第四節(jié)基本不等式

目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建微專題1柯西不等式考點分類突破4課時跟蹤檢測PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

A.1B.2C.2

D.4

2.下列不等式一定成立的是（

）A.

x

2＋

＞

x

B.sin

x

＋

≥2（

x

≠

k

π，

k

∈Z）C.

x

2＋1≥2｜

x

｜（

x

∈R）D.

＞1（

x

∈R）

4

4.一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，則

這個矩形的長為

m，寬為

m時菜園面積最大.

15

A.2B.3

C

.

4D.5

①②④

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練利用基本不等式求最值

4

解題技法配湊法求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點

配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方

法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值.配

湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.技法2

常數(shù)代換法【例2】

（1）（2024·云南一模）若正數(shù)

x

，

y

滿足

x

＋

y

＝

xy

，則

x

＋2

y

的最小值是（

）A.6B.2＋3

C.3＋2

D.2＋2

2

解題技法常數(shù)代換法求最值的基本步驟（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把確定的定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和

或積為定值的形式；（4）利用基本不等式求最值.

3

即

x

＝3，

y

＝1時取等號，∴

xy

的最大值為3.

時取等號.∴

xy

的最大值為3.

（變設(shè)問）本例中條件不變，則

x

＋3

y

的最小值為

?.6

解題技法消元法求最值的思路

當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件

消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本

不等式求最值.

A.最大值0B.

最小值9C.最大值－3D.

最小值－3

5

基本不等式的綜合應(yīng)用

A.

B.3＋2

C.3D.9

A.2B.4C.6D.8

解題技法利用基本不等式解題的策略（1）應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式（或式

子）變形，然后利用基本不等式求解；（2）條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的

形式求解；（3）求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)

成立條件，從而求得參數(shù)的值或范圍.

A.16B.8

C

.

4D.2

A.（－1，4）B.

（－4，1）C.（－∞，－1）∪（4，＋∞）D.

（－∞，0）∪（3，＋∞）

利用基本不等式解決實際問題

A.135B.149C.165D.195

解題技法利用基本不等式解決實際問題的策略（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函

數(shù)的最值；（2）解實際問題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍；（3）在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)

的單調(diào)性求解.

某茶農(nóng)打算在自己的茶園建造一個容積為500立方米的長方體無蓋

蓄水池，要求池底面的長和寬之和為20米.若每平方米的池底面造價是

池側(cè)壁的兩倍，則為了使蓄水池的造價最低，蓄水池的高應(yīng)該

為

米.5

PART3微專題1柯西不等式

柯西不等式是法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)

的，故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學(xué)中一個非常重要的不等

式，除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外，柯西不等式還常用

于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的技巧可以達(dá)到事半

功倍的效果.

一、利用柯西不等式求最值【例1】

（1）已知

x

，

y

滿足

x

＋3

y

＝4，則4

x

2＋

y

2的最小值

為

?；

（2）已知正實數(shù)

x

，

y

，

z

滿足

x

2＋

y

2＋

z

2＝1，正實數(shù)

a

，

b

，

c

滿足

a

2＋

b

2＋

c

2＝9，則

ax

＋

by

＋

cz

的最大值為

?.解析：（

ax

＋

by

＋

cz

）2≤（

a

2＋

b

2＋

c

2）·（

x

2＋

y

2＋

z

2）＝

9，∴

ax

＋

by

＋

cz

≤3，當(dāng)且僅當(dāng)

a

＝3

x

，

b

＝3

y

，

c

＝3

z

時取

“＝”，∴

ax

＋

by

＋

cz

的最大值為3.3

二、利用柯西不等式證明不等式【例2】

（2022·全國甲卷23題）已知

a

，

b

，

c

均為正數(shù)，且

a

2＋

b

2

＋4

c

2＝3，證明：（1）

a

＋

b

＋2

c

≤3；證明：（1）法一（平方轉(zhuǎn)化基本不等式證明）

因為

a

2＋

b

2＋

4

c

2＝3，所以（

a

＋

b

＋2

c

）2＝

a

2＋

b

2＋4

c

2＋2（

ab

＋2

bc

＋2

ac

）≤3

＋（

a

2＋

b

2）＋[

b

2＋（2

c

）2]＋[

a

2＋（2

c

）2]，當(dāng)且僅當(dāng)

a

＝

b

＝2

c

＝1時取等號，所以（

a

＋

b

＋2

c

）2≤3＋2[

a

2＋

b

2＋（2

c

）2]＝9.又

a

，

b

，

c

均為正數(shù)，所以

a

＋

b

＋2

c

≤3.法二（柯西不等式證明）

因為

a

2＋

b

2＋4

c

2＝3，所以根據(jù)柯

西不等式有3×3＝（

a

2＋

b

2＋4

c

2）（12＋12＋12）≥（

a

＋

b

＋

2

c

）2，當(dāng)且僅當(dāng)

a

＝

b

＝2

c

＝1時取等號.又

a

，

b

，

c

均為正數(shù)，所以

a

＋

b

＋2

c

≤3.

PART4課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A.

y

＝

x

＋

B.

y

＝

C.

y

＝e

x

＋e－

x

D.

y

＝log3

x

＋log

x

3（0＜

x

＜1）12345678910111213141516

123456789101112131415162.（2024·曲靖一模）已知

x

＞2，

y

＞1，（

x

－2）（

y

－1）＝4，則

x

＋

y

的最小值是（

）A.1B.4C.7D.3＋

123456789101112131415163.（2024·長郡中學(xué)一模）已知

a

＞0，

b

＞0，

a

＋4

b

＝2，則

ab

的最

大值為（

）A.

B.

C.1D.2

123456789101112131415164.設(shè)

a

，

b

為正實數(shù)，且

a

＋

b

＝10

ab

，則

a

＋9

b

的最小值為（

）A.

B.

C

.

D.

12345678910111213141516

123456789101112131415165.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的

底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的

最低總造價是（

）A.80元B.120元C.160元D.240元12345678910111213141516

123456789101112131415166.（多選）已知正實數(shù)

a

，

b

滿足

a

＋

b

＝1，則下列不等式成立的有

（

）A.2

a

＋2

b

≥2

B.

a

2＋

b

2＜1C.

＜4D.

a

＋

＜212345678910111213141516

123456789101112131415167.若log2

m

＋log2

n

＝1，那么

m

＋

n

的最小值是

?.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.2B.4C.8D.1612345678910111213141516

1234567891011121314151610.（多選）設(shè)

a

＞0，

b

＞0，則下列不等式中一定成立的是（

）A.

a

＋

b

＋

≥2

B.

C.

≥

a

＋

b

D.

（

a

＋

b

）（

）≥4

12345678910111213141516

1234567891011121314151611.（多選）若

a

，

b

，

c

∈R，且

ab

＋

bc

＋

ca

＝1，則下列不等式成

立的是（

）A.

a

＋

b

＋

c

≤

B.

（

a

＋

b

＋

c

）2≥3C.

≥2

D.

a

2＋

b

2＋

c

2≥112345678910111213141516

12345678910111213141516

a

2＋

b

2＝1（答案不唯一）

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678