diǎn)處能隙始終是關(guān)閉的，而Haldane模型中帶相位的次近鄰耦合的引入破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性從而使得狄拉克點(diǎn)處的能隙打開，所以可以通過(guò)關(guān)注在狄拉克點(diǎn)附近的有效哈密頓量來(lái)計(jì)算陳數(shù)。利用二維系統(tǒng)的陳數(shù)計(jì)算公式在狄拉克點(diǎn)的積分可以得到當(dāng)x＞0時(shí)，;當(dāng)x＜0時(shí)，。所以C=1相位于參數(shù)空間，C=-1相位于參數(shù)空間，C=0相位于剩下的參數(shù)空間中，從而得到了Haldane模型的相圖，相圖中有兩條數(shù)值對(duì)稱軸和。2.2貝利相位和貝利聯(lián)絡(luò)簡(jiǎn)介貝利相位和貝利聯(lián)絡(luò)的發(fā)現(xiàn)是量子力學(xué)領(lǐng)域的重要里程碑。這兩個(gè)概念最初由英國(guó)物理學(xué)家邁克爾·貝利在20世紀(jì)80年代提出，并隨后得到了廣泛的關(guān)注和研究。貝利相位的概念起源于對(duì)量子力學(xué)中波函數(shù)相位的研究。在量子力學(xué)中，波函數(shù)的相位是一個(gè)重要的物理量，它決定了量子態(tài)的干涉和演化行為。貝利發(fā)現(xiàn)，當(dāng)量子系統(tǒng)沿著一個(gè)閉合的路徑在參數(shù)空間中絕熱演化時(shí)，系統(tǒng)會(huì)獲得一個(gè)額外的相位，這個(gè)相位與系統(tǒng)的演化路徑的幾何特性有關(guān)，而與演化的具體方式無(wú)關(guān)。這個(gè)額外的相位就是后來(lái)被稱為貝利相位的幾何相位。貝利聯(lián)絡(luò)則是與貝利相位緊密相關(guān)的概念。貝利聯(lián)絡(luò)可以被視為參數(shù)空間中的“磁矢勢(shì)”，它描述了參數(shù)空間中不同點(diǎn)之間的相對(duì)相位關(guān)系。貝利聯(lián)絡(luò)的引入使得貝利相位有了更深刻的數(shù)學(xué)和物理意義，并為后續(xù)的研究提供了有力的工具。貝利相位和貝利聯(lián)絡(luò)的發(fā)現(xiàn)為量子力學(xué)領(lǐng)域帶來(lái)了新的視角和理論工具，對(duì)于理解量子系統(tǒng)的演化、干涉和拓?fù)湫再|(zhì)等方面都具有重要意義。這兩個(gè)概念在凝聚態(tài)物理、光學(xué)、原子物理等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，推動(dòng)了這些領(lǐng)域的發(fā)展?？偟膩?lái)說(shuō)，貝利相位和貝利聯(lián)絡(luò)的發(fā)現(xiàn)是量子力學(xué)領(lǐng)域的重要突破，它們不僅豐富了量子力學(xué)的理論體系，也為實(shí)驗(yàn)研究和應(yīng)用提供了新的思路和方法。貝利相位的產(chǎn)生與量子態(tài)的循環(huán)絕熱演化息息相關(guān)，當(dāng)考慮一個(gè)物理系統(tǒng)的時(shí)候，考慮一個(gè)由參數(shù)決定的哈密頓量，可以令這些參數(shù)組成一個(gè)向量，即。假定這些參數(shù)均隨時(shí)間緩慢變化，即。此中有兩層含義:其一，能使得在任意時(shí)刻都能找到所研究系統(tǒng)的哈密頓量的一些列正交完備本征態(tài)；(2.16)其二，能使得絕熱近似成立。n表示為本征態(tài)，假設(shè)初始t=0時(shí)系統(tǒng)處于態(tài)上，在t時(shí)刻處于態(tài)上。由t時(shí)刻的本征態(tài)再乘上一個(gè)相因子構(gòu)成：(2.17)其中即為貝利相位。把帶入薛定諤方程并左乘，利用，可以得到貝利相位：(2.18)上式可以改寫為對(duì)路徑的積分：(2.19)(2.20)最后把對(duì)時(shí)間的積分轉(zhuǎn)化成了再參數(shù)空間上的積分，假設(shè)系統(tǒng)的演化對(duì)應(yīng)于參數(shù)空間上的一條路徑，則相應(yīng)的積分變?yōu)槁窂椒e分，可以定義為貝利矢勢(shì)，也稱貝利聯(lián)絡(luò)，其形式為：(2.21)2.3貝利曲率和陳數(shù)定義貝利曲率是描述能帶中電子在動(dòng)量空間中演化過(guò)程中的曲率特征的重要物理量。它是在兩能帶模型中計(jì)算的，代表了電子在倒空間中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。貝利曲率的計(jì)算可以揭示材料中的非平庸拓?fù)湫再|(zhì)，并在拓?fù)洳牧涎芯恐邪l(fā)揮重要作用。貝利曲率是描述能帶中帶隙的性質(zhì)和拓?fù)湫再|(zhì)的重要參數(shù)。它反映了能帶在動(dòng)量空間中的彎曲程度，從而揭示了電子在晶體中的運(yùn)動(dòng)行為。貝利曲率是能帶中電子的演化過(guò)程中曲率的一種度量。在兩能帶模型中，貝利曲率可以通過(guò)對(duì)兩個(gè)能帶之間的波函數(shù)進(jìn)行計(jì)算得到。對(duì)于參數(shù)R演化的哈密頓以及波函數(shù)定義貝里相位、貝里聯(lián)絡(luò)以及貝里曲率，哈密頓一般是在波矢k空間的，所以我們的參數(shù)就可以寫成波矢k的函數(shù)，以下都用k來(lái)表示參數(shù)。貝利聯(lián)絡(luò)定義為(2.21)我們通過(guò)對(duì)波函數(shù)求導(dǎo)，按公式求內(nèi)積的方式計(jì)算貝利聯(lián)絡(luò)。貝利曲率定義為(2.22)此處上標(biāo)n是指第n個(gè)能級(jí)，或者是第n個(gè)能帶。若參數(shù)空間是三維，那么上式可以表達(dá)為(2.23)在數(shù)值計(jì)算中，態(tài)連續(xù)性不如哈密頓，此處利用Kubo公式計(jì)算貝利曲率(2.24)對(duì)上式求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)(2.25)上式方程兩邊左乘可得左邊(2.26)右邊(2.27)由，所以(2.28)即(2.29)由上式以及完備關(guān)系可將貝利曲率表達(dá)為(2.30)在第一布里淵區(qū)積分，對(duì)第n個(gè)帶的貝利曲率求和就得到了第n個(gè)帶的陳數(shù)(2.31)陳數(shù)是描述曲面拓?fù)湫再|(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo)，它首先在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中被引入，后來(lái)也被廣泛應(yīng)用于凝聚態(tài)物理中。陳數(shù)可以用來(lái)描述能帶之間的拓?fù)湎嘧円约耙恍┓瞧接雇負(fù)湫?yīng)。陳數(shù)的定義涉及到曲面的曲面邊界，這里我們簡(jiǎn)單介紹一下曲面的邊界。邊界是指曲面上的一條簡(jiǎn)單閉合曲線，通常用于定義曲面的區(qū)域。陳數(shù)的定義使用了曲面上的二維閉合路徑，這些路徑可以通過(guò)給定的點(diǎn)和矢量場(chǎng)來(lái)定義。具體而言，我們將曲面上的一個(gè)點(diǎn)(x,y)和一個(gè)矢量場(chǎng)v(x,y)進(jìn)行配對(duì)，然后通過(guò)沿著曲面上的路徑積分矢量場(chǎng)v(x,y)來(lái)得到一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)被稱為陳數(shù)。陳數(shù)就是將貝利曲率在第一布里淵區(qū)進(jìn)行積分。

3MATLAB計(jì)算方法3.1MATLAB編程環(huán)境介紹MATLAB是一種強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和科學(xué)數(shù)據(jù)可視化軟件，被廣泛應(yīng)用于工程、科學(xué)、金融、圖像處理等領(lǐng)域。本節(jié)將介紹MATLAB編程環(huán)境的基本概念和使用方法。MATLAB編程環(huán)境由主窗口、編輯窗口、命令窗口、工作空間和文件管理器組成。主窗口是用戶與MATLAB交互的主要界面，可以通過(guò)主窗口打開編輯窗口和命令窗口。編輯窗口用于編寫和編輯MATLAB腳本或函數(shù)，用戶可以在此編輯和保存代碼。命令窗口是執(zhí)行MATLAB命令和函數(shù)的地方，用戶可以直接在命令窗口輸入命令并查看執(zhí)行結(jié)果。MATLAB提供了豐富的函數(shù)庫(kù)和工具箱，可以支持各種數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理任務(wù)。用戶可以通過(guò)調(diào)用這些函數(shù)庫(kù)和工具箱來(lái)完成各種任務(wù)，例如矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理、圖像處理等。同時(shí)，MATLAB還提供了強(qiáng)大的繪圖和可視化功能，可以方便地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化展示。MATLAB的語(yǔ)法比較簡(jiǎn)潔易懂，主要采用腳本語(yǔ)言編寫。用戶可以通過(guò)編輯腳本文件來(lái)實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜的計(jì)算任務(wù)，并通過(guò)在命令窗口運(yùn)行腳本文件來(lái)執(zhí)行相應(yīng)的計(jì)算操作。MATLAB還支持函數(shù)的定義和調(diào)用，用戶可以將一系列代碼封裝成函數(shù)，以便復(fù)用和調(diào)用。除了提供基本的編程功能外，MATLAB還支持與其他編程語(yǔ)言的交互，例如C、C++、FORTRAN等。用戶可以通過(guò)調(diào)用外部的編程語(yǔ)言或軟件包接口，實(shí)現(xiàn)更靈活和強(qiáng)大的計(jì)算功能?？傊琈ATLAB作為一種強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和科學(xué)數(shù)據(jù)可視化軟件，擁有豐富的函數(shù)庫(kù)和工具箱，可以滿足各種復(fù)雜的計(jì)算需求。通過(guò)編寫腳本或函數(shù)，用戶可以方便地實(shí)現(xiàn)自己的計(jì)算任務(wù)，并通過(guò)MATLAB提供的可視化功能對(duì)結(jié)果進(jìn)行展示和分析。在本論文中，我們將使用MATLAB來(lái)計(jì)算Haldane模型中的貝利曲率和陳數(shù)，以期得到準(zhǔn)確且可靠的結(jié)果。3.2Haldane模型中拓?fù)湫再|(zhì)的計(jì)算3.2.1Haldane模型中貝利曲率與陳數(shù)在本節(jié)中，我們將介紹基于MATLAB的計(jì)算方法，用于計(jì)算Haldane模型中貝利曲率和陳數(shù)。按照2.3中關(guān)于貝利曲率與陳數(shù)的定義，在此模型中貝利聯(lián)絡(luò)定義為(3.1)(3.2)貝利曲率定義為(3.3)寫成分量展開形式為(3.4)利用Kubo公式，貝利曲率可以寫為(3.5)由于我們一般在k空間討論，所以在計(jì)算時(shí)，將R變?yōu)閗即可。在第一布里淵區(qū)積分，對(duì)第n個(gè)帶的貝利曲率求和就得到第n個(gè)帶的陳數(shù)(3.6)3.2.2代碼邏輯與參數(shù)調(diào)控Haldane模型如下圖所示，有A（黑色）和B（白色）子晶格。最近鄰躍遷用表示，次近鄰躍遷用表示，A和B位點(diǎn)有交錯(cuò)的在位能，分別表示為+M和-M。Haldane考慮了通過(guò)單胞垂直于平面具有完全晶格對(duì)稱性的周期性磁通密度B(r)，如下圖所示，a和b區(qū)域的磁通滿足。由于最近鄰躍遷是一個(gè)封閉路徑，包含完整的單元，凈通量為零，所以躍遷不受影響。躍遷獲得一個(gè)相位，其中磁通量子，所以此方向的躍遷振幅為。圖3.1Haldane模型布洛赫態(tài)的二分量旋量寫為以此為基，設(shè)是從B位點(diǎn)到三個(gè)相鄰A位點(diǎn)的位移，且(3.7)模型哈密頓量為(3.8)其中(3.9)我們用此哈密頓量，根據(jù)哈密頓矩陣的本征態(tài)和哈密頓矩陣在和方向的導(dǎo)數(shù)，用以下公式進(jìn)行求解(3.10)Haldane模型有兩條能帶，對(duì)于以上公式，n=1，則中m=2，無(wú)需求和。如果有多條能帶，當(dāng)計(jì)算第n條能帶的貝里曲率時(shí)，需要對(duì)其他能帶應(yīng)用以上公式求和。在Haldane模型中，我們可以分別調(diào)節(jié)在位能M,最近鄰躍遷用，次近鄰躍遷用,相位等參數(shù)，歸納總結(jié)每個(gè)參數(shù)能帶圖和貝利曲率圖，分析其對(duì)模型中貝利曲率和陳數(shù)的影響。

4實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析在本章中，將介紹基于MATLAB的計(jì)算方法，分析Haldane模型中參數(shù)在位能M,最近鄰躍遷用，次近鄰躍遷用,相位的不同，導(dǎo)致的能帶圖、貝利曲率與陳數(shù)變化。情形一：當(dāng)在位能M=0,最近鄰躍遷用=1，次近鄰躍遷用=0時(shí)，通過(guò)（3.9）中公式我們可知，我們?nèi)∠辔?0.2，為0，在第一布里淵區(qū)撒點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，經(jīng)由MATLAB處理所得能帶圖、貝利曲率圖、陳數(shù)如下：圖4.1（a）情形一3D能帶圖（b）情形一3D貝利曲率圖通過(guò)圖4.1中（a）可知，在第一布里淵區(qū)中導(dǎo)帶與價(jià)帶呈對(duì)稱狀，且有一個(gè)狄拉克點(diǎn)，打開能隙為0。圖4.1中（b）峰值有2個(gè)峰值，強(qiáng)度最大為4.20。通過(guò)MATLAB計(jì)算可得陳數(shù)為0。情形二：當(dāng)在位能M=0,最近鄰躍遷用=1，次近鄰躍遷用=0.2時(shí)，通過(guò)（3.9）中公式我們可知，當(dāng)相位=0.2時(shí)，為0，在第一布里淵區(qū)撒點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，經(jīng)由MATLAB處理所得能帶圖、貝利曲率圖、陳數(shù)如下：圖4.2（a）情形二3D能帶圖（b）情形二3D貝利曲率圖通過(guò)圖4.3中（a）可知，在第一布里淵區(qū)中導(dǎo)帶與價(jià)帶呈非對(duì)稱狀，且無(wú)狄拉克點(diǎn)，打開能隙為1.219eV。圖4.1中（b）有5個(gè)峰值，峰值強(qiáng)度最大為3.01。通過(guò)MATLAB計(jì)算可得陳數(shù)為1。情形三：當(dāng)在位能M=0.1,最近鄰躍遷用=1，次近鄰躍遷用=0.2時(shí)，通過(guò)（3.9）中公式我們可知，當(dāng)相位=0.2時(shí)，不為0，在第一布里淵區(qū)撒點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，經(jīng)由MATLAB處理所得能帶圖、貝利曲率圖、陳數(shù)如下：圖4.3（a）情形三3D能帶圖（b）情形三3D貝利曲率圖通過(guò)圖4.5中（a）可知，在第一布里淵區(qū)中導(dǎo)帶與價(jià)帶呈非對(duì)稱狀，且無(wú)狄拉克點(diǎn)，打開能隙為1.015eV。圖4.1中（b），有2個(gè)峰值，峰值強(qiáng)度最大為4.30。通過(guò)MATLAB計(jì)算可得陳數(shù)為1。情形四：當(dāng)在位能M=-0.1,最近鄰躍遷用=1，次近鄰躍遷用=0.2時(shí)，通過(guò)（3.9）中公式我們可知，當(dāng)相位=0.2時(shí)，不為0，在第一布里淵區(qū)撒點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，經(jīng)由MATLAB處理所得能帶圖、貝利曲率圖、陳數(shù)如下：圖4.4（a）情形四3D能帶圖（b）情形四3D貝利曲率圖通過(guò)圖4.7中（a）可知，在第一布里淵區(qū)中導(dǎo)帶與價(jià)帶呈非對(duì)稱狀，且無(wú)狄拉克點(diǎn)，打開能隙為1.22eV。圖4.1中（b）有3個(gè)峰值，峰值強(qiáng)度最大為4.31。通過(guò)MATLAB計(jì)算可得陳數(shù)為1。情形五：當(dāng)在位能M=0.1,最近鄰躍遷用=1，次近鄰躍遷用=0.2時(shí)，通過(guò)（3.9）中公式我們可知，當(dāng)相位=-0.2時(shí)，=M，在第一布里淵區(qū)撒點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，經(jīng)由MATLAB處理所得能帶圖、貝利曲率圖、陳數(shù)如下：圖4.5（a）情形五3D能帶圖（b）情形五3D貝利曲率圖通過(guò)圖4.9中（a）可知，在第一布里淵區(qū)中導(dǎo)帶與價(jià)帶呈非對(duì)稱狀，且打開能隙為1.024eV。圖4.1中（b）有3個(gè)峰值，峰值強(qiáng)度最小為-4.31。通過(guò)MATLAB計(jì)算可得陳數(shù)為-1。情形六：當(dāng)在位能M=0,最近鄰躍遷用=1，次近鄰躍遷用=0時(shí)，通過(guò)（3.9）中公式我們可知，當(dāng)相位=0時(shí)，為0，在第一布里淵區(qū)撒點(diǎn)數(shù)為100時(shí)，經(jīng)由MATLAB處理所得能帶圖、貝利曲率圖、陳數(shù)如下：圖4.6（a）情形六3D能帶圖（b）情形六3D貝利曲率圖通過(guò)圖4.11中（a）可知，在第一布里淵區(qū)中導(dǎo)帶與價(jià)帶呈對(duì)稱狀，且有5個(gè)狄拉克點(diǎn)，打開能隙為0。圖4.1中（b）有5個(gè)峰值，峰值強(qiáng)度最大為4.30。通過(guò)MATLAB計(jì)算可得陳數(shù)為0。通過(guò)對(duì)情形一和情形二分析，從能帶結(jié)構(gòu)的角度來(lái)看，次近鄰躍遷的引入可能會(huì)打破原有能帶結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，導(dǎo)致新的能帶特征出現(xiàn)，如能帶交叉、能帶展寬或能帶分裂等。這種變化會(huì)直接影響材料中的電子分布和能量狀態(tài)，從而改變其導(dǎo)電、光學(xué)和其他物理性質(zhì)。通過(guò)對(duì)情形二、三、四分析，在位能M分別取0、-1、1，可以發(fā)現(xiàn)在位能的變化通常會(huì)直接改變材料中的勢(shì)能分布，進(jìn)而影響其能帶結(jié)構(gòu)。這可能導(dǎo)致能帶寬度、能級(jí)位置以及帶隙大小的變化。例如，上述情形位能的增加可能使能帶變寬，而位能的減少可能使能帶變窄或?qū)е滦碌哪軒С霈F(xiàn)。在位能的變化可以顯著影響帶隙的大小。通過(guò)調(diào)整位能，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)帶隙的精確調(diào)控。通過(guò)對(duì)情形一、六和情形四、五分析，相位的變化從能帶結(jié)構(gòu)的角度看，首先，相位變化可能導(dǎo)致能帶結(jié)構(gòu)的重排。能帶結(jié)構(gòu)是由電子在晶體中的波函數(shù)干涉形