專題11二次函數(shù)的圖象與性質

考點01二次函數(shù)的圖象

1．（2025·河南·中考真題）在二次函數(shù)yax2bx2中，x與y的幾組對應值如下表所示．

x…201…

y…221…

(1)求二次函數(shù)的表達式．

(2)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標，并在給出的平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象．

(3)將二次函數(shù)的圖象向右平移n個單位長度后，當0x3時，若圖象對應的函數(shù)最大值與最小值的差為5，

請直接寫出n的值．

2．（2023·廣東·中考真題）如圖，拋物線yax2c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸

上，則ac的值為（）

A．1B．2C．3D．4

3．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關于y軸對稱，當0x2時，yx22x；當x2時，

y2x4．若直線yxb與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)b的范圍是（）

191

A．b0B．b

444

11

C．b0D．b或b0

44

c

4．（2024·內蒙古·中考真題）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)yaxba0和yc0的圖象大致

x

如圖所示，則函數(shù)yax2bxca0的圖象大致為（）

A．B．C．D．

5．（2023·遼寧沈陽·中考真題）二次函數(shù)y(x1)22圖象的頂點所在的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

k

6．（2023·安徽·中考真題）已知反比例函數(shù)yk0在第一象限內的圖象與一次函數(shù)yxb的圖象如

x

圖所示，則函數(shù)yx2bxk1的圖象可能為（）

A．B．C．D．

考點02二次函數(shù)的圖象與系數(shù)

1．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交于兩點(1,0)，

(x1,0)，且2x13．下列結論：①abc0；②2ac0；③4ab2c0；④若m和n是關于x的一元

二次方程a(x1)(xx1)c0(a0)的兩根，且mn，則m1，n2；⑤關于x的不等式

2c

axbxcxc(a0)的解集為0xx1．其中正確結論的個數(shù)是（）

x1

A．2B．3C．4D．5

2．（2025·安徽·中考真題）已知二次函數(shù)yax2bxca0的圖象如圖所示，則（）

A．abc0B．2ab0C．2bc0D．abc<0

3．（2025·四川涼山·中考真題）二次函數(shù)yax2bxc的部分圖像如圖所示，其對稱軸為x2，且圖像

經(jīng)過點6,0，則下列結論錯誤的是（）

A．bc0

B．4ab0

22

C．若ax1bx1ax2bx2且x1x2，則x1x24

2

D．若1,y1,3,y2兩點都在拋物線yaxbxc的圖像上，則y2y1

4．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)yax2bxca0的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，

則下列結論中：

b

①0②am2bmab（m為任意實數(shù)）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個點，則x1x23．其中正確的結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

5．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxca0的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸

交于點B，對稱軸為直線x1，下列四個結論：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④若2c1，

84

則abc，其中正確結論的個數(shù)為（）

33

A．1個B．2個C．3個D．4

6．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸相交于點A3,0，B1,0，

則下列結論正確的個數(shù)是（）

①abc0

②3b2c0

③對任意實數(shù)m，am2bmab均成立

1

④若點4,y1，,y2在拋物線上，則y1y2

2

A．1個B．2個C．3個D．4個

7．（2024·湖北·中考真題）拋物線yax2bxc的頂點為1,2，拋物線與y軸的交點位于x軸上方．以

下結論正確的是（）

A．a<0B．c0C．abc2D．b24ac0

考點03二次函數(shù)的圖象平移

1．（2025·上?！ぶ锌颊骖}）將函數(shù)y3x2的圖像向下平移2個單位后，得到的新函數(shù)的解析式為．

2．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線yx22x1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）

A．4,1B．4,2C．2,1D．2,2

3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）對于二次函數(shù)yx22ax3（a是常數(shù)），下列結論：①將這個函數(shù)的圖

像向下平移3個單位長度后得到的圖像經(jīng)過原點；②當a1時，這個函數(shù)的圖像在函數(shù)yx圖像的上方；

③若a1，則當x1時，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；④這個函數(shù)的最小值不大于3．其中正確的是

（填寫序號）．

4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線yax2bx3向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點2,4，則

6a3b7．

2

5．（2023·西藏·中考真題）將拋物線yx15通過平移后，得到拋物線的解析式為yx22x3，則

平移的方向和距離是（）

A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度

B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度

C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度

D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度

1

6．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)yx2bx4的圖像與x軸相交于點A(2,0)、B，其頂點是

2

C．

(1)b_______；

5

(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，tanAOD；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線

2

經(jīng)過點D，過點(k,0)作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；

(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接

PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點P的坐標．

3

7．（2023·上海·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知直線yx6與x軸交于點A，y軸交于點B，

4

點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：yax2bxc經(jīng)過點B．

(1)求點A，B的坐標；

(2)求b，c的值；

(3)平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯(lián)結CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新

拋物線過點B，求拋物線N的函數(shù)解析式．

考點04二次函數(shù)的頂點、對稱軸、單調性問題

2

1．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知點2,y1,3,y2,7,y3都在二次函數(shù)yx2c的圖象上，則

y1,y2,y3的大小關系是（）

A．y1y2y3B．y1y3y2C．y2y1y3D．y3y2y1

2

2．（2024·廣東·中考真題）若點0,y1,1,y2,2,y3都在二次函數(shù)y=x的圖象上，則（）

A．y3y2y1B．y2y1y3C．y1y3y2D．y3y1y2

3．（2023·四川甘孜·中考真題）下列關于二次函數(shù)y(x2)23的說法正確的是()

A．圖象是一條開口向下的拋物線B．圖象與x軸沒有交點

C．當x2時，y隨x增大而增大D．圖象的頂點坐標是2,3

2

4．（2023·廣東廣州·中考真題）已知點Ax1,y1，Bx2,y2在拋物線yx3上，且0x1x2，則y1

y2．（填“<”或“>”或“=”）

5．（2023·安徽·中考真題）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）

A．yx21B．yx21C．y2x1D．y2x1

6．（2025·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yax22axa3a0的圖象與x軸有兩個

交點，且這兩個交點分別位于y軸兩側，則下列關于該函數(shù)的結論正確的是（）

A．圖象的開口向下B．當x0時，y的值隨x值的增大而增大

C．函數(shù)的最小值小于3D．當x2時，y0

2

7．（2025·福建·中考真題）已知點A2,y1,B1,y2在拋物線y3xbx1上，若3b，則下列判斷

正確的是（）

A．1y1y2B．y11y2C．1y2y1D．y21y1

8．（2024·內蒙古包頭·中考真題）將拋物線yx22x向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（）

2222

A．yx13B．yx12C．yx13D．yx12

9．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是3，

頂點坐標為1,4，則下列說法正確的是（）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x1

B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2

C．當x1時，y隨x的增大而減小

D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3

10．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線yax22a2xa0.

(1)當a1時，求拋物線的頂點坐標；

(2)已知Mx1,y1和Nx2,y2是拋物線上的兩點.若對于x13a，3x24，都有y1y2，求a的取值范圍.

11．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，拋物線yax2bxc與x軸相交于點A(1,0)、點B3,0，與y軸

相交于點C，點D在拋物線上，當CD∥x軸時，CD．

考點05二次函數(shù)的最值

1．（2024·青海西寧·中考真題）【感知特例】

（1）如圖1，點A，B在直線l上，ACl，DBl，垂足分別為A，B，點P在線段AB上，且PCPD，

垂足為P．

結論：ACBDAPBP

（請將下列證明過程補充完整）

證明：ACl，BDl，PCPD，

CAPDBPCPD90，

CAPC90，

APC90，

，（同角的余角相等）

APC∽，（兩角分別相等的兩個三角形相似）

．（相似三角形的對應邊成比例）

即ACBDAPBP

【建構模型】

（2）如圖2，點A，B在直線l上，點P在線段AB上，且CAPDBPCPD．結論ACBDAPBP

仍成立嗎？請說明理由．

【解決問題】

（3）如圖3，在VABC中，ACBC5，AB8，點P和點D分別是線段AB，BC上的動點，始終滿足

CPDA．設AP長為x0x8，當x時，BD有最大值是．

2．（2024·四川攀枝花·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)的表達式為yax2bx3(a0)．

(1)若a1，且點(2,3)在函數(shù)的圖象上，求此時函數(shù)的最小值；

(2)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,1)，當自變量x的值滿足x1時，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；

(3)若函數(shù)的圖象的對稱軸為x2，點Am,y1,Bm1,y2在函數(shù)的圖象上，且總有y1y2，求m的取值

范圍．

3．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)yx22x1xt1，當x=1時，函數(shù)取得最大值；當

x1時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）

A．0t2B．0t4C．2t4D．t2

4．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：aba2bab，例如4342343，則函數(shù)

yx12的最小值為（）

A．21B．9C．7D．5

2

5．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）已知拋物線yxbxcb0與x軸交點的坐標分別為x1,0，x2,0，

且x1x2．

2

(1)若拋物線y1xbxc1b0與x軸交點的坐標分別為x3,0，x4,0，且x3x4．試判斷下列每組

數(shù)據(jù)的大?。ㄌ顚憽⒒颍?/p>

x1x2________x3x4；x1x3________x2x4；x2x3________x1x4．

①②③

(2)若x11，2x23，求b的取值范圍；

9

(3)當0x1時，yx2bxcb0最大值與最小值的差為，求b的值．

16

2

6．（2023·浙江紹興·中考真題）已知點Ax1,y1,Bx2,y2在函數(shù)y=x的圖象上，x1x2，設my1y2，

當x1x20且x2x11時，則下列結論正確的是（）．

A．m有最大值，也有最小值B．m有最小值，但沒有最大值

C．m有最大值，但沒有最小值D．m沒有最小值，也沒有最大值

7．（2023·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yx2mxm2m（m為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點

(0，6)，其對稱軸在y軸左側，則該二次函數(shù)有（）

1515

A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值

44

8．（2023·遼寧大連·中考真題）已知拋物線yx22x1，則當0x3時，函數(shù)的最大值為（）

A．2B．1C．0D．2

考點06二次函數(shù)與方程

1．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx3與x與相交于點A，B，點B

的坐標為(3,0)，若點C(2,3)在拋物線上，則AB的長為．

2

2．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）拋物線yx26與y軸的交點坐標是．

3．（2025·四川宜賓·中考真題）如圖，O是坐標原點，已知二次函數(shù)yax2bxca0的圖象與x軸交

于A、C兩點，與y軸交于B點，頂點為D，對稱軸為直線x2，其中A2,0,B0,c，且3c2．以

22

下結論：①abc0；②b1；③ACD是鈍角三角形；④若方程axb2xc0的兩根為x1、

3

x2x1x2，則2x1427，6x2427．其中正確結論有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

4．（2025·四川南充·中考真題）已知某函數(shù)圖象關于y軸對稱，當0x2時，yx22x；當x2時，

y2x4．若直線yxb與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)b的范圍是（）

191

A．b0B．b

444

11

C．b0D．b或b0

44

5．（2024·江蘇徐州·中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)yx2023x20245的圖象向下平

移5個單位長度，所得拋物線與x軸有兩個公共點P、Q，則PQ．

6．（2024·寧夏·中考真題）若二次函數(shù)y2x2xm的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍是．

2

7．（2024·四川雅安·中考真題）已知一元二次方程axbxc0有兩實根x11，x23，且abc0，則

下列結論中正確的有（）

4c

①2ab0；②拋物線yax2bxc的頂點坐標為1,；

3

③a<0；④若mamb4a2b，則0m1．

A．1個B．2個C．3個D．4個

8．（2025·黑龍江綏化·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2bxc與x軸交于點A3,0、B1,0，與y軸

交于點C0,m，其中4m3．則下列結論：

8abc

①ac0；②方程ax2bxc50沒有實數(shù)根；③b2；④0．

3ba

其中錯誤的個數(shù)有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

9．（2023·四川成都·中考真題）如圖，二次函數(shù)yax2x6的圖象與x軸交于A(3,0)，B兩點，下列說

法正確的是（）

1

A．拋物線的對稱軸為直線x1B．拋物線的頂點坐標為,6

2

C．A，B兩點之間的距離為5D．當x1時，y的值隨x值的增大而增大

考點07二次函數(shù)與不等式

2

1．（2023·浙江衢州·中考真題）已知二次函數(shù)yax4ax（a是常數(shù)，a0）的圖象上有Am,y1和B2m,y2

兩點．若點A，B都在直線y3a的上方，且y1y2，則m的取值范圍是（）

3443

A．1mB．m2C．m