第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）計(jì)算（﹣2）×（﹣3），正確的結(jié)果是（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．62．（3分）《2025年中國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展白皮書(shū)》顯示，去年我國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)5758億元．將“5758億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5.758×1010 B．5.758×1011 C．0.5758×1012 D．57.58×10103．（3分）如圖，將△ABC沿著射線BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4（）A．2 B．4 C．6 D．84．（3分）上午9時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．90° D．120°5．（3分）已知直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限，則k，b的取值范圍是（）A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞06．（3分）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個(gè)幾何體的底面圓的周長(zhǎng)為（）A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．16πcm7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)A（3，1）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）8．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．59．（3分）如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AD＝x，△DEF的面積為y（）A． B． C． D．10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若拋物線y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）經(jīng)過(guò)上述五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，則滿足題意的a的值不可能為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）11．（3分）分解因式am+a＝．12．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．13．（4分）南通是“建筑之鄉(xiāng)”，工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，E是斜梁AC的中點(diǎn)，EF垂直于橫梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°m．14．（4分）把一根長(zhǎng)10m的鋼管截成3m長(zhǎng)和1m長(zhǎng)兩種規(guī)格的鋼管．為了不造成浪費(fèi)，可能截得鋼管的總根數(shù)為（寫(xiě)出一種情況即可）．15．（4分）如圖，一塊磚的A，B，C三個(gè)面的面積比是5：3：1．如果B面向下放在地上，那么C面向下放在地上時(shí)，地面所受壓強(qiáng)為Pa．16．（4分）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式：一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S＝.若a＝2，c＝1，則S的值為．17．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（3，0）為圓心，，C兩點(diǎn)，則BC的最小值為．18．（4分）如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的面積都為1．經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A的一條直線，把網(wǎng)格圖分成了兩個(gè)部分，則sin∠MNB的值為．三、解答題（本大題共8小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（12分）（1）解不等式組；（2）計(jì)算．20．（10分）請(qǐng)從下列四個(gè)命題中選取兩個(gè)命題，并判斷所選命題是真命題還是假命題．如果是真命題，給出證明，舉出反例．（1）若a2＝b2，則a＝b；（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，一定有x2+y2＞2xy；（3）兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)；（4）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是平行四邊形．21．（10分）為提升學(xué)生體質(zhì)健康水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校大課間共開(kāi)展6項(xiàng)體育活動(dòng)，隨機(jī)抽取了該校50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下未完成的統(tǒng)計(jì)表．體育活動(dòng)足球籃球排球乒乓球跳繩啦啦操人數(shù)6a10985（1）表格中a的值為；（2）若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校參加足球活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)；（3）為備戰(zhàn)校際籃球聯(lián)賽，學(xué)校計(jì)劃從參加籃球活動(dòng)的甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人加入?；@球隊(duì)．已知甲、乙兩名同學(xué)近六周定點(diǎn)投籃測(cè)試成績(jī)（每次測(cè)試共有10次投籃機(jī)會(huì)，以命中次數(shù)作為測(cè)試成績(jī)）如圖所示．你建議選拔哪名同學(xué)22．（10分）為繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校將八年級(jí)學(xué)生隨機(jī)安排到以下四個(gè)場(chǎng)所參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．已知小明、小華、小麗都是該校八年級(jí)學(xué)生，求下列事件的概率：（1）小明到南通博物苑參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)；（2）小華和小麗都到南通美術(shù)館參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．23．（10分）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AC為⊙O的直徑，連接PB，PC（1）連接OB，求證：OB⊥PB；（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求圖中陰影部分的面積．24．（12分）綜合與實(shí)踐：學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“校園花圃方案設(shè)計(jì)”開(kāi)展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．已知花圃一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限），其余部分用總長(zhǎng)為60m的柵欄圍成．興趣小組設(shè)計(jì)了以下兩種方案：方案一方案二如圖1，圍成一個(gè)面積為450m2的矩形花圃．如圖2，圍成矩形花圃時(shí)，用柵欄（柵欄寬度忽略不計(jì)），用來(lái)種植不同花卉，并在花圃兩側(cè)各留一個(gè)寬為3m的進(jìn)出口（此處不用柵欄）．（1）求方案一中與墻垂直的邊的長(zhǎng)度；（2）要使方案二中花圃的面積最大，與墻平行的邊的長(zhǎng)度為多少米？25．（13分）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，DM交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AG＝2GC；（2）設(shè)∠BCD，∠BDC的角平分線交于點(diǎn)I．①當(dāng)AB＝6，BC＝8時(shí)，求點(diǎn)I到BC的距離；②若AB+AC＝2BC，作直線GI分別交BD，CD于E，求的值．26．（13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，5），點(diǎn)A1，M2，它們的橫坐標(biāo)分別為m，m+n，其中m＞11，BM1與y軸分別交于點(diǎn)C1，D1，直線AM2，BM2與y軸分別交于點(diǎn)C2，D2.記OC1﹣OD1＝d1，OC2﹣OD2＝d2．（1）若m＝2，求OC1的長(zhǎng)；（2）求代數(shù)式（m+n）?d2的值；（3）當(dāng)m（d1﹣d2）＝2d2，3（d1+d2）＝2n3時(shí)，求點(diǎn)D2關(guān)于直線AM2對(duì)稱的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2025年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案DB．ACDABCBC一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）計(jì)算（﹣2）×（﹣3），正確的結(jié)果是（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【解答】解：原式＝+（2×3）＝7，故選：D．2．（3分）《2025年中國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展白皮書(shū)》顯示，去年我國(guó)衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)5758億元．將“5758億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5.758×1010 B．5.758×1011 C．0.5758×1012 D．57.58×1010【解答】解：5758億＝575800000000＝5.758×1011．故選：B．3．（3分）如圖，將△ABC沿著射線BC平移到△DEF．若BC＝6，EC＝4（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵BC＝6，EC＝4，∴BE＝BC﹣EC＝8﹣4＝2，∴平移的距離為8．故選：A．4．（3分）上午9時(shí)整，鐘表的時(shí)針和分針構(gòu)成的角的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．90° D．120°【解答】解：由題意得：3×30°＝90°，故選：C．5．（3分）已知直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)第一、第二、第三象限，則k，b的取值范圍是（）A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＞0，b＞0【解答】解：由題意，∵直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)第一、第三象限，∴k＞0，b＞0．故選：D．6．（3分）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），則這個(gè)幾何體的底面圓的周長(zhǎng)為（）A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．16πcm【解答】解：由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個(gè)幾何體應(yīng)該是圓錐；根據(jù)三視圖知：該圓錐的底面半徑為3cm，則該幾何體的底面周長(zhǎng)為＝2×3π＝6π（cm）．故選：A．7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)A（3，1）繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【解答】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，由圖可知：B（﹣1，3）；故選：B．8．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則BC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C． D．5【解答】解：如圖所示：在△ABC中，∠C＝90°，∴tanA＝＝，∵AC＝，∴BC＝AC＝．故選：C．9．（3分）如圖，在等邊三角形ABC的三邊上，分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AD＝x，△DEF的面積為y（）A． B． C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AC于點(diǎn)K∵△ABC是等邊三角形，AB＝4，∴AB＝BC＝CA＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF＝x，∴AF＝BD＝CE＝5﹣x，在△ADF，△BED和△CFE中，，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴S△ADF＝S△BED＝S△CFE，∴S△DEF＝S△ABC﹣3?S△ADF，即y＝S△ABC﹣3?S△ADF，∵CH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH＝＝＝，∴S△ABC＝AB?CH＝＝，∵DK⊥AC于點(diǎn)K，在Rt△ADK中，∠A＝60°，sinA＝，∴DK＝AD?sinA＝x?sin60°＝，∴S△ADF＝AF?DK＝＝，∴y＝＝＝，其中3≤x≤4，∴y關(guān)于x的函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng)x＝0時(shí)，當(dāng)x＝4時(shí)，當(dāng)x＝2，∴選項(xiàng)A，C，D均不符合題意，故選：B．10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣1），E（5，5）．若拋物線y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）經(jīng)過(guò)上述五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)，則滿足題意的a的值不可能為（）A． B． C． D．【解答】解：∵拋物線y＝a（x﹣2）2+k（a＞6）∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝2．∵A（﹣1，7），5），且，∴點(diǎn)A、E同時(shí)在拋物線上或同時(shí)不在拋物線上．當(dāng)拋物線過(guò)A、E、B時(shí)，把B（1，3），5）代入得，解得a＝；當(dāng)拋物線過(guò)A、E、C時(shí)，把A（﹣4，5），1）代入得，解得a＝，當(dāng)拋物線過(guò)A、E、D時(shí)，把A（﹣1，5），﹣8）代入得，解得a＝，當(dāng)拋物線過(guò)B、C、D時(shí)，把C（2，5）代入解析式求得k＝1，∴y＝a（x﹣2）8+1，把B（1，6）代入得a+1＝2，把D（6，﹣1）代入得a+1＝﹣5，∴B、C、D三點(diǎn)不能同時(shí)在拋物線上，綜上，a的值可能為，，，故選：C．二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）11．（3分）分解因式am+a＝a（m+1）．【解答】解：原式＝a（m+1），故答案為：a（m+1）．12．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為x≥3．【解答】解：∵x﹣3≥0，∴x≥4．故答案為：x≥3．13．（4分）南通是“建筑之鄉(xiāng)”，工程建筑中經(jīng)常采用三角形的結(jié)構(gòu)．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，E是斜梁AC的中點(diǎn)，EF垂直于橫梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°1.2m．【解答】解：∵E是斜梁AC的中點(diǎn)，AC＝4.8m，∴CE＝AC＝2.3m，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵∠C＝30°，∴EF＝CE＝3.2（m），故答案為：1.5．14．（4分）把一根長(zhǎng)10m的鋼管截成3m長(zhǎng)和1m長(zhǎng)兩種規(guī)格的鋼管．為了不造成浪費(fèi)，可能截得鋼管的總根數(shù)為8或6或4（寫(xiě)出一種情況即可）．【解答】解：設(shè)可以截成x根3m長(zhǎng)的鋼管，y根1m長(zhǎng)的鋼管，根據(jù)題意得：6x+y＝10，∴y＝10﹣3x，又∵x、y均為正整數(shù)，∴或或，∴共有3種不同的截法，x+y＝6或6或4，∴可能截得鋼管的總根數(shù)為6或6或4，故答案為：3或6或4．15．（4分）如圖，一塊磚的A，B，C三個(gè)面的面積比是5：3：1．如果B面向下放在地上，那么C面向下放在地上時(shí)，地面所受壓強(qiáng)為3aPa．【解答】解：設(shè)該磚的質(zhì)量為m，則P?S＝mg，即P與S成反比例關(guān)系，∵B的面積：C的面積＝3：1，B面向下放在地上，地面所受壓強(qiáng)為aPa，∴把磚的C面向下放在地上時(shí)，地面所受壓強(qiáng)為：4a帕．故答案為：3a．16．（4分）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式：一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S＝.若a＝2，c＝1，則S的值為．【解答】解：由題意得a2＝8，b3＝9，c2＝4，∴a2b2＝72，＝8，∴S＝＝．故答案為：．17．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（3，0）為圓心，，C兩點(diǎn)，則BC的最小值為6．【解答】解：對(duì)于y＝kx﹣3k+2，當(dāng)x＝6時(shí)，∴直線y＝kx﹣3k+2過(guò)定點(diǎn)P（4，2），∵點(diǎn)A（3，2），∴AP＝＝2，又∵⊙A的半徑為，AP＜，∴點(diǎn)P在⊙A內(nèi)部，根據(jù)垂徑定理得：當(dāng)直線y＝kx﹣3k+6與AP垂直時(shí)，BC為最小則BP＝CP，∴BC＝2BP，在Rt△ABP中，AB＝，由勾股定理得：BP＝＝（，∴BC＝2BP＝6，即BC的最小值為3．故答案為：6．18．（4分）如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的面積都為1．經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A的一條直線，把網(wǎng)格圖分成了兩個(gè)部分，則sin∠MNB的值為．【解答】解：如圖，在圖中標(biāo)注C，D，設(shè)NC＝x，∵AD∥NB，∴∠MAD＝∠ANC，∵∠MDA＝∠ACN，∴△ANC∽△MAD，∵AC＝AD＝1，∴，∵△BMN的面積為4，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的面積都為1，∴S△AMD+S△ANC＝3﹣3＝2，∴×MD×AD+，即＝2，∴x+＝5，解得x1＝2+，x2＝2﹣（舍去），∵AN2＝AC2+NC3＝1+4+7+3＝4+4，∴AN＝，∴sin∠MNB＝sin∠ANC＝＝．三、解答題（本大題共8小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（12分）（1）解不等式組；（2）計(jì)算．【解答】解：（1）解第一個(gè)不等式得：x＜2，解第二個(gè)不等式得：x＜3，故原不等式組的解集為x＜7；（2）原式＝?＝?＝a﹣2．20．（10分）請(qǐng)從下列四個(gè)命題中選取兩個(gè)命題，并判斷所選命題是真命題還是假命題．如果是真命題，給出證明，舉出反例．（1）若a2＝b2，則a＝b；（2）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，一定有x2+y2＞2xy；（3）兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)；（4）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是平行四邊形．【解答】解：（1）（2）（4）都是假命題．（3）是真命題．（1）是假命題，反例：當(dāng)a＝2，結(jié)論不成立；（2）是假命題，反例：當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)結(jié)論不成立；（3）是真命題，證明如下：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)為2k﹣2，2k+l（k為正整數(shù)），（2k+6）2﹣（2k﹣5）2＝4k7+4k+1﹣（3k2﹣4k+3）＝8k，∵k為正整數(shù)，∴8k是8的倍數(shù)，∴兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差一定是8的倍斂．（4）是假命題，反例：當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)結(jié)論不成立．21．（10分）為提升學(xué)生體質(zhì)健康水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校大課間共開(kāi)展6項(xiàng)體育活動(dòng)，隨機(jī)抽取了該校50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下未完成的統(tǒng)計(jì)表．體育活動(dòng)足球籃球排球乒乓球跳繩啦啦操人數(shù)6a10985（1）表格中a的值為12；（2）若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該校參加足球活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)；（3）為備戰(zhàn)校際籃球聯(lián)賽，學(xué)校計(jì)劃從參加籃球活動(dòng)的甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人加入?；@球隊(duì)．已知甲、乙兩名同學(xué)近六周定點(diǎn)投籃測(cè)試成績(jī)（每次測(cè)試共有10次投籃機(jī)會(huì)，以命中次數(shù)作為測(cè)試成績(jī)）如圖所示．你建議選拔哪名同學(xué)【解答】解：（1）a＝50﹣（6+10+9+4+5）＝12，故答案為：12；（2）1000×＝120（人），答：估計(jì)該校參加足球活動(dòng)的學(xué)生人數(shù)約為120人；（3）選擇甲，由圖知，＝×（8+4+6+7+4+6）＝7，＝，所以＝，又因?yàn)榧壮煽?jī)明顯比乙成績(jī)更穩(wěn)定，所以選擇甲（答案不唯一）．22．（10分）為繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校將八年級(jí)學(xué)生隨機(jī)安排到以下四個(gè)場(chǎng)所參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．已知小明、小華、小麗都是該校八年級(jí)學(xué)生，求下列事件的概率：（1）小明到南通博物苑參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)；（2）小華和小麗都到南通美術(shù)館參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．【解答】解：（1）圖中社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)分別用①，②，③，④，表示，則小明到南通博物苑參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的概率為；（2）列表如下：列表如下：小麗小華①②③④①①①①②①③①④②②①②②②③②④③③①③②③③③④④④①④②④③④④共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小華和小麗都到南通美術(shù)館參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果數(shù)有5種，所以小華和小麗都到南通美術(shù)館參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的概率為．23．（10分）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AC為⊙O的直徑，連接PB，PC（1）連接OB，求證：OB⊥PB；（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：如圖，連接OP，∵PA與⊙O相切，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SSS），∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴OB⊥PB；（2）解：如圖，連接BC，∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠COB＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC為等邊三角形，∴∠OCB＝60°，由（1）可知：∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠AOP＝∠OCB，OA＝＝，∴OP∥BC，∴S△PCB＝S△OCB，∴S陰影部分＝S扇形OCB＝＝．24．（12分）綜合與實(shí)踐：學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“校園花圃方案設(shè)計(jì)”開(kāi)展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．已知花圃一邊靠墻（墻的長(zhǎng)度不限），其余部分用總長(zhǎng)為60m的柵欄圍成．興趣小組設(shè)計(jì)了以下兩種方案：方案一方案二如圖1，圍成一個(gè)面積為450m2的矩形花圃．如圖2，圍成矩形花圃時(shí)，用柵欄（柵欄寬度忽略不計(jì)），用來(lái)種植不同花卉，并在花圃兩側(cè)各留一個(gè)寬為3m的進(jìn)出口（此處不用柵欄）．（1）求方案一中與墻垂直的邊的長(zhǎng)度；（2）要使方案二中花圃的面積最大，與墻平行的邊的長(zhǎng)度為多少米？【解答】解：（1）設(shè)與墻垂直的邊的長(zhǎng)度為xm，則與墻平行的邊的長(zhǎng)度為（60﹣2x）m，根據(jù)題意得x（60﹣2x）＝450，解得x4＝x2＝15，答：與墻垂直的邊的長(zhǎng)度為15米；（2）設(shè)與墻平行的邊的長(zhǎng)度為tm，花圃的面積為Sm2，根據(jù)題意得，∴，∵，∴當(dāng)t＝33時(shí)，S有最大值363，答：當(dāng)與墻平行的邊的長(zhǎng)度為33米時(shí)，花圃的面積最大．25．（13分）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，DM交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AG＝2GC；（2）設(shè)∠BCD，∠BDC的角平分線交于點(diǎn)I．①當(dāng)AB＝6，BC＝8時(shí)，求點(diǎn)I到BC的距離；②若AB+AC＝2BC，作直線GI分別交BD，CD于E，求的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADG∽△CMG，∴，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BC＝2CM，∴AD＝2CM，∴，