第4章控制系統(tǒng)的頻域分析4.1頻率特性的概念4.1.1頻率特性的定義

通過系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的圖形來分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的。本章將介紹頻率特性的基本概念及其與傳遞函數(shù)的關(guān)系，頻率特性的圖形表示，典型環(huán)節(jié)的伯德圖、控制系統(tǒng)的頻域指標等內(nèi)容。

頻率特性又稱頻率響應(yīng)，是系統(tǒng)（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性。圖4-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4.1頻率特性的概念（a）

（b）圖4-2線性系統(tǒng)的輸入輸出曲線

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量的幅值之比為幅頻特性，簡稱幅頻特性，用A(ω)表示。輸出量與輸入量的相位差為相位頻率特性，簡稱相頻特性。φ(ω)=∠G(jω)

將幅值頻率特性和相位頻率特性兩者寫在一起，可得幅相頻率特性，簡稱頻率特性。頻率特性的幾種表示方法U(ω)稱為實頻特性，V(ω)稱為虛頻特性，幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性的關(guān)系如下：4.1.2頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系對于同一系統(tǒng)（或元件），頻率特性與傳遞函數(shù)之間存在著確切的對應(yīng)關(guān)系。例4-1RC電路如圖4-3所示，已知，穩(wěn)態(tài)輸出，求該電路的頻率特性。圖4-3電路解電路的頻率特性為：將傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用純虛數(shù)jω代替，就可以得到頻率特性。即幅值頻率特性為頻率特性為相位頻率特性為

利用頻率特性法可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。4.1.3頻率特性的圖形表示方法

頻率特性G(jω)的圖形表示是描述從0→∞變化時頻率響應(yīng)的幅值、相位與頻率之間關(guān)系的一組曲線。1.幅相頻率特性曲線

幅相頻率特性曲線又稱為極坐標圖或奈奎斯特（Nyquist）曲線。它是根據(jù)頻率特性的表達式G(jω)=|G(jω)|·ej∠G(jω)=A(ω)ejφ(ω)，計算出當ω從0→∞變化時，對應(yīng)于每一個ω值的幅值A(chǔ)(ω)和相位φ(ω)，將A(ω)和φ(ω)同時表示在復(fù)平面上所得到的圖形。例4-1的RC電路的幅相頻率特性曲線如圖4-4所示。圖4-4慣性環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線2.對數(shù)頻率特性曲線

對數(shù)頻率特性曲線又稱為伯德（Bode）圖，工程上常將A(ω)變換為L(ω)，它和φ(ω)分別畫在兩個圖上，稱為對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。（1）對數(shù)頻率特性的定義

將幅頻A(ω)取常用對數(shù)后再乘以20，稱之為對數(shù)幅頻特性20lgA(ω)，用L（ω）表示，有伯德圖

在對數(shù)坐標里作出的20lgA(ω)及φ(ω)曲線，分別稱為對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。圖4-5伯德圖的橫坐標4.2典型環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.1比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為

對數(shù)頻率特性為圖4-6比例環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.2積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為頻率特性為對數(shù)頻率特性為圖4-7積分環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.3慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為對數(shù)頻率特性為慣性環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.4理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為對數(shù)頻率特性為圖4-9理想微分環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.5一階微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為對數(shù)頻率特性為圖4-10比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.6振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)頻率特性為對數(shù)頻率特性為圖4-11振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖4.2.7延遲環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為頻率特性為對數(shù)幅值頻率特性為圖4-12延遲環(huán)節(jié)的伯德圖4.3

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制4.3.1繪制原則

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)結(jié)構(gòu)由n各環(huán)節(jié)組成，其開環(huán)傳遞函數(shù)為回路中各串聯(lián)傳遞函數(shù)的乘積，即則其開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性為系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性為

系統(tǒng)總的開環(huán)對數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性之和，總的開環(huán)相頻特性等于各環(huán)節(jié)相頻特性之和。4.3.2系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線繪制舉例例4-2已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試利用疊加法繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。解

將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)的標準形式，即由傳遞函數(shù)可見，該系統(tǒng)包含有5個典型環(huán)節(jié)，分別為比例環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：

一階微分環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折頻率

慣性環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折頻率

根據(jù)典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻、相頻特性曲線的繪制方法，分別繪制出五個典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線，如圖4-13中的①②③④⑤所示。慣性環(huán)節(jié)：轉(zhuǎn)折頻率例4-2的對數(shù)頻率特性曲線圖4-13疊加法繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的一般步驟是：（1）首先寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。（2）將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成各個典型環(huán)節(jié)乘積的形式。（3）畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線。（4）在同一坐標軸下，將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線相疊加，即可得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性。例4-3已知某單位反饋系統(tǒng)的框圖如圖4-14所示，試利用疊加法繪制該系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。圖4-14某單位反饋系統(tǒng)框圖解

由圖4-14可見，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)包含有三個典型環(huán)節(jié)，分別為比例環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：

圖4-15例4-3的對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻特性的簡便畫法，其步驟如下：（1）根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分析系統(tǒng)是由哪些典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的，將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都化成標準形式。（2）計算各典型環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率按由小到大的順序進行排列。（3）根據(jù)比例環(huán)節(jié)的K值，計算20lgK。（4）低頻段，找到橫坐標為ω＝1、縱坐標為L(ω)=20lgK的點，過該點作斜率為-ν20dB/dec的斜線，其中ν為積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。（5）沿平vzenda的方向，每遇到一個頻率轉(zhuǎn)折點就在原有斜率的基礎(chǔ)上，按照相應(yīng)環(huán)節(jié)的斜率變化，改變一次斜率。如遇到慣性環(huán)節(jié)，斜率減少-20dB/dec，如遇到微分環(huán)節(jié)斜率增加20dB/dec，如遇到振蕩環(huán)節(jié)斜率減少-40dB/dec。在頻率轉(zhuǎn)折處，對相應(yīng)段的漸近線進行修正。例4-4已知某隨動系統(tǒng)框圖如圖4-16所示，試畫出該系統(tǒng)的伯德圖。圖4-16例4-4某隨動系統(tǒng)組成框圖解

由圖4-16可得該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為將該開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準形式

包含五個典型環(huán)節(jié)，分別為：一個比例環(huán)節(jié)、兩個積分環(huán)節(jié)、一個慣性環(huán)節(jié)和一個微分環(huán)節(jié)。圖4-17例4-4系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性4.3.3最小相位系統(tǒng)例4-5

已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為

求它們的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。解：由G1(s)、G2(s)、G3(s)可得它們的對數(shù)幅頻特性為它們的對數(shù)相頻特性為例4-5系統(tǒng)的伯德圖

最小相位系統(tǒng)是具有相同幅頻特性的一些系統(tǒng)中相位范圍最小的那一個系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性之間存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。也就是說，根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅值頻率特性就可以唯一地確定相應(yīng)的對數(shù)相頻特性和傳遞函數(shù)，反之亦然。具有相同幅頻特性的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)中，最小相位系統(tǒng)相位角的變化范圍最小。

在開環(huán)傳遞函數(shù)中，其分母多項式的根稱為極點，分子多項式的根稱為零點。若開環(huán)傳遞函數(shù)中所有的極點和零點都位于s平面的左半平面，則這樣的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。例4-6已知圖4-19為三個最小相位系統(tǒng)的伯德圖，試寫出各自的傳遞函數(shù)，其斜率分別為-20dB/dec、-40dB/dec、-60dB/dec，它們與零分貝線的交點均為圖4-19例4-6的三個最小相位系統(tǒng)的伯德圖解

由圖4-19（a）可知這是一個比例積分環(huán)節(jié)，設(shè)其傳遞函數(shù)為G(s)=K/s，K可以由下式求出即圖4-19（a）的傳遞函數(shù)為

圖4-19（b）代表的是比例和兩個積分環(huán)節(jié)的串聯(lián)，設(shè)其傳遞函數(shù)為G(s)=K/s2，K可以由下式求出即圖4-19的傳遞函數(shù)為

圖4-19（c）代表的是三個比例和積分環(huán)節(jié)的串聯(lián)，設(shè)其傳遞函數(shù)為G(s)=K/s3，K可以由下式求出即圖4-19（c）的傳遞函數(shù)為例4-7

已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖4-20所示，試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)。圖中：ω1=2，ω2=50，ωc=5。圖4-20例7最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性解

根據(jù)L(ω)在低頻段的斜率和高度，可知G(s)中含有一個積分環(huán)節(jié)和一個比例環(huán)節(jié)，再根據(jù)L(ω)在ω1=2處斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，表明有慣性環(huán)節(jié)存在，且此慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)為轉(zhuǎn)折頻率的倒數(shù)。即，L(ω)在ω2=50處斜率由-40dB/dec變?yōu)?60根據(jù)以上分析，G(s)可寫成如下形式dB/dec，表明還有一個慣性環(huán)節(jié)，時間常數(shù)

上式中開環(huán)增益K可用已知的截止頻率ωc=5來求。在圖上作低頻漸近線的延長線與橫軸交于一點，由例6可知，該點的坐標值即為K。列出下列兩式聯(lián)立消去x，可得故例題中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為4.4系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析

在頻域分析中，利用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性不僅可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，同時還能方便地研究參數(shù)及結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。4.4.1對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

在開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，對應(yīng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對-π線的正穿越與負穿越次數(shù)之差等于P/2，則其中P為系統(tǒng)開環(huán)正極點的個數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。即正穿越：對數(shù)相頻特性曲線由下往上穿過-π線為正穿越，曲線由下往上穿過-π線一次，稱為一個正穿越，從-π線開始往上稱為半個正穿越。N+表示正穿越次數(shù)。負穿越：對數(shù)相頻特性曲線由上往下穿過-π線為負穿越，

曲線由上往下穿過-π線一次，稱為一個負穿越，從-π線開始往下稱為半個負穿越。N-表示負穿越次數(shù)。當開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時，對應(yīng)在對數(shù)相頻曲線上ω為0+處，用虛線向上補畫角。在計算正、負穿越時，應(yīng)將補上的虛線看成對數(shù)相頻曲線的一部分。例4-8已知某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4-21所示，試判斷該系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。圖4-21例4-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解

由傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖4-22所示。由于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中含有一個積分環(huán)節(jié)，所以，需要在相頻特性曲線ω=0+處向上補畫π/2角。

由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)開環(huán)正極點個數(shù)P=0。因此，由圖4-22可看出，在L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，對應(yīng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線對-π線沒有穿越。即N+=0,N-=0。則根據(jù)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)圖4-22例8系統(tǒng)開環(huán)數(shù)頻率特性系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定結(jié)論：例4-9

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試利用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)在閉環(huán)時的穩(wěn)定性。解

由開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖4-23所示。由于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中含有一個積分環(huán)節(jié)，所以需要在相頻特性曲線ω=0+處向上補畫π/2角。

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)開環(huán)正極點個數(shù)P=0。因此，由圖4-23可知，在L(ω)>0dB的頻率范圍內(nèi)，對應(yīng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線

對-π線由上往下穿過-π線一次（負穿越），沒有正穿越。即N+=0,N-=1。則根據(jù)對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，有故系統(tǒng)在閉環(huán)時不穩(wěn)定。圖4-23例4-9系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性圖4-24所示是系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，其本質(zhì)是屬于不穩(wěn)定狀態(tài)。圖4-24臨界穩(wěn)定系統(tǒng)示意圖4.4.2穩(wěn)定裕量一般用相位穩(wěn)定裕量和幅值穩(wěn)定裕量Kg來判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的好壞。

1.相位穩(wěn)定裕量

在開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線上，對應(yīng)于幅值L(ω)=0的角頻率或稱截止頻率，用表示。稱為穿越頻率，相位穩(wěn)定裕量是：當ω等于剪切頻率>0）時，對數(shù)相頻特性曲線

式中為開環(huán)相頻特性曲線在時的相位。距-180°線的相位差。即相位裕量圖4-25系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕量和幅值穩(wěn)定裕量對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，點必在伯德圖-180°線以上，這時稱為正相位裕量；線必在伯德圖-180°線以下，這時稱為負相位裕量。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，利用相位穩(wěn)定裕量γ判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)是：當為正相位裕度（）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當為負相位裕度<0°）時，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。值越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好。在工程中，通常要求在30°～60°（之間。2．幅值穩(wěn)定裕量Kg

幅值穩(wěn)定裕量Kg又稱增益裕量，在伯德圖中，對應(yīng)于幅值=-180°時的角頻率ω稱為相位交界頻率，用ωg表示，如圖4-25所示。

幅值穩(wěn)定裕量定義為：當ω為相位交界頻率時，開環(huán)幅頻特性的倒數(shù)，稱為幅值穩(wěn)定裕量，用Kg表示。即

在對數(shù)頻率特性曲線上，幅值穩(wěn)定裕量Kg相當于時，幅頻值20lgA(ω)的負值，即利用幅值穩(wěn)定裕量Kg判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)為：當Kg＜1，即時，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當Kg＞1，即時，相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。一般工程中dB。要求幅值穩(wěn)定裕量4.5系統(tǒng)性能的頻域分析4.5.1三頻段的概念將開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線分成低頻段、中頻段、高頻段三個頻段。第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的部分稱為低頻段，穿越頻率附近的區(qū)段稱為中頻段，中頻段以后的部分（＞10）為高頻段,

圖4-26三頻段示意圖1．低頻段這一頻段特性完全由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目和開環(huán)增益K來決定。積分環(huán)節(jié)的數(shù)目（型別）確定了低頻段的斜率，開環(huán)增益確定了曲線的高度。而系統(tǒng)的型別以及開環(huán)增益又與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有關(guān)，因此低頻段反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

低頻段的開環(huán)傳遞函數(shù)為低頻段對數(shù)幅頻特性為

為不同值時，低頻段對數(shù)幅頻特性的形狀分別如圖4-27所示。曲線為一些斜率不等的直線，斜率值為-20dB/dec。圖4-27低頻段對數(shù)幅頻特性圖對于0型系統(tǒng)，即＝0，其低頻段是一條平行于橫軸的直線，該直線高度為。由K值的大小決定，。對于Ⅰ型系統(tǒng)，即-20dB/dec，高度由K值決定。對于Ⅱ型系統(tǒng)，即=2，其低頻段斜率為-40dB/dec，高度由K值決定。＝1，斜率為

開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線低頻段的形狀主要影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。系統(tǒng)中包含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目越多，開環(huán)增益越大，則其曲線斜率越小，位置越高，那么其穩(wěn)態(tài)誤差越小，動態(tài)響應(yīng)精度越高。2．中頻段中頻段是指開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線在截止頻率附近的區(qū)段，這段特性集中反映了系統(tǒng)動態(tài)性能的平穩(wěn)性和快速性

。(a)-20dB/dec中頻段

(b)-40dB/dec中頻段

(c)-60dB/dec中頻段圖4-28不同斜率中頻段的相位裕量的情況

一般在工程中，中頻段的斜率設(shè)計以-20dB/dec為宜，并要有一定的寬度，以期得到良好的平穩(wěn)性，保證系統(tǒng)有足夠的相位穩(wěn)定裕度，使系統(tǒng)表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性。穿越頻率與系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間有關(guān)，適當增大可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。3．高頻段

這部分區(qū)域的輸出量幅值很小，故對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)影響不大，但這部分受干擾信號的影響較顯著。從單位反饋系統(tǒng)來看，若開環(huán)傳遞函數(shù)為，則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為頻率特性為在高頻段，，即故有

即閉環(huán)幅頻特性近似等于開環(huán)幅頻特性。

系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性在高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對輸入端高頻干擾信號的抑制能力。高頻特性的分貝值越低，表明系統(tǒng)的抗高頻干擾能力越強。4.5.2系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能指標的關(guān)系

實際應(yīng)用中，高階系統(tǒng)的分析往往都近似為二階系統(tǒng)來進行分析。下面重點分析二階系統(tǒng)（Ⅰ型）的頻率特性與性能之間的定量或定性關(guān)系。=式中，圖4-29典型二階系統(tǒng)的伯德圖圖中為了保證對數(shù)幅頻特性曲線以-20dB/dec的斜率穿越0dB線，必須使<1/T，即KT<1。

跟隨動態(tài)指標主要有三項。（1）最大超調(diào)量：（2）上升時間：（3）調(diào)整時間：（按5%誤差帶計算）動態(tài)指標和系統(tǒng)參數(shù)之間關(guān)系如表4-2所示。（按2%誤差帶計算）表4-2二階系統(tǒng)參數(shù)與動態(tài)性能指標的關(guān)系表系統(tǒng)參數(shù)KT0.390.500.691.0阻尼系數(shù)

0.80.7070.60.5超調(diào)量

1.54.39.516.3相位裕量

69.9o65.5o59.2o51.8o上升時間

6.7T4.7T3.3T2.4T調(diào)整時間

6T左右8T左右習題44-1若系統(tǒng)的單