必修二數(shù)學(xué)證明題專項練習(xí)題一、引言必修二數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容包括立體幾何（空間點線面位置關(guān)系、線面平行/垂直、面面平行/垂直）和直線與圓（直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、相交性質(zhì)）。證明題是考查這些內(nèi)容的關(guān)鍵題型，既能檢驗對定理的理解，又能培養(yǎng)邏輯推理和空間想象能力。本文針對必修二的重點考點，設(shè)計專項練習(xí)題，并附思路分析與規(guī)范證明，幫助學(xué)生掌握證明題的解題技巧。二、立體幾何證明題專項練習(xí)立體幾何證明的核心是轉(zhuǎn)化思想：通過“線線關(guān)系”推導(dǎo)“線面關(guān)系”，再通過“線面關(guān)系”推導(dǎo)“面面關(guān)系”。關(guān)鍵是找到“中間橋梁”（如中位線、平行四邊形、垂線等）。（一）直線與平面平行證明核心定理：直線與平面平行的判定定理（線線平行→線面平行）：定理條件：①直線在平面外；②直線與平面內(nèi)一條直線平行。常見輔助線：中位線、平行四邊形。練習(xí)題1：三棱柱中的線面平行題目：在三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)為\(AB\)中點，求證：\(AC_1\parallel\)平面\(B_1CD\)。思路分析：要證明\(AC_1\parallel\)平面\(B_1CD\)，需找到平面\(B_1CD\)內(nèi)與\(AC_1\)平行的直線。連接\(BC_1\)交\(B_1C\)于點\(O\)（三棱柱側(cè)棱平行且相等，故\(BCC_1B_1\)為平行四邊形，\(O\)為\(BC_1\)中點），則\(OD\)為\(\triangleABC_1\)的中位線，可證\(OD\parallelAC_1\)。證明過程：連接\(BC_1\)，交\(B_1C\)于點\(O\)。因三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(B_1C_1\parallelBC\)且\(B_1C_1=BC\)，故四邊形\(BCC_1B_1\)為平行四邊形，\(O\)為\(BC_1\)中點。又\(D\)為\(AB\)中點，故\(OD\)是\(\triangleABC_1\)的中位線，因此\(OD\parallelAC_1\)。因\(OD\subset\)平面\(B_1CD\)，\(AC_1\not\subset\)平面\(B_1CD\)，故\(AC_1\parallel\)平面\(B_1CD\)（直線與平面平行判定定理）。（二）直線與平面垂直證明核心定理：直線與平面垂直的判定定理（線線垂直→線面垂直）：定理條件：①直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直；②兩條直線在平面內(nèi)且相交。常見方法：利用已知垂直（如正方體的棱與面垂直）、勾股定理（證明線段垂直）、線面垂直性質(zhì)（若\(a\perp\alpha\)，則\(a\)垂直于\(\alpha\)內(nèi)所有直線）。練習(xí)題2：四棱錐中的線面垂直題目：在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)為矩形，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(E\)為\(PC\)中點，求證：\(BD\perp\)平面\(PAC\)。思路分析：要證明\(BD\perp\)平面\(PAC\)，需證明\(BD\)垂直于平面\(PAC\)內(nèi)的兩條相交直線（如\(PA\)和\(AC\)）。因\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，故\(PA\perpBD\)；又底面\(ABCD\)為矩形，故對角線\(BD\perpAC\)。證明過程：因\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(BD\subset\)底面\(ABCD\)，故\(PA\perpBD\)（線面垂直性質(zhì)）。因底面\(ABCD\)為矩形，故對角線\(AC\perpBD\)（矩形性質(zhì)）。因\(PA\capAC=A\)，且\(PA\)、\(AC\subset\)平面\(PAC\)，故\(BD\perp\)平面\(PAC\)（直線與平面垂直判定定理）。（三）平面與平面垂直證明核心定理：平面與平面垂直的判定定理（線面垂直→面面垂直）：定理條件：①一條直線垂直于另一個平面；②這條直線在當(dāng)前平面內(nèi)。練習(xí)題3：三棱錐中的面面垂直題目：在三棱錐\(S-ABC\)中，\(SA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，求證：平面\(SBC\perp\)平面\(SAB\)。思路分析：要證明平面\(SBC\perp\)平面\(SAB\)，需找到平面\(SBC\)內(nèi)一條直線垂直于平面\(SAB\)（或反之）。因\(SA\perp\)底面\(ABC\)，故\(SA\perpBC\)；又\(AB\perpBC\)，故\(BC\perp\)平面\(SAB\)，而\(BC\subset\)平面\(SBC\)，故面面垂直。證明過程：因\(SA\perp\)底面\(ABC\)，\(BC\subset\)底面\(ABC\)，故\(SA\perpBC\)（線面垂直性質(zhì)）。又\(AB\perpBC\)，且\(SA\capAB=A\)，\(SA\)、\(AB\subset\)平面\(SAB\)，故\(BC\perp\)平面\(SAB\)（直線與平面垂直判定定理）。因\(BC\subset\)平面\(SBC\)，故平面\(SBC\perp\)平面\(SAB\)（平面與平面垂直判定定理）。三、直線與圓證明題專項練習(xí)直線與圓的證明題需結(jié)合代數(shù)法（聯(lián)立方程、判別式、點差法）和幾何法（距離、半徑、圓心距），關(guān)鍵是將“位置關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“數(shù)量關(guān)系”（如相切→圓心到直線距離=半徑）。（一）直線與圓相切證明核心條件：直線與圓相切?圓心到直線的距離等于半徑（幾何法）；或聯(lián)立方程后判別式\(\Delta=0\)（代數(shù)法）。練習(xí)題1：直線與圓相切的幾何證明題目：已知直線\(l:x+y-2=0\)，圓\(C:x^2+y^2=2\)，求證：直線\(l\)與圓\(C\)相切。思路分析：計算圓心\(O(0,0)\)到直線\(l\)的距離，若等于半徑\(\sqrt{2}\)，則相切。證明過程：圓\(C\)的標準方程為\(x^2+y^2=2\)，故圓心\(O(0,0)\)，半徑\(r=\sqrt{2}\)。直線\(l\)的一般式為\(x+y-2=0\)，圓心到直線的距離\(d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)。因\(d=r\)，故直線\(l\)與圓\(C\)相切（直線與圓相切的幾何判定條件）。（二）圓與圓外切證明核心條件：兩圓外切?圓心距等于兩圓半徑之和。練習(xí)題2：圓與圓外切的判定題目：已知圓\(C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=1\)，圓\(C_2:(x-4)^2+(y-6)^2=16\)，求證：圓\(C_1\)與圓\(C_2\)外切。思路分析：計算兩圓的圓心距，若等于半徑之和，則外切。證明過程：圓\(C_1\)的圓心\(O_1(1,2)\)，半徑\(r_1=1\)；圓\(C_2\)的圓心\(O_2(4,6)\)，半徑\(r_2=4\)（因\(16=4^2\)）。圓心距\(O_1O_2=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)。兩圓半徑之和\(r_1+r_2=1+4=5\)。因\(O_1O_2=r_1+r_2\)，故圓\(C_1\)與圓\(C_2\)外切（兩圓外切的判定條件）。（三）直線與圓相交的性質(zhì)證明核心性質(zhì)：弦的中點與圓心的連線垂直于弦（垂徑定理）。練習(xí)題3：垂徑定理的證明題目：已知圓\(C:x^2+y^2=r^2\)，直線\(l\)與圓\(C\)交于\(A\)、\(B\)兩點，\(M\)為\(AB\)的中點，求證：\(OM\perpl\)（\(O\)為圓心）。思路分析：用點差法推導(dǎo)斜率關(guān)系，或用向量數(shù)量積證明垂直。證明過程：設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(M(x_0,y_0)\)，則\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}\)，\(y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\)。因\(A\)、\(B\)在圓上，故\(x_1^2+y_1^2=r^2\)，\(x_2^2+y_2^2=r^2\)。兩式相減得：\((x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)=0\)，即\((x_1-x_2)(x_1+x_2)+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0\)。代入中點坐標得：\((x_1-x_2)\cdot2x_0+(y_1-y_2)\cdot2y_0=0\)，化簡得：\((x_1-x_2)x_0+(y_1-y_2)y_0=0\)。情況1：直線\(l\)斜率存在直線\(l\)的斜率\(k_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)，直線\(OM\)的斜率\(k_2=\frac{y_0}{x_0}\)（\(x_0\neq0\)）。由上述等式得：\(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=-\frac{x_0}{y_0}\)，即\(k_1\cdotk_2=-1\)，故\(OM\perpl\)。情況2：直線\(l\)斜率不存在直線\(l\)為垂直于\(x\)軸的直線（如\(x=a\)），此時\(x_1=x_2=a\)，\(y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\)，\(OM\)為水平直線（\(y=y_0\)），故\(OM\perpl\)。綜上，\(OM\perpl\)（垂徑定理得證）。四、證明題解題技巧總結(jié)1.明確目標：先確定要證明的結(jié)論（如“線面平行”“面面垂直”“直線與圓相切”），再回憶對應(yīng)的定理條件。2.轉(zhuǎn)化條件：將已知條件轉(zhuǎn)化為定理所需的條件（如“線面平行”需找“線線平行”，“面面垂直”需找“線面垂直”）。3.構(gòu)造輔助線：立體幾何中常用中