2024屆閔行(文綺)中學高三(下)3月月考數(shù)學試卷一、填空題1.不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】利用絕對值不等式的解法求解.【詳解】由得，解得，故不等式的解集為.故答案為：.2.已知,，求________【答案】4【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標運算求解.【詳解】由題意得故答案為：43.已知等比數(shù)列的前項和為，且，，求______；【答案】189【解析】【分析】由等比數(shù)列前項和公式求解，【詳解】由題意得，故答案為：189.4.已知，則=__________.【答案】##【解析】【分析】由正切的倍角公式求解【詳解】已知，則.故答案為：5.已知，則的值域是______；【答案】【解析】【分析】分段討論的范圍即可.【詳解】當時,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當時,.綜上:的值域為.故答案為：.6.已知當，則______；【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)復數(shù)的乘法運算以及復數(shù)模的定義即可得到答案.【詳解】，.故答案為：.7.已知的面積為，求______；【答案】【解析】【分析】利用配方法得到圓的半徑，再利用圓的面積公式即可得解.【詳解】因為，可配方得，又的面積為，所以表示一個以為圓心的圓，其半徑滿足，則，解得，所以.故答案為：.8.在中，已知，則角的正弦值為__________.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再利用正余弦的關(guān)系求出【詳解】解：因為，所以由余弦定理得，因為，所以，故答案為：9.已知邊長為3的正的三個頂點都在球O的表面上，且與平面所成的角為，則球O的表面積為________.【答案】【解析】【分析】先計算出正三角形外接圓半徑，再由與平面所成的角為，求出球的半徑，進而可求出結(jié)果.【詳解】設正的外接圓圓心為，在中，故球的表面積為故答案為：10.設，分別是定義域為的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當時，且，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知條件判斷導數(shù)的符號從而判斷的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性及零點即可得解.【詳解】設，，因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，即當時，，單調(diào)遞增，由已知得為奇函數(shù)，且在，上均為增函數(shù)，因為，所以的解集為.故答案為：11.如果一個數(shù)含有正偶數(shù)個數(shù)字8，就稱它為“優(yōu)選數(shù)”（如等），否則就稱它為“非優(yōu)選數(shù)”，從由數(shù)字,共10個數(shù)字組成的四位數(shù)中任意抽取10個數(shù)，隨機變量X表示抽到的“優(yōu)選數(shù)”的個數(shù)，則=__________.【答案】【解析】【分析】分四位數(shù)中含兩個8和四個8，根據(jù)排列組合知識求出“優(yōu)選數(shù)”的個數(shù)，然后由超幾何分布可得期望.【詳解】當四位數(shù)中含有兩個時，若不在首位共有個，若在首位，共有個；當四位數(shù)中含有四個時，只有一種結(jié)果，所以從由數(shù)字,組成的四位數(shù)中，“優(yōu)選數(shù)”共有個，可能取的值為10,已知隨機變量X服從超幾何分布，故=.故答案為：.12.已知曲線，點，是曲線上任意兩個不同點，若，則稱，兩點心有靈犀，若，始終心有靈犀，則的最小值的正切值__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式知曲線在、上分別為雙曲線、拋物線的一部分，確定雙曲線部分的漸近線、拋物線部分的切線，兩線傾斜角的差即為的最小值，應用差角正切公式求其正切值.【詳解】在上，曲線方程為是雙曲線上支的一部分（），所以該部分漸近線為，在上，曲線方程為是拋物線的一部分，設過原點的直線且與拋物線相切，代入拋物線有，所以，故或（舍），所以切線為，如下圖示：令、傾斜角分別為且，則，由，要使最小，只需讓最小值，所以.故答案為：二、單選題13.若隨機變量X服從正態(tài)分布，，則（）A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性可求答案.【詳解】因為隨機變量X服從正態(tài)分布，所以；所以.故選：B.14.已知雙曲線與有共同的漸近線，則它們一定有相等的（）A.實軸長 B.虛軸長 C.焦距 D.離心率【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩雙曲線有相同的漸近線，可得到，從而利用雙曲線的離心率的平方可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，的漸近線方程為，由題意可得，又，，所以，又由推不出，所以推不出故選：D15.已知,是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的模長關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進行判斷.【詳解】若∥，則則存在唯一的實數(shù)μ≠0，使得故，而，存在λ使得成立，所以“∥”是“存在，使得”的充分條件，若且，則與方向相同,故此時∥，所以“∥”是“存在，使得的必要條件，故∥”是“存在，使得|的充分必要條件，故選:C16.已知，是曲線上兩點，若存在點，使得曲線上任意一點都存在使得，則稱曲線是“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立【答案】B【解析】【分析】對于①：取點，結(jié)合橢圓性質(zhì)考查橢圓上任意點到點M的距離的范圍，根據(jù)分析即可；對于②：根據(jù)雙曲線上動點到定點M的最小距離必為定值，而最大值趨于分析可得.【詳解】不妨設橢圓方程為，取點，由橢圓性質(zhì)可知，橢圓上的任意點P，總有，若，則，由，得，整理得，所以，橢圓上必存在點Q，使得成立，故①成立.在雙曲線中，趨于，而為定值，所以，無法對雙曲線上任意的點，都存在雙曲線上點，使得，故②錯誤．故選：B．三、解答題17.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點.已知∠BAC=，AB=2，AC=2，PA=2.求：（1）三棱錐P-ABC的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】（1），三棱錐P-ABC的體積為.（2）取PB中點E，連接DE、AE，則ED∥BC，所以∠ADE（或其補角）是異面直線BC與AD所成的角.在三角形ADE中，DE=2，AE=，AD=2，，所以∠ADE=.因此，異面直線BC與AD所成角的大小是.18.設等差數(shù)列的前n項和為，且.（1）若，求的公差；（2）若，且是數(shù)列中最大的項，求所有可能的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得的公差.（2）根據(jù)數(shù)列中的最大項列不等式，從而求得的所有可能取值.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，解得.【小問2詳解】由（1）得，由于是數(shù)列中最大的項，①，所以，即即解得，由于是整數(shù)，所以的可能取值是.19.某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A?B兩名同學中產(chǎn)生，測試方案如下：A?B兩名學生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，B能正確作答每個問題的概率是，A?B兩名同學作答問題相互獨立.（1）求A?B恰好答對2個問題的概率；（2）設A答對的題數(shù)為X，B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生，說明理由？【答案】（1）（2）選擇A同學，理由見解析【解析】【分析】（1）利用超幾何概率求A答對的題數(shù)對應概率，利用二項分布概率公式求B答對的題數(shù)Y對應概率，進而求A?B恰好答對2個問題的概率即可；（2）根據(jù)（1）所得各可能值對應概率分別求出X，Y的期望、方差，比較大小即可下結(jié)論.【小問1詳解】設A答對的題數(shù)，則，且，，設B答對的題數(shù)Y，則，且，，，，所以A?B恰好答對2個問題的概率為.【小問2詳解】由（1）知：，，而，，所以，故選擇A.20.已知橢圓，，為左、右焦點，直線過交橢圓于，兩點．（1）若直線垂直于軸，求；（2）當時，在軸上方時，求、的坐標；（3）若直線交軸于，直線交軸于，是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，或【解析】【分析】（1）由題意方程求得右焦點坐標，進一步求得，的坐標，則可求；（2）設，由，利用數(shù)量積為0求得與的方程，再由在橢圓上，得與的另一方程，聯(lián)立即可求得的坐標．得到直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求得的坐標；（3）設，，，，直線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合，得，再由直線方程：，得縱坐標，由直線的方程：，得的縱坐標，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得值，從而得到直線方程．【小問1詳解】解：依題意，，當軸時，將代入，解得，則，，所以；【小問2詳解】解：設，，，，所以，，又在橢圓上，滿足，即，，解得，即．所以直線，聯(lián)立，解得或，所以；【小問3詳解】設，，，，直線，則，．聯(lián)立，得．則，．由直線的方程：，得縱坐標；由直線的方程：，得的縱坐標．若，即，，，，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得．存在直線或滿足題意．【點睛】方法點睛：解析幾何中與弦長相關(guān)的三角形面積常有兩種求法：（1），其中為弦長，為另一頂點到直線的距離；（2）面積等于水平寬與鉛垂高積的一半.21.已知函數(shù)，取點，過其作曲線切線交軸于點，取點，過其作曲線作切線交軸于，若，則停止操作，以此類推，得到數(shù)列.（1）若正整數(shù)，證明（2）若正整數(shù)，試比較與大??；（3）若正整數(shù)，是否存在k使得依次成等差數(shù)列?若存在，求出k的所有取值，若不存在，試說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由題意求導得切線方程，令即可得到遞推關(guān)系；（2）由題意作差結(jié)合遞推關(guān)系，構(gòu)造導數(shù)，得出的單調(diào)性，由此即可比較大小；（3）由題意討論當時，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出單調(diào)性以及零點存在定理即可說明，當時，利用零點存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解.【小問1詳解】由題意得，故點處的切線方程為：，令，則.【小問2詳解】由(1)知要比較與大小，只需比較和的大小.設，求導令，解得，易知在上為嚴格減函數(shù)，在上為嚴格增函數(shù)，所以有，所以，所以，當且僅當時成立.故，即.【小問3詳解】假設存在依次成