2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之因式分解一．選擇題（共2小題）1．（2025?廣西）因式分解：a2﹣1＝（）A．（a+1）（a﹣1） B．a(chǎn)（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）22．（2025?臺(tái)灣）已知a、b、c皆為正整數(shù)，且a、b兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)分別為11與88．關(guān)于a、b、c三數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，甲、乙兩人分別提出看法如下：甲：a、b、c三數(shù)的最大公因式可能比11大乙：a、b、c三數(shù)的最小公倍數(shù)可能比88小對(duì)于甲、乙兩人的看法，下列判斷何者正確？（）A．甲、乙皆正確 B．甲、乙皆錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確二．填空題（共22小題）3．（2025?長(zhǎng)沙）分解因式：mx﹣2my＝．4．（2025?北京）分解因式：7m2﹣28＝．5．（2025?綏化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝．6．（2025?廣東）因式分解：a2b+ab2＝．7．（2025?連云港）分解因式：x2﹣9＝．8．（2025?吉林）因式分解：a2﹣ab＝．9．（2025?揚(yáng)州）分解因式：a2﹣4＝．10．（2025?山西）因式分解：m2﹣16＝．11．（2025?湖南）因式分解：a2+13a＝．12．（2025?新疆）分解因式：x2﹣x＝．13．（2025?宜賓）分解因式：a2﹣a＝．14．（2025?江西）因式分解：a2﹣a＝．15．（2025?蘇州）因式分解：x2﹣9＝．16．（2025?甘肅）因式分解：x2﹣6x+9＝．17．（2025?云南）分解因式：x2+x＝．18．（2025?煙臺(tái)）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝．19．（2025?上海）分解因式：a2b+ab2＝．20．（2025?內(nèi)江）分解因式：a2﹣1＝．21．（2025?錢塘區(qū)三模）因式分解：m2+2m＝．22．（2025?重慶）我們規(guī)定：一個(gè)四位數(shù)M=abcd，若滿足a+b＝c+d＝10，則稱這個(gè)四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因?yàn)?+9＝2+8＝10，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是；一個(gè)“十全數(shù)”M=abcd，將其千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個(gè)新的數(shù)M'=dcba，記F（M）=M?M′909，G（M）=M+M′11．若4F(M)+G(M)+1523．（2025?自貢）若2a+b＝﹣1，則4a2+2ab﹣b的值為．24．（2025?自貢）分解因式：m2﹣4m＝．三．解答題（共2小題）25．（2025?齊齊哈爾）（1）計(jì)算：9?|1?2|+2sin45°（2）分解因式：2x3﹣8x．26．（2025?福建）閱讀材料，回答問題．【主題】?jī)蓚€(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究．【提出問題】小明是一位愛思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(gè)（m+n﹣1）位的正整數(shù)．【分析探究】問題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例．【推廣延伸】小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n，則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是n+1，數(shù)字是a．借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問題，提出并證明了以下命題．命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且A×B＝C，則必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，當(dāng)c≥a且c≥b時(shí)，p＝m+n﹣1；當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，p＝m+n．證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均為正數(shù)．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，即abc當(dāng)c≥a且c≥b時(shí)，ac≤1，所以abc≤b＜10，又abc≥ac＞110當(dāng)c≥a且c＜b時(shí)，ac≤1bc＞1當(dāng)c＜a且c≥b時(shí)，①；當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，②．綜上所述，命題成立．【拓展遷移】問題2若正數(shù)A、B的位數(shù)分別為m，n，那么AB（1）解決問題1；（2）請(qǐng)把①②所缺的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（3）解決問題2．

2025年中考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之因式分解參考答案與試題解析一．選擇題（共2小題）題號(hào)12答案AB一．選擇題（共2小題）1．（2025?廣西）因式分解：a2﹣1＝（）A．（a+1）（a﹣1） B．a(chǎn)（a+1） C．（a+1）2 D．（a﹣1）2【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】A【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案為：（a+1）（a﹣1）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查公式法分解因式，掌握平方差公式是正確解答的關(guān)鍵．2．（2025?臺(tái)灣）已知a、b、c皆為正整數(shù)，且a、b兩數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)分別為11與88．關(guān)于a、b、c三數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，甲、乙兩人分別提出看法如下：甲：a、b、c三數(shù)的最大公因式可能比11大乙：a、b、c三數(shù)的最小公倍數(shù)可能比88小對(duì)于甲、乙兩人的看法，下列判斷何者正確？（）A．甲、乙皆正確 B．甲、乙皆錯(cuò)誤 C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確【考點(diǎn)】公因式．【專題】實(shí)數(shù)；推理能力．【答案】B【分析】由題可設(shè)設(shè)a＝11m，b＝11n（m、n互質(zhì)），進(jìn)而推出mn＝8，進(jìn)而得到a、b為11、88或88、11．據(jù)此求解即可．【解答】解：∵a、b最大公因數(shù)為11，∴設(shè)a＝11m，b＝11n（m、n互質(zhì)），∵a、b最小公倍數(shù)為88，∴11mn＝88，即mn＝8，所以（m，n）可能為（1，8）或（2，4）（舍去，因需互質(zhì)）或（8，1），故a、b為11、88或88、11．甲的看法：a、b的最大公因數(shù)為11，則a、b、c的最大公因數(shù)必為11的因數(shù)，不可能大于11，故甲看法錯(cuò)誤．乙的看法：若c為11的因數(shù)（如11），則a、b、c的最小公倍數(shù)仍為88；若c與88有更小公倍數(shù)（如c＝88，最小公倍數(shù)不變），無(wú)法比88小，故乙看法錯(cuò)誤．綜上，甲乙皆錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共22小題）3．（2025?長(zhǎng)沙）分解因式：mx﹣2my＝m（x﹣2y）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】m（x﹣2y）．【分析】提取公因式m進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：原式＝m?x﹣m?2y＝m（x﹣2y），故答案為：m（x﹣2y）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵．4．（2025?北京）分解因式：7m2﹣28＝7（m+2）（m﹣2）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】7（m+2）（m﹣2）．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝7（m2﹣4）＝7（m+2）（m﹣2），故答案為：7（m+2）（m﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2025?綏化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝2m（x﹣y）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】2m（x﹣y）2．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2mx2﹣4mxy+2my2＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2，故答案為：2m（x﹣y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2025?廣東）因式分解：a2b+ab2＝ab（a+b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】觀察發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式ab，直接提取公因式ab即可．【解答】解：a2b+ab2＝ab?a+ab?b＝ab（a+b），故答案為：ab（a+b）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提公因式法分解因式，關(guān)鍵是掌握找公因式的方法：①系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；③取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．7．（2025?連云港）分解因式：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法；平方差公式．【答案】（x+3）（x﹣3）．【分析】本題中兩個(gè)平方項(xiàng)的符號(hào)相反，直接運(yùn)用平方差公式分解因式．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案為：（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】主要考查平方差公式分解因式，熟記能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特征，即“兩項(xiàng)、異號(hào)、平方形式”是避免錯(cuò)用平方差公式的有效方法．8．（2025?吉林）因式分解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】a（a﹣b）．【分析】直接提公因式a即可．【解答】解：原式＝a（a﹣b），故答案為：a（a﹣b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法分解因式，掌握提公因式法是正確解答的關(guān)鍵．9．（2025?揚(yáng)州）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接用公式法分解，即可得出答案．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2），故答案為：（a+2）（a﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公式法分解因式，直接用公式法分解即可．10．（2025?山西）因式分解：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】（m+4）（m﹣4）．【分析】根據(jù)平方差公式分解因式即可．【解答】解：根據(jù)平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4），故答案為：（m+4）（m﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了運(yùn)用公式法因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．11．（2025?湖南）因式分解：a2+13a＝a（a+13）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】a（a+13）．【分析】提取公因式a，進(jìn)行分解因式即可．【解答】解：a2+13a＝a（a+13），故答案為：a（a+13）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分解因式，解題關(guān)鍵是熟練掌握幾種常見的分解因式的方法．12．（2025?新疆）分解因式：x2﹣x＝x（x﹣1）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】x（x﹣1）．【分析】提取公因式x進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：原式＝x（x﹣1），故答案為：x（x﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關(guān)鍵．13．（2025?宜賓）分解因式：a2﹣a＝a（a﹣1）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】因式分解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】這個(gè)多項(xiàng)式含有公因式a，分解因式時(shí)應(yīng)先提取公因式．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法分解因式，比較簡(jiǎn)單，注意不要漏項(xiàng)．14．（2025?江西）因式分解：a2﹣a＝a（a﹣1）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接提取公因式a，進(jìn)而分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．故答案為：a（a﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．15．（2025?蘇州）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法；平方差公式．【專題】計(jì)算題；因式分解．【答案】（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案為：（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．16．（2025?甘肅）因式分解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（2025?云南）分解因式：x2+x＝x（x+1）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】x（x+1）．【分析】提取公因式x進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：原式＝x（x+1），故答案為：x（x+1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．18．（2025?煙臺(tái)）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x﹣3y）2．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【專題】整式；運(yùn)算能力．【答案】2（x﹣3y）2．【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3）2，故答案為：2（x﹣3y）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解是關(guān)鍵．19．（2025?上海）分解因式：a2b+ab2＝ab（a+b）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】因式分解；運(yùn)算能力．【答案】ab（a+b）．【分析】先確定公因式，再提取即可．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），故答案為：ab（a+b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵．20．（2025?內(nèi)江）分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】符合平方差公式的特征，直接運(yùn)用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案為：（a+1）（a﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．21．（2025?錢塘區(qū)三模）因式分解：m2+2m＝m（m+2）．【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】m（m+2）．【分析】根據(jù)因式分解的定義，用提公因式法得m2+2m＝m（m+2）．【解答】解：m2+2m＝m（m+2）．故答案為：m（m+2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公因式的找法是解題的關(guān)鍵．22．（2025?重慶）我們規(guī)定：一個(gè)四位數(shù)M=abcd，若滿足a+b＝c+d＝10，則稱這個(gè)四位數(shù)為“十全數(shù)”．例如：四位數(shù)1928，因?yàn)?+9＝2+8＝10，所以1928是“十全數(shù)”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“十全數(shù)”是1919；一個(gè)“十全數(shù)”M=abcd，將其千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換位置，百位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置，得到一個(gè)新的數(shù)M'=dcba，記F（M）=M?M′909，G（M）=M+M′11．若4F(M)+G(M)+15【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】新定義．【答案】1919，3782．【分析】根據(jù)要求最小的“十全數(shù)”，得到a＝1，c＝1，然后求出b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，即可得到最小的“十全數(shù)”是1919；根據(jù)題意表示出M＝900a+9c+1010，M'＝﹣9a﹣900c+10100，然后表示出F(M)=M?M′909=a+c?10，G(M)=M+M′11=81a?81c+1010，然后表示出4F(M)+G(M)+1513=6a?6c+76+7a+c?313，ab+cd17=a+c+1?8a+8c?317，然后根據(jù)題意得到7a+c?313與8a+8c?3【解答】解：設(shè)四位數(shù)M=abcd要求最小的“十全數(shù)”，∴a＝1，c＝1，∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9，∴最小的“十全數(shù)”是1919；∵一個(gè)“十全數(shù)”M=abcd∴a+b＝c+d＝10，∴b＝10﹣a，d＝10﹣c，∴M=abcd=1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9∴M'=dcba=1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900∴F（M）=M?M′909=900a+9c+1010?(?9a?900c+10100)∴G（M）=M+M′11=900a+9c+1010+(?9a?900c+10100)11∴4F(M)+G(M)+15=4(a+c?10)+81a?81c+1010+15=85a?77c+985=6a?6c+76+7a+c?3∴ab+∵4F(M)+G(M)+1513與ab∴7a+c?313與8a+8c?3∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除，∵1≤a≤9，1≤c≤9，∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6，∴5≤7a+c﹣3≤69，∴7a+c﹣3的值可以為13，26，39，52，65，∴依次代入可得，當(dāng)a＝3，c＝8時(shí)，7a+c?313=2，∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2，∴滿足條件的M的值是3782．故答案為：1919，3782．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減的應(yīng)用，讀懂并理解題意是解題的關(guān)鍵．23．（2025?自貢）若2a+b＝﹣1，則4a2+2ab﹣b的值為1．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【答案】1．【分析】由題意可得b＝﹣1﹣2a，整體代入計(jì)算即可得解．【解答】解：∵2a+b＝﹣1，∴b＝﹣1﹣2a，∴4a2+2ab﹣b＝4a2+2a（﹣1﹣2a）﹣（﹣1﹣2a）＝4a2﹣2a﹣4a2+1+2a＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求代數(shù)式的值、整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．24．（2025?自貢）分解因式：m2﹣4m＝m（m﹣4）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】提取公因式m，即可求得答案．【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．故答案為：m（m﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法分解因式．題目比較簡(jiǎn)單，解題需細(xì)心．三．解答題（共2小題）25．（2025?齊齊哈爾）（1）計(jì)算：9?|1?2|+2sin45°（2）分解因式：2x3﹣8x．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用；特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【專題】因式分解；實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力．【答案】（1）﹣5；（2）2x（x+2）（x﹣2）．【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）9=3?(2=3?2＝﹣5；（2）2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．26．（2025?福建）閱讀材料，回答問題．【主題】?jī)蓚€(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究．【提出問題】小明是一位愛思考的小學(xué)生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)提出算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7293；186×362＝67332”，猜想：m位的正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(gè)（m+n﹣1）位的正整數(shù)．【分析探究】問題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例．【推廣延伸】小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n，則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是n+1，數(shù)字是a．借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問題，提出并證明了以下命題．命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且A×B＝C，則必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，當(dāng)c≥a且c≥b時(shí)，p＝m+n﹣1；當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，p＝m+n．證明：依題意知，A，B，C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為a×10m﹣1，b×10n﹣1，c×10p﹣1，其中a，b，c均為正數(shù)．由A×B＝C，得ab×10m+n﹣2＝c×10p﹣1，即abc當(dāng)c≥a且c≥b時(shí)，ac≤1，所以abc≤b＜10，又abc≥ac＞110當(dāng)c≥a且c＜b時(shí)，ac≤1bc＞1當(dāng)c＜a且c≥b時(shí)，①當(dāng)c＜a且c≥b時(shí)，可得abc＞b≥1，abc當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，②當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，可得abc＞b＞1，可得1＜abc＜100，得abc=10，即得綜上所述，命題成立．【拓展遷移】問題2若正數(shù)A、B的位數(shù)分別為m，n，那么AB（1）解決問題1；（2）請(qǐng)把①②所缺的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（3）解決問題2．【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；不等式的性質(zhì)；命題與定理．【專題】因式分解．【答案】（1）小明的猜想不正確，反例：3×4＝12；（2）見解析；（3）當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n+1；當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣【分析】（1）舉反例即可；（2）①當(dāng)c＜a且c≥b時(shí)，可得abc＞b≥1，ab②當(dāng)c＜a且c＜b時(shí)，可得abc＞b＞1，可得1＜abc＜100，得abc=10（3）設(shè)AB=C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則B×C＝A．當(dāng)a≥b時(shí)，必有a≥c，m＝n+x﹣1，即x＝m﹣n+1；當(dāng)a＜b時(shí)，必有a＜c，m＝n+x，即x＝m﹣【解答】解：（1）小明的猜想不正確，反例：3×4＝12；（2）①ac＞1，bc≤1，②ac＞1所以abc＞b＞1，又由（*）知abc=10所以p＝m+（3）當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n證明如下：由已知，A，B的位數(shù)分別為m，n，設(shè)AB=C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則B×C＝由小華的命題知，當(dāng)a≥b時(shí)，必有a≥c，此時(shí)，m＝n+x﹣1，所以x＝m﹣n+1，當(dāng)a＜b時(shí)，必有a＜c，此時(shí)，m＝n+x，所以x＝m﹣n，綜上所述，當(dāng)A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n當(dāng)A的數(shù)字小于B的數(shù)字時(shí)，AB的位數(shù)是m﹣n【點(diǎn)評(píng)】本小題考查判斷命題的真假，科學(xué)記數(shù)法，整數(shù)指數(shù)冪，冪的運(yùn)算，不等式的基本性質(zhì)，代數(shù)推理等基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等．2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算．3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．2．平方差公式（1）平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；④對(duì)形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算，且會(huì)比用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則簡(jiǎn)便．3．公因式1、定義：多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式m，因式m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．2、確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．4．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．2、具體方法：（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的．（2）如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“﹣”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)．提出“﹣”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)．3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶．4、提公因式法基本步驟：（1）找出公因式；（2）提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同．5．因式分解-運(yùn)用公式法1、如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能夠運(yùn)用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式必須是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號(hào)相反．②能運(yùn)用完全平方公式分