第41頁(yè)（共41頁(yè)）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2025年7月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?紹興期末）從m，a，t，h，e這五個(gè)字母中隨機(jī)選擇一個(gè)，則選中元音字母a或e的概率為（）A．110 B．15 C．25 2．（2025春?清遠(yuǎn)期末）某班級(jí)有42名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及是否喜愛(ài)籃球的人數(shù)如表所示，從這42名學(xué)生中隨機(jī)選擇1人作為體育課代表，若選到的學(xué)生喜愛(ài)“籃球”，則該學(xué)生是女生的概率為（）喜愛(ài)“籃球”不喜愛(ài)“籃球”合計(jì)男生15722女生101020合計(jì)251742A．35 B．25 C．12 3．（2025春?廣西期末）某網(wǎng)球社團(tuán)有3名男生和5名女生，從中任選2名同學(xué)參加網(wǎng)球比賽，下列各對(duì)事件中互斥而不對(duì)立的是（）A．至少有1名男生與全是男生 B．至少有1名男生與全是女生 C．恰有1名男生與恰有2名男生 D．至少有1名男生與至少有1名女生4．（2025?天津）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．若X～N（μ，σ2），則P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X～N（1，22），Y～N（2，22），則P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng) D．|r|越接近0，相關(guān)性越弱5．（2025春?龍巖期末）現(xiàn)有6張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，3，4，5，6．從這6張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則P（ξ＝4）＝（）A．1120 B．160 C．120 6．（2025春?鄭州期末）一個(gè)袋子中裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任選4個(gè)球，取到一個(gè)白球得1分，取到一個(gè)黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P（X≥6）為（）A．12 B．114 C．1314 7．（2025春?徐匯區(qū)期末）如果事件A與事件B獨(dú)立，且P（A），P（B）∈（0，1），A、B分別是A、B的對(duì)立事件，那么以下等式一定成立的是（）A．P（A∪B）＝P（A）P（B） B．P（A∩B）＝P（A）+P（B） C．P(A∩B8．（2025春?湖州期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.1，則P（X＜2.5）＝（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?杭州校級(jí)月考）已知隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，且P(A．P(B)=13 B．P(AB)=（多選）10．（2025春?麗水期末）甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件A為“兩個(gè)骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，下列選項(xiàng)正確的是（）A．事件B、C是互斥事件 B．P（A）＝P（B）＝P（C） C．事件A、B是相互獨(dú)立事件 D．P（多選）11．（2025春?新洲區(qū)期末）小寧連續(xù)拋擲一枚骰子2次，記事件A表示“2次結(jié)果中正面向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B表示“2次結(jié)果中至少一次正面向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B不相互獨(dú)立 C．P(D．P（多選）12．（2025春?杭州期末）若P(AB)=19，P(A)=A．事件A與B不互斥 B．事件A與B對(duì)立 C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立三．填空題（共4小題）13．（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件A表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件B表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)，則P（B|A）＝．14．（2025春?龍巖期末）投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.4，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為．15．（2025春?閔行區(qū)校級(jí)期末）某中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比例為4：3：3，假設(shè)該中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率分別為0.5，0.7，0.9，若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率．16．（2025?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）某測(cè)試由8道四選一的單選題組成．學(xué)生小胡有把握答對(duì)其中4道題，且在剩下的4道題中，他對(duì)2道有思路，其余2道則完全不會(huì)．若小胡答對(duì)每道有思路的題的概率為12，答對(duì)每道不會(huì)的題的概率為14，則當(dāng)他從這8道題中任抽1題作答時(shí)，能答對(duì)的概率為四．解答題（共4小題）17．（2025春?松江區(qū)校級(jí)月考）在探索數(shù)智技術(shù)賦能學(xué)科學(xué)習(xí)的過(guò)程中，某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生使用某聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)．該中學(xué)有初中生1200人，高中生800人．為了解全校學(xué)生近一個(gè)月內(nèi)使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)的次數(shù)，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的使用次數(shù)按照[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，五個(gè)區(qū)間進(jìn)行分組，所得樣本數(shù)據(jù)如下表：使用次數(shù)分組區(qū)間[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50]初中生43848246高中生31938173（1）從上面參與問(wèn)卷調(diào)查且使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)不足10次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X為這3人中高中生的人數(shù)，求X的分布和數(shù)學(xué)期望；（2）若將自主練習(xí)次數(shù)不少于20次稱為積極，試完成下2×2列聯(lián)表，并根據(jù)α＝0.05判斷“學(xué)段”與“自主練習(xí)的積極性”是否有關(guān)．附：χ2=n(ad-bc)練習(xí)不積極練習(xí)積極合計(jì)初中生高中生合計(jì)18．（2025春?丹陽(yáng)市期末）甲、乙兩人組成小隊(duì)參加數(shù)學(xué)趣味謎題競(jìng)猜活動(dòng)，每輪活動(dòng)有甲、乙各猜一個(gè)謎題，已知甲每輪猜對(duì)的概率為12，乙每輪猜對(duì)的概率為1（1）求小隊(duì)猜對(duì)3個(gè)謎題的概率；（2）求甲猜對(duì)謎題數(shù)量大于乙猜對(duì)謎題數(shù)量的概率．19．（2025春?南開區(qū)期末）A，B，C三所學(xué)校分別有6%，5%，4%的學(xué)生有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格，這三個(gè)學(xué)校的人數(shù)比為3：4：3，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任選一人．（Ⅰ）求這個(gè)人有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格的概率；（Ⅱ）如果此人有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格，求此人選自A學(xué)校的概率．20．（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）設(shè)甲、乙兩名同學(xué)最近50次的投籃情況如下表所示，已知甲、乙每次投中與否相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率，解答下列問(wèn)題：甲乙投中30次25次未投中20次25次（1）若從甲、乙兩人中隨機(jī)選擇1人投籃1次，求投中的概率；（2）若甲、乙兩人各投籃2次，求至少投中3次的概率；（3）若甲、乙進(jìn)行投籃比賽，約定甲、乙輪流投籃，第一次由甲先投．規(guī)定：若其中一人比另一個(gè)人多投中2次，則停止比賽（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，則停止比賽，乙不再投第二次），投中次數(shù)多的贏得比賽；若甲、乙都投完了5次，則也停止比賽，投中次數(shù)多的獲勝，次數(shù)相同則為平局．求甲投了第三次后停止比賽的概率．

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之概率（2025年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CBCBCCCC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BCDBCBDAC一．選擇題（共8小題）1．（2025春?紹興期末）從m，a，t，h，e這五個(gè)字母中隨機(jī)選擇一個(gè)，則選中元音字母a或e的概率為（）A．110 B．15 C．25 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解即可．【解答】解：從m，a，t，h，e五個(gè)字母中隨機(jī)選擇一個(gè)，則樣本空間Ω＝{m，a，t，h，e}，n（Ω）＝5，記事件A＝“選中元音字母a或e”，則A＝{a，e}，n（A）＝2，故P(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型求概率公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?清遠(yuǎn)期末）某班級(jí)有42名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及是否喜愛(ài)籃球的人數(shù)如表所示，從這42名學(xué)生中隨機(jī)選擇1人作為體育課代表，若選到的學(xué)生喜愛(ài)“籃球”，則該學(xué)生是女生的概率為（）喜愛(ài)“籃球”不喜愛(ài)“籃球”合計(jì)男生15722女生101020合計(jì)251742A．35 B．25 C．12 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；條件概率乘法公式及應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】記事件A：選到的學(xué)生喜愛(ài)“籃球”，事件B：選到的學(xué)生是女生，利用條件概率公式可求出P（B|A）的值．【解答】解：記事件A：選到的學(xué)生喜愛(ài)“籃球”，事件B：選到的學(xué)生是女生，則n（A）＝25，n（AB）＝10，所以P(故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?廣西期末）某網(wǎng)球社團(tuán)有3名男生和5名女生，從中任選2名同學(xué)參加網(wǎng)球比賽，下列各對(duì)事件中互斥而不對(duì)立的是（）A．至少有1名男生與全是男生 B．至少有1名男生與全是女生 C．恰有1名男生與恰有2名男生 D．至少有1名男生與至少有1名女生【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維．【答案】C【分析】寫出各個(gè)事件包含的情況，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的概念，依次判斷各選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”兩種情況，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”兩種情況，與事件“全是女生”是互斥對(duì)立事件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，事件“恰有1名男生”指“有1名男生和1名女生”，與事件“恰有2名男生”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”兩種情況，事件“至少有1名女生”包括：“恰有1名女生”和“全是女生”兩種情況，兩個(gè)事件有交事件“恰有1名男生和1名女生”，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件與對(duì)立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?天津）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．若X～N（μ，σ2），則P（X≤μ﹣σ）＝P（X≥μ+σ） B．若X～N（1，22），Y～N（2，22），則P（X＜1）＜P（Y＜2） C．|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng) D．|r|越接近0，相關(guān)性越弱【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；樣本相關(guān)系數(shù)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)判斷A，B；由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)判斷C，D．【解答】解：對(duì)于A，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，當(dāng)X～N（μ，σ2）時(shí)，則P（X≤μ﹣σ）＝P（x≥μ+σ），故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，當(dāng)X～N（1，22），Y～N（2，22）時(shí)，P（X＜1）=12=P（Y＜2對(duì)于C，D，由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知，|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，|r|越接近0，相關(guān)性越弱，故C，D正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?龍巖期末）現(xiàn)有6張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，3，4，5，6．從這6張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ，則P（ξ＝4）＝（）A．1120 B．160 C．120 【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】結(jié)合組合數(shù)的應(yīng)用，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：從這6張卡片中隨機(jī)抽取3張有C6事件ξ＝4只包含4，5，6，這一種情況，故P(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型求概率公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025春?鄭州期末）一個(gè)袋子中裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任選4個(gè)球，取到一個(gè)白球得1分，取到一個(gè)黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則P（X≥6）為（）A．12 B．114 C．1314 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由題意可得P（X≥6）＝1﹣P（X＝4），計(jì)算求解即可．【解答】解：由題意，從中任選4個(gè)球，除取到4個(gè)白球得4分外，其他取法的得分都不小于6，所以P(故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的概率，結(jié)合超幾何分布求概率等知識(shí)點(diǎn)解題，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025春?徐匯區(qū)期末）如果事件A與事件B獨(dú)立，且P（A），P（B）∈（0，1），A、B分別是A、B的對(duì)立事件，那么以下等式一定成立的是（）A．P（A∪B）＝P（A）P（B） B．P（A∩B）＝P（A）+P（B） C．P(A∩B【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式判斷．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，因?yàn)槭录嗀與事件B是相互獨(dú)立事件，則事件A與事件B也是相互獨(dú)立事件，故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件A與事件B是相互獨(dú)立事件，P（A∩B）＝P（A）P（B），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，事件A與事件B也是相互獨(dú)立事件，則P（A∩B）＝P（A）P（B），C正確；對(duì)于D，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝P（A）+1﹣P（B）﹣P（A）[1﹣P（B）]，D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率，涉及互斥事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2025春?湖州期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.1，則P（X＜2.5）＝（）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解．【解答】解：已知隨機(jī)變量X～N（2，σ2），其均值μ＝2，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，P（X≤2）＝0.5，又因?yàn)镻（2＜X≤2.5）＝0.1，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，單點(diǎn)概率為0，即P（2＜X＜2.5）＝0.1，因此，P（X＜2.5）＝P（X≤2）+P（2＜X＜2.5）＝0.5+0.1＝0.6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?杭州校級(jí)月考）已知隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，且P(A．P(B)=13 B．P(AB)=【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；條件概率．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件概率公式和獨(dú)立事件乘法公式即可判斷ABC，再根據(jù)P(A+【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于B，P（AB）＝P（A）P（B|A）=120，對(duì)于A，P（AB）＝P（A）P（B）=15P（B）=120，變形可得對(duì)于C，P(AB)=P對(duì)于D，P(A+故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的乘法公式、條件概率的計(jì)算，涉及概率的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025春?麗水期末）甲乙兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，同時(shí)拋擲這兩個(gè)骰子一次，記事件A為“兩個(gè)骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，下列選項(xiàng)正確的是（）A．事件B、C是互斥事件 B．P（A）＝P（B）＝P（C） C．事件A、B是相互獨(dú)立事件 D．P【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】由互斥事件的定義分析A，由古典概型公式分析B、D，由相互獨(dú)立事件的定義分析C，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，則Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，事件B、C可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，A＝{（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）}，有18個(gè)基本事件，則P（A）=2×3×3B＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）}，有18個(gè)基本事件，P（B）=1C＝{（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6）}，則有P（A）＝P（B）＝P（C），B正確；對(duì)于C，AB＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，有9個(gè)基本事件，則P（AB）=936=14，則P（AB）＝P（A）P（B），事件A對(duì)于D，ABC＝{（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6）}，則P（ABC）=936=故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互對(duì)立事件的判斷，涉及古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2025春?新洲區(qū)期末）小寧連續(xù)拋擲一枚骰子2次，記事件A表示“2次結(jié)果中正面向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事件B表示“2次結(jié)果中至少一次正面向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B不相互獨(dú)立 C．P(D．P【考點(diǎn)】求解條件概率；事件的互斥（互不相容）及互斥事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A，由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析B，由古典概型公式分析C，由條件概率公式分析D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，P（A）=12，P（B）＝1依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，P（AB）=2×3×36×6=12，事件A、B可以同時(shí)發(fā)生，A對(duì)于B，易得P（A）P（B）≠P（AB），事件A與事件B不相互獨(dú)立，B正確；對(duì)于C，P（AB）=12，對(duì)于D，P（A|B）=P(AB故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的計(jì)算，涉及互斥事件、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025春?杭州期末）若P(AB)=19，P(A)=A．事件A與B不互斥 B．事件A與B對(duì)立 C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)概率即可依次判斷．【解答】解：因?yàn)镻(AB)=19，所以A與B因?yàn)镻(A)=23，所以P(A)=13，因?yàn)橐驗(yàn)镻(AB)=19=P故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回地隨機(jī)取兩次，事件A表示“第二次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，事件B表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)，則P（B|A）＝13【考點(diǎn)】求解條件概率．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】13【分析】先求出P（A），P（AB），然后結(jié)合條件概率公式即可得解．【解答】解：由題意P(P(則P(故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025春?龍巖期末）投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.4，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為44125/0.352【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】44125/0.352【分析】各次投籃是否投中相互獨(dú)立，可以看成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用獨(dú)立事件概率求法計(jì)算得解．【解答】解：由題各次投籃是否投中相互獨(dú)立，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試分為恰好投中兩次或者恰好投中三次，所以其概率為C32故答案為：44125/0.352【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合二項(xiàng)分布求解概率等知識(shí)點(diǎn)解題，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?閔行區(qū)校級(jí)期末）某中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比例為4：3：3，假設(shè)該中學(xué)高一、高二、高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率分別為0.5，0.7，0.9，若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率0.68．【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】0.68．【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)樵撝袑W(xué)高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比例為4：3：3，所以選取選手來(lái)自高一、高二、高三的概率分別為0.4，0.3，0.3，若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率為0.4×0.5+0.3×0.7+0.3×0.9＝0.68．故答案為：0.68．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）某測(cè)試由8道四選一的單選題組成．學(xué)生小胡有把握答對(duì)其中4道題，且在剩下的4道題中，他對(duì)2道有思路，其余2道則完全不會(huì)．若小胡答對(duì)每道有思路的題的概率為12，答對(duì)每道不會(huì)的題的概率為14，則當(dāng)他從這8道題中任抽1題作答時(shí)，能答對(duì)的概率為1116【考點(diǎn)】全概率公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)小胡從這8題中任選1題，且作對(duì)為事件A，選到能完整做對(duì)的4道題為事件B，選到有思路的2道題為事件C，選到完全沒(méi)有思路為事件D，利用全概率公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)事件A＝“小胡從這8題中任選1題，且能答對(duì)”，B＝“選到能完整做對(duì)的4道題”，C＝“選到有思路的2道題”，D＝“選到完全沒(méi)有思路”，則P(B)=48P(則P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）+P（D）P（A|D）=1故答案為：1116【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式，涉及條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?松江區(qū)校級(jí)月考）在探索數(shù)智技術(shù)賦能學(xué)科學(xué)習(xí)的過(guò)程中，某中學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生使用某聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)．該中學(xué)有初中生1200人，高中生800人．為了解全校學(xué)生近一個(gè)月內(nèi)使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)的次數(shù)，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，將他們的使用次數(shù)按照[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，五個(gè)區(qū)間進(jìn)行分組，所得樣本數(shù)據(jù)如下表：使用次數(shù)分組區(qū)間[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50]初中生43848246高中生31938173（1）從上面參與問(wèn)卷調(diào)查且使用此聽(tīng)說(shuō)平臺(tái)進(jìn)行英語(yǔ)口語(yǔ)自主練習(xí)次數(shù)不足10次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記X為這3人中高中生的人數(shù)，求X的分布和數(shù)學(xué)期望；（2）若將自主練習(xí)次數(shù)不少于20次稱為積極，試完成下2×2列聯(lián)表，并根據(jù)α＝0.05判斷“學(xué)段”與“自主練習(xí)的積極性”是否有關(guān)．附：χ2=n(ad-bc)練習(xí)不積極練習(xí)積極合計(jì)初中生高中生合計(jì)【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；E(（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析；無(wú)關(guān)．【分析】（1）根據(jù)古典型概率公式求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的公式進(jìn)行求解即可；（2）由題意完成表格，由卡方的計(jì)算判斷可得．【解答】解：（1）由題意可知，樣本空間中，初中生有4人，高中生有3人．故X的所有取值范圍為0，1，2，3，P(P(得到X的分布列如下所示：X0123P43518351235135將數(shù)據(jù)代入期望公式可得X的數(shù)學(xué)期望E(（2）補(bǔ)全聯(lián)表如下：練習(xí)不積極練習(xí)積極合計(jì)初中生4278120高中生225880合計(jì)64136200零假設(shè)為H0：“學(xué)段”與“自主練習(xí)的積極性”無(wú)關(guān)，易知χ2所以根據(jù)α＝0.05判斷“學(xué)段”與“自主練習(xí)的積極性”無(wú)關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望以及獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題．18．（2025春?丹陽(yáng)市期末）甲、乙兩人組成小隊(duì)參加數(shù)學(xué)趣味謎題競(jìng)猜活動(dòng)，每輪活動(dòng)有甲、乙各猜一個(gè)謎題，已知甲每輪猜對(duì)的概率為12，乙每輪猜對(duì)的概率為1（1）求小隊(duì)猜對(duì)3個(gè)謎題的概率；（2）求甲猜對(duì)謎題數(shù)量大于乙猜對(duì)謎題數(shù)量的概率．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）16（2）49【分析】分類討論，根據(jù)互斥事件以及對(duì)立事件的概率公式，即可求解（1）（2）．【解答】解（1）根據(jù)題意，小隊(duì)猜對(duì)3個(gè)謎題共有2種情況：①甲隊(duì)猜對(duì)2個(gè)，乙隊(duì)猜對(duì)1個(gè)；②甲隊(duì)猜對(duì)1個(gè)，乙隊(duì)猜對(duì)2個(gè)，故要求概率P=1（2）根據(jù)題意，甲猜對(duì)謎題數(shù)量大于乙猜對(duì)謎題數(shù)量的情況有：①甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)0個(gè)；②甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)；③甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)0個(gè)；故要求概率P=2×【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件的概率計(jì)算，涉及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2025春?南開區(qū)期末）A，B，C三所學(xué)校分別有6%，5%，4%的學(xué)生有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格，這三個(gè)學(xué)校的人數(shù)比為3：4：3，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任選一人．（Ⅰ）求這個(gè)人有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格的概率；（Ⅱ）如果此人有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格，求此人選自A學(xué)校的概率．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）0.05；（2）0.36．【分析】（1）根據(jù)題意，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任選一人，設(shè)A＝“選出的人選自A學(xué)?！?，B＝“選出的人選自B學(xué)?！?，C＝“選出的人選自C學(xué)校”，E＝“選出的人有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格”，由全概率公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，由貝葉斯公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任選一人，設(shè)A＝“選出的人選自A學(xué)校”，B＝“選出的人選自B學(xué)?！保珻＝“選出的人選自C學(xué)?！?，E＝“選出的人有“強(qiáng)基計(jì)劃”報(bào)名資格”，則P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，P（C）＝0.3，P（E|A）＝0.06，P（E|B）＝0.05，P（E|C）＝0.04，則P（E）＝P（A）P（E|A）+P（B）P（E|B）+P（C）P（E|C）＝0.3×0.06+0.4×0.05+0.3×0.04＝0.05；（2）根據(jù)題意，P（A|D）=P(【點(diǎn)評(píng)】本題考查貝葉斯公式、條件概率公式的應(yīng)用，涉及互斥事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）設(shè)甲、乙兩名同學(xué)最近50次的投籃情況如下表所示，已知甲、乙每次投中與否相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率，解答下列問(wèn)題：甲乙投中30次25次未投中20次25次（1）若從甲、乙兩人中隨機(jī)選擇1人投籃1次，求投中的概率；（2）若甲、乙兩人各投籃2次，求至少投中3次的概率；（3）若甲、乙進(jìn)行投籃比賽，約定甲、乙輪流投籃，第一次由甲先投．規(guī)定：若其中一人比另一個(gè)人多投中2次，則停止比賽（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，則停止比賽，乙不再投第二次），投中次數(shù)多的贏得比賽；若甲、乙都投完了5次，則也停止比賽，投中次數(shù)多的獲勝，次數(shù)相同則為平局．求甲投了第三次后停止比賽的概率．【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）1120（2）39100（3）63500【分析】（1）根據(jù)題意，由全概率公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，分兩種情況討論甲投了第三次后停止比賽，由互斥事件的加法公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，由題目的表格，甲同學(xué)的投籃命中率為3050=3從甲、乙中隨機(jī)選擇1人投籃1次，投中的概率P=1（2）根據(jù)題意，至少投中3次即兩人投中3次或投中4次，其概率P=(（3）根據(jù)題意，甲投了3次，則乙投了2次，又甲比乙多投中2次，則有2種情況，第一種情況：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投籃都投中，乙第一次投籃投中，第二次投籃沒(méi)投中，其概率為(3第二種情況，甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投籃都投中，第二次投籃沒(méi)投中，乙每次投籃都沒(méi)投中；或甲第二、三次投籃投中，第一次投籃沒(méi)投中，乙每次投籃都沒(méi)投中，則其概率為(3綜合可得：甲投了第三次后停止比賽的概率為27500【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算，注意分析事件之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．互斥事件與對(duì)立事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．互斥事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說(shuō)事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對(duì)立事件（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做A．注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；②在一次試驗(yàn)中，事件A與A只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對(duì)立事件的概率公式：P（A）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，∴D正確故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．例2：下列說(shuō)法正確的是（）A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問(wèn)題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是12，乙獲勝的概率是13，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且P(A)=12，P(B)=13，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則P(A)=則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）=故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．事件的互斥（互不相容）及互斥事件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）．【解題方法點(diǎn)撥】﹣判斷兩個(gè)事件是否互斥，即它們的交是否為空．【命題方向】．；﹣常用于考察事件是否互斥的問(wèn)題．3．互斥事件的概率加法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】互斥事件的概率加法公式：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A∪B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）4．對(duì)立事件的概率關(guān)系及計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)立事件的概率關(guān)系是P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用對(duì)立事件的公式計(jì)算對(duì)立事件的概率．【命題方向】﹣主要考察對(duì)立事件概率計(jì)算的問(wèn)題，適用于概率計(jì)算的補(bǔ)集部分．5．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．6．概率的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】概率相關(guān)知識(shí)梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B=A，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（A（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，A包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，A，A∩A=?，A∪A=則注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無(wú)關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計(jì)算公式：幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)限個(gè)（無(wú)限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．三、條件概率與獨(dú)立事件1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）=P(AB)P(B)（P（B）＞0），P（B|A）注：（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒(méi)有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）=P(AB)P(B)（P（B）＞0?P（AB）＝故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立．四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布1．二項(xiàng)分布：（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．3．正態(tài)分布：（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）=12πσe-(x-（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機(jī)變量的方差；方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的EξDξ是隨機(jī)變量ξ的期望．標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根Dξ叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．方差的性質(zhì)：．方差的意義：（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用更廣泛．【解題方法點(diǎn)撥】概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問(wèn)題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問(wèn)題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問(wèn)題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計(jì)算典例1：已知函數(shù)y=x（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞bA．14B．13C．12解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2-12=故選D題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過(guò)程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是23（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．P(P(∴油罐被引爆的概率（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．P(P(P(P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）=1-因此，ξ的分布列為：ξ2345P4982742719∴Eξ7．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．8．由兩事件交事件的概率判斷兩事件的相互獨(dú)立性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．【解題方法點(diǎn)撥】﹣判斷事件是否獨(dú)立，通過(guò)計(jì)算交事件的概率并與乘積概率進(jìn)行比較．【命題方向】﹣主要考察事件獨(dú)立性的判斷，涉及獨(dú)立事件的概率乘法公式．9．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣對(duì)于相互獨(dú)立事件A和B，P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣應(yīng)用乘法公式計(jì)算獨(dú)立事件的聯(lián)合概率，確保事件的獨(dú)立性．【命題方向】﹣重點(diǎn)考察獨(dú)立事件的概率計(jì)算及獨(dú)立性證明．10．條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=【解題方法點(diǎn)撥】典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是29解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P=故答案為：2典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為34，23，12，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=P解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1-34）（1-23）（1P（ξ＝1）=34（1-23）（1-12）+（1-34）×23×（1-P（ξ＝2）=3P（ξ＝3）=3∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ0123P12414112414數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×124+1×14（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，則P（A）=1P（AB）=1P（B|A）=P11．求解條件概率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計(jì)算：P(A|B)=P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算條件概率時(shí)，確定事件B的發(fā)生對(duì)事件A的影響，通過(guò)交事件的概率和條件事件的概率進(jìn)行計(jì)算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計(jì)算及其應(yīng)用問(wèn)題．12．條件概率乘法公式及應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣條件概率乘法公式：P(【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用條件概率乘法公式計(jì)算交事件的概率，適用于涉及條件概率的復(fù)合事件問(wèn)題．【命題方向】﹣涉及條件概率與交事件的計(jì)算，特別是在復(fù)雜事件的概率計(jì)算中應(yīng)用．13．全概率公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）=i14．離散型隨機(jī)變量及其分布列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、相關(guān)概念；（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．2、離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來(lái)表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來(lái)，則稱X為離散型隨機(jī)變量．3、離散型隨機(jī)變量的分布列．（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．15．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、離散型隨機(jī)變量的期望數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．?dāng)?shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．16．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無(wú)理數(shù)．③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為12πσ，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個(gè)鄰域會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．【解題方法點(diǎn)撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為14（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對(duì)稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響．典例2：設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C