函數(shù)單調(diào)性教學(xué)輔導(dǎo)與試題匯編函數(shù)單調(diào)性是描述函數(shù)變化趨勢的核心性質(zhì)，是研究函數(shù)極值、最值、零點及不等式的基礎(chǔ)工具。教學(xué)中需注重概念辨析、方法落地與易錯規(guī)避，確保學(xué)生形成完整的知識體系。（一）基礎(chǔ)概念辨析1.嚴(yán)格定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(I\)，區(qū)間\(D\subseteqI\)。若對任意\(x_1,x_2\inD\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時，恒有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），則稱\(f(x)\)在\(D\)上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。關(guān)鍵詞：任意（不能用特殊值代替）、區(qū)間（必須是定義域的子集）、有序性（\(x_1<x_2\)與\(f(x_1)<f(x_2)\)的對應(yīng)關(guān)系）。2.幾何意義單調(diào)遞增函數(shù)的圖像在區(qū)間上從左到右上升；單調(diào)遞減函數(shù)的圖像從左到右下降。3.與“單調(diào)區(qū)間”的關(guān)系單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域內(nèi)滿足單調(diào)性的最大區(qū)間（如\(f(x)=x^2\)的單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,0]\)，單調(diào)遞增區(qū)間是\([0,+\infty)\)）。需注意：不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能合并（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)分別遞減，但不能寫成\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)）。（二）單調(diào)性判定方法1.定義法（最根本的方法）步驟：取值：任取\(x_1,x_2\inD\)，且\(x_1<x_2\)；作差：計算\(f(x_1)-f(x_2)\)；變形：通過因式分解、配方、有理化、通分等手段，將差式轉(zhuǎn)化為易判斷符號的形式；定號：根據(jù)\(x_1<x_2\)及變形結(jié)果，判斷\(f(x_1)-f(x_2)\)的符號；結(jié)論：若\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，則遞增；若\(>0\)，則遞減。示例：證明\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。取值：任取\(x_1,x_2\in\mathbb{R}\)，\(x_1<x_2\)；作差：\(f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3\)；變形：\((x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)\)；定號：\(x_1<x_2\Rightarrowx_1-x_2<0\)；\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac{3x_2^2}{4}>0\)（非零）；結(jié)論：\(f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上遞增。2.導(dǎo)數(shù)法（高效工具，適用于可導(dǎo)函數(shù)）定理：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(D\)內(nèi)可導(dǎo)，則：\(f'(x)>0\)對所有\(zhòng)(x\inD\)成立\(\Rightarrowf(x)\)在\(D\)上嚴(yán)格遞增；\(f'(x)<0\)對所有\(zhòng)(x\inD\)成立\(\Rightarrowf(x)\)在\(D\)上嚴(yán)格遞減；\(f'(x)=0\)的點不影響單調(diào)性（如\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，但整體遞增）。注意：定義域優(yōu)先（如\(f(x)=\lnx-x\)的導(dǎo)數(shù)為\(\frac{1}{x}-1\)，需先考慮定義域\((0,+\infty)\)）。3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（“同增異減”）設(shè)\(f(u)\)與\(u=g(x)\)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)\(f(g(x))\)的單調(diào)性由內(nèi)外層函數(shù)共同決定：外層\(f(u)\)遞增，內(nèi)層\(g(x)\)遞增\(\Rightarrow\)復(fù)合函數(shù)遞增；外層\(f(u)\)遞增，內(nèi)層\(g(x)\)遞減\(\Rightarrow\)復(fù)合函數(shù)遞減；外層\(f(u)\)遞減，內(nèi)層\(g(x)\)遞增\(\Rightarrow\)復(fù)合函數(shù)遞減；外層\(f(u)\)遞減，內(nèi)層\(g(x)\)遞減\(\Rightarrow\)復(fù)合函數(shù)遞增。示例：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間。外層\(\log_2u\)遞增，需內(nèi)層\(u=x^2-2x\)遞增且\(u>0\)；\(u=x^2-2x\)的遞增區(qū)間為\([1,+\infty)\)，結(jié)合\(u>0\Rightarrowx>2\)；故\(f(x)\)的遞增區(qū)間為\((2,+\infty)\)。4.常見函數(shù)單調(diào)性總結(jié)（表格）函數(shù)類型表達(dá)式單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間一次函數(shù)\(f(x)=kx+b\)\(k>0\)時\(\mathbb{R}\)\(k<0\)時\(\mathbb{R}\)二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)\(a>0\)時\([-\frac{2a},+\infty)\)\(a>0\)時\((-\infty,-\frac{2a}]\)指數(shù)函數(shù)\(f(x)=a^x\)\(a>1\)時\(\mathbb{R}\)\(0<a<1\)時\(\mathbb{R}\)對數(shù)函數(shù)\(f(x)=\log_ax\)\(a>1\)時\((0,+\infty)\)\(0<a<1\)時\((0,+\infty)\)正弦函數(shù)\(f(x)=\sinx\)\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]\)\([\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi]\)余弦函數(shù)\(f(x)=\cosx\)\([-\pi+2k\pi,2k\pi]\)\([2k\pi,\pi+2k\pi]\)正切函數(shù)\(f(x)=\tanx\)\((-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)\)無（三）易錯點與教學(xué)建議1.常見易錯點用特殊值代替任意值：如判斷\(f(x)=x^2\)在\([-1,1]\)上的單調(diào)性，取\(x_1=-1,x_2=1\)得\(f(x_1)=f(x_2)\)，但實際上存在\(x_3=0\)使得\(f(-1)>f(0)<f(1)\)，故非單調(diào)。合并不連續(xù)區(qū)間：如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)分別遞減，但不能寫成\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)（因\(x_1=-1<x_2=1\)時\(f(-1)=-1<f(1)=1\)，與遞減矛盾）。忽略定義域：如求\(f(x)=\ln(x^2-1)\)的單調(diào)區(qū)間，未考慮\(x^2-1>0\Rightarrowx<-1\)或\(x>1\)，直接求導(dǎo)會導(dǎo)致錯誤。混淆“單調(diào)遞增”與“導(dǎo)數(shù)非負(fù)”：導(dǎo)數(shù)非負(fù)是單調(diào)遞增的必要不充分條件（如\(f(x)=0\)導(dǎo)數(shù)為0，是常函數(shù)，不是嚴(yán)格遞增）。2.教學(xué)建議情境引入：用生活中的變化趨勢（如氣溫隨時間變化、股票價格波動、身高增長）激發(fā)興趣，讓學(xué)生直觀感受“單調(diào)”的含義。定義辨析：通過反例讓學(xué)生理解“任意”的必要性（如讓學(xué)生找出\(f(x)=x^2\)在\([-1,1]\)上的非單調(diào)點）。方法訓(xùn)練：定義法強(qiáng)調(diào)“變形”步驟（如因式分解、配方），導(dǎo)數(shù)法強(qiáng)調(diào)“定義域優(yōu)先”，復(fù)合函數(shù)強(qiáng)調(diào)“分層分析”（外層、內(nèi)層分別判斷單調(diào)性）。易錯強(qiáng)化：通過錯題本收集學(xué)生常見錯誤（如合并區(qū)間、忽略定義域），定期復(fù)習(xí)糾正，形成“條件反射”。二、函數(shù)單調(diào)性試題匯編試題設(shè)計遵循“從基礎(chǔ)到綜合”的梯度，覆蓋定義應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)法求區(qū)間、單調(diào)性與綜合問題（不等式、零點、最值）等考點。（一）基礎(chǔ)題（考查定義與簡單應(yīng)用）1.用定義法證明\(f(x)=2x+1\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增解析：任取\(x_1<x_2\in\mathbb{R}\)，\(f(x_1)-f(x_2)=2(x_1-x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)\)，故遞增。2.判斷\(f(x)=\sqrt{x}\)的單調(diào)區(qū)間解析：定義域\([0,+\infty)\)，導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0\)（\(x>0\)），故遞增區(qū)間為\([0,+\infty)\)。3.求復(fù)合函數(shù)\(f(x)=(\frac{1}{2})^{x^2-2x}\)的單調(diào)遞減區(qū)間解析：外層\((\frac{1}{2})^u\)遞減，需內(nèi)層\(u=x^2-2x\)遞增；\(u=x^2-2x\)的遞增區(qū)間為\([1,+\infty)\)，故\(f(x)\)的遞減區(qū)間為\([1,+\infty)\)。（二）中檔題（考查導(dǎo)數(shù)法與區(qū)間求解）4.求\(f(x)=x-\lnx\)的單調(diào)區(qū)間解析：定義域\((0,+\infty)\)，導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)；令\(f'(x)>0\Rightarrowx>1\)，遞增區(qū)間\((1,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\Rightarrow0<x<1\)，遞減區(qū)間\((0,1)\)。5.已知\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)\)在\((-\infty,2]\)遞增，求\(a,b\)的關(guān)系解析：二次函數(shù)開口向下（\(a<0\)），對稱軸\(x=-\frac{2a}\geq2\Rightarrowb\geq-4a\)（因\(a<0\)，不等號方向改變）。6.求\(f(x)=\sin2x+\cos2x\)在\([0,\pi]\)上的單調(diào)遞增區(qū)間解析：化簡\(f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)，正弦函數(shù)遞增區(qū)間為\([-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]\)；令\(2x+\frac{\pi}{4}\in[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi]\Rightarrowx\in[-\frac{3\pi}{8}+k\pi,\frac{\pi}{8}+k\pi]\)；結(jié)合\([0,\pi]\)，得遞增區(qū)間\([0,\frac{\pi}{8}]\)和\([\frac{5\pi}{8},\pi]\)。（三）壓軸題（考查單調(diào)性與綜合應(yīng)用）7.已知\(f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-ax\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍解析：\(f'(x)=e^x-x-a\geq0\)對所有\(zhòng)(x\in\mathbb{R}\)成立\(\Rightarrowa\leqe^x-x\)；令\(g(x)=e^x-x\)，導(dǎo)數(shù)\(g'(x)=e^x-1\)，令\(g'(x)=0\Rightarrowx=0\)；\(x<0\)時\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)遞減；\(x>0\)時\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)遞增；故\(g(x)_{\text{min}}=g(0)=1\)，因此\(a\leq1\)。8.已知\(f(x)=\lnx+\frac{1}{x}-m\)在\((0,+\infty)\)上有兩個零點，求\(m\)的取值范圍解析：求單調(diào)性：\(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}\)；令\(f'(x)>0\Rightarrowx>1\)，遞增區(qū)間\((1,+\infty)\)；令\(f'(x)<0\Rightarrow0<x<1\)，遞減區(qū)間\((0,1)\)；\(f(x)\)在\(x=1\)處取得最小值\(f(1)=1-m\)；要使\(f(x)\)有兩個零點，需\(f(1)<0\Rightarrowm>1\)；同時，\(x\to0^+\)時\(f(x)\to+\infty\)，\(x\to+\infty\)時\(f(x)\t