復(fù)雜應(yīng)用題串講

這一講學(xué)習(xí)的內(nèi)容是與生活相關(guān)的形式多樣的應(yīng)用題．解題時，一定要注意結(jié)合實際情況進行分析．

有一籃雞蛋分給若干人，第一人拿走1個雞蛋和余下的，第二人拿走2個雞蛋和余下的，第三人拿走3個雞蛋和余下的，……，最后恰好分完，并且每人分到的雞蛋數(shù)相同．那么共有多少個雞蛋，有多少個人？

「分析」本題可以采用列方程的做法，另外前兩個人所拿蛋數(shù)很容易表示出來，它們之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？

練習(xí)1、一批游客，甲、乙兩種客車（一大、一?。?，用3輛甲種車和4輛乙種車（滿載）共需跑5趟，如果用5輛甲種車和3輛乙種車（滿載）共需跑4趟，那么甲乙兩車的載客量之比是多少？一個容器裝了的水，現(xiàn)有大、中、小三種小球．第一次把1個中球沉入水中；第二次將中球取出，再把3個小球沉入水中；第三次取出所有的小球，再把1個大球沉入水中．最后將大球從水中取出，此時容器內(nèi)剩下的水是最開始的．已知每次從容器中溢出的水量情況是：第一次是第三次的一半；第三次是第二次的一半．大、中、小三球的體積比是多少？「分析」大家還記得“設(shè)數(shù)法”及比例計算嗎？

練習(xí)2、A、B、C三人去看電影，如果用A帶的錢去買3張票，還差55元，如果用B帶的錢去買3張票，還差69元，如果用A、B、C三個人所有的錢去買3張票，則還富余30元．如果已知C帶了37元，那么電影票一張要花多少元？

兩個農(nóng)婦共帶100個雞蛋到市場上去賣，第一個農(nóng)婦帶的雞蛋比第二個農(nóng)婦少，但兩人所賣的總錢數(shù)相同．第一個農(nóng)婦對第二個農(nóng)婦說：“我要有你那么多雞蛋，按我的價錢賣就能把它們賣180元．”第二個農(nóng)婦回答說：“我要有你那么多的雞蛋，按我的價錢賣只能把它們賣80元．”請問：兩個農(nóng)婦分別有多少個雞蛋？「分析」本題可以采用列方程的做法．

練習(xí)3、甲班有42名學(xué)生，乙班有48名學(xué)生.已知在某次數(shù)學(xué)考試中按百分制評卷，評卷結(jié)果各班的數(shù)學(xué)總成績相同，各班的平均成績都是整數(shù)，并且平均成績都高于80分.那么甲班的平均成績比乙班高多少分？

張先生向商店訂購了每件定價100元的某種商品80件．張先生對商店經(jīng)理說：“如果你肯減價，那么每減價1元，我就多訂購4件．”經(jīng)理算了一下，若減價1%，由于張先生多訂購，獲得的利潤反而比原來多52元．那么按張先生的要求，商店最多可以獲得多少元利潤？

「分析」這道題目中每件商品的成本價是解決問題的關(guān)鍵．

練習(xí)4、箱子里有紅白兩色玻璃球，紅球比白球的3倍多2只．每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次之后剩下3只白球，53只紅球，那么箱子里原有紅球白球各多少只？BABA如圖所示，A，B兩點把一個周長為1米的圓周等分成兩部分．藍精靈從B點出發(fā)在這個圓周上沿逆時針方向作跳躍運動，它每跳一步的步長是米，如果它跳到A點，就會經(jīng)過特別通道AB滑向B點，并從B點繼續(xù)起跳，當(dāng)它經(jīng)過一次特別通道，圓的半徑就擴大一倍．已知藍精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長等于多少米？

「分析」首先可以枚舉出前幾次周長變化的規(guī)律，然后總結(jié)規(guī)律即可解決本題．

有4位朋友的體重都是整千克數(shù)，他們兩兩合稱體重，共稱了5次，稱得的千克數(shù)分別是99，113，125，130，144，其中有兩人沒有一起稱過，那么這兩個人中體重較重的人的體重是多少千克？「分析」本題整體考慮，尋找解題突破口．

第一次數(shù)學(xué)危機第一次數(shù)學(xué)危機從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來源于古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派。這個學(xué)派興旺的時期為公元前500年左右，它是一個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文學(xué)、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規(guī)律性。他們認為“萬物皆數(shù)”，認為數(shù)學(xué)的知識是可靠的、準確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實的世界。數(shù)學(xué)的知識是由于純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺及日常經(jīng)驗。畢達哥拉斯的數(shù)是指整數(shù)，他們在數(shù)學(xué)上的一項重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機。有人說，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經(jīng)知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時這也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機的自然產(chǎn)物。回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實際出發(fā)，應(yīng)用到實際問題中去的。比如泰勒斯預(yù)測日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。課堂內(nèi)外作業(yè)一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與母羊的只數(shù)比是9:7；過了一會跑走的公羊又回到羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是7:5．這群羊原來有多少只？

下表是某班40名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽的分數(shù)表，如果全班平均成績是2.5分，那么得3分和5分的各幾人？

分數(shù)01分數(shù)012345人數(shù)4710A8B植樹開始時，老師給各組發(fā)樹苗，第一組分到5棵再加上剩下樹苗的，第二組分到10棵再加上剩下樹苗的，第三組分到15棵再加上剩下樹苗的……，最后，所有的樹苗恰好分完，而且各組分到的樹苗一樣多．問：共有多少棵樹苗？分給了多少個組？

某市自來水收費標準如下：每戶每月用水4噸以下，每噸水1.80元；當(dāng)超過4噸時，超過部分每噸3.00元．某月甲乙兩戶共交水費26.40元，用水量之比為5:3且均超過4噸．那么甲戶交水費多少元？乙戶交水費多少元？

某校開學(xué)時，七年級新生人數(shù)在500~1000范圍內(nèi)，男、女生的比例為8:7，到八年級時，由于收了40名轉(zhuǎn)學(xué)過來的學(xué)生，男、女生的比例變?yōu)?7:15，請問該年級入學(xué)時，男、女生各有多少人？

復(fù)雜應(yīng)用題串講答案例題：答案：81；9

詳解：設(shè)第一個人拿走一個雞蛋后還剩x個，那么第一個人拿了()個，第二個人拿了個，所以，解得x=80，所以共有81個雞蛋，且每個人分得了個．所以共有人．

答案：15:6:4

詳解：設(shè)容器容量為1份，第一次溢出的水量為x，那么，解得：．所以中球的體積為：．第二次放小球前還剩水量為，那么小球的體積是．第三次放球前還剩水量為，那么大球的體積是．所以大、中、小三球的體積比是．

答案：40，60

詳解：設(shè)兩人所賣的總錢數(shù)為N元，第一個農(nóng)婦有x個雞蛋，第二個農(nóng)婦有y個雞蛋．由題意可知，方程組上下兩式相除可得：，所以，兩人一共有100個雞蛋，因此分別有40、60個．

答案：2916

詳解：先求成本，設(shè)成本為元，則，解得：元．接下來是求最大利潤，當(dāng)降價元時，總利潤為，這里與的總和是定值54，所以它們乘積的最大值是．總利潤取得最大值時，，即．所以當(dāng)定價為元時，有總利潤的最大值是元．

答案：128

詳解：第一次跳到A點，跳過的路程應(yīng)該是米的整數(shù)倍，也應(yīng)該是半圈即米的奇數(shù)倍，而，恰好滿足要求，所以第一次跳到A點時，已經(jīng)跳了米，共跳了4次．然后，圓周長變?yōu)?．

第二次跳到A點，跳過的路程應(yīng)該是米的整數(shù)倍，也應(yīng)該是半圈即1米的奇數(shù)倍，而，恰好滿足要求，所以第二次跳到A點時，在第一次到達A點之后又跳了3米，也就是又跳了8次．然后，圓周長變?yōu)?．

之后，每次跳到A點，所要走的路程都恰好是1.5個圓周，由于圓半徑在翻倍，所以每次要走的路程也要翻倍，要跳的次數(shù)也要翻倍．第3、4、5、6、7、8、…次到達A點，分別又跳了16、32、64、128、256、512、…次，由于，，，所以藍精靈跳1000次中，一共穿過通道7次，所以跳完后圓周長等于米．

答案：66

詳解：此時有兩個人稱了三次，另外兩個人稱了兩次，所以除去稱了三次的這兩個人的體重之和后剩下的四個體重和的大小應(yīng)該滿足：最大的加最小的等于中間兩數(shù)和，都等于四個人的體重和．嘗試后發(fā)現(xiàn)應(yīng)該去掉125，所以四個人的體重和為99+144=243千克，未稱重的兩人的體重和為243-125=118千克．這樣所有可能出現(xiàn)的6個體重和都求出了．最大的兩個數(shù)130與144的和減去中間體重的兩個人的體重和等于最重那個人的體重的兩倍，嘗試118和125后發(fā)現(xiàn)，只有118符合要求，所以最重人的體重為78，且最輕人的體重為125-78=47千克，因此第二輕的人的體重為99-47=52千克，從而第二重的人的體重為118-52=66千克，所以未稱體重的兩人的體重分別為52、66．

練習(xí)：答案：8:5

簡答：3輛甲車和4輛乙車跑五趟，相當(dāng)于15甲+20乙，5輛甲車和3輛乙車跑4趟相當(dāng)于20甲+12乙，于是5甲=8乙，甲乙載客量之比是8:5．答案：37元

簡答：A的錢數(shù)是3張票減去55元，B帶的錢是3張票減去69元，三人帶的錢數(shù)之和是6張票減去87元，又由于三人所有錢數(shù)買三張票還余30元，畫出線段圖可得，三張票為117元，每張票37元．答案：12

簡答：設(shè)甲、乙班平均分分別是x、y，列不定方程可得甲班平均分為96分，乙班為84分，甲班比乙班高12分．答案：52、158

簡答：分析紅球比白球的3倍多2只這個條件，每次取的紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍，則最后剛好白球拿完，紅球剩兩個，題目中7白對應(yīng)15紅，每次少拿6個紅球，紅球若剩下，則3只白球?qū)?yīng)9+2個紅球則，還有42個紅球，說明拿了7次，則原有白球52只，紅球158只．作業(yè)：答案：49簡答：列方程或根據(jù)“剩余羊的只數(shù)和不變”用比例做．答案：3分7人，5分4人

簡答：用方程或雞兔同籠做．答案：80棵，4組

簡答：設(shè)一共有x組樹苗