71宏模型的概念

72建立宏模型的方法

73含能量域耦合問(wèn)題的宏模型第一章MEMS基本情況介紹

對(duì)于MEMS部分的設(shè)計(jì)者來(lái)說(shuō)，為選擇合適的物理參數(shù)和幾何參數(shù)以設(shè)計(jì)出符合要求的MEMS器件，就要對(duì)MEMS器件的物理特性有一個(gè)全面的了解。為此，必須進(jìn)行MEMS的器件級(jí)模擬。一般這一步是通過(guò)對(duì)MEMS器件進(jìn)行3D的網(wǎng)格劃分，采用離散的方法進(jìn)行數(shù)值模擬的。當(dāng)MEMS器件不太復(fù)雜時(shí)，也可運(yùn)用解析的方法。離散方法有很多種，最常用的是有限元法(FiniteElementMethod，F(xiàn)E方法)。7.1宏模型的概念對(duì)不同領(lǐng)域的MEMS器件，現(xiàn)已開(kāi)發(fā)出多種器件級(jí)分析與模擬工具(如ANSYS)，但MEMS器件(如傳感器或執(zhí)行器等)必須與其他的輔助電路、控制電路連接在一起，以形成完整的系統(tǒng)功能。由于彼此處于一個(gè)極小的空間范圍內(nèi)，相互之間物理量的耦合很強(qiáng)。為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)整個(gè)系統(tǒng)的最終性能，必須進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)的模擬。系統(tǒng)級(jí)模擬常用的工具為電路模擬軟件SPICE或數(shù)值計(jì)算工具M(jìn)ATLAB。直接把器件模型數(shù)值模擬的結(jié)果用于電路模擬理論上是有可能的，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)3D的FE模型來(lái)說(shuō)，其有限元分析在那些與外部電路連接點(diǎn)上的結(jié)果可用作系統(tǒng)模擬時(shí)的器件參數(shù)值。但這樣得出的大多數(shù)MEMS模型會(huì)極其復(fù)雜，往往會(huì)有上百個(gè)自由度，系統(tǒng)級(jí)模擬也將花費(fèi)驚人的機(jī)時(shí)。此外，由于采用不同的模擬器，很可能會(huì)出現(xiàn)不收斂的情況。因此，實(shí)際中必須根據(jù)MEMS器件的3D有限元分析結(jié)果，得出低自由度的、基于能量的宏模型，從而用于系統(tǒng)級(jí)模型，如圖7.1所示。

圖7.1MEMS建模與模擬的分級(jí)器件級(jí)到系統(tǒng)級(jí)之間的接口常稱為宏建模，對(duì)于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜器件結(jié)構(gòu)和接口電路的混合信號(hào)仿真具有重要意義。此處采用圖7.2所示的方法實(shí)現(xiàn)宏建模的提取。

圖7.2實(shí)現(xiàn)宏建模的提取方法系統(tǒng)宏模型(MacroModel)，又稱為縮聚模型(CompactModel)或簡(jiǎn)化模型(ReducedModel或ReductionModel)，對(duì)于MEMS的系統(tǒng)級(jí)模擬非常關(guān)鍵。這種宏模型在MEMS的設(shè)計(jì)過(guò)程中起如下幾方面的作用：

(1)設(shè)計(jì)人員可以利用宏模型探討設(shè)計(jì)空間，比如利用宏模型在器件/系統(tǒng)的尺度及材料性能發(fā)生改變時(shí)可以方便地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的行為特性?；谶@點(diǎn)考慮，需要具有最小自由度數(shù)目本質(zhì)上是集總模型(LumpedModel)的解析模型。

(2)在系統(tǒng)級(jí)模擬器中，宏模型將代表MEMS器件，從這點(diǎn)來(lái)看，宏模型必須是動(dòng)態(tài)的，必須足夠簡(jiǎn)單以容許在合理的時(shí)間內(nèi)在各種激勵(lì)下進(jìn)行成百上千次模擬。

(3)由于通常情況下MEMS器件是包含多重能量域的轉(zhuǎn)換器，因此宏模型必須能夠正確解釋能量守恒(準(zhǔn)靜態(tài)特性)及能量耗散(動(dòng)態(tài)特性)。

(4)宏模型必須符合在感興趣的設(shè)計(jì)空間上更為詳細(xì)的數(shù)值模擬結(jié)果。同時(shí)，必須建立在合理設(shè)計(jì)的測(cè)試結(jié)構(gòu)，且所做的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較近似的基礎(chǔ)上。

令人遺憾的是，目前達(dá)到上述所有這些要求的模型還依賴于手工，而沒(méi)有能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)宏模型的建立，這在很大程度上妨礙了MEMS器件的系統(tǒng)級(jí)模擬。下面重點(diǎn)討論有關(guān)準(zhǔn)靜態(tài)宏模型和動(dòng)態(tài)宏模型的建立問(wèn)題。7.1.1準(zhǔn)靜態(tài)宏模型

在準(zhǔn)靜態(tài)宏模型的建立這方面，美國(guó)麻省理工學(xué)院的SenturiaS.D、AluruN、WhiteJ等人已取得較為成功的經(jīng)驗(yàn)，由于該問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單且在實(shí)際應(yīng)用中一般局限在對(duì)微電子機(jī)械結(jié)構(gòu)材料性能的靜電偏轉(zhuǎn)法測(cè)試上，在這里僅簡(jiǎn)要介紹其建立的一般程序：

(1)選擇一個(gè)與期望模型近似的理想化結(jié)構(gòu)；

(2)通過(guò)求解控制方程(一般是偏微分方程)或瑞利-里茲能量最小原理(基于泛函變分，求泛函極值)建立理想化問(wèn)題的解析模型；

(3)確定一組無(wú)量綱的數(shù)值常數(shù)，在解的解析表達(dá)式中可變；

(4)在感興趣的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行期望模型的網(wǎng)格化數(shù)值模擬，調(diào)整宏模型中無(wú)量綱的數(shù)值參量使其與數(shù)值模擬結(jié)果相一致。7.1.2動(dòng)態(tài)宏模型

動(dòng)態(tài)宏模型的建立要比準(zhǔn)靜態(tài)宏模型的建立更具有挑戰(zhàn)性。同時(shí)也應(yīng)該看到，動(dòng)態(tài)宏模型較準(zhǔn)靜態(tài)宏模型具有更廣泛的研究和應(yīng)用價(jià)值，正因?yàn)槿绱?，?duì)動(dòng)態(tài)宏模型的建立引起了許多機(jī)構(gòu)研究的興趣。

1998年，美國(guó)麻省理工學(xué)院的Wang、Frank及WhiteJacob等人應(yīng)用Arnoldi法提出對(duì)于線性系統(tǒng)自動(dòng)建立宏模型的方法，在此基礎(chǔ)上ChenJinghong及其導(dǎo)師KangSung-Mo于2000年將Arnoldi法與泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)相結(jié)合用于對(duì)二階非線性系統(tǒng)建立宏模型。對(duì)于更強(qiáng)烈的耦合作用和更高階的非線性系統(tǒng)，他們于2001年又提出了基于弧長(zhǎng)的Karhunen-Loeve分解法。2001年，ChenJinghon等人還提出了對(duì)于光通信中有廣泛應(yīng)用前景的微光掃描器建立宏模型的方法。LiangY.C提出了基礎(chǔ)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求取系統(tǒng)基函數(shù)的模型縮減方法。

這些MEMS器件的宏模型必須滿足如下要求：

(1)只有少量的自由度；

(2)最好是解析表達(dá)式，以使設(shè)計(jì)者能夠了解參數(shù)改變帶來(lái)的效應(yīng)；

(3)依器件不同的幾何邊界和材料特性而作相應(yīng)的變化；

(4)體現(xiàn)器件的準(zhǔn)靜態(tài)特性及動(dòng)態(tài)特性；

(5)表達(dá)方式簡(jiǎn)單，是一個(gè)等效電路或一組常微分方程和代數(shù)方程；

(6)符合器件的3D模擬結(jié)果。

目前，常見(jiàn)的建立宏模型的方法主要有：節(jié)點(diǎn)分析方法(NODAS)、信號(hào)流(SignalFlow)(或稱為黑箱(BlockBox)分析)模型和一種用鍵合圖理論建立MEMS系統(tǒng)模型的方法。

1.節(jié)點(diǎn)分析方法

節(jié)點(diǎn)分析方法從微系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)開(kāi)始，通常是以分級(jí)分解的方法將整個(gè)MEMS分解成多個(gè)MEMS基本單元或標(biāo)準(zhǔn)MEMS單元，是一種分層次設(shè)計(jì)方法。7.2建立宏模型的方法首先，以手工方法將其分解為幾個(gè)子系統(tǒng)或幾個(gè)功能組件，再按物理場(chǎng)性質(zhì)的不同進(jìn)一步細(xì)分，將各個(gè)子系統(tǒng)分解成許多相對(duì)簡(jiǎn)單的基本單元。然后，運(yùn)用材料力學(xué)或結(jié)構(gòu)力學(xué)的分析方法，建立集總參數(shù)解析模型，將力或力矩、位移分別同電路中的電流、電壓對(duì)應(yīng)起來(lái)，構(gòu)成基本電路，或者根據(jù)元件的幾何和行為參數(shù)利用混合信號(hào)的硬件描述語(yǔ)言建立MEMS元件庫(kù)。

根據(jù)該元件庫(kù)可以快速搭建MEMS模型，并以連線框圖(形成網(wǎng)絡(luò))表示。這樣，可以運(yùn)用Saber或Spice進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)模擬。這種設(shè)計(jì)方法的好處是可以完全與ICCAD工具整合，還可用相同的軟件工具同時(shí)解決MEMS和IC設(shè)計(jì)問(wèn)題。另外，這種設(shè)計(jì)方法可以及時(shí)地確定和改變基本單元的規(guī)格，但由于在器件模型中使用了一些剛性體的假設(shè)，可能導(dǎo)致設(shè)計(jì)精度的降低。

2.信號(hào)流模型

信號(hào)流模型也稱為黑箱分析模型。該方法的基本思想是對(duì)MEMS器件進(jìn)行不同能量域的分析，精心選擇少數(shù)幾個(gè)參數(shù)來(lái)描述器件的動(dòng)力學(xué)特性，從而得到器件宏模型。對(duì)于更復(fù)雜的MEMS結(jié)構(gòu)，可采用基于對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)或三維有限元分析結(jié)果的近似擬合進(jìn)行建模。另外一個(gè)可行方法是，把器件的有限元描述作為輸入文件，直接利用自由度縮聚的方法來(lái)產(chǎn)生宏模型。這種方法的關(guān)鍵問(wèn)題在于，如何選擇適當(dāng)且足夠的描述器件動(dòng)力學(xué)特性的參數(shù)，以及如何確定系統(tǒng)的能量表達(dá)式。利用自由度縮聚的方法來(lái)產(chǎn)生MEMS宏模型的計(jì)算方法得益于現(xiàn)代控制理論的發(fā)展。對(duì)于線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，還有較多的計(jì)算方法可以借鑒，如基于奇異值分解(SVD)的本征正交分解算法、基于Krylov子空間的Arnoldi和Lanczos算法、基于SVD-Krylov的近似算法、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的進(jìn)化算法等。大多數(shù)MEMS器件具有多物理場(chǎng)耦合和殘余應(yīng)力等特征，其工作范圍都是處于非線性狀態(tài)，所以，器件的動(dòng)力學(xué)控制方程都是非線性方程，要求宏模型能夠真實(shí)反映器件的非線性動(dòng)力學(xué)特性和具備求解多疇耦合的計(jì)算能力。這是目前MEMS宏模型研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。

3.鍵合圖理論建立宏模型

鍵合圖理論是處理不同能量范疇系統(tǒng)之間互相作用的有力理論工具。它把動(dòng)態(tài)系統(tǒng)看做一個(gè)由狀態(tài)變量決定的系統(tǒng)，由一組關(guān)于狀態(tài)變量的常微分方程和代數(shù)方程組建立狀態(tài)變量與其他系統(tǒng)變量的關(guān)系，采用鍵合圖語(yǔ)言來(lái)描述系統(tǒng)的模型，不同系統(tǒng)之間通過(guò)能量的交換來(lái)實(shí)現(xiàn)相互作用。直接利用鍵合圖法對(duì)MEMS進(jìn)行描述的研究較少，主要是由于該理論較抽象且不易理解而沒(méi)能廣泛應(yīng)用，而且，它與電網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)仿真器不兼容。但是，利用以鍵合圖理論為基礎(chǔ)的廣義KIRCHHOFF網(wǎng)絡(luò)理論搭建MEMS模型得到了廣泛的應(yīng)用。7.2.1節(jié)點(diǎn)分析方法

1.等效電路宏模型

MEMS器件種類(lèi)繁多、結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化、工作原理各不相同，工作過(guò)程中通常涉及包括電能在內(nèi)的多個(gè)能量領(lǐng)域，等效電路宏模型僅適用于激勵(lì)為小信號(hào)的情況。在建立等效電路宏模型時(shí)，總是將非電的能量領(lǐng)域以及非電能與電能的耦合用電路來(lái)類(lèi)比。下面通過(guò)兩個(gè)例子分別說(shuō)明集總參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)的等效電路宏模型的建立方法。

1)非電能子系統(tǒng)與電能子系統(tǒng)的類(lèi)比

非電能子系統(tǒng)與電能子系統(tǒng)的類(lèi)比，就是通過(guò)分析決定非電能子系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，找出它們與決定電能子系統(tǒng)規(guī)律的數(shù)學(xué)方程在形式上的相似性，再根據(jù)這種相似性把非電能子系統(tǒng)類(lèi)比成電能子系統(tǒng)。圖7.3(a)是一個(gè)靜電傳感器，它包含一個(gè)兩端固定的梁，在梁的中間帶有一個(gè)剛性的物體，此剛體的下表面被制成電極以充當(dāng)可變電容器的一個(gè)極板。

圖7.3靜電傳感器原理及其交流小信號(hào)模型剛體m的運(yùn)動(dòng)服從牛頓第二定律，其運(yùn)動(dòng)方程為

(7-1)

如果外力fm為正弦信號(hào)，且令fm＝fmejωt

，那么式(7-1)可化為

(7-2)

式中：U、F、Fm——速度u＝dx/dt、電場(chǎng)力f、機(jī)械力fm的相量。如果把式(7-2)中的速度向量U類(lèi)比成電流，力向量F、Fm類(lèi)比成電壓，jωm、c、 類(lèi)比成阻抗，則由電感m、電阻c、電容1/k及電壓源f、fm串聯(lián)而成的電路(參見(jiàn)圖7.3(b))同樣服從式(7-2)，式(7-2)所表示的就是電路理論中的KVL。把力類(lèi)比成電壓的方法稱為F－V類(lèi)比。在F－V類(lèi)比中，質(zhì)量m等效于一個(gè)電感量為m的電感，阻尼系數(shù)c等效于一個(gè)阻值為c的電阻，彈簧等效于一個(gè)容量為1/k的電容，牛頓第二定律等價(jià)于KVL，且原來(lái)的并聯(lián)連接形式在對(duì)應(yīng)的等效電路中變成了串聯(lián)連接形式。如果把式(7-2)中的速度相量附近的另一個(gè)固定面形成可變電容的另一個(gè)極板，梁中間的物體可以等效為被兩個(gè)倔強(qiáng)系數(shù)為k/2的彈簧支撐，則總的倔強(qiáng)系數(shù)為k，fm為需要測(cè)量的外加的純機(jī)械力，fet是由兩極板的靜電吸引引起的總電場(chǎng)力，c是阻尼系數(shù)。這種傳感器在使用時(shí)，總是加上直流偏壓V0，此時(shí)可動(dòng)極板的位移為x0，對(duì)應(yīng)的電容值為c0，電容上的電量為q0。如果外力fm為交流小信號(hào)，那么，此傳感器就可作為線性系統(tǒng)來(lái)處理。圖7.3(a)所示傳感器的交流小信號(hào)模型如圖7.3(b)所示。其中，x(t)為位移的交流分量，f(t)為電場(chǎng)力的交流分量，Vt為電壓的交流分量。U類(lèi)比成電壓，力相量F、Fm類(lèi)比成電流，jωm、c、 類(lèi)比成導(dǎo)納，也可以得到對(duì)應(yīng)的等效電路。把力類(lèi)比成電流的方法稱為F－I類(lèi)比，在F－I類(lèi)比中，牛頓第二定律等價(jià)于KCL，且原來(lái)的并聯(lián)連接形式在對(duì)應(yīng)的等效電路中仍為并聯(lián)連接形式。

2)集總參數(shù)系統(tǒng)的等效電路宏模型

上述傳感器中由極板構(gòu)成的可變電容器實(shí)際上起著電能和機(jī)械能之間的耦合作用，即傳感器相當(dāng)于一個(gè)連接于機(jī)械能子系統(tǒng)和電能子系統(tǒng)之間的二端口，見(jiàn)圖7.4。

這種耦合作用可用能量法進(jìn)行分析，找出決定這種耦合規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，再找出它們與純電學(xué)二端口數(shù)學(xué)方程在形式上的相似性，根據(jù)這種相似性就可以把它類(lèi)比成純電學(xué)二端口。

圖7.4耦合功能示意圖圖7.4中，xt＝x0＋x(t)為物體的總位移(下標(biāo)t表示total)；v＝v0＋v(t)為總的電壓；fet＝f0＋f(t)為總的電場(chǎng)力；qt＝q0＋q(t)為電容上的總電量，q(t)是電量的交流分量。根據(jù)圖7.3(b)設(shè)d為fm＝0，vt＝0時(shí)電容兩極板間的距離，A為電容兩極板的面積。用能量法可以推出：

(7-3)

(7-4)

式(7-3)、式(7-4)對(duì)應(yīng)的相量形式為

(7-5)

(7-6)

從式(7-5)、式(7-6)可得

(7-7)

其中： 。根據(jù)電路理論中有關(guān)二端口的知識(shí)可知，圖7.5中間的二端口也服從式(7-7)，所以電能和機(jī)械能之間的耦合作用可以用圖7.5中間的二端口來(lái)等效，則圖7.5就是圖7.3(a)所示靜電傳感器的交流小信號(hào)宏模型。

圖7.5集總參數(shù)靜電傳感器的交流小信號(hào)宏模型

3)分布參數(shù)系統(tǒng)的等效電路宏模型

上面所討論的傳感器的可動(dòng)極板由于是剛性的，所以是單自由度系統(tǒng)。如果傳感器的可動(dòng)極板是彈性連續(xù)體，那么，它就具有無(wú)限多個(gè)自由度，其等效宏模型要比單自由度系統(tǒng)復(fù)雜得多。圖7.6(a)所示的傳感器，其可動(dòng)極板是一個(gè)等截面的兩端固定的彈性梁。

圖7.6分布參數(shù)靜電傳感器原理圖及其交流小信號(hào)宏模型運(yùn)用模態(tài)分析技術(shù)及能量分析法，可以得到如圖7.6(b)所示的交流小信號(hào)宏模型。其中，Pn為對(duì)應(yīng)于第n階模態(tài)的廣義力，ξn為對(duì)應(yīng)于第n階模態(tài)的廣義速度，

*n(1)為第n階模態(tài)函數(shù)在x1的值，m為單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量，c為阻尼系數(shù)，l為梁的長(zhǎng)度。設(shè)ω(x，t)為梁的撓度函數(shù)，fet(x，t)是梁每單位長(zhǎng)度受到的總的電場(chǎng)力。通常只要取四到五階模態(tài)就可以滿足精度的要求。

這種方法是基于電路和機(jī)械系統(tǒng)的相似性。通過(guò)尋找一個(gè)等效電路，使此電路方程和表征器件特性的一組常微分方程相同，再利用模擬電路求解工具SPICE求解。這種方法已廣泛研究，并已應(yīng)用于許多MEMS系統(tǒng)的模擬。分布參數(shù)系統(tǒng)的等效電路模型的最大優(yōu)點(diǎn)是可以利用成熟的電路模擬工具對(duì)MEMS系統(tǒng)進(jìn)行仿真，仿真精度高，速度快。但等效電路方法也有自身的固有缺陷：

(1)通常，所有器件須在工作點(diǎn)附近線性化，使此方法僅能應(yīng)用于小信號(hào)分析；

(2)等效電路元件的選擇受到了SPICE元件庫(kù)的限制；

(3)尋找合適的等效電路往往很困難；

(4)實(shí)際模型到等效電路模型的轉(zhuǎn)換沒(méi)有一般規(guī)則，不能實(shí)現(xiàn)模型自動(dòng)化生成；

(5)設(shè)計(jì)周期長(zhǎng)，模型重用性差；

(6)等效電路模型和實(shí)際模型的轉(zhuǎn)換關(guān)系不直觀，容易出現(xiàn)設(shè)計(jì)錯(cuò)誤。

2.結(jié)點(diǎn)化模型(硬件描述語(yǔ)言VHDL宏模型)

結(jié)點(diǎn)化模型就是具有一個(gè)或多個(gè)終端的單元，終端的橫越量和流通量之間的關(guān)系由物理規(guī)律決定，建模的主要內(nèi)容就是尋找端口的橫越量和流通量之間的關(guān)系。結(jié)點(diǎn)化模型建立起來(lái)后，就可以利用這些模型的連接關(guān)系來(lái)建立系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)結(jié)點(diǎn)化的設(shè)計(jì)。結(jié)點(diǎn)化模型的靈感來(lái)自于集成電路的設(shè)計(jì)方式。在集成電路設(shè)計(jì)中，電路系統(tǒng)通過(guò)電阻、電容、電感、三極管、MOS管以及運(yùn)算放大器等一系列端口元件以網(wǎng)絡(luò)連接的方式組成。結(jié)點(diǎn)化模型的設(shè)計(jì)方法就是將電路的設(shè)計(jì)方式推廣到其他能量域中去，譬如機(jī)械系統(tǒng)等。結(jié)點(diǎn)化模型法利用硬件描述語(yǔ)言在各個(gè)能量域下建立反映其物理規(guī)律的端口模型，通過(guò)這些端口模型的簡(jiǎn)單連接關(guān)系組建系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)類(lèi)似于電路設(shè)計(jì)的結(jié)點(diǎn)化設(shè)計(jì)方式。和等效電路宏模型法相比，結(jié)點(diǎn)化模型法易于建模和修改，有利于結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)和版圖綜合、提取，具有明顯的優(yōu)勢(shì)。另外，電路系統(tǒng)本身是一種模擬混合信號(hào)系統(tǒng)，其所有元件模型都可以看成是結(jié)點(diǎn)化模型。所以，結(jié)點(diǎn)化模型方法將會(huì)成為MEMS系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)的主要方法。

1)VHDL-AMS語(yǔ)言

VHDL-AMS是在IEEEStd.107621993：VHDL(VHSICHardwareDescriptionLanguage)的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的。VHDL-1993標(biāo)準(zhǔn)最初是被設(shè)計(jì)用于描述離散時(shí)間系統(tǒng)，特別是數(shù)字系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為的，支持事件驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的描述和仿真。1999年，IEEE制定了IEEEStd.1076.121999標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)對(duì)原來(lái)的VHDL-1993進(jìn)行了擴(kuò)充，使其支持模擬混合信號(hào)系統(tǒng)的描述和仿真。

現(xiàn)在，VHDL-AMS是對(duì)IEEEStd.107621993和IEEEStd.1076.121999這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)稱，后綴AMS代表模擬和混合信號(hào)(AnalogandMixedSignal)。VHDL-AMS首次提供了一個(gè)能夠用一種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言描述離散系統(tǒng)、連續(xù)系統(tǒng)以及它們的組合系統(tǒng)的集成語(yǔ)言環(huán)境。

VHDL-AMS語(yǔ)言提供了一種新的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)來(lái)描述守恒的能量系統(tǒng)。這個(gè)新的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)就是終端(Terminal)。終端和端口、輸入、輸出一樣，是一個(gè)實(shí)體和其他實(shí)體進(jìn)行相互作用的界面。和端口、輸入、輸出不同的是，終端是用于交換模擬信號(hào)的。每個(gè)終端有兩個(gè)特征量：橫越量(AcrossQuantity)和流通量(ThroughQuantity)。這兩個(gè)特征量滿足下面的條件：

(7-8)

式(7-8)也即相互連接的終端具有相同的橫越量，流向同一結(jié)點(diǎn)(終端連接點(diǎn))的流通量之和為零。對(duì)于電路系統(tǒng)，電壓是橫越量，電流是流通量；對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)，位移是橫越量，力(廣義)是流通量。

2)VHDL宏模型的理論基礎(chǔ)

所謂宏模型是指器件的輸入、輸出特性。在與電路放在一起模擬時(shí)，要考慮到MEMS器件的輸入、輸出是電信號(hào)和非電信號(hào)的混合。通常，建立VHDL宏模型的步驟如下：

(1)MEMS器件輸入、輸出的端口處保證能量守恒，對(duì)每一個(gè)端口選擇的強(qiáng)度e(Effort)、流f(Flow)和狀態(tài)q(State)變量，要保證強(qiáng)度e和流f兩個(gè)變量的乘積具有功率的量綱；

(2)端口變量表示MEMS器件的總能量；

(3)求能量相對(duì)于各個(gè)端口狀態(tài)q變量的偏導(dǎo)數(shù)即可得各端口的強(qiáng)度e變量；

(4)各個(gè)端口狀態(tài)q變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即為相應(yīng)端口的流變量。表7.1力-流變量對(duì)應(yīng)表

3)VHDL宏模型的建立方法

(1)解析法。

對(duì)于有些MEMS器件，通過(guò)合理近似即可得到MEMS器件工作的解析表達(dá)式，用VHDL描述后，代入系統(tǒng)中進(jìn)行優(yōu)化。由于MEMS器件大多含有兩種能量以上的耦合，得到解析公式是相當(dāng)困難的。半解析的方法是廣泛使用的一種方法，即通過(guò)試驗(yàn)或數(shù)值分析的方法，從MEMS器件中提取相關(guān)參數(shù)得到表達(dá)式。圖7.7為橫向梳狀諧振器電路原理圖。

圖7.7諧振電路原理圖其電行為由輸入端的電容Cin

和輸出端的電容Cout

組成。于是有：

(7-9)

式中：iin、iout——輸入端、輸出端的電流；

iP——偏置電流。

根據(jù)叉指電容的模型，可以得到Cin

和Cout

的表達(dá)式：

(7-10)

根據(jù)牛頓第二定律，得

(7-11)

式中：M——梭的質(zhì)量；

Kd——阻尼系數(shù)；

Ks——彈性系數(shù)；

Ke——常數(shù)。梳狀結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)器產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)力與施加在兩端的電壓平方成正比。

由式(7-9)、式(7-10)和式(7-11)得到諧振器的宏模型，可利用VHDL-AMS進(jìn)行描述。值得注意的是，模型是非線性的，而且還有很多待定參數(shù)。梭的質(zhì)量M通過(guò)形狀和材料特性很容易得到。阻尼系數(shù)Kd可由庫(kù)特模型得到。利用數(shù)值分析的方法就可以求得彈性系數(shù)。半解析方法建模的靈活性較大，若參數(shù)提取合適，可以達(dá)到很高的精度，但也有缺點(diǎn)：第一，沒(méi)有統(tǒng)一的建立方法；第二，驗(yàn)證困難，對(duì)于建立的宏模型，只能通過(guò)和數(shù)值模擬結(jié)果或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)比較的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

(2)數(shù)值方法宏模型。

在Coventor軟件中，自動(dòng)產(chǎn)生器件宏模型的步驟如下：首先，根據(jù)版圖和工藝描述，并通過(guò)合理近似，產(chǎn)生近似三維模型；其次，利用快耦合能量域三維模擬方法分析整個(gè)器件的特性；最后，利用面向?qū)ο蠼惦A模型的方法產(chǎn)生降階的宏模型。

得到采用硬件描述語(yǔ)言描述的降階宏模型，然后進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)的設(shè)計(jì)。所謂降階宏模型是指所建立的數(shù)值模型自由度減少，卻仍可在一定程度上近似器件的靜態(tài)或動(dòng)態(tài)特性，它強(qiáng)調(diào)的是端口特性，目前，這樣的技術(shù)已經(jīng)相對(duì)成熟。顯然，這是一種自底向上(Bottom-Up)的設(shè)計(jì)方法，不僅要求設(shè)計(jì)者懂得系統(tǒng)方面的知識(shí)，而且要對(duì)MEMS有深入的了解。另外，一旦器件的幾何形狀有所改變，就需要重新生成相應(yīng)的宏模型。

(3)層次化的設(shè)計(jì)方法。

為克服上述缺點(diǎn)，有必要發(fā)展自頂向下(Top-Down)的MEMS設(shè)計(jì)法。選擇特征結(jié)構(gòu)如懸臂梁(單端固定)、橋(兩端固定)和膜(周邊固定)建模，利用VHDL描述，即可建立相應(yīng)的庫(kù)，且具有較好的通用性。因?yàn)閺?fù)雜的MEMS器件結(jié)構(gòu)大多也是通過(guò)梁、橋的連接構(gòu)成的，因此，改變邊界條件，亦可對(duì)這些復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，進(jìn)而對(duì)器件模擬。

顯然，這種層次化的設(shè)計(jì)方法顯著提高了效率，減少了設(shè)計(jì)周期。要優(yōu)化系統(tǒng)性能，自底向上和自頂向下的設(shè)計(jì)方法需反復(fù)迭代。7.2.2信號(hào)流模型(自由度縮聚的方法)

對(duì)于流體、空氣阻尼、熱傳導(dǎo)等問(wèn)題，在系統(tǒng)級(jí)建立集總參數(shù)的宏模型是比較困難的。首先，這些問(wèn)題的控制方程比較復(fù)雜；其次，這些問(wèn)題一般與器件的幾何尺寸、結(jié)構(gòu)形式等有很大關(guān)系，器件結(jié)構(gòu)變化就需要重新建立宏模型。所以，需要采用一定的策略將離散后的控制方程規(guī)模降低，主要是通過(guò)奇異值分解(SVD)法、子空間投影法或者是二者相結(jié)合的方法獲取基函數(shù)，對(duì)原器件控制方程進(jìn)行降階處理，得到宏模型。獲取的宏模型一般采用較少的微分代數(shù)方程描述，可以非常方便地用硬件描述語(yǔ)言描述，然后插入通用電路仿真器仿真求解，求解結(jié)果和全模型有限元分析基本一致，而且求解的速度很快。

圖7.8是以諧振器結(jié)構(gòu)為例獲取宏模型的簡(jiǎn)易流程圖。其中，動(dòng)力學(xué)方程系數(shù)矩陣可以通過(guò)簡(jiǎn)單的有限元分析后獲得。然后將高階的控制方程化為一階微分方程組，利用Krylov子空間投影法對(duì)一階系統(tǒng)狀態(tài)方程降階處理，得到只用少數(shù)幾個(gè)方程就能描述原模型的宏模型。此宏模型可以很容易地采用硬件描述語(yǔ)言編碼，插入系統(tǒng)級(jí)仿真。這種方法具有一定的通用性，尤其是對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)、不規(guī)則結(jié)構(gòu)，在系統(tǒng)級(jí)建模很困難的時(shí)候，可以利用有限元分析的結(jié)果，獲取該結(jié)構(gòu)的宏模型。

圖7.8宏模型獲取流程

MEMS系統(tǒng)級(jí)建模的關(guān)鍵是系統(tǒng)宏模型的獲取，如何通過(guò)器件級(jí)模擬的結(jié)果自動(dòng)獲取數(shù)學(xué)模型是有待解決的難點(diǎn)和重點(diǎn)。MEMS系統(tǒng)宏模型又稱降階模型(Reduced-orderModel)、縮聚模型(CompactModel)，它是系統(tǒng)低階行為的表示。宏模型是系統(tǒng)的解析模型，而非數(shù)值模型；依器件不同的幾何邊界和材料特性而相應(yīng)變化；體現(xiàn)器件的準(zhǔn)靜態(tài)特性及其動(dòng)態(tài)特性表達(dá)方式簡(jiǎn)單；可以是一個(gè)等效的模擬網(wǎng)絡(luò)，也可以是一組耦合的微分方程和代數(shù)方程；易于連接到系統(tǒng)級(jí)的模擬器中。

1.靜電結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

1)結(jié)構(gòu)機(jī)械能

彈性結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為

(7-12)

式中：δ——應(yīng)力矢量；

ε——應(yīng)變矢量；

V——結(jié)構(gòu)體積。

系統(tǒng)的動(dòng)能Ek：

(7-13)

式中： ω——位移矢量；

ρ——材料密度。

結(jié)構(gòu)的彈性勢(shì)能Ee是應(yīng)變能Es與外力F所做功W的差值，即

(7-14)

2)靜電能

對(duì)于靜電結(jié)構(gòu)耦合，除了結(jié)構(gòu)動(dòng)能和彈性能外，還存在靜電能量域，它通過(guò)靜力與彈性結(jié)構(gòu)相互作用，表現(xiàn)為靜電能與結(jié)構(gòu)機(jī)械能的能量轉(zhuǎn)換。靜電力是一個(gè)有勢(shì)力，是靜電能量的梯度，即

(7-15)

其中，靜電能為

(7-16)

式中： C——極板間形成的電容；

U——極板間的電壓。

將式(7-16)代入式(7-15)得到靜電力：

(7-17)

3)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

定義拉格朗日算子

(7-18)

根據(jù)系統(tǒng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程

(7-19)

得

(7-20)

式中： m——結(jié)構(gòu)的一致質(zhì)量矩陣；

k——結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；

ω——節(jié)點(diǎn)位移矢量。

由于靜電力對(duì)于結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)只是外力，將Fe代替F，并將式(7-17)代入式(7-20)得

(7-21)

在結(jié)構(gòu)的實(shí)際振動(dòng)中存在能量損耗引入阻尼矩陣C，于是系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程改為

(7-22)

可得

(7-23)

式中： A——極板的面積；

d0——兩極板間的初始間距；

ξ0——真空介電常數(shù)。

2.Krylov子空間法

Krylov子空間法最早被廣泛應(yīng)用于求解大規(guī)模矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題，近年來(lái)也被用作一種重要的大規(guī)模動(dòng)態(tài)系統(tǒng)近似方法。它是通過(guò)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的各階矩匹配原理來(lái)實(shí)現(xiàn)縮聚自由度的目的。

設(shè)離散后的有限元求解方程Ω用狀態(tài)空間表示為

(7-24)

式中：x——有限元求解方程的節(jié)點(diǎn)未知量，x∈Rn；

u、y——輸入載荷向量和輸出節(jié)點(diǎn)向量，u∈Rm，y∈Rp；

A——系統(tǒng)矩陣，一般為稀疏對(duì)稱陣，A∈Rn×n

；

B、C——輸入載荷矩陣和輸出矩陣，B∈Rn×m

，C∈Rp×n

。

對(duì)其進(jìn)行拉氏變換可得其系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

(7-25)

將傳遞函數(shù)做Taylor展開(kāi)得到

(7-26)

式(7-26)中，關(guān)于s的第k階系數(shù)mkCA/－k(A－1B)稱為傳遞函數(shù)的第k階矩陣。

對(duì)原系統(tǒng)矩陣進(jìn)行子空間映射是要找到一個(gè)變換矩陣V，使得x＝V·z，V∈Rr×n

，z∈Rr，且z<<n。將其代入原狀態(tài)方程，整理成狀態(tài)空間形式得

(7-27)

在新的系統(tǒng)方程式(7-27)中，狀態(tài)方程的數(shù)目r遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原系統(tǒng)的方程數(shù)目n，從而實(shí)現(xiàn)了縮聚系統(tǒng)自由度的目的。同時(shí)還需要保證在縮聚前后，系統(tǒng)時(shí)域內(nèi)的輸出和頻域內(nèi)的傳遞函數(shù)誤差最小，即滿足：

(7-28)

,

1)Krylov子空間法的基本原理

設(shè)待降階系統(tǒng)是以常微分方程和代數(shù)方程表達(dá)的，記為∑，即

(7-29)

簡(jiǎn)記為

(7-30)

式中： u——系統(tǒng)的輸入或激勵(lì)函數(shù)；

x——狀態(tài)變量；

f——系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的描述函數(shù)；

y——系統(tǒng)輸出或觀測(cè)值；

h——系統(tǒng)狀態(tài)及輸入的函數(shù)；

n——系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)或階數(shù)；

p——輸出通道數(shù)；

m——輸入通道數(shù)。系統(tǒng)級(jí)建模或降階建模就是用某一簡(jiǎn)化的k階

系統(tǒng)來(lái)代替原全階(n)系統(tǒng)∑，即

(7-31)

式中：k<<n。對(duì)于新系統(tǒng)，要求：①較小的全局誤差；②保持全階系統(tǒng)的穩(wěn)定性；③較高的計(jì)算效率；④建模過(guò)程自動(dòng)化。對(duì)于線性系統(tǒng)，式(7-29)將轉(zhuǎn)化為

(7-32)

簡(jiǎn)記為

(7-33)

式中： A——系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；

B——系統(tǒng)輸入矩陣；

C——輸出矩陣；

D——傳輸矩陣。

降階模型為

(7-34)

同樣要求k>>n及上述4個(gè)條件。

Krylov子空間法基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的各階矩匹配的原理，可以對(duì)很高階系統(tǒng)降階。

由C.Lanczos等人于1951年提出的Lanczos方法和由W.E.Arnoldi等人提出的Arnoldi方法被廣泛地應(yīng)用于線性系統(tǒng)特征值的迭代計(jì)算，近年又被用于大系統(tǒng)的模型降階。線性系統(tǒng)式(7-32)的傳遞函數(shù)為

(7-35)

在復(fù)數(shù)域中任意點(diǎn)S0的Taylor展開(kāi)為

(7-36)

式中：ηj(j≥0)——系統(tǒng)在S0點(diǎn)的第j階矩陣；

I——單位矩陣。

矩匹配降階建模就是尋找低階模型∑*，其傳遞函數(shù)為

(7-37)

使兩系統(tǒng)的0~k各階矩相等，即 ，j＝0，1，2，…，k。特別地，當(dāng)S＝∞時(shí)，各階矩即為系統(tǒng)的Markov參數(shù)，問(wèn)題可以通過(guò)Lanczos和Amoldi方法解決；當(dāng)S0＝0時(shí)，對(duì)應(yīng)于Pade方法；如果S0為任意其他點(diǎn)，問(wèn)題變?yōu)橛欣聿逯祮?wèn)題，可利用有理Krylov方法加以解決。

2)一階Krylov子空間法

Krylov子空間的定義如下：

(7-38)

即Krylov子空間是由n階矩陣A和n階向量b組成的。用式(7-38)中的系統(tǒng)矩陣和輸入載荷向量可以建立系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Krylov子空間，利用Arnoldi算法將其單位正交化后，用得到的單位正交基向量作為列向量來(lái)構(gòu)成投影矩陣V，就可以實(shí)現(xiàn)原系統(tǒng)矩陣在Krylov子空間上的映射。數(shù)學(xué)上可以證明，用Krylov子空間法得到的降階系統(tǒng)與原系統(tǒng)在頻域內(nèi)傳遞函數(shù)滿足前m階矩匹配，即保證了在頻域內(nèi)得到的(s)和G(s)盡量接近。利用Krylov子空間法對(duì)MEMS器件建立宏模型得到了快速的發(fā)展與廣泛的應(yīng)用。

3)二階Krylov子空間法

系統(tǒng)自身的慣性對(duì)于大多數(shù)MEMS器件的動(dòng)態(tài)行為都具有重要的影響，因此許多系統(tǒng)方程是用關(guān)于時(shí)間的二階常微分方程組來(lái)描述的：

Mx＋Dx＋Kx＝bu

y＝cTx

(7-39)

式中：M、D、K∈Rn×n

；

b、c∈Rn；

u、y∈R；

M的下標(biāo)x∈R；

第二個(gè)等式中的x∈Rn。傳統(tǒng)的Krylov子空間投影法僅應(yīng)用于一階系統(tǒng)，因此無(wú)法直接對(duì)式(7-39)這樣的系統(tǒng)建立降階宏模型。通常，對(duì)式(7-39)降階的解決辦法是把二階系統(tǒng)變換為一狀態(tài)空間的表達(dá)形式后處理，但這樣會(huì)破壞原系統(tǒng)的物理模型結(jié)構(gòu)，物理解釋困難，并且轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)的方程數(shù)目會(huì)增加一倍，降低計(jì)算效率。二階Krylov子空間定義如下：

Ψr(A1，A2，b1)＝span{k0，k1，…，kr－1

}

k0＝b1，k1＝A1b1

ki＝A1ki－1

＋A2ki－2

(7-40)

對(duì)于式(7-39)所示的二階系統(tǒng)，建立其對(duì)應(yīng)的輸入二階Krylov子空間：

Ψr(－K－1D，－K－1M，－K－1b)

(7-41)

令x＝Vx，V∈Rr×n

，取V為輸入二階Krylov子空間的單位正交基組成的矩陣，將W作為轉(zhuǎn)換矩陣，代入式(7-39)兩邊，將式(7-39)投影變換后可得

(7-42)

取W＝V，則式(7-42)在頻域內(nèi)傳遞函數(shù)的各階矩mi為

(7-43)

通過(guò)對(duì)比可知式(7-43)與原系統(tǒng)式(7-39)的前r階矩是相同的，即用此二階Krylov子空間作為投影空間可以滿足對(duì)二階系統(tǒng)方程的降階處理。7.2.3鍵合圖理論建立宏模型

鍵合圖法是一種基于功率流圖形化表達(dá)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真方法，它提供了一種統(tǒng)一處理多種能量范疇工程動(dòng)力學(xué)特性問(wèn)題的途徑。

在MEMS動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真中，存在大量的多種能量域相互作用以及模型非線性問(wèn)題，這一直是困擾設(shè)計(jì)人員的一大難題。目前，進(jìn)行MEMS系統(tǒng)級(jí)仿真的主要方法有等效電路法和混合信號(hào)硬件描述語(yǔ)言法(VHDL-ASM)等。等效電路法將系統(tǒng)中元件的各種動(dòng)態(tài)參數(shù)與電路中的電流、電壓等信號(hào)相對(duì)應(yīng)。采用這種方法易于分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，但所得到的分析模型完全不能反映MEMS系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，且整個(gè)建模過(guò)程不直觀，此外，對(duì)于復(fù)雜的MEMS系統(tǒng)很難建立其等效電路。混合硬件描述語(yǔ)言法(VHDL-ASM)由硬件描述語(yǔ)言(VHDL)發(fā)展而來(lái)。它的優(yōu)點(diǎn)在于其模型可復(fù)用技術(shù)使得HDL庫(kù)可以在建模與仿真過(guò)程中直接調(diào)用，同時(shí)VHDL的廣泛使用也使得這一方法成為當(dāng)前MEMS系統(tǒng)級(jí)仿真中常用的一種方法。

鍵合圖法則基于能量變量統(tǒng)一表達(dá)的思想，并借助能量守恒原理統(tǒng)一描述各種能量域中能量變量之間的關(guān)系。與其他方法相比，鍵合圖法更適合用于建立MEMS多能量域動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真模型。

圖7.9狀態(tài)四邊形

1.鍵合圖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性仿真方法

鍵合圖采用四種物理量，即勢(shì)(e)、流(f)、動(dòng)量(p)、變位(q)來(lái)統(tǒng)一表達(dá)工程問(wèn)題中各種能量域的動(dòng)態(tài)變量。這四種變量之間的關(guān)系可用圖7.9所示的狀態(tài)四邊形表達(dá)。

這四種動(dòng)態(tài)變量高度概括了各種能量域內(nèi)普遍存在的物理量，在具體的能量域內(nèi)(如機(jī)械能、液壓能、電能等)必然存在相應(yīng)的物理量與這四種動(dòng)態(tài)變量相對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表7.2所示。表7.2鍵合圖變量與各種能量域中物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系鍵合圖模型由功率鍵、激活鍵和基本元件集{0-節(jié)點(diǎn)、1-節(jié)點(diǎn)、轉(zhuǎn)換器TF、換能器GY、源元件(Se、Sr)、阻性元件R、容性元件C、感性元件I、受控元件(MGY等)、非線性元件(NR、NC、NI)等}組成。

鍵合圖的每個(gè)功率鍵上都具有勢(shì)和流兩種變量。對(duì)應(yīng)不同的工程問(wèn)題，這些變量(或符號(hào))具有不同的物理意義。如在電路系統(tǒng)中，Se代表電壓源，Sr代表電流源；而在力學(xué)系統(tǒng)中，力源用Se表示，速度源用Sr表示。統(tǒng)一各種能量變量的符號(hào)表達(dá)將有利于諸如MEMS系統(tǒng)這一類(lèi)的多能量域工程體系的統(tǒng)一建模。圖7.10給出了幾個(gè)不同能量域中的物理元件與物理系統(tǒng)以及其對(duì)應(yīng)的鍵合圖模型。

圖7.10物理模型及其對(duì)應(yīng)的鍵合圖模型

圖7.11鍵合圖模型進(jìn)行處理的兩種主要方式

2.基于鍵合圖的MEMS仿真平臺(tái)的軟件實(shí)現(xiàn)

鍵合圖模型一般不能直接用來(lái)進(jìn)行仿真計(jì)算，這些模型必須要經(jīng)過(guò)一定的處理(如增廣因果定向與自動(dòng)標(biāo)號(hào))，并將其轉(zhuǎn)化為模擬框圖模型或者系統(tǒng)狀態(tài)方程然后才能進(jìn)行求解。目前通用的鍵合圖仿真軟件在國(guó)外比較成功的有：荷蘭Twente大學(xué)的20-sim與MIT的CAMP-G，它們進(jìn)行鍵合圖仿真的方法分別代表了對(duì)鍵合圖模型進(jìn)行處理的兩種主要方式，如圖7.11所示。

為使整個(gè)建模過(guò)程更加直觀，基于鍵合圖的MEMS仿真平臺(tái)采用第二種方法，即將鍵合圖模型轉(zhuǎn)化為模擬框圖模型進(jìn)行后續(xù)處理與仿真優(yōu)化計(jì)算。

1)因果定向算法

在科研人員開(kāi)發(fā)的鍵合圖仿真軟件包xj_Bond中，因果定向的目的是確定鍵合圖模型所有元件的輸入、輸出因果關(guān)系，以便于在后續(xù)自動(dòng)標(biāo)號(hào)后能夠正確確定模擬框圖元件的輸入、輸出關(guān)系。所有元件可能存在的因果關(guān)系如表7.3所示。在計(jì)算機(jī)自動(dòng)進(jìn)行因果定向時(shí)將遵循以下原則：

(1)選擇任一源元件進(jìn)行因果定向，并利用元件的因果約束關(guān)系不斷將因果關(guān)系在模型中盡可能延伸。所有源元件照此處理。表7.3鍵合圖文件的因果關(guān)系及其模擬框圖之間的關(guān)系續(xù)表

(2)選擇任一未定向貯能元件，指定其積分因果關(guān)系，并利用元件的約束關(guān)系不斷將因果關(guān)系在模型中盡可能延伸。所有未定向貯能元件照此處理。

(3)選擇任一未定向R元件，任意指定其因果關(guān)系，同時(shí)利用元件的約束關(guān)系不斷將因果關(guān)系在模型中盡可能延伸。所有未定向R元件照此處理。

(4)選擇任一未定向能量鍵，任意指定其因果關(guān)系，同時(shí)利用元件的約束關(guān)系不斷將因果關(guān)系在模型中盡可能延伸。所有未定向能量鍵照此辦理。

在定向過(guò)程中如出現(xiàn)因果定向矛盾，則表明該鍵合圖模型沒(méi)有恰當(dāng)?shù)奈锢斫忉專(zhuān)枰獙?duì)該鍵合圖仿真模型進(jìn)行修改。

2)基于自動(dòng)標(biāo)號(hào)的模擬框圖生成算法

自動(dòng)標(biāo)號(hào)算法是為鍵合圖模型轉(zhuǎn)化為模擬框圖模型服務(wù)的，其目的在于對(duì)模型的變量進(jìn)行歸并，以簡(jiǎn)化計(jì)算模型，并為鍵合圖轉(zhuǎn)化而成的模擬框圖模型的所有元件提供統(tǒng)一編號(hào)。

編號(hào)遵循的原則是：隸屬于0－j下的所有元件的勢(shì)編號(hào)相等，隸屬于1－j下的所有元件的流編號(hào)相等。編號(hào)后的模型可以根據(jù)編號(hào)直接生成模擬框圖模型，如表7.3所示。

3)模擬框圖運(yùn)算與FFT算法

對(duì)模擬框圖進(jìn)行仿真的算法已經(jīng)十分成熟，xj_Bond采用Java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了模擬框圖仿真運(yùn)算，并提供包括Milne-Simpson、RK4、R-K-Fehlberg等在內(nèi)的多種積分算法以備選擇。

經(jīng)時(shí)域仿真后的時(shí)域信號(hào)還可以通過(guò)xj_Bond的頻域分析算法進(jìn)行FFT分析。同時(shí)，xj_Bond還提供了復(fù)合型法，按用戶提供的優(yōu)化目標(biāo)與參數(shù)變化的約束條件進(jìn)行時(shí)域、頻域內(nèi)的仿真參數(shù)優(yōu)化。整個(gè)優(yōu)化過(guò)程自動(dòng)迭代進(jìn)行。

4)基于模擬框圖的鍵合圖外控源的施加

純鍵合圖模型的基本元件功能單一。在解決系統(tǒng)外加載荷與干擾信號(hào)、表達(dá)一些測(cè)量?jī)x表類(lèi)器件時(shí)，純鍵合圖模型并不能很好地滿足要求，這時(shí)，需要對(duì)系統(tǒng)加入各種靈活的模擬框圖元件以滿足諸如此類(lèi)系統(tǒng)仿真的特殊要求。

CAMP-G軟件平臺(tái)的基本仿真算法與模擬框圖仿真聯(lián)系十分緊密，因此對(duì)于框圖/鍵合圖混合仿真具有很大的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于外加載荷與干擾信號(hào)，xj_Bond通過(guò)可控元件KSe、KSf、MTF、MGY對(duì)系統(tǒng)施加作用。由于0－j上所有鍵的勢(shì)信號(hào)相等，1－j上所有鍵的流信號(hào)相等，因此可利用這兩個(gè)元件模擬能量輸入、輸出可忽略不計(jì)的儀表類(lèi)器件，如圖7.12所示。

圖7.12由鍵合圖信號(hào)輸出框圖信號(hào)

3.基于鍵合圖的MEMS仿真平臺(tái)框架

1)基于B/S結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)框架

MEMS系統(tǒng)的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，考慮到仿真系統(tǒng)應(yīng)具有很好的可移植性，同時(shí)本仿真平臺(tái)需要與整個(gè)基于Java的微器件e-CAD工具系統(tǒng)相配套，因此本鍵合圖仿真平臺(tái)采用與硬件平臺(tái)無(wú)關(guān)的Java語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。系統(tǒng)采用網(wǎng)絡(luò)化的B/S結(jié)構(gòu)，客戶端采用Java2D技術(shù)，利用Applet實(shí)現(xiàn)鍵合圖交互建模模塊與查看動(dòng)態(tài)仿真結(jié)果模塊，客戶端只需安裝瀏覽器即可進(jìn)行所有操作；服務(wù)器端采用Servlet技術(shù)利用服務(wù)器端計(jì)算能力實(shí)現(xiàn)仿真優(yōu)化計(jì)算模塊。整個(gè)仿真平臺(tái)的實(shí)現(xiàn)框架如圖7.13所示。

圖7.13仿真平臺(tái)的實(shí)現(xiàn)框架在建模過(guò)程中，可根據(jù)需要調(diào)用MEMS常用元件模型庫(kù)中定制好的鍵合圖摸型，以輔助建立系統(tǒng)級(jí)仿真模型；也可以從服務(wù)器上下載類(lèi)似系統(tǒng)的仿真模板，并對(duì)模板進(jìn)行一定的修改后插入到需要設(shè)計(jì)的模型中，從而進(jìn)一步方便設(shè)計(jì)人員進(jìn)行仿真建模。

在建模過(guò)程中與建模完成后，為保證模型的正確性且確保后臺(tái)仿真過(guò)程的順利進(jìn)行，客戶端與服務(wù)器端都提供了鍵合圖預(yù)處理模塊(主要包括鍵合圖增廣定向與自動(dòng)標(biāo)號(hào))與模型檢查模塊，經(jīng)過(guò)預(yù)處理和檢查的鍵合圖仿真模型將進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為模擬框圖模型，通過(guò)服務(wù)器端的Servlet程序進(jìn)行仿真計(jì)算。仿真計(jì)算完成后的結(jié)果與仿真模型通過(guò)JDBC保存至后臺(tái)數(shù)據(jù)庫(kù)，并自動(dòng)生成模型實(shí)例模板以便于統(tǒng)一管理和支持仿真模型再設(shè)計(jì)。

整個(gè)仿真平臺(tái)基于Java方案，不但有利于充分發(fā)揮服務(wù)器端的計(jì)算功能，而且也可以利用網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)存儲(chǔ)所有的模型與仿真數(shù)據(jù)，從而保證數(shù)據(jù)的一致性。同時(shí)，若需要采用特殊的仿真算法，只需修改服務(wù)器端的仿真算法庫(kù)即可，客戶端不需做任何改動(dòng)。

2)模型可復(fù)用技術(shù)與模型再設(shè)計(jì)

復(fù)雜的MEMS系統(tǒng)通常都是由多個(gè)子系統(tǒng)以及各種單獨(dú)的MEMS基本單元組合而成的，因此xj_Bond在兩個(gè)層面上支持模型可復(fù)用技術(shù)與模型再設(shè)計(jì)功能。

在第一個(gè)層面上，按照功能將MEMS單元?jiǎng)澐譃閺V義彈性器件、廣義阻尼、廣義慣性器件、換能器以及能量源等。這些基本的元件在鍵合圖內(nèi)分別由相應(yīng)的鍵合圖元件與之相對(duì)應(yīng)。在功能劃分的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步針對(duì)功能元件的不同實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)與要求對(duì)廣義元件進(jìn)行組合分類(lèi)成諸如平板質(zhì)量塊(PlateMass)、靜電間隙和叉指(GapandComb-fingers)、梁(Beam)、固定基礎(chǔ)(Anchor)以及聯(lián)結(jié)點(diǎn)(Joint)等基本元件。將這些MEMS基本單元統(tǒng)一用鍵合圖基于結(jié)點(diǎn)法集中參數(shù)表達(dá)便形成了基本MEMS系統(tǒng)建模元件庫(kù)。

圖7.14以MEMS基本單元梁為例說(shuō)明MEMS基本單元庫(kù)的構(gòu)建?？紤]到該元件的通用性，梁模型采用鍵合圖場(chǎng)理論表達(dá)。

圖7.14MEMS基本單元庫(kù)的構(gòu)建在第二個(gè)層面上，xj_Bond利用網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫(kù)為每一個(gè)仿真模型建立統(tǒng)一表達(dá)的仿真模板以支持MEMS模型再設(shè)計(jì)。每次仿真結(jié)束后，系統(tǒng)自動(dòng)生成仿真模型的仿真模板供再設(shè)計(jì)時(shí)使用。用戶可以在權(quán)限管理機(jī)制控制下方便地從服務(wù)器上下載以前設(shè)計(jì)的模型——存儲(chǔ)于服務(wù)器端的MEMS仿真模板，在對(duì)模板進(jìn)行一定的變異后便可產(chǎn)生新的仿真模型。7.2.4其他建模方法

1.基于Galerkin方法構(gòu)建MEMS器件宏模型

微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)是利用微制造技術(shù)，將機(jī)械裝置和組件微小化，與電子控制電路部分整合連接并制作在一個(gè)芯片上。MEMS的研究已進(jìn)入到研制開(kāi)發(fā)和實(shí)用階段，其中不乏創(chuàng)新觀點(diǎn)和新奇裝置出現(xiàn)。但是，MEMS未來(lái)發(fā)展的關(guān)鍵在于是否有穩(wěn)定數(shù)量且不斷壯大的新型產(chǎn)品成功地轉(zhuǎn)化為商品。這在很大程度上取決于如何有效地將計(jì)算機(jī)引入到MEMS設(shè)計(jì)制造的全過(guò)程。電子集成電路(IC)工業(yè)的成功，很大程度上得益于其系統(tǒng)仿真器輸出與真實(shí)電路輸出幾乎是完全一樣的。這促使MEMS設(shè)計(jì)者去尋找與其類(lèi)似的方法。

然而，MEMS仿真問(wèn)題非常復(fù)雜。從反映器件三維動(dòng)態(tài)的控制偏微分方程組(PDEs)中并不能直接導(dǎo)出常微分方程組(ODEs)，需要利用有限元法(FEM)或有限差分法(FDM)等。MEMS器件的多物理場(chǎng)耦合特性，使得分析計(jì)算很困難，且計(jì)算量極大，無(wú)法直接插入到現(xiàn)有的系統(tǒng)級(jí)仿真器(如SPICE、Saber或Simulink等)中進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)分析。因而，構(gòu)建滿足一定精度的器件宏模型或者自由度縮減模型(ROM)得到廣泛關(guān)注。研究的重點(diǎn)在于如何建立適合于多域耦合MEMS器件的高精度非線性宏模型。

1)Galerkin方法

通常，描述器件動(dòng)力學(xué)特性的偏微分方程組(PDEs)有：

(7-44)

式中：?！蔷€性偏微分算子；

xi(i＝1，2，3)——空間坐標(biāo)；

w(xi，t)——待求未知量；

f(xi，t)——外載荷矢量。

運(yùn)用FEM或FDM求解，得到的常微分方程個(gè)數(shù)通常在104～106以上，計(jì)算量大。因此，希望在足夠精度要求條件下，找到一個(gè)低自由度數(shù)的模型，這樣既能降低式(7-44)所表達(dá)模型的復(fù)雜性，又能表征器件的動(dòng)態(tài)特性。

考慮將未知量展開(kāi)成如下近似表達(dá)式：

(7-45)

式中：Φ——某種正交基函數(shù)矢量，Φj(xi)(i，j＝1，2，…，n)為列向量組成的矩陣；

a(t)——與時(shí)間有關(guān)的系數(shù)(廣義坐標(biāo))向量。確定系數(shù)a(t)需利用Galerkin方法。為了保證式(7-45)能盡可能地接近式(7-44)的解，要求原模型的解與近似解之間的殘差：

(7-46)必須盡可能接近于0。由于Φ(xi)構(gòu)成了一個(gè)完整的空間正交向量基集合，可以迫使殘差r(xi,t)正交于每一個(gè)基向量。實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以使殘差正交于式(7-44)中的前N個(gè)基函數(shù)。N為截?cái)囗?xiàng)數(shù)，通常可以取幾個(gè)Nvn，即

(7-47)利用基函數(shù)Φj(xi)的正交特性，得到N個(gè)關(guān)于系數(shù)aj(t)的PDEs。其初始條件也可以通過(guò)迫使原初始條件的殘差正交于N個(gè)基函數(shù)確定，所獲得的PDEs就是原系統(tǒng)式的縮減自由度模型。這樣，原無(wú)限維系統(tǒng)式(7-44)可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的N維系統(tǒng)近似表達(dá)，求解式(7-47)便可以確定系數(shù)a(t)，由此求得未知量近似表達(dá)式(式(7-45))。因此，建立器件宏模型時(shí)，首先要考慮基函數(shù)集合的構(gòu)造問(wèn)題；其次要確定描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的廣義坐標(biāo)數(shù)目(即N值)；最后是如何正確有效地表達(dá)系統(tǒng)非線性特性。式(7-45)中基函數(shù)集可以選擇滿足所有邊界條件并足夠可微的任意函數(shù)，比較常用的有Fourier級(jí)數(shù)、Legendre多項(xiàng)式或Chebyshev多項(xiàng)式等。但是，為了增加計(jì)算收斂性，基函數(shù)必須與器件動(dòng)力學(xué)特性有關(guān)。目前，常用的作為基函數(shù)的模態(tài)有結(jié)構(gòu)單元的無(wú)阻尼線性模態(tài)和本征正交模態(tài)(POM)。

2)線性模態(tài)作為基函數(shù)

為了利用FEM軟件包可快速求解器件中結(jié)構(gòu)單元線性模態(tài)的優(yōu)勢(shì)，可以將正交化的結(jié)構(gòu)單元線性振型向量作為式(7-45)中的基函數(shù)集合，并代入式(7-43)中，利用線性模態(tài)的正交性得到如下的PDEs：

(7-48)

式中：M——質(zhì)量矩陣；

C——阻尼矩陣；

K——?jiǎng)偠染仃嚒＿@樣，式(7-44)所表示的求解器件動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為用式(7-48)求解模態(tài)振幅aj(t)的問(wèn)題。該方法的優(yōu)點(diǎn)是，通常式(7-48)的左邊矩陣都是對(duì)角矩陣并與時(shí)間無(wú)關(guān)，a(t)只通過(guò)非線性項(xiàng)B耦合，這可以通過(guò)對(duì)非線性算子近似得到解決。實(shí)際上對(duì)于特定結(jié)構(gòu)，只有某些模態(tài)是受激發(fā)的。因此有可能對(duì)式(7-48)進(jìn)行模態(tài)截?cái)?，僅僅取幾個(gè)模態(tài)，而不會(huì)大幅降低計(jì)算精度，使得模型自由度得到大幅縮減。另外，線性模態(tài)還具有與器件結(jié)構(gòu)單元物理特性(如結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù))聯(lián)系敏感的優(yōu)勢(shì)。可以將這個(gè)方法推廣運(yùn)用到大運(yùn)動(dòng)以及受到非線性力作用的微結(jié)構(gòu)。

Anathasuresh等人利用上述方法提取由固定微梁構(gòu)成的微開(kāi)關(guān)宏模型。他們發(fā)現(xiàn)用ROM得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有偏差。ROM低估了Pull-in時(shí)間(即開(kāi)關(guān)時(shí)間)，主要是忽略了幾何非線性引起的中間平面拉伸效應(yīng)以及殘余應(yīng)力的影響。

Gabbay等人使用機(jī)械元件的諧振振型作為基函數(shù)，將機(jī)電耦合域的問(wèn)題分別表達(dá)成各個(gè)能量域中合適的解析模型。為了用Lagrange方程導(dǎo)出廣義坐標(biāo)a(t)表達(dá)的器件動(dòng)力學(xué)方程，必須將系統(tǒng)的動(dòng)能、線性應(yīng)變能、非線性靜電力和非線性應(yīng)變能轉(zhuǎn)換成用廣義坐標(biāo)表達(dá)的形式。他們使用準(zhǔn)靜態(tài)三維數(shù)值模擬，得到了電容結(jié)果數(shù)據(jù)和應(yīng)變能結(jié)果數(shù)據(jù)；應(yīng)用多變量泰勒多項(xiàng)式的有理分式進(jìn)行擬合，得到了在廣義坐標(biāo)下的解析表達(dá)式，且由于使用了解析模型，計(jì)算費(fèi)用大大降低。但是，這種方法過(guò)高估計(jì)了結(jié)構(gòu)剛度。當(dāng)器件處于非線性大變形時(shí)，利用線性模態(tài)簡(jiǎn)單的疊加難以準(zhǔn)確地捕捉器件非線性動(dòng)態(tài)特性。

Mehner等人修正了Gabbay的方法，將梁彎曲時(shí)的固定約束修正為拉伸或收縮約束，考慮了由大位移和中間平面拉伸引起的幾何非線性影響，避免了對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的過(guò)高估計(jì)。用改良方法提取的結(jié)構(gòu)元件振型接近于Gabbay的線性振型，但是形式不同。

Younis等人利用幾個(gè)線性無(wú)阻尼振型作為基函數(shù)，用Galekin方法得到了兩端固定靜電致動(dòng)微梁系統(tǒng)的ROM，并得到了由偏微分方程組成的有限自由度系統(tǒng)。該模型考慮了適度大變形、動(dòng)態(tài)交流電載荷、線性和非線性彈性回復(fù)力以及非線性靜電力等因素。他們運(yùn)用多尺度法求解，通過(guò)與其他文獻(xiàn)報(bào)道的實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及有限元結(jié)果比較來(lái)驗(yàn)證ROM的正確性。器件ROM在直至發(fā)生Pull-in的整個(gè)工作范圍內(nèi)都很穩(wěn)定。由于ROM中的設(shè)計(jì)變量參數(shù)是以無(wú)量綱集總參數(shù)形式表達(dá)的，易于利用ROM考察各種設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)器件動(dòng)力學(xué)性能的影響，而且計(jì)算費(fèi)用低廉。Zhao和Vogl等人用類(lèi)似的方法建立了靜電致動(dòng)矩形板和圓形板的ROM，研究了板在靜電作用下的靜態(tài)特性及其固有頻率的變化，并將結(jié)果與公開(kāi)發(fā)表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了模型的正確性。

如果器件包含了耗散特性，如考慮流體(空氣)阻尼，問(wèn)題就更復(fù)雜了。器件中彈性體的運(yùn)動(dòng)對(duì)流體而言是移動(dòng)邊界條件，而流體反過(guò)來(lái)對(duì)彈性體有反作用力。從準(zhǔn)靜態(tài)條件下得到的流體特性無(wú)法使用。但是，若流體處于典型的低雷諾數(shù)Stokes流區(qū)域，則流體就沒(méi)有表現(xiàn)出任何自身的“主要結(jié)構(gòu)”，它可以與彈性體模態(tài)結(jié)合一起構(gòu)造基函數(shù)。在這種情況下，可以將式(7-48)中的阻尼矩陣C處理成等式右邊的一個(gè)附加項(xiàng)，也可以重新建立一個(gè)包含阻尼力發(fā)生空間的基函數(shù)集合，進(jìn)行模型縮減(參見(jiàn)文中POD模態(tài)方法)。

Bennini等人采用與Gabbay相似的方法，將應(yīng)變能和靜電能表達(dá)成用廣義坐標(biāo)aj(t)表達(dá)的擬合正則多項(xiàng)式，并引入模態(tài)阻尼系數(shù)(常數(shù))來(lái)考慮空氣阻尼的作用。由此提取靜電致動(dòng)微鏡的ROM，并用Simulink對(duì)微鏡及其控制電路單元進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)模擬。Mehner等人將這一方法擴(kuò)展到由Reynold方程描述的擠壓膜阻尼情況。首先建立結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)速度v和流體壓力p(v)之間的關(guān)系式，并用毛細(xì)流動(dòng)理論考慮流體通過(guò)多孔結(jié)構(gòu)時(shí)的阻尼。由于Reynold擠壓膜方程是線性的，因而，對(duì)阻尼效應(yīng)進(jìn)行模態(tài)分解是可行的。先利用一系列諧響應(yīng)分析來(lái)捕捉流固耦合作用時(shí)器件的動(dòng)態(tài)特性，重復(fù)利用擠壓膜的分析數(shù)值結(jié)果，并采集器件處于各工作位置時(shí)的阻尼信息，以考慮大位移運(yùn)動(dòng)情況。然后用最小二次擬合得到多變量多項(xiàng)式的阻尼表達(dá)式。它能刻畫(huà)結(jié)構(gòu)速度v和流體壓力p(v)之間的真實(shí)關(guān)系，通過(guò)每個(gè)模態(tài)的力平衡方程，得到模態(tài)坐標(biāo)形式的等效阻尼和剛度矩陣表達(dá)式。

Nayfeh等人用可壓縮Rynolds方程與板變形的控制方程耦合來(lái)描述器件的動(dòng)力學(xué)特性，提出了擠壓膜阻尼影響下?lián)闲晕⒔Y(jié)構(gòu)ROM的建模新方法。建模中考慮了空氣阻尼、靜電力、板的回復(fù)力以及施加的面內(nèi)載荷的影響，還考慮了在極低壓力下的流體流動(dòng)的滑移邊界條件。使用攝動(dòng)方法，導(dǎo)出以結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)表達(dá)的壓力分布解析式。將壓力分布解析式反過(guò)來(lái)代入到板的運(yùn)動(dòng)方程中，利用有限元即可求解出結(jié)構(gòu)模態(tài)振型、壓力分布、固有頻率和品質(zhì)因子。因?yàn)閴毫Ψ植寂c板變形解析相關(guān)，因此結(jié)構(gòu)-流體耦合問(wèn)題的維數(shù)以及描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)所需的變量數(shù)被大大地縮減了。結(jié)果表明，用這種方法建立的ROM，計(jì)算出的品質(zhì)因子與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常吻合。上述將器件結(jié)構(gòu)單元無(wú)阻尼模態(tài)作為基函數(shù)集合建立器件宏模型的方法，對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)和慣性力占主導(dǎo)的多疇耦合問(wèn)題可以自動(dòng)施行且極具吸引力。但是，如果耦合力(流體阻尼或靜電力)與慣性力的影響一樣強(qiáng)或耦合力更大，實(shí)際結(jié)構(gòu)單元的變形形狀與任何模態(tài)振型都大相徑庭。因而，為了達(dá)到精度要求，需要的模態(tài)特征函數(shù)項(xiàng)數(shù)較多，導(dǎo)出的宏模型計(jì)算效率將很低。另外，對(duì)于具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)形式的MEMS器件，還存在結(jié)構(gòu)單元的模態(tài)特征函數(shù)無(wú)法預(yù)先獲得等問(wèn)題。對(duì)于某些具有內(nèi)共振特性的非線性MEMS器件，高階模態(tài)與低階模態(tài)之間還存在能量耦合等相互作用，采用模態(tài)截?cái)嗟姆椒▽?dǎo)致這部分信息丟失，宏模型也就無(wú)法正確刻畫(huà)原系統(tǒng)的非線性特性。

3)本征正交模態(tài)作為基函數(shù)

與本征正交分解(ProperOrthogonalDecomposition，POD)相似的方法有：Karhunen-Lo‘eve分解(KLD)、主成分分析(PCA)、奇異系統(tǒng)分析或奇異值分解(SVD)等。POD方法是從一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或者數(shù)值模擬結(jié)果中，產(chǎn)生描述狀態(tài)變量在某個(gè)訓(xùn)練信號(hào)下隨時(shí)間變化的時(shí)間序列(“快照”)，從中改造正規(guī)本征模態(tài)(POMs)及其相應(yīng)本征值(POVs)。POVs提供了每個(gè)POM“能量”大小的一種度量，由此可以確定建模所需要的POM個(gè)數(shù)N。POD方法的優(yōu)點(diǎn)在于，它是以一種線性意義上的最優(yōu)化方式，對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行近似的。這種方法已成功地應(yīng)用于諸多工程領(lǐng)域。

Hung等人用耦合的線性梁方程和非線性Reynolds方程來(lái)描述由兩端固定梁組成的容性微開(kāi)關(guān)，以考慮微梁的運(yùn)動(dòng)與下方空氣壓力之間的耦合效應(yīng)。他們用全網(wǎng)格有限差分法求解PDEs，并假設(shè)一個(gè)軸向載荷作用在微梁上，以修正計(jì)算的Pull-in電壓值使其與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。將數(shù)值模擬結(jié)果作為產(chǎn)生快照的時(shí)間序列，運(yùn)用SVD分別提取梁撓度和空氣壓力的POMs，由此構(gòu)造微開(kāi)關(guān)的ROM。

Chen等人使用KLD方法對(duì)同一個(gè)模型進(jìn)行研究，也是分別提取撓度和壓力的POMs來(lái)構(gòu)建ROM。他們還研究了ROM的均方根誤差隨維數(shù)N的變化，指出存在一個(gè)最佳截?cái)囗?xiàng)數(shù)N，但是沒(méi)有提出如何確定N的方法。無(wú)論是瞬態(tài)響應(yīng)還是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，上述兩個(gè)ROM模型即使在Pull-in發(fā)生大運(yùn)動(dòng)的情況下，也都能夠給出與原模型相吻合的結(jié)果。

由于ROM的精度與數(shù)據(jù)快照有關(guān)，因此如何獲得合適的快照是運(yùn)用POD和Galerkin方法縮減建模必須考慮的另一個(gè)重要事項(xiàng)。對(duì)于一些動(dòng)力學(xué)特性急劇變化的器件，由于一些很重要的特性可能發(fā)生在一個(gè)很短的時(shí)間間隔內(nèi)，使用等時(shí)空間隔采集“快照”可能無(wú)法捕捉這些快速變化的細(xì)節(jié)。Chen等人使用沿著系統(tǒng)向空間中等距弧長(zhǎng)(而不是等距時(shí)間)采樣的“快照”，分別構(gòu)造容性壓力傳感器的膜變形和空氣壓力兩個(gè)基函數(shù)集。他們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于同樣維數(shù)N的ROM，標(biāo)準(zhǔn)的KLD方法將原模型響應(yīng)的快速變化部分平滑掉了，而修正的KLD能夠再現(xiàn)這些變化。

Liang等人使用廣義Hebbian算法(GHA)對(duì)兩端固定微梁器件的有限差分結(jié)果進(jìn)行主成分分析(PCA)，認(rèn)為使用GHA神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的優(yōu)點(diǎn)在于無(wú)需預(yù)先計(jì)算輸入的相關(guān)矩陣。它不必像SVD和KLD方法那樣需要求解大規(guī)模矩陣特征值和計(jì)算相關(guān)矩陣的所有特征函數(shù)。他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于無(wú)噪聲數(shù)據(jù)，使用GHA方法和KLD方法獲得的基函數(shù)集合很相似。但是，當(dāng)數(shù)據(jù)中含有噪聲時(shí)，用KLD提取的基函數(shù)集合會(huì)出現(xiàn)畸變，而GHA能夠?qū)⒃肼曄⑻崛〕稣_的特征函數(shù)。

Lin等人研究了由3個(gè)梁組成的復(fù)雜器件ROM的建模，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用POD方法分別提取出每根梁的位移和對(duì)應(yīng)壓力基函數(shù)集，結(jié)合組件模態(tài)綜合法建立整個(gè)器件的ROM，其計(jì)算精度要優(yōu)于單純使用全局基函數(shù)集(即對(duì)整個(gè)3根梁結(jié)構(gòu))構(gòu)造ROM。目前的研究集中于微梁結(jié)構(gòu)(1D)，對(duì)于微板、膜等2D結(jié)構(gòu)的MEMS器件尚未涉及，其主要原因在于提取2D器件POD模態(tài)的計(jì)算復(fù)雜程度較高。此外，構(gòu)造多疇耦合器件宏模型時(shí)都是分別構(gòu)造各個(gè)物理場(chǎng)(比如機(jī)械元件變形和空氣壓力)基函數(shù)集的，這樣提取宏模型的計(jì)算雖然變得簡(jiǎn)單，但是無(wú)法表征多物理場(chǎng)(機(jī)械元件與周?chē)諝饬鲌?chǎng))之間的相互作用。

另外，使用POMs作為基函數(shù)集合來(lái)構(gòu)造器件的ROM，只能預(yù)測(cè)那些性質(zhì)上與原時(shí)間序列相似的運(yùn)動(dòng)。也就是說(shuō)，如果實(shí)驗(yàn)測(cè)量或者有限元/有限差分法的模擬結(jié)果無(wú)法刻畫(huà)器件全部的工作范圍，那么所構(gòu)造的ROM也無(wú)法預(yù)測(cè)這些特征。對(duì)于強(qiáng)非線性情況，如果仿真時(shí)施加的信號(hào)與原來(lái)用于產(chǎn)生數(shù)據(jù)快照的訓(xùn)練信號(hào)偏差較大，則ROM的精度會(huì)衰退，即宏模型只是對(duì)原系統(tǒng)的局部近似。因此，嚴(yán)格地說(shuō)，POD方法僅是一種較好的數(shù)據(jù)分析和整理的手段。

2.應(yīng)用集總參數(shù)的微機(jī)電系統(tǒng)等效電路建模方法研究

1)廣義Kirchhoffian網(wǎng)絡(luò)

對(duì)MEMS進(jìn)行建模仿真涉及到多個(gè)物理域耦合的問(wèn)題?？梢岳梦ㄏ蟛豢赡鏌崃W(xué)的相關(guān)概念，對(duì)MEMS進(jìn)行一般性的描述。其基本思想是將整個(gè)MEMS看成是一個(gè)復(fù)合的熱力學(xué)系統(tǒng)，各個(gè)不同物理域問(wèn)題可以看成是不同的熱力學(xué)子系統(tǒng)問(wèn)題，比如耦合物理域的轉(zhuǎn)換器單元、電子器件都可看成是熱力學(xué)子系統(tǒng)。每個(gè)子系統(tǒng)還可以看做是一個(gè)包含有共存的簡(jiǎn)單(擬均相的)熱力學(xué)系統(tǒng)的復(fù)合，每一個(gè)子系統(tǒng)都處于局部熱平衡狀態(tài)。對(duì)于一個(gè)轉(zhuǎn)換器單元或電子器件，所有的工作狀態(tài)都可以統(tǒng)一地用一個(gè)由與時(shí)間、空間有關(guān)的狀態(tài)變量構(gòu)成的矢量來(lái)表示。在上述系統(tǒng)分級(jí)分解的思想基礎(chǔ)上，針對(duì)MEMS的多物理場(chǎng)耦合特性和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，按照MEMS器件的物理場(chǎng)特性(或功能)，將其分解為多個(gè)功能性部件(即“塊”)，并用參數(shù)化的多端口組件表示。

各多端口組件的輸入/輸出端點(diǎn)又可分為守恒端點(diǎn)和非守恒端點(diǎn)兩種。守恒端點(diǎn)包含流量信號(hào)和勢(shì)量信號(hào)，非守恒端點(diǎn)只包含勢(shì)量信號(hào)。不同物理域的各個(gè)變量及其類(lèi)比對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表7.4。相鄰的子系統(tǒng)以通過(guò)共同界面節(jié)點(diǎn)的集總參數(shù)變量的方式相互聯(lián)系。因?yàn)椴煌芰亢托盘?hào)域的耦合要滿足基本的能量(或質(zhì)量、電荷及其他的廣延量)平衡方程，因而，端口上的每一對(duì)熱力學(xué)共軛參量——“流”和“勢(shì)”須滿足廣義Kirchhoffian的網(wǎng)絡(luò)定律(廣義的電壓定律)和節(jié)點(diǎn)定律(廣義的電流定律)。這與描述節(jié)點(diǎn)變量的常微分代數(shù)方程組等效，即可以用標(biāo)準(zhǔn)的模擬電網(wǎng)絡(luò)仿真器對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行求解。表7.4不同物理域的各個(gè)變量及其類(lèi)比對(duì)應(yīng)關(guān)系

用廣義Kirchhoffian網(wǎng)絡(luò)形式建立整個(gè)微系統(tǒng)模型，使得各個(gè)子系統(tǒng)組件模型能夠以一種普遍的、統(tǒng)一的方式表達(dá)。連接這些在同一描述水平上的子系統(tǒng)組件模型就可以構(gòu)建整個(gè)MEMS的模型，從而實(shí)現(xiàn)在單一場(chǎng)仿真器的環(huán)境中，實(shí)施多物理場(chǎng)耦合系統(tǒng)仿真的可能。利用已有的成熟電路仿真軟件，也可實(shí)現(xiàn)整個(gè)MEMS的仿真，從而更好地理解MEMS的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，便于分析相互連接的各個(gè)子系統(tǒng)組件的作用及其對(duì)整個(gè)系統(tǒng)性能的影響。

2)基于集總參數(shù)法的等效電路表達(dá)

集總參數(shù)是一種自由度縮減建模技術(shù)。其基本思想是將系統(tǒng)的物理特性，例如質(zhì)量、剛度、電容或電感等，加以凝聚或集總參數(shù)化成單個(gè)的物理元素，比如表達(dá)質(zhì)量的單元具有理想剛性，表達(dá)彈性的單元無(wú)質(zhì)量等。利用機(jī)電類(lèi)比方法可以將整個(gè)MEMS器件表示成由一些集總參數(shù)化的電網(wǎng)絡(luò)單元組成的結(jié)構(gòu)。構(gòu)造MEMS器件的集總參數(shù)降階模型主要解決兩個(gè)問(wèn)題，一是將連續(xù)的器件劃分為集總單元組成的網(wǎng)絡(luò)；二是確定每個(gè)集總單元的參數(shù)值。

圖7.15平行板靜電致動(dòng)器及其簡(jiǎn)化模型關(guān)于器件的分解實(shí)施起來(lái)有些困難。與純電路不同，通常機(jī)械結(jié)構(gòu)的幾何外觀與相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲g沒(méi)有清晰的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如考慮一個(gè)如圖7.15所示的靜電致動(dòng)器，其中撓性梁(或者質(zhì)量塊)是可變電容的一個(gè)極板，同時(shí)又是梁下方氣體擠壓膜阻尼問(wèn)題的移動(dòng)邊界(Cd為耦合電容，電容值很大，對(duì)于交流，相當(dāng)于短路；RL是負(fù)載電阻，用于測(cè)量傳感器的輸出；RS的作用是防止交流信號(hào)被直流電源V0短路，直流電源V0為定義的工作點(diǎn)電壓；d為可動(dòng)極板與下方固定電極的初始間隙距離。如果系統(tǒng)為小信號(hào)驅(qū)動(dòng)，可以作為線性系統(tǒng)來(lái)處理，因此集總參數(shù)值通常是通過(guò)分析、數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)合從測(cè)試結(jié)構(gòu)獲得的基本特性來(lái)確定的。這樣的建模方法不僅復(fù)雜而且成本較高，可以替代它的方法是使用能量變分法，先假設(shè)一個(gè)適當(dāng)?shù)膸в幸粋€(gè)或多個(gè)待定系數(shù)的型函數(shù)，將其應(yīng)用于未知物理場(chǎng)變量的近似表達(dá)，然后計(jì)算出由型函數(shù)表示的系統(tǒng)總勢(shì)能量Utotal

，將系統(tǒng)總勢(shì)能量對(duì)待定系數(shù)求變分。構(gòu)造器件集總參數(shù)形式的等效電路模型，其一般過(guò)程如下：

(1)將器件分解成理想剛性體、理想彈簧和理想可變電容等幾個(gè)組成部分。通常將阻尼力考慮成外部載荷。

(2)將控制方程在等效平衡位置(信號(hào))處線性化。

(3)導(dǎo)出特征方程(它將勢(shì)變量作為狀態(tài)變量的函數(shù)而聯(lián)系起來(lái))和轉(zhuǎn)換矩陣(它將電端口處的勢(shì)變量和流變量直接與機(jī)械端口的勢(shì)變量和流變量聯(lián)系起來(lái))。

(4)利用轉(zhuǎn)換矩陣獲得等效電路的表達(dá)形式。值得注意的是，等效電路的表達(dá)形式可能不是唯一的。以圖7.15(a)所示的平行板靜電致動(dòng)器為例進(jìn)行說(shuō)明。為對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，可忽略其擠壓膜阻尼的影響，質(zhì)量塊可以看成剛性體，將兩邊的撓性梁簡(jiǎn)化為無(wú)質(zhì)量彈簧，其彈簧系數(shù)可以從撓性梁表達(dá)式中導(dǎo)出，由此得到的簡(jiǎn)化模型如圖7.15(b)所示。則系統(tǒng)的總勢(shì)能Utotal

由靜電共能Ue和機(jī)械勢(shì)能Um組成：

(7-49)

式中：qi、xt——在t時(shí)刻質(zhì)量塊的位移和電荷；

x0——質(zhì)量塊的工作平衡點(diǎn)位置；

C——可變電容，且C(xt)＝ε0A/(d＋xt)，ε0為真空的介質(zhì)常數(shù)，A為有效電極面積，d為初始間距；k——彈簧剛度。

對(duì)式(7-49)取變分得到：

(7-50)

式中：Vt——施加在電極間的電壓；

Ft——作用在可動(dòng)板上的機(jī)械力。

利用式(7-49)和式(7-50)以及電容表達(dá)式，可得到：

(7-51)