第４章隨機模型4.1概率論基本知識4.2數(shù)理統(tǒng)計基本知識4.3隨機轉(zhuǎn)移模型4.4隨機存儲模型4.5蒙特卡羅方法

4.1概率論基本知識

4.1.1概率的概念

概率統(tǒng)計研究的對象是隨機現(xiàn)象。在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象，只有一個結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象。在相同條件下可以重復(fù)的隨機現(xiàn)象又稱為隨機試驗。隨機現(xiàn)象的一切可能基本結(jié)果組成的集合稱為樣本空間，記為Ω={ω}，其中ω表示基本結(jié)果，又稱為樣本點。例如，拋一枚硬幣的樣本空間為Ω1={ω1，ω2}，其中ω1表示正面朝上，ω2表示反面朝上。

隨機現(xiàn)象的某些樣本點組成的集合稱為隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A、

B、C、…表示。事件A的概率記為P(A)。4.1.2概率的性質(zhì)4.1.3隨機變量及其分布

定義在樣本空間Ω上的實值函數(shù)X=X(ω)稱為隨機變量。常用大寫字母X、Y等表示隨機變量，其取值用小寫字母x、y等表示。假如一個隨機變量僅取有限個或可列個值，則稱其為離散隨機變量;假如一個隨機變量的可能取值充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間(a，b)，則稱其為連續(xù)隨機變量，其中a可以是－∞，b可以是+∞。4.1.4隨機變量的數(shù)學(xué)期望

1.離散隨機變量的數(shù)學(xué)期望4.1.6常用離散分布

1.二項分布

X為n重伯努利試驗中成功(記為事件A)的次數(shù)，記p為每次試驗中A發(fā)生的概率，

4.2數(shù)理統(tǒng)計基本知識

4.2.1三大抽樣分布

若設(shè)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，ym是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個相互獨立的樣本，則此三個統(tǒng)計量的構(gòu)造及其抽樣分布如表4.1所示。圖4.1參數(shù)μ的置信區(qū)間

1)因素因素又稱因子，是在實驗中或在抽樣時發(fā)生變化的“量”，通常用A、B、C、…表示。方差分析的目的就是分析因子對實驗或抽樣的結(jié)果有無顯著影響。如果在實驗中變化的因素只有一個，這時的方差分析稱為單因素方差分析；在實驗中變化的因素不只一個時，就稱為多因素方差分析。雙因素方差分析是多因素方差分析的最簡單情形。

2)水平

因子在實驗中的不同狀態(tài)稱做水平。如果因子A有r個不同狀態(tài)，就稱它有r個水平。我們針對因素的不同水平或水平的組合，進行實驗或抽取樣本，以便了解因子的影響。

3)交互影響

當(dāng)方差分析的影響因子不唯一時，必須注意這些因子間的相互影響。如果因子間存在相互影響，我們稱之為交互影響；如果因子間是相互獨立的，則稱為無交互影響。交互影響有時也稱為交互作用，是對實驗結(jié)果產(chǎn)生作用的一個新因素，分析過程中，有必要將它的影響作用也單獨分離開來。

2.均方差與自由度

因素或因素間“交互作用”對觀測結(jié)果的影響是否顯著，關(guān)鍵要看組間方差與組內(nèi)方差的比較結(jié)果。當(dāng)然，產(chǎn)生方差的獨立變量的個數(shù)對方差大小也有影響，獨立變量個數(shù)越多，方差就可能越大；獨立變量個數(shù)越少，方差就可能越小。為了消除獨立變量個數(shù)對方差大小的影響，我們用方差除以獨立變量個數(shù)，得到“均方差”，作為不同來源方差比較的基礎(chǔ)。引起方差的獨立變量的個數(shù)，稱做“自由度”。檢驗因子影響是否顯著的統(tǒng)計量是一個F統(tǒng)計量：

F統(tǒng)計量越大，越能說明組間方差是主要方差來源，因子影響越顯著；F越小，越能說明隨機方差是主要的方差來源，因子的影響越不顯著。

3.單因子方差分析

(1)單因子條件下偏差平方和的分解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如表4.8

所示。

F值越大，越說明總的方差波動中，組間方差是主要部分，有利于拒絕原假設(shè)接受備擇假設(shè)；反之，F(xiàn)值越小，越說明隨機方差是主要的方差來源，有利于接受原假設(shè)，有充分證據(jù)說明待檢驗的因素對總體波動沒有顯著影響。因此，檢驗的拒絕域安排在右側(cè)。

對給定的α可判斷如下：

如果F≥F1－α(fA，fe)，則認為因子A顯著；若F<F1－α

(fA，fe)，則說明因子A不著。

單因子方差分析如表4.9所示。4.2.5回歸分析

回歸分析是考察變量之間的統(tǒng)計聯(lián)系的一種重要方法，它在許多領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。本節(jié)主要考察一個隨機變量與另一個或多個非隨機變量之間的關(guān)系。

1.回歸的概念

實際問題中，我們常常需要研究多個變量之間的相互關(guān)系，變量之間的關(guān)系大致可分為兩類：一類是確定性的關(guān)系，另一類是非確定性的關(guān)系。對于某些非確定性的關(guān)系，如隨機變量y與變量x（它可以是一個n維向量）之間的關(guān)系，當(dāng)自變量x確定之后，因變量y的值并不能跟著確定，而是按照一定的統(tǒng)計規(guī)律（即隨機變量y的分布）取值，這時將它們之間的關(guān)系表示為

y=f(x)+ε其中,f(x)是一個確定的函數(shù)，稱之為回歸函數(shù)，ε為隨機誤差項，ε～N(0，σ2)。

回歸分析的任務(wù)之一是確定回歸函數(shù)f(x)。當(dāng)f(x)是一元線性函數(shù)時，稱之為一元線性回歸；當(dāng)f(x)為多元線性函數(shù)時，稱之為多元線性回歸；當(dāng)f(x)是非線性函數(shù)時，稱之為非線性回歸。如何確定f(x)呢？一是根據(jù)經(jīng)驗公式，二是根據(jù)散點圖。不管是哪種類型的回歸，f(x)總含有未知參數(shù)，需要用到參數(shù)估計的方法，一般情況下，還需要檢驗f(x)是否合理?；貧w分析的目的是用f(x)來進行預(yù)測和決策。

2.一元線性回歸模型

一元線性回歸模型為

y=b0+b1x+ε

將數(shù)據(jù)點(xi，yi)(i=1，2,…，n)代入，有yi=b0+b1xi+εi(i=1，2,…，n)。其中，b0、b1是未知參數(shù)，εi為剩余殘差項或隨機擾動項，反映所有其他因素對因變量yi的影響。在運用回歸方法進行預(yù)測時，要求滿足一定的條件，其中最重要的是εi，必須具備如下特征：

(1)εi是一個隨機變量；

(2)εi的數(shù)學(xué)期望值為零，即E(εi)=0；

(3)在每一個時期中，εi的方差為一常量，Var(εi)=σ2;

(4)各個εi間相互獨立；

(5)εi與自變量無關(guān)。

大多數(shù)情況下，假定εi～N(0，σ2)。建立一元線性回歸模型的步驟如下：

3)進行檢驗

回歸模型建立之后，能否用來進行實際預(yù)測，取決于它與實際數(shù)據(jù)是否有較好的擬合度，模型的線性關(guān)系是否顯著等。為此，在用來實際預(yù)測之前，還需要對模型進行一系列評價檢驗。

(1）標(biāo)準(zhǔn)誤差。

標(biāo)準(zhǔn)誤差是估計值與因變量值之間的平均平方誤差，其計算公式為

它可以用來衡量擬合優(yōu)度。（2）判定系數(shù)。

判定系數(shù)是衡量擬合優(yōu)度的一個重要指標(biāo)，它的取值介于0與1之間，其計算公式為

R2越接近于1，擬合程度越好；反之越差。（3）相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)是一個用于測定因變量與自變量之間的線性相關(guān)程度的指標(biāo)，其計算公式為

相關(guān)系數(shù)r與判別系數(shù)R2之間存在關(guān)系式，但兩者的概念不同。判定系數(shù)R2用來衡量擬合優(yōu)度，而相關(guān)系數(shù)r用來判定因變量與自變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的數(shù)值范圍是－1≤r≤1。當(dāng)r>0時，稱x與

y正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱x與y負相關(guān)；當(dāng)r=0時，稱x與y不相關(guān)；當(dāng)|r|=1時，稱x與y完全相關(guān)。|r|越接近于1，相關(guān)程度越高。

相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗，簡稱相關(guān)檢驗，用來判斷y與x是否顯著線性相關(guān)。

相關(guān)檢驗需利用相關(guān)系數(shù)表進行。首先計算樣本相關(guān)系數(shù)r值，然后根據(jù)給定的樣本容量n和顯著性水平α查相關(guān)系數(shù)表，得臨界值rα，最后進行檢驗判斷：

若|r|>rα，則x與y有顯著的線性關(guān)系；

若|r|<rα，則x與y的線性相關(guān)關(guān)系不顯著。①當(dāng)DW值小于或等于2時，DW檢驗法則規(guī)定：如果DW<dl，則認為εi存在正自相關(guān)；

如果DW>dε，則認為εi無自相關(guān)；

如果dl<DW<dε，則不能確定εi是否有自相關(guān)。②當(dāng)DW值大于2時，DW的檢驗法則規(guī)定：

如果4－DW<dl，則認為εi存在負自相關(guān)；

如果4－DW>dε，則認為εi無自相關(guān)；

如果dl<4-DW<dε，則不能確定εi是否有自相關(guān)。

根據(jù)經(jīng)驗，DW統(tǒng)計量的值在1.5～2.5之間時表示沒有顯著自相關(guān)問題。以上檢驗可利用統(tǒng)計軟件包（如SPSS、Matlab等）在進行回歸時同時完成。

(3)復(fù)相關(guān)系數(shù):

4.3隨機轉(zhuǎn)移模型

4.3.1馬氏鏈模型

【例4.4】某商店每月考察一次經(jīng)營狀況，其結(jié)果用銷路好和銷路壞兩種情況中的一種表示。已知如果本月銷路好，下月仍保持這種狀況的概率為0.5;如果本月銷路壞，下月轉(zhuǎn)變?yōu)殇N路好的概率為0.4。試分析假如開始時商店處于銷路好的狀況，那么經(jīng)過若干月后能保持銷路好的概率有多大？如果開始時商店處于銷路壞的狀況呢？

【例4.5】考察微量元素磷在自然界中的轉(zhuǎn)移情況。假定磷只分布在土壤、草、牛、羊等生物體，以及上述系統(tǒng)之外（如河流中）這三種自然環(huán)境里。每經(jīng)過一段時間磷在上述三種環(huán)境里的比例會發(fā)生變化，變化具有無后效性。經(jīng)過一定時間，土壤中的磷有30%被草吸收，又被牛羊吃掉，有20%排至系統(tǒng)之外，50%仍在土壤之中；生物體中的磷有40%因草枯死、牛羊排泄又回到土壤中，40%移出系統(tǒng)，20%留在生物體內(nèi)；而磷一旦轉(zhuǎn)移到系統(tǒng)之外，就100%地不再進入系統(tǒng)。假定磷在土壤、生物體和系統(tǒng)外的初始比例是0.5∶0.3∶0.2，研究經(jīng)過若干段時間后磷在三種環(huán)境中的轉(zhuǎn)移情況。容易看出，對于馬氏鏈模型最基本的問題是構(gòu)造狀態(tài)，即寫出轉(zhuǎn)移矩陣。一旦有了P，那么給定初始狀態(tài)概率a(n)，就可以用式（4.8）或（4.9）計算任意時段n的狀態(tài)概率a(n)。

應(yīng)該指出，這里的轉(zhuǎn)移概率pij與時段n無關(guān)，這種馬氏鏈稱為齊次馬氏鏈，本節(jié)將重點討論。

2.正則鏈

這類馬氏鏈的特點是從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移都能達到另外的任意狀態(tài)。其定義為：一個有k個狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N，使從任意狀態(tài)i

經(jīng)過N次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達狀態(tài)j(i，j=1，2，…，k)，則稱為正則鏈。用下面的定理容易檢驗一個馬氏鏈?zhǔn)欠袷钦齽t鏈。

4.4隨機存儲模型

4.4.1離散型隨機變量的存儲模型

【例4.6】

(報童問題)一個報童每天從郵局訂購一種報紙，沿街叫賣。已知報童每賣完100份報紙可獲利7元。如果當(dāng)天賣不掉，第二天削價可以全部賣出，但這時報童每100份報紙要賠4元。報童每天售出的報紙數(shù)x是一隨機變量，概率分布見表4.18，問：報童每天訂購多少份報紙

最佳？4.4.2連續(xù)型隨機變量的存儲模型

【例4.7】（物資存儲策略）

一煤炭供應(yīng)部門煤的進價為65元/噸，零售價為70元/噸。若當(dāng)年賣不出去，則第二年削價20%處理掉；如供應(yīng)短缺，有關(guān)部門每噸罰款10元。已知顧客對煤需求量x服從均勻分布，分布函數(shù)為

求一年煤炭的最優(yōu)存儲策略。

4.5蒙特卡羅方法

蒙特卡羅（MonteCarlo）方法的實質(zhì)是通過大量隨機試驗，利用概率論解決問題的一種數(shù)值方法，基本思想基于概率的幾何定義。利用蒙特卡羅方法在計算的過程中出現(xiàn)的數(shù)是隨機的，但是它要解決的問題的結(jié)果卻是相同的。4.5.1蒙特卡羅方法的來源和思想

歷史上有記載的蒙特卡羅試驗始于十八世紀末期，當(dāng)時蒲豐(Buffon)為了計算圓周率，設(shè)計了一個“投針試驗”。1.蒲豐投針試驗

1777年，法國科學(xué)家蒲豐提出著名的投針問題，這是幾何概率中一個最典型的例子。投針問題的主要內(nèi)容是：在平面上等距離地畫出一些平行線，向其投出某一特定長度的針，試求針與任一平行線相交的概率。下面推導(dǎo)π的計算公式。設(shè)針投到地面的位置可以用一組參數(shù)（x，θ）來描述，x為針中心的坐標(biāo)，θ為針與平行線的夾角，如圖4.2所示。圖4.2蒲豐投針試驗圖圖4.3數(shù)值積分簡單示例蒙特卡羅數(shù)值積分方法和上述類似，差別在于，蒙特卡羅方法中，我們不需要將所有柱子的面積相加，只需要隨機地抽取一些函數(shù)值，將它們的面積累加后計算平均值即可。通過相關(guān)數(shù)學(xué)知識可以證明，隨著抽取點的增加，近似面積也將逼近真實面積。

如圖4.4所示，設(shè)總計投了M個點，落入陰影部分N個，則陰影部分的面積為S≈N/M

。圖4.4蒙特卡羅法計算圖形面積

2.隨機最優(yōu)化

蒙特卡羅方法在隨機最優(yōu)化中的應(yīng)用包括模擬退火(SimulatedAnnealing)、進化策略(EvolutionStrategy)等等。一個最簡單的例子是，已知某函數(shù)，要求此函數(shù)的最大值，那么我們可以不斷地在該函數(shù)定義域上隨機取點，然后用得到的最大的點作為此函數(shù)的最大值。這個例子實質(zhì)也是隨機數(shù)值積分，它等價于求此函數(shù)的無窮階范數(shù)（∞-Norm）在定義域上的積分。

(3)到達停止條件后退出：常用的停止條件有兩種，一種是設(shè)定最多生成N個x，數(shù)量達到后即退出，另一種是檢測計算結(jié)果與真實結(jié)果之間的誤差，當(dāng)這一誤差小到某個范圍之內(nèi)時退出。積分表達式中的積分符號類比為上式中的累加符號，dx類比為1/N（數(shù)學(xué)知識告訴我們積分實質(zhì)是極限意義下的累加；f(x)還是它自己，積分中的ψ(x)可類比為依據(jù)ψ(x)生成隨機數(shù)）。（4）誤差分析：利用蒙特卡羅方法得到的結(jié)果是隨機變量，因此在給出點估計后，還需要給出此估計值的波動程度及區(qū)間估計。嚴格的誤差分析首先要從證明收斂性出發(fā)，再計算理論方差，最后用樣本方差來替代理論方差。4.5.4隨機數(shù)的生成

定義4.1設(shè)R為［0，1］上服從均勻分布的隨機變量，分布密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為則R的樣本值，即以等概率取自［0，1］的一串?dāng)?shù)稱為［0，1］上均勻分布的隨機數(shù)。隨機數(shù)在數(shù)學(xué)建模中有很多應(yīng)用，如前面的求面積和體積。在很多實際復(fù)雜問題的模擬上，也要用到隨機數(shù)的產(chǎn)生，如交通流和大型戰(zhàn)爭模型等。

產(chǎn)生隨機數(shù)的方法很多，現(xiàn)在一般是通過計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，其實計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)是根據(jù)一定的算法來產(chǎn)生的，產(chǎn)生的隨機數(shù)不是完全隨機的，這些隨機數(shù)又稱偽隨機數(shù)，但