大同中學(xué)高三數(shù)學(xué)2024.02一．填空題（第1－6題每題4分，第7－12題每題5分，滿分54分）1.已知集合，，則______【答案】【解析】【分析】先解絕對值不等式與求對數(shù)函數(shù)的定義域化簡集合，再求交集即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：.2.若，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分別令，聯(lián)立兩個關(guān)系式即可得到結(jié)果.【詳解】令，得①，再令，可得②，由①②可得.故答案為：.3.已知非零向量滿足，.若為在上的投影向量，則向量夾角的余弦值為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合其夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，為在上的投影向量，設(shè)向量的夾角為，，所以，故，故答案：.4.若正三棱柱的所有棱長均為4，則其體積為______【答案】【解析】【分析】先求正三棱柱底面正三角形的面積，再根據(jù)正三棱柱的體積公式計(jì)算即可.【詳解】正三棱柱的底面為邊長為4的正三角形，其面積為：，則正三棱柱的體積為：.故答案是：.5.如圖，邊長為2的正方形是用斜二測畫法得到的四邊形的直觀圖，則四邊形的面積為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖正方形的面積，由直觀圖和原圖的面積關(guān)系分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，正方形的邊長為2，其面積，其該平面圖形的面積，故答案為：．6.已知的兩共軛虛根為，，且，則______．【答案】3【解析】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系有，設(shè)，且，結(jié)合題設(shè)和復(fù)數(shù)模長、乘法運(yùn)算求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，可令，且，所以，所以.故答案為：37.在平面直角坐標(biāo)系中，，把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)記為，，則的坐標(biāo)為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件的變化，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得答案.【詳解】把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)記為，則，即把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，即關(guān)于軸的對稱點(diǎn)記為，則，以此類推可得當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，故的坐標(biāo)為.故答案為：8.若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列，滿足：，我們稱其為n項(xiàng)的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為______．【答案】5或4【解析】【分析】根據(jù)公差可得數(shù)列單調(diào)性進(jìn)而可得，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合對稱數(shù)列的定義列方程求解即可．【詳解】由于，是公差為的等差數(shù)列，故，單調(diào)遞減，所以，故，則，．又，故，即，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，化簡得，解得或．故答案為：5或4．9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則下列說法正確的有______①；②；③是偶函數(shù)；④為的極小值點(diǎn)【答案】①②③【解析】【分析】利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷①②③，舉反例即可排除④.【詳解】因?yàn)?，對于①，令，，故①正確.對于②，令，，則，故②正確.對于③，令，，則，令，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為偶函?shù)，故③正確，對于④，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故④錯誤.故答案為：①②③.10.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)一元二次不等式的解法將不等式轉(zhuǎn)化為，討論的大小得關(guān)于的不等式，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，有，，由，得，當(dāng)時，，不等式無解；當(dāng)時，由得，此時不可能只有一個整數(shù)解．當(dāng)時，由得，若不等式恰有一個整數(shù)解，則整數(shù)解為，又，，再結(jié)合圖像知，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：11.設(shè)函數(shù).若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再利用分離參數(shù)法即可得到答案.詳解】由，即，即，即對任意恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)，，若存在，使得成立，即存，使得成立，所以存在，使得成立，設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，又，，所以，則，故答案為：.12.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為__________．【答案】##0.2【解析】【分析】利用換元法可得，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.【詳解】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，如取時可滿足等號成立，綜上可知最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在和前提下進(jìn)行合理分類討論，根據(jù)題意得到相對應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.二．選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.若，且，則下列不等式中，恒成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，所以A錯；，只能說明兩實(shí)數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)時，B錯；同時C錯；或都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，，故D正確．考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)14.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度B.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度C.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度D.橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)伸縮平移的性質(zhì)即可得解.【詳解】要得到函數(shù)的圖象，需先將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），從而得到，從而排除BD；對于A，再向右平行移動個單位長度，得，顯然不滿足題意，故A錯誤；對于C，再向左平行移動個單位長度，得，故C正確.故選：C.15.江先生每天9點(diǎn)上班，上班通常開私家車加步行或乘坐地鐵加步行，私家車路程近一些，但路上經(jīng)常擁堵，所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，從停車場步行到單位要6分鐘；江先生從家到地鐵站需要步行5分鐘，乘坐地鐵暢通，但路線長且乘客多，所需間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布，下地鐵后從地鐵站步行到單位要5分鐘，從統(tǒng)計(jì)的角度出發(fā)，下列說法中合理的有（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，A.若出門，則開私家車不會遲到B.若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大C.若出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大D.若出門，則乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到【答案】D【解析】【分析】對于A，由即可判斷；對于BC，分別計(jì)算開私家車及乘坐地鐵不遲到的概率即可判斷；對于D，計(jì)算即可判斷【詳解】對于A，當(dāng)滿足時，江先生仍舊有可能遲到，只不過發(fā)生的概率較小，故A錯誤；對于，若出門，①江先生開私家車，當(dāng)滿足時，此時江先生開私家車不會遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；此時兩種上班方式，江先生不遲到的概率相當(dāng)，故B錯誤；對于C，若出門，①江先生開私家車，當(dāng)滿足時，此時江先生開私家車不會遲到；②江先生乘坐地鐵，當(dāng)滿足時，此時江先生乘坐地鐵不會遲到；此時兩種上班方式，顯然江先生開私家車不遲到的可能性更大，故C錯誤；對于D，若出門，江先生乘坐地鐵上班，當(dāng)滿足時，江先生乘坐地鐵不會遲到，此時不遲到的可能性極小，故江先生乘坐地鐵幾乎不可能上班不遲到，故D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分別分析得江先生使用不同交通工具在路上所花時間，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求得其對應(yīng)的概率，從而得解.16.已知是定義在R上的偶函數(shù)，若、且時，恒成立，且，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的，，所以，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且，由可得，即，即，所以，，即，解得.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：形如的已知條件，往往是給出函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義來進(jìn)行求解.利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的形式，然后結(jié)合單調(diào)性、奇偶性去掉函數(shù)符號，再解不等式來求得答案.三．解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.在中，角的對邊分別為，.（1）求角；（2）若為鈍角三角形，且，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化切為弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式化簡即可求解；（2）利用正弦定理化邊為角，根據(jù)輔助角公式化為，結(jié)合角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解范圍.【小問1詳解】由，得，即，所以，又，所以，又且，所以.【小問2詳解】由正弦定理，得，所以，所以，因?yàn)槭氢g角三角形，不妨設(shè)為鈍角，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?18.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，E為AD的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得平面PEB？請說明理由【答案】（1）證明見解析（2）存在為中點(diǎn)時，平面，理由見解析【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，從而證得；（2）存在為中點(diǎn)時，平面，取中點(diǎn)為，可得四邊形為平行四邊形，因此，從而得證.【小問1詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，因此．【小?詳解】存在為中點(diǎn)時，平面，理由如下：取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，且．在矩形中，為中點(diǎn)，所以，且．所以，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又因?yàn)槊婷?，所以面?9.某學(xué)校共有1200人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)比為，為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，擬舉行乒乓球比賽，從三個年級中采用分層抽樣的方式選出參加乒乓球比賽的12名隊(duì)員．本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，每場比賽都采取5局3勝制，最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍積分規(guī)則如下：每場比賽5局中以或獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場比賽5局中以獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分．已知最后一場比賽兩位選手是甲和乙，如果甲每局比賽的獲勝概率為（1）三個年級參賽人數(shù)各為多少？（2）在最后一場比賽甲獲勝的條件下，求其前2局獲勝的概率（3）記最后一場比賽中甲所得積分為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望【答案】（1）來自高一，高二，高三年級的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人（2）（3）【解析】【分析】（1）利用分層抽樣的等比例性質(zhì)列式求解即可；（2）分別求得最后一場比賽甲獲勝與其前2局獲勝的概率，再利用條件概率公式即可得解；（3）依題意得到的所有可能取值，分別求其對應(yīng)概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可得解.【小問1詳解】三個年級的參賽人數(shù)分別為，故來自高一，高二，高三年級的參賽人數(shù)分別為3人，4人和5人.【小問2詳解】記甲在最后一場獲勝為事件，其前兩局獲勝為事件，則，，故.【小問3詳解】依題意，的所有可能取值為.；；；.∴的概率分布列為：3210∴.20.已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，直線，垂足分別為點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：為定值，并求出該定值；（3）求的最大值.【答案】（1）證明過程見解析（2）證明過程見解析，定值為1（3）4【解析】【分析】（1）直線與橢圓聯(lián)立后用根的判別式等于0列出方程，求出；（2）利用點(diǎn)到直線距離公式得到，，結(jié)合∥，求出，結(jié)合第一問的結(jié)論證明出為定值1；（3）利用向量線性運(yùn)算及點(diǎn)在直線的同側(cè)得到，結(jié)合第二問得到，再用投影向量的知識得出，其中為的夾角），結(jié)合第一問結(jié)論得到，利用基本不等式求出最值.【小問1詳解】聯(lián)立與得：，由直線與橢圓有一個公共點(diǎn)可知：，化簡得：；【小問2詳解】由題意得：，因?yàn)?，所以∥，故，其中，，所以，為定值，該定值?；小問3詳解】，由題意得：點(diǎn)在直線的同側(cè)，所以，，（其中為的夾角），由此可知：，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為4.【點(diǎn)睛】對于圓錐曲線定值問題，要能夠利用題干信息用一個變量求解出要求的量，可以是直線的斜率，也可以是點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入計(jì)算得到定點(diǎn).21.已知為實(shí)數(shù)，．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．（1）若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；（2）證明：若為的“正向數(shù)組”，則對任意，都有；（3）已知對任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．【答案】21.不是的“正向數(shù)組”；22.證明見解析；23.的取值范圍是.【解析】【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時不同取值情況即可；（2）假設(shè)存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意恒成立，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，設(shè)，求出是的最大值或最小值時的取值范圍即可.【小問1詳解】若，，對，即，而當(dāng)，時，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.【小問2詳解】反證法:假設(shè)存在,使得,為的“正向數(shù)組”，對任意,都有.對任意恒成立.令，則在上恒成立，，設(shè)，，則當(dāng)時，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)，，當(dāng)，，即存在，使在上為正，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)椋蝗?，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，必存在，使在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域?yàn)?由值域可