專題04二次根式

考點(diǎn)01有意義

1．（2025·北京·中考真題）若3x3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．

【答案】x1

【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件以及解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意義的條件是

解題的關(guān)鍵．

此題可根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)”得到不等式求解．

【詳解】解：∵3x3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴3x30，

解得：x1，

故答案為：x1．

x0

2．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若代數(shù)式(x2025)有意義，則實數(shù)x的取值范圍

x3

是．

【答案】x3且x2025

【分析】本題主要考查代數(shù)式有意義的條件，由二次根式及分式、零指數(shù)冪有意義的條件可得：x30且

x20250，求解即可得到答案．

x

【詳解】解：∵代數(shù)式(x2025)0有意義，

x3

∴x30且x20250，

∴x3且x2025．

故答案為：x3且x2025．

m1

3．（2025·四川涼山·中考真題）若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則m的取值范圍是．

m2

【答案】m1

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義則被開方數(shù)非負(fù)，

分式有意義則分母不為0是解題的關(guān)鍵．

m10

根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件得到，再求解即可．

m20

【詳解】解：∵式子m1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

m2

m10

∴，

m20

解得：m1，

∴m的取值范圍是m1，

故答案為：m1．

11

4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在函數(shù)y中，自變量x的取值范圍是．

3xx2

【答案】x3且x2

【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組

解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．

3x0

【詳解】解：由題意可得，，

x20

解得x3且x2，

故答案為：x3且x2．

5．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）已知2x11，則x．

【答案】1

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．由

二次根式被開方數(shù)大于0可知2x10，則可得出2x11，求出x即可．

【詳解】解：根據(jù)題意可知：2x10，

2x11，

∴解得：x1，

故答案為：1．

1

6．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數(shù)式43x有意義的整數(shù)x有（）

x3

A．5個B．4個C．3個D．2個

【答案】B

【分析】根據(jù)組合代數(shù)式有意義的條件，分別根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式

求解即可．

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

x30，43x0

4

解得3x，

3

∴使代數(shù)式有意義的整數(shù)有2，1，0，1．

共有4個．

故選：B．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了代數(shù)式有意義的條件，關(guān)鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數(shù)為非

負(fù)數(shù)，列不等式（組）求解，是?？碱}型，比較簡單．

7．（2023·湖南永州·中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個使x3在實數(shù)的范圍內(nèi)沒．有．意．義．的x值

是．

【答案】1（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得當(dāng)x30時，x3沒有意義，解不等式，即可解答．

【詳解】解：當(dāng)x30時，x3沒有意義，

解得x3，

x為正整數(shù)，

x可取1，2，

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號下的式子小于零時，二次根式無意義，是解題的關(guān)

鍵．

8．（2023·湖南·中考真題）對于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有abab．該運(yùn)算法則成立的條件

是（）

A．a(chǎn)0,b0B．a(chǎn)0,b0C．a(chǎn)0,b0D．a(chǎn)0,b0

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果．

a0

【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得b0，

ab0

a0,b0，

故選：D．

【點(diǎn)睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是本題

的關(guān)鍵．

考點(diǎn)02二次根式的相關(guān)運(yùn)算

1．（2025·安徽·中考真題）下列計算正確的是（）

23

A．a(chǎn)aB．3aa

23

C．a(chǎn)3aa4D．a(chǎn)2a6

【答案】B

【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，求一個數(shù)的立方根，冪的乘方，同底數(shù)冪乘法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)

算法則是解題的關(guān)鍵；根據(jù)相關(guān)計算法則求出對應(yīng)選項中式子的結(jié)果即可得到答案．

2

【詳解】解；A、aa，原式計算錯誤，不符合題意；

3

B、3aa，原式計算正確，符合題意；

2

C、a3aa3a2a32a5，原式計算錯誤，不符合題意；

3

D、a2a6，原式計算錯誤，不符合題意；

故選；B．

2

2．（2025·四川涼山·中考真題）若3x2y192xy110，則xy的平方根是（）

A．8B．8C．22D．22

【答案】C

【分析】本題考查非負(fù)性，解二元一次方程組，求一個數(shù)的平方根，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，先根

據(jù)非負(fù)性，得到關(guān)于x,y的二元一次方程組，兩個方程相減后求出xy的值，再根據(jù)平方根的定義，進(jìn)行

求解即可．熟練掌握非負(fù)性，平方根的定義，是解題的關(guān)鍵．

2

【詳解】解：∵3x2y192xy110，

3x2y190①

∴，

2xy110②

①②，得：xy8，

∴xy的平方根是822；

故選：C．

3．（2025·湖南·中考真題）化簡12．

【答案】23

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，利用二次根式性質(zhì)化簡即可．

【詳解】解：123423，

故答案為：23．

3

4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）計算：278．

2

【答案】3

【分析】本題考查二次根式的運(yùn)算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，進(jìn)行乘法運(yùn)算，再合并同類二次根式即

可．

3

【詳解】解：原式338

2

3323

3．

5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則(ab)2ba2的化

簡結(jié)果是（）

A．2B．2a2C．22bD．-2

【答案】A

【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得3a2，

0b1，，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對值的化簡法則，化簡計算即可．

【詳解】解∶由數(shù)軸知∶3a2，0b1，

∴ab0，

∴(ab)2ba2

abba2

abba2

abba2

2，

故選：A．

6．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）計算9262所得結(jié)果是（）

A．3B．6C．35D．35

【答案】C

【分析】本題考查化簡二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可．

【詳解】解：926281364535；

故選C．

1

7．（2024·青海西寧·中考真題）在一個不透明的袋中裝有5個相同的小球，分別寫有0.2，，6，10，

3

27，隨機(jī)摸出一個小球，上面的二次根式是最簡二次根式的概率是．

2

【答案】/0.4

5

【分析】此題考查了簡單概率的計算．熟練掌握概率的意義和計算方法是解題的關(guān)鍵．概率是隨機(jī)事件發(fā)

生可能性大小的數(shù)值，計算方法是在n次等可能結(jié)果的一次試驗中事件A包含其中的m種結(jié)果，A事件發(fā)

m

生的概率為P．

An

在5個二次根式中，6，10是最簡二次根式，再由概率公式求解即可．

1

【詳解】解：在0.2，，6，10，27這5個二次根式中，6，10是最簡二次根式，有2個，

3

2

∴隨機(jī)摸出一個小球，上面的二次根式是最簡二次根式的概率是25，

5

2

故答案為：．

5

8．（2025·天津·中考真題）計算(611)(611)的結(jié)果為．

【答案】60

【分析】本題主要考查了利用平方差公式進(jìn)行二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．

利用平方差公式進(jìn)行計算即可．

【詳解】解：(611)(611)

=61-1

60，

故答案為：60．

68

9．（2024·江蘇南京·中考真題）計算．

2

【答案】26

【分析】本題考查了二次根式的乘除，根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則計算即可得解，熟練掌握運(yùn)算法則是

解此題的關(guān)鍵．

6868

【詳解】解：2426，

22

故答案為：26．

10．（2024·重慶·中考真題）已知m273，則實數(shù)m的范圍是（）

A．2m3B．3m4C．4m5D．5m6

【答案】B

【分析】此題考查的是求無理數(shù)的取值范圍，二次根式的加減運(yùn)算，掌握求算術(shù)平方根的取值范圍的方法

是解決此題的關(guān)鍵．先求出m27312，即可求出m的范圍．

【詳解】解：∵m2733332312，

∵3124，

∴3m4，

故選：B．

2x

11．（2023·湖北恩施·中考真題）先化簡，再求值：1，其中x52．

x24x2

15

【答案】，

x25

【分析】先把括號內(nèi)的分式進(jìn)行通分，再將除法變?yōu)槌朔ɑ啠詈蟠離的值計算即可．

2x2x

【詳解】解：原式

x2x2x2

22

x2x2x2

2x2

·

x2x22

1

x2

當(dāng)x52時,

15

原式．

5225

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡分式是解題的關(guān)鍵．

2

12．（2025·吉林長春·中考真題）先化簡．再求值：1x2x，其中x3．

【答案】x21，4

【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式將括號展開后合并得最簡結(jié)果，再把x3代

入計算即可．

2

【詳解】解：1x2x

12xx22x

x21，

2

當(dāng)x3時，原式31314．

1a

13．（2023·湖南湘西·中考真題）先化簡，再求值：12，其中a21．

a1a1

【答案】a1，2

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡

結(jié)果，最后把a(bǔ)的值代入計算即可．

1a

【詳解】解：1

a1a21

a11(a1)(a1)

a1a

a(a1)(a1)

a1a

a1

當(dāng)a21時，原式2112.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)03二次根式中的規(guī)律問題

1．（2024·四川德陽·中考真題）將一組數(shù)2,2,6,22,10,23,,2n,，按以下方式進(jìn)行排列：

則第八行左起第1個數(shù)是（）

A．72B．82C．58D．47

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個數(shù)，從

而可得第八行左起第1個數(shù)是第29個數(shù)，據(jù)此求解即可得．

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數(shù)，第二行共有2個數(shù)，第三行共有3個數(shù)，

歸納類推得：第七行共有123456728個數(shù)，

則第八行左起第1個數(shù)是22958，

故選：C．

2．（2025·安徽·中考真題）綜合與實踐

【項目主題】

某勞動實踐小組擬用正三角形和正六邊形兩種環(huán)保組件改善小區(qū)幼兒園室內(nèi)活動場地．

【項目準(zhǔn)備】

（1）密鋪知識學(xué)習(xí)：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，使圖形之間既沒有空隙也沒

有重疊地鋪成一片，叫做圖形的密鋪．

（2）密鋪方式構(gòu)建：運(yùn)用密鋪知識得到圖1、圖2所示的兩種拼接方式，其中正六邊形和正三角形組件的

邊長均為20cm．

（3）密鋪規(guī)律探究：為方便研究，稱圖3、圖4分別為圖1、圖2的“拼接單元”．

觀察發(fā)現(xiàn)：自左向右拼接圖1時，每增加一個圖3所示的拼接單元，則增加1個正六邊形和2個正三角形，

長度增加40cm，從而x個這樣的拼接單元拼成一行的長度為40x10cm．

自左向右拼接圖2時，每增加一個圖4所示的拼接單元，則增加①個正六邊形和②個正三角形，長度增

加③cm，從而y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為④cm．

【項目分析】

（1）項目條件：場地為長7.4m、寬6m的矩形；正三角形和正六邊形組件的單價分別為1元和5元．

（2）基本約定：項目成本僅計算所需組件的費(fèi)用．

（3）方式確定：

（i）考慮成本因素，采用圖1方式進(jìn)行密鋪；

（ii）每行用正六邊形組件頂著左墻開始，從左向右用一個正六邊形與兩個正三角形組件按圖1所示方式依

次交替拼接，當(dāng)不能繼續(xù)拼接時，該行拼接結(jié)束；

（iii）第一行緊靠墻邊，從前往后按相同方式逐行密鋪，直至不能拼接為止．

（4）方案論證：按上述確定的方式進(jìn)行密鋪，有以下兩種方案．

方案一：第一行沿著長度為6m的墻自左向右拼接（如圖5）．

根據(jù)規(guī)律，令40x10600，解得x14.75，所以每行可以先拼14塊拼接單元，即共用去14個正六邊形和

28個正三角形組件，由401410570知，所拼長度為570cm，剩余30cm恰好還可以擺放一個正六邊形

組件（如圖5所示的陰影正六邊形）．最終需用15個正六邊形和28個正三角形組件，由515128103知，

方案一每行的成本為103元．

373

由于每行寬度為203cm（按31.73計算），設(shè)拼成s行，則203s740，解得s21.34，故需

3

鋪21行．由103212163知，方案一所需的總成本為2163元．

方案二：第一行沿著長度為7.4m的墻自左向右拼接．

類似于方案一的成本計算，令40x10740

方案二每行的成本為⑤元，總成本為⑥元．

【項目實施】

根據(jù)以上分析，選用總成本較少的方案完成實踐活動（略）．

請將上述材料中橫線上所缺內(nèi)容補(bǔ)充完整：

________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．

【答案】①1；②6；③60；④60y10；⑤126；⑥2142

【分析】本題主要考查了平面鑲嵌，通過觀察圖4所示的拼接單元，數(shù)出增加的正六邊形和正三角形的數(shù)

量，再根據(jù)邊長計算出長度的增加量，進(jìn)而得出y個拼接單元拼成一行的長度．涉及根據(jù)給定的拼接條件

進(jìn)行不等式計算，以確定拼接單元數(shù)量、組件數(shù)量，

進(jìn)而計算每行成本和總成本．方案二的計算方法與方案一類似．

【詳解】解：項目主題：

觀察圖4可知，每增加一個圖4所示的拼接單元，增加1個正六邊形和6個正三角

形；

由正六邊形和正三角形組件的邊長均為20cm，觀察圖4可得

增加的長度為3個邊長，即32060cm

計算y個拼接單元拼成一行的長度第一個拼接單元有一個正六邊形左邊的10cm，每增加一個拼接單元長度

增加60cm，所以y個這樣的拼接單元拼成一行的長度為60y10cm

項目分析：

計算方案二每行可拼接的單元數(shù)量令40x10740，

移項可得40x74010，即40x730，

兩邊同時除以40，解得x18.25，

每行可以先拼18塊拼接單元．

計算方案二每行所需的正六邊形和正三角形組件數(shù)量

拼18塊拼接單元，

共用去18個正六邊形和21836個正三角形組件．

由401810730知，所拼長度為730cm，

剩余74073010cm，無法再擺放組件．

由5181369036126知，方案二每行的成本為126元．

由于每行寬度為203cm（按31.73計算），設(shè)拼成s行，

則203s600，

600

兩邊同時除以203，s10317，

203

故需鋪17行．

計算方案二的總成本126172142．

方案二所需的總成本為2142元．

項目實施：

兩種方案比較可知：21632142．

選方案二完成實踐活動．

故答案為：①1；②6；③60；④60y10；⑤126；⑥2142．

3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成

點(diǎn)，每個點(diǎn)表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數(shù)，nk3，d0），如圖1所示．

小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案．

方案1：圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長

為________；

方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；

方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．

解決問題

在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進(jìn)行評價．

2

【答案】分析問題：方案1：n1d；2k；2n1dk；方案2：2k1dn；方案3：2k1nd；

2

解決問題：方案3路徑最短，理由見解析

【分析】分析問題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案

d2d22d

3：根據(jù)圖得出斜著鏟每兩個點(diǎn)之間的距離為，根據(jù)題意得一共有2n列，2k行，斜著鏟相

22

當(dāng)于有n條線段長，同時有2k1個，即可得出總路徑長；

解決問題：利用作差法比較三種方案即可．

題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．

【詳解】解：方案1：根據(jù)題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，

∴每行鏟的路徑長為n1d，

∵每列有k個籽，呈交錯規(guī)律排列，

∴相當(dāng)于有2k行，

∴鏟除全部籽的路徑總長為2n1dk，

故答案為：n1d；2k；2n1dk；

方案2：根據(jù)題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，

∴每列鏟的路徑長為k1d，

∵每行有n個籽，呈交錯規(guī)律排列，，

∴相當(dāng)于有2n列，

∴鏟除全部籽的路徑總長為2k1dn，

故答案為：2k1dn；

d2d22d

方案3：由圖得斜著鏟每兩個點(diǎn)之間的距離為，

22

根據(jù)題意得一共有2n列，2k行，

斜著鏟相當(dāng)于有n條線段長，同時有2k1個，

2

∴鏟除全部籽的路徑總長為：2k1nd；

2

解決問題

由上得：2n1dk2k1dn2ndk2dk2ndk2dn2dnk0，

∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；

22

2k1dn2k1dn22k2dn，

22

∵nk3，

當(dāng)k3時，

252

223240，

22

2

2k1dn2k1dn0，

2

∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．

223344

4．（2021·青?！ぶ锌颊骖}）觀察下列各等式：①22；②33；③44…根據(jù)

33881515

以上規(guī)律，請寫出第5個等式：．

66

【答案】66

3535

【分析】根據(jù)左邊根號外的因數(shù)與根號內(nèi)的分子相同，根號內(nèi)的分母為分子平方與1的差，右邊根號內(nèi)為

左邊根號外與根號內(nèi)兩數(shù)之和，即可找到其中規(guī)律，從而寫出第n個等式，再將n=6代入即可求出答案．

【詳解】解：猜想第n個為：

nn

ng=n+（n為大于等于2的自然數(shù)）；

n2-1n2-1

理由如下：

∵n≥2，

nnn3

∴ng=n2g=

n2-1n2-1n2-1

添項得：

nn(n2-1)+n

ng=，

n2-1n2-1

提取公因式得：

nn(n2-1)+n

ng=

n2-1n2-1

分解分子得：

nn(n2-1)nn

ng=+=n+；

n2-1n2-1n2-1n2-1

即：

nn

ng=n+；

n2-1n2-1

第5個式子，即n=6，代入得：

66

66，

3535

66

故填：66