第3章連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的實(shí)頻域分析3.1連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)與頻譜3.2連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換與頻譜3.3傅里葉變換的性質(zhì)3.4LTI連續(xù)系統(tǒng)的實(shí)頻域分析3.5濾波器3.6取樣器3.7調(diào)制器與解調(diào)器

3.1連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)與頻譜

3.1.1傅里葉級(jí)數(shù)

設(shè)f(t)為任意周期函數(shù)，其周期為T1，且滿足下列狄里赫利條件：

(1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

(2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)；

(3)在一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)是絕對(duì)可積的，即

則f(t)可展開為如下兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)。

1.三角函數(shù)形式

(3.1-1)

式中：稱為周期函數(shù)的基波角頻率。a0、an、bn稱為傅里葉系數(shù)。它們分別為

(3.1-2)

(3.1-3)

(3.1-4)若利用三角公式將式(3.1-1)中的余弦項(xiàng)與正弦項(xiàng)合并成帶有初相位的余弦項(xiàng)，則式(3.1-1)可改寫為

(3.1-5)

式中：

若將正弦穩(wěn)態(tài)相量的概念應(yīng)用在這里，可寫為

經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得

(3.1-6)

2.指數(shù)形式

(3.1-7)

式中

(3.1-8)

Fn一般為頻率的復(fù)函數(shù)，稱為復(fù)傅里葉系數(shù)。比較式(3.1-6)與式(3.1-8)可知

(3.1-9)3.1.2周期信號(hào)的頻譜

1.信號(hào)頻譜概念

眾所周知，戲曲人物的臉譜是通過(guò)簡(jiǎn)明的勾畫、涂沫各種顏色來(lái)表明人物的鮮明個(gè)性特點(diǎn)的。聯(lián)系信號(hào)頻譜，從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。

2.周期信號(hào)的頻譜

這里所說(shuō)的周期信號(hào)的頻譜，是專指周期信號(hào)各次諧波的幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。

例3.1-1

圖3.1-1(a)所示為幅度為1、脈沖寬度為τ的周期性矩形脈沖f(t)，其周期為T1，求并畫出單、雙邊幅頻譜與相頻譜，寫出兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。圖3.1-1例3.1-1用圖

解由式(3.1-6)求得

(3.1-10)函數(shù)稱為抽樣函數(shù)，用符號(hào)Sa(x)表示，其曲線如圖

3.1-1(b)所示。套用Sa(x)函數(shù)形式，改寫式(3.1-10)，有

(3.1-11)

根據(jù)式(3.1-9)可寫得

(3.1-12)由式(3.1-11)、式(3.1-12)分別得

(3.1-13)

(3.1-14)圖3.1-2單邊幅頻譜和雙邊幅頻譜令并考慮sin(kπ)=0，由圖3.1-1(b)所示的Sa(x)曲線可知：

(1)當(dāng)

故這時(shí)的諧波相位為0。

(2)當(dāng)

故這時(shí)的諧波相位為π或(－π)。歸納上述兩種情況，得n次諧波的相位為

(3.1-15)圖3.1-3單邊相頻譜和雙邊相頻譜圖3.1-4幅頻譜和相頻譜“合二為一”根據(jù)求出的寫得信號(hào)f(t)的兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)形式分別為3.1.3周期信號(hào)的功率、有效值和信號(hào)帶寬

設(shè)實(shí)周期信號(hào)f(t)是從t＝－∞到t＝∞全時(shí)間域存在的周而復(fù)始的信號(hào)，顯然不滿足

(3.1-16)

條件，不是能量信號(hào)。但一周期內(nèi)的平均功率P卻為有限值，即滿足

(3.1-17)條件，屬于功率信號(hào)。所以在研究周期信號(hào)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)不使用信號(hào)能量而常使用信號(hào)平均功率。因周期信號(hào)各次諧波分量與基波分量具有頻率整倍數(shù)關(guān)系(即文獻(xiàn)中所述的正交關(guān)系)，所以周期信號(hào)的平均功率等于各次諧波平均功率之和，即

(3.1-18)設(shè)周期為T1的任意周期電流i(t)，其有效值定義為

(3.1-19)

把周期電流i(t)按式(3.1-5)展開成傅里葉級(jí)數(shù)式中，I0為直流分量，Inm為n次諧波電流分量的振幅。設(shè)

In(n＝1，2，…，∞)為n次諧波的有效值。根據(jù)各諧波分量與基波分量頻率間的正交關(guān)系，應(yīng)用式(3.1-18)關(guān)系，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得

(3.1-20)

式(3.1-20)說(shuō)明，周期信號(hào)的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根。實(shí)際工程中，通常將0～2π/τ這一角頻率范圍定義為矩形脈沖周期信號(hào)的信號(hào)帶寬，以符號(hào)B表示，即

(3.1-21)

或

(3.1-22)

例3.1-2

已知周期信號(hào)f(t)=2－4cos(6t)+2sin(9t)，試畫出f(t)的單、雙邊振幅頻譜圖和相位頻譜圖，并求該信號(hào)的平均功率P。

解將f(t)改寫為周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式(式(3.1-5))：將式中“－”號(hào)化為初相位，加或減180°；正弦項(xiàng)通過(guò)三角公式化為余弦項(xiàng)；若有同頻率的正弦、余弦項(xiàng)，一定將這兩項(xiàng)化為帶有初相位的同頻率的余弦項(xiàng)(這個(gè)例子中無(wú)這種情況)。f(t)的標(biāo)準(zhǔn)形式為求出信號(hào)的基本周期、基波角頻率，判斷出已知信號(hào)中各頻率項(xiàng)所屬的諧波次數(shù)。設(shè)4cos(6t＋180°)項(xiàng)與2cos(9t－90°)項(xiàng)的周期分別為Ta、Tb，則圖3.1-5單邊幅頻和相頻譜圖圖3.1-6雙邊幅頻和相頻譜圖依據(jù)式(3.1-18)計(jì)算信號(hào)f(t)的平均功率為

3.2連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換與頻譜

3.2.1從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換

設(shè)有一周期信號(hào)f(t)，將其展開成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即

其復(fù)傅里葉系數(shù)為定義頻譜密度函數(shù)為

(3.2-1)由上式可知，頻譜密度函數(shù)F(jω)表示了單位頻率的幅值——頻譜密度的概念。F(jω)簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)，而f(t)稱為F(jω)的原函數(shù)。參照傅里葉指數(shù)形式并聯(lián)系F(jω)的定義極限式，將f(t)改寫為

(3.2-2)當(dāng)周期T1→∞時(shí)，基波角頻率ω1趨于無(wú)窮小，記為dω,則不連續(xù)變量nω1就變成連續(xù)變量ω，1/T1→dω/(2π)，求和符號(hào)在極限條件下演變成積分符號(hào)。于是，當(dāng)T1→∞時(shí)，式

(3.2-1)、式(3.2-2)分別演變成

(3.2-3)

(3.2-4)式(3.2-3)稱為傅里葉變換或傅里葉積分，式(3.2-4)稱為傅里葉逆變換，這兩式稱為傅里葉變換對(duì)。為了書寫方便，常用符號(hào)表示二者的對(duì)應(yīng)變換關(guān)系，即

(3.2-5)

一般情況下，F(xiàn)(jω)是ω的復(fù)函數(shù)，它可以寫成

(3.2-6)應(yīng)當(dāng)指出，上述引出傅里葉變換的過(guò)程著重于物理概念的描述，經(jīng)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可證明，f(t)存在傅里葉變換的充分條件是：滿足絕對(duì)可積，即

(3.2-7)3.2.2常用非周期信號(hào)的傅里葉變換

1.門信號(hào)

圖3.2-1(a)所示寬度為τ、高度為1的矩形脈沖(形狀似門)常稱為門函數(shù)，用符號(hào)gτ(t)表示。其函數(shù)式為(3.2-8)

由式(3.2-3)求得頻譜函數(shù)

(3.2-9)圖3.2-1門函數(shù)及其頻譜

2.單邊衰減指數(shù)函數(shù)

圖3.2-2(a)所示單邊衰減指數(shù)函數(shù)的表示式為將f(t)代入式(3.2-3)，得

(3.2-10)其幅頻譜和相頻譜函數(shù)分別為

(3.2-11)

(3.2-12)

由式(3.2-11)、式(3.2-12)分別畫得幅頻譜、相頻譜，如圖

3.2-2(b)、(c)所示。圖3.2-2單邊指數(shù)衰減信號(hào)及其頻譜

3.雙邊指數(shù)衰減信號(hào)

圖3.2-3(a)所示雙邊指數(shù)衰減信號(hào)f(t)的表示式為圖3.2-3雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜將f(t)代入式(3.2-3)，得

(3.2-13)因該信號(hào)為時(shí)域的實(shí)函數(shù)、偶函數(shù)，所以其頻譜函數(shù)為頻域的實(shí)函數(shù)、偶函數(shù)。本信號(hào)的F(jω)為ω的非負(fù)實(shí)函數(shù)，所以其幅頻、相頻函數(shù)分別為

(3.2-14)

由式(3.2-14)畫得幅頻譜如圖3.2-3(b)所示。

4.直流信號(hào)

設(shè)數(shù)值等于1的直流信號(hào)f(t)可以表示為

f(t)=1，－∞<t<∞

它不滿足式(3.2-7)的絕對(duì)可積條件，故不便使用式(3.2-3)直接計(jì)算其頻譜函數(shù)。但是，直流信號(hào)f(t)可以看做雙邊指數(shù)信號(hào)當(dāng)α→0的極限情況，如圖3.2-4(a)所示。因此，直流信號(hào)的頻譜函數(shù)F(jω)也可以看做雙邊指數(shù)信號(hào)頻譜當(dāng)α→0時(shí)的極限，即由上式可見(jiàn)，直流信號(hào)的頻譜函數(shù)在ω＝0處出現(xiàn)沖激，該沖激函數(shù)的強(qiáng)度為

于是有

(3.2-15)

其頻譜圖如圖3.2-4(b)所示。圖3.2-4直流信號(hào)及其頻譜

5.單位階躍信號(hào)

設(shè)f(t)=ε(t)，單位階躍信號(hào)可以看做單邊指數(shù)衰減信號(hào)當(dāng)α→0的極限情況，如圖3.2-5(a)所示，即由上式可見(jiàn)，單位階躍信號(hào)的頻譜函數(shù)在ω＝0處也出現(xiàn)沖激，其沖激強(qiáng)度為

所以，有

(3.2-16)

其頻譜圖如圖3.2-5(b)所示。圖3.2-5單位階躍信號(hào)及其頻譜

6.單位沖激信號(hào)

設(shè)f(t)=δ(t)，如圖3.2-6(a)所示，則考慮ejωtδ(t)=e0δ(t)=1關(guān)系，并聯(lián)系δ(t)的抽樣性質(zhì)，所以

即

(3.2-17)

式(3.2-17)表明，單位沖激函數(shù)的頻譜函數(shù)等于1，其頻譜圖如圖3.2-6(b)所示。也就是說(shuō)，單位沖激函數(shù)的頻譜在－∞<ω<∞區(qū)間是均勻分布的，這樣的頻譜常稱為“均勻譜”。圖3.2-6沖激信號(hào)及其頻譜

7.周期信號(hào)的傅里葉變換

將滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)f(t)展開成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

由直流常用函數(shù)變換對(duì)可知由頻移性質(zhì)得

再應(yīng)用線性性質(zhì)得周期信號(hào)f(t)的傅里葉變換為

(3.2-18)

周期信號(hào)的傅里葉變換由一系列頻域里的沖激信號(hào)組成，各沖激信號(hào)的強(qiáng)度為2πFn。常用函數(shù)的傅里葉變換還有一些，我們?cè)诒菊?.3節(jié)中結(jié)合討論傅里葉變換的性質(zhì)再陸續(xù)作補(bǔ)充。對(duì)常用函數(shù)的傅里葉變換對(duì)，讀者應(yīng)能熟練掌握，或者說(shuō)應(yīng)記住，以后在電路與系統(tǒng)問(wèn)題的分析中，遇到這些函數(shù)的變換或反變換，可直接當(dāng)成公式一樣套用，而不必再使用變換或反變換公式積分求。如

3.3傅里葉變換的性質(zhì)

學(xué)習(xí)、掌握傅里葉變換的一些主要性質(zhì)是非常必要的，一則可以更深刻地理解傅里葉變換與逆變換的意義，二則可使求解傅里葉變換或逆變換的計(jì)算得到簡(jiǎn)化，從而方便了我們對(duì)系統(tǒng)問(wèn)題的分析。3.3.1線性性質(zhì)

若

(3.3-1)

式中，a和b為任意常數(shù)。該性質(zhì)很容易用傅里葉變換定義式證明，這里從略。

例3.3-1

符號(hào)函數(shù)(或稱正負(fù)號(hào)函數(shù))用sgn(t)表示，它亦是常用函數(shù)之一，其圖形如圖3.3-1(a)所示。設(shè)f(t)=sgn(t)，求其傅里葉變換F(jω)。

解由波形圖寫符號(hào)函數(shù)sgn(t)的表示式為可以看出，符號(hào)函數(shù)也不滿足絕對(duì)可積條件，故不便直接使用式(3.2-3)計(jì)算其頻譜函數(shù)，然而可以把符號(hào)函數(shù)看做直流信號(hào)與單位階躍函數(shù)的加權(quán)代數(shù)和，即

再應(yīng)用常用函數(shù)變換對(duì)及線性性質(zhì)，無(wú)需代變換公式積分即可方便地求得F(jω)，即所以

故圖3.3-1符號(hào)函數(shù)及其頻譜圖3.3.2時(shí)移性質(zhì)

若

(3.3-2)

證明

令x=t－t1，代入上式右端，于是如果頻率為ω的正弦分量在時(shí)間上移位了t1，相當(dāng)于相位移位了ωt1，即

同理可證

例3.3-2

求δ(t－t1)的傅里葉變換。

解由于

根據(jù)時(shí)移特性

例3.3-3

試求圖3.3-2所示矩形脈沖的傅里葉變換。

解圖示矩形脈沖實(shí)際上是遲延τ/2時(shí)間的門函數(shù)，即圖3.3-2例3.3-3用圖由式(3.2-9)知，門函數(shù)的傅里葉變換為

故3.3.3頻移性質(zhì)

若

(3.3-3)

證明

該特性表明，信號(hào)f(t)在時(shí)域乘以因子相當(dāng)于其頻譜F(jω)在頻域右移ω0，因此，該特性又稱為頻譜搬移定理。

同理可證

例3.3-4

求f3(t)=cos(ω0t)、f4(t)=sin(ω0t)它們各自的傅里葉變換F1(jω)、F2(jω)、F3(jω)、F4(jω)。

解將f1(t)看做1與相乘，f2(t)看做1與相乘，即由直流變換對(duì)及頻移性質(zhì)，得

應(yīng)用歐拉公式將f3(t)、f4(t)分別改寫為由線性性質(zhì)，得即

例3.3-5

試求圖3.3-3(a)所示高頻脈沖的傅里葉變換。

解高頻脈沖f1(t)可以看做是圖(b)所示矩形脈沖f(t)乘以余弦信號(hào)cosω0t而得到的，即圖3.3-3例3.3-5用圖根據(jù)線性和頻移特性，高頻脈沖的頻譜函數(shù)為

式中，F(xiàn)(jω)為矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)。而已知故高頻脈沖的頻譜函數(shù)為

F(jω)、F1(jω)的圖形分別如圖3.3-4(a)、(b)所示。圖3.3-4矩形脈沖和高頻脈沖的頻譜3.3.4尺度變換性質(zhì)

若設(shè)a為實(shí)常數(shù)，且a≠0，則

(3.3-4)

證明對(duì)于a>0情況，由于令x=at，代入上式右端，則

類似地，可以證明：若a<0，則有綜合上述a>0和a<0的兩種情況，可得尺度變換特性的表示式為若式(3.3-4)中的a為負(fù)值，那么f(at)、F(jω/a)都需要沿

縱軸進(jìn)行折疊。例如取a=－1代入式(3.3-4)，顯然有如下變換對(duì)

(3.3-5)

例3.3-6

設(shè)f(t)=ε(－t)，求頻譜函數(shù)F(jω)。

解單位階躍函數(shù)的傅里葉變換對(duì)為

由式(3.3-5)得考慮沖激函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)，有δ(－ω)=δ(ω)，所以

即圖3.3-5門信號(hào)時(shí)、頻展縮示意圖

例3.3-7

已知f(t)的傅里葉變換為F(jω)，設(shè)

求y(t)的傅里葉變換Y(jω)。

解因而

所以再應(yīng)用時(shí)移性質(zhì)，得3.3.5對(duì)稱性質(zhì)

若

(3.3-6)

若f(t)為偶函數(shù)，則

(3.3-7)

證明傅里葉逆變換式為

將上式中的t換為－t，得再將上式中兩邊的t換為ω，原有的ω?fù)Q為t，得

即有

例3.3-8

求抽樣函數(shù)的傅里葉變換。

解直接利用傅里葉變換定義式求Sa(t)的頻譜是十分繁復(fù)的，但利用對(duì)稱性可以很方便地求得其頻譜函數(shù)。

常用門函數(shù)的傅里葉變換為令上式中τ=2，由上式得

或g2(t)/2及其傅里葉變換如圖3.3-6(a)所示。由于g2(t)/2是偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性得

其波形和頻譜如圖3.3-6(b)所示。圖3.3-6函數(shù)Sa(t)及其頻譜3.3.6卷積定理

若

(3.3-8)

證明由于交換上式的積分次序，得根據(jù)時(shí)移特性，上式括號(hào)中的積分為

故

時(shí)域卷積定理表明，兩個(gè)時(shí)間函數(shù)卷積積分的傅里葉變換，等于兩個(gè)時(shí)間函數(shù)的傅里葉變換相乘積。用類似的方法可以證明頻域中的卷積定理，即

(3.3-9)

式中

式(3.3-9)表明，時(shí)域內(nèi)兩個(gè)信號(hào)乘積的傅里葉變換，等于它們的傅里葉變換在頻域內(nèi)的卷積再乘以系數(shù)1/(2π)。

例3.3-9

求圖3.3-7(a)所示信號(hào)的傅里葉變換F(jω)。

解由時(shí)域分析可知，信號(hào)f(t)可以看做圖3.3-7(b)所示門信號(hào)與圖3.3-7(c)所示沖激函數(shù)的卷積，即圖3.3-7例3.3-9用圖由于根據(jù)時(shí)移特性

門函數(shù)的傅里葉變換為因此，根據(jù)卷積定理有3.3.7時(shí)域微分性質(zhì)

若

(3.3-10)

證明傅里葉逆變換式為因此

交換微分與積分的次序，得對(duì)照反變換公式，由上式可得

用類似的方法，這一結(jié)果可以推廣到n階導(dǎo)數(shù)

(3.3-11)

式中n＝1，2，3，…。我們知道由時(shí)域微分性質(zhì)可得3.3.8時(shí)域積分性質(zhì)

若

(3.3-12)式中，F(xiàn)(0)為F(jω)在ω=0處的值，即

(3.3-13)

如果F(0)=0，由式(3.3-13)可知，即f(t)的凈面積等于0，則有

(3.3-14)

證明

f(t)與階躍函數(shù)ε(t)的卷積為

故根據(jù)時(shí)域卷積定理，有

根據(jù)沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)，有F(jω)δ(ω)=F(0)δ(ω)，于是上式可以寫成

例3.3-10

求圖3.3-8(a)所示信號(hào)f1(t)的頻譜密度函數(shù)F1(jω)。

解我們首先寫出f1(t)的表示式f1(t)的導(dǎo)數(shù)為其波形如圖3.3-8(b)所示。f1′

(t)也可以用階躍函數(shù)表示，即

對(duì)上式求導(dǎo)，得f1(t)的二階導(dǎo)數(shù)為其波形如圖3.3-8(c)所示。令

因此式中，τ、x都是時(shí)間變量，引用它們是為了區(qū)別積分變量與積分上限。由圖(b)和圖(c)可知，f1′

(t)和f1″

(t)的積分面積均等于0，故有圖3.3-8例3.3-10用圖由于根據(jù)時(shí)移及線性特性，f(t)的頻譜函數(shù)為

故 3.3.9頻域微分性質(zhì)

若

(3.3-15)

證明

例3-11

設(shè)y(t)=tε(t)，求Y(jω)。

解

由頻域微分性質(zhì)得

所以3.3.10頻域積分性質(zhì)

若

(3.3-16)

若f(0)＝0，則有

(3.3-17)

證明

而由ε(t)常用傅里葉變換對(duì)，再應(yīng)用反折性及對(duì)稱性，易得由頻域卷積定理，得3.3.11帕塞瓦爾定理

若

(3.3-18)

證明寫傅里葉逆變換式考慮f(t)為更為一般的復(fù)信號(hào)，有|f(t)|2=f(t)·f*(t)，所以交換上式右端積分次序，得

3.4LTI連續(xù)系統(tǒng)的實(shí)頻域分析

第2章中我們定義了表征系統(tǒng)本身時(shí)域特性的單位沖激響應(yīng)h(t)，當(dāng)對(duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)f(t)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)等于輸入信號(hào)f(t)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分，即

(3.4-1)如果f(t)、h(t)的傅里葉變換均存在，由傅里葉變換的時(shí)域卷積定理可知

(3.4-2)

式中

(3.4-3)由式(3.4-2)可定義H(jω)的另一種表達(dá)形式，即

(3.4-4)

H(jω)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為頻響函數(shù)。H(jω)一般為頻率的復(fù)函數(shù)，寫為極坐標(biāo)形式，有

(3.4-5)3.4.1周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)

周期信號(hào)是在－∞到∞的時(shí)間區(qū)間內(nèi)定義的，因此，當(dāng)周期信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，可以認(rèn)為信號(hào)是在t=－∞時(shí)刻接入的，一般認(rèn)為系統(tǒng)在t＝－∞時(shí)無(wú)儲(chǔ)能(即系統(tǒng)是靜止的)，

t≥－∞時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)僅由輸入信號(hào)作用產(chǎn)生，確切地說(shuō)，這里所求的系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)屬于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。角頻率為ω的激勵(lì)代表相量用表示、響應(yīng)代表相量用表示，這種情況的系統(tǒng)頻響函數(shù)又可用響應(yīng)相量與激勵(lì)相量之比來(lái)定義，即

(3.4-6)下面以k(k＝1，2，3，…)次諧波單獨(dú)作用系統(tǒng)的響應(yīng)求解為例，說(shuō)明計(jì)算的過(guò)程。設(shè)激勵(lì)信號(hào)k次諧波的時(shí)間函數(shù)及其代表相量分別為

系統(tǒng)頻響函數(shù)當(dāng)角頻率為kω1時(shí)的值系統(tǒng)對(duì)第k次諧波輸入時(shí)產(chǎn)生的k次諧波穩(wěn)態(tài)輸出的代表相量為

對(duì)應(yīng)寫得系統(tǒng)k次諧波穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為

例3.4-1

電路如圖3.4-1(a)所示。電壓源us(t)為三角波，其波形如圖3.4–1(b)所示。試求電阻上的電壓uo(t)。

解首先把三角波電壓源us(t)分解成傅里葉級(jí)數(shù):

式中，ω1=2π/T=2π×105rad/s，為基波角頻率。圖3.4-1例3.4-1用圖由圖3.4-1(a)所示電路，求得電路的系統(tǒng)函數(shù)為令電壓源us(t)的各次諧波相量分別為各次諧波相量在電阻R上產(chǎn)生的電壓相量分別為從工程應(yīng)用角度看，認(rèn)為輸出uo(t)就近似等于這三個(gè)頻率分量的輸出之和，而且數(shù)學(xué)式的書寫就用等號(hào)而不用近似符號(hào)，即

uo(t)=6.35cos(ω1t+38.5°)+0.87cos(3ω1t+14.84°)

+0.32cos(5ω1t+9.03°)

例3.4-2

某LTI系統(tǒng)的頻響為

若系統(tǒng)輸入

其中Ω=1rad/s，求系統(tǒng)的輸出y(t)。

解畫H(jω)圖形如圖3.4-2所示。已知的輸入信號(hào)f(t)即是指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)形式，顯然Fn=考慮H(jω)特性，分析可知：對(duì)于輸入信號(hào)，只有|nΩ|<3rad/s的頻率分量才可在系統(tǒng)輸出端產(chǎn)生輸出。圖3.4-2例3.4-2用圖因Ω=1rad/s，所以|n|<3，即n=0，±1，±2時(shí)系統(tǒng)有輸出。下面分別計(jì)算：輸出直流分量為

輸出基波分量為輸出二次諧波分量為

故得3.4.2非周期信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)

為了說(shuō)明在非周期信號(hào)激勵(lì)下求解系統(tǒng)響應(yīng)的方法，

我們假設(shè)系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，即討論零狀態(tài)下的響應(yīng)問(wèn)題。

線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。假設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)為f(t)，其零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t)，那么n階系統(tǒng)的微分方程為令對(duì)上式兩邊進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)傅里葉變換的線性和微分特性，得

故零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換為

(3.4-7)由式(3.4-4)、式(3.4-7)可知

(3.4-8)

這樣的分析方法稱為頻域分析法，其過(guò)程如圖3.4-3所示。圖3.4-3頻域分析系統(tǒng)過(guò)程簡(jiǎn)圖

例3.4-3

電路如圖3.4–4(a)所示。電壓源us(t)為矩形脈沖，其波形如圖3.4-4(b)所示。試求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。圖3.4-4例3.4-3圖

解首先計(jì)算電路的系統(tǒng)函數(shù)。畫頻域模型電路如圖

3.4-5所示。圖中，Us(jω)是us(t)的傅里葉變換，電容C用阻抗1/jωC代換，電阻R的阻抗就是本身之值，若電路中有電感L用阻抗jωL代換(本題電路中無(wú)電感元件)，電路中的所有電流、電壓均用它們的傅里葉變換函數(shù)標(biāo)注。圖3.4-5圖3.4-4(a)的頻域模型電路設(shè)電阻R2和電容C并聯(lián)的等效阻抗為故把元件參數(shù)代入上式，得

再求出電壓源us(t)的傅里葉變換。us(t)可以看成兩個(gè)階躍信號(hào)之和，即

式中根據(jù)疊加定理，分別計(jì)算單獨(dú)作用于電路時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)。

的傅里葉變換為設(shè)單獨(dú)作用于電路時(shí)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為

其傅里葉變換為根據(jù)沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)，上式等號(hào)右端的第一項(xiàng)為等號(hào)右端的第二項(xiàng)利用部分分式展開為

故由常用函數(shù)傅里葉變換對(duì)直接寫出上式各項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)，有再根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，得

在時(shí)間上遲延并為負(fù)值，即根據(jù)系統(tǒng)的線性和非時(shí)變特性，可得作用于電路產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為

因此，零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)為

uC(t)的波形如圖3.4-6所示。圖3.4-6uC(t)零狀態(tài)響應(yīng)波形圖

例3.4-4

圖3.4-7所示為線性時(shí)不變連續(xù)復(fù)合系統(tǒng)，已知

(1)求復(fù)合系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)和沖激響應(yīng)h(t)；

(2)若輸入f(t)=sin(4t)+cost，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。

(3)若輸入信號(hào)f(t)的單位為安培，求響應(yīng)yf(t)的功率。圖3.4-7例3.4-4用圖

解

(1)由門函數(shù)常用傅里葉變換對(duì)并考慮對(duì)稱性質(zhì)，

可知由微分性質(zhì)，得設(shè)加法器輸出端信號(hào)為

畫系統(tǒng)的頻域框圖模型，如圖3.4-8所示。圖3.4-8圖3.4-7系統(tǒng)的頻域框圖由圖3.4-8可知由常用門函數(shù)傅里葉變換對(duì)并結(jié)合應(yīng)用對(duì)稱性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì)及線性性質(zhì)，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

(2)輸入信號(hào)f(t)中的兩個(gè)頻率分量，只有ω=1rad/s的頻率分量處于H(jω)通帶之內(nèi)，即

所以零狀態(tài)響應(yīng)(因f(t)是周期信號(hào)，此種情況的零狀態(tài)響應(yīng)也就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng))為

(3)

例3.4-5

描述某線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程為

已知輸入f(t)=6e－4tε(t)。

(1)求系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h(t)；

(2)若輸入信號(hào)f(t)＝e－4tε(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。

解

(1)本問(wèn)題可以先應(yīng)用時(shí)域的方法求解出沖激響應(yīng)h(t)，然后應(yīng)用卷積積分求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)，但過(guò)程較麻煩。這里我們應(yīng)用傅里葉變換的方法求解。

設(shè)

考慮零狀態(tài)條件及輸入的因果信號(hào)f(t)，應(yīng)用傅里葉變換的時(shí)域微分性質(zhì)及線性性質(zhì)，對(duì)方程兩端取傅里葉變換，得所以系統(tǒng)頻響函數(shù)

(3.4-9)對(duì)式(3.4-9)取傅里葉逆變換即得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。但要將本問(wèn)題的H(jω)代入傅里葉逆變換公式積分求h(t)是困難的。這里采用部分分式法先將H(jω)展開為簡(jiǎn)單常用函數(shù)的傅里葉變換代數(shù)和的形式，有

然后套用單邊指數(shù)衰減常用函數(shù)傅里葉變換對(duì)，直接寫出各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的時(shí)間函數(shù)，再將其相加即得沖激響應(yīng)

(2)由常用函數(shù)傅里葉變換對(duì)直接寫得

應(yīng)用傅里葉變換時(shí)域卷積定理，得對(duì)上式部分分式展開，有

所以

3.5濾波器

濾波器允許信號(hào)中人們感興趣的頻率分量順利通過(guò)，而對(duì)人們不感興趣的頻率分量則讓其受到抑制，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)選頻電路。如果信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)，其輸出信號(hào)波形失去了原輸入信號(hào)波形的樣子，就稱為失真。失真有兩種類型，一種是線性失真，另一種是非線性失真。信號(hào)經(jīng)過(guò)線性系統(tǒng)傳輸所引起的失真稱為線性失真，其標(biāo)志性特征是系統(tǒng)輸出信號(hào)y(t)中所包含的頻率分量只能少于或等于輸入信號(hào)f(t)中的頻率分量。3.5.1無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

若信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后只引起所含各頻率分量延遲相同的時(shí)間td及幅度同比例K倍的變化，而形狀相似(數(shù)學(xué)上的精確相似形)，則稱為無(wú)失真?zhèn)鬏?。如圖3.5-1所示為無(wú)失真?zhèn)鬏斃硐胂到y(tǒng)示意圖。圖3.5-1系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏斣O(shè)輸入信號(hào)為f(t)，那么經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)y(t)應(yīng)滿足

(3.5-1)

式中，K、td均為與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)，即輸出信號(hào)y(t)的幅度是輸入信號(hào)的K倍，而且比輸入信號(hào)延時(shí)了td秒。設(shè)輸出信號(hào)的頻譜函數(shù)為Y(jω)，輸入信號(hào)f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω)，對(duì)式(3.5-1)兩邊取傅里葉變換，再應(yīng)用時(shí)移特性可知，輸入與輸出信號(hào)頻譜之間的關(guān)系為由此可知，為使信號(hào)傳輸無(wú)失真，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)應(yīng)為

(3.5-2)

其幅頻特性和相頻特性函數(shù)分別為

(3.5-3a)

(3.5-3b)式(3.5-3)就是為使信號(hào)無(wú)失真地傳輸，對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)提出的要求，即在全部頻帶內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|應(yīng)為常數(shù)，而相頻特性j(ω)應(yīng)為通過(guò)原點(diǎn)的直線，且斜率為－td。無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)姆l、相頻特性如圖3.5-2所示。圖3.5-2無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻特性和相頻特性信號(hào)經(jīng)系統(tǒng)傳輸引起的群遲延時(shí)間td定義為系統(tǒng)的相頻函數(shù)j(ω)對(duì)ω的求導(dǎo)并取負(fù)號(hào)，即

(3.5-4)由于系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是H(jω)的傅里葉逆變換。對(duì)式(3.5-2)進(jìn)行傅里葉逆變換，得

(3.5-5)

上式表明，無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)也應(yīng)是沖激函數(shù)，它是輸入沖激函數(shù)的K倍并延時(shí)了td時(shí)間。3.5.2信號(hào)通過(guò)理想低通濾波器的響應(yīng)

若系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|在某一頻帶內(nèi)保持為常數(shù)(即在該頻帶內(nèi)信號(hào)無(wú)失真地傳輸)而在該頻帶外為零，相頻特性j(ω)始終為過(guò)原點(diǎn)的一條負(fù)斜率直線，則這樣的系統(tǒng)就稱為理想低通濾波器。其幅頻、相頻特性如圖3.5-3所示。圖中，ωc稱為截止角頻率。信號(hào)能通過(guò)的頻率范圍稱為通帶；阻止信號(hào)通過(guò)的頻率范圍稱為止帶或阻帶。圖3.5-3理想低通濾波器的幅頻特性和相頻特性設(shè)理想低通濾波器的截止角頻率為ωc，通帶內(nèi)幅頻特性|H(jω)|=1，相頻特性j(ω)=－ωtd，則理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為

(3.5-6)

|H(jω)|可看作是在頻域中寬度為2ωc的門函數(shù)，改寫H(jω)為

(3.5-7)由于系統(tǒng)函數(shù)H(jω)為沖激響應(yīng)h(t)的傅里葉變換，因而理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為圖3.5-4理想低通濾波器的沖激響應(yīng)一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)系統(tǒng)是否為物理可實(shí)現(xiàn)的，可用下面的準(zhǔn)則判斷：在時(shí)域，要求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)滿足因果條件，即

(3.5-8)

在頻域，根據(jù)“佩利-維納準(zhǔn)則”，可以證明H(jω)物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件是

(3.5-9)

3.6取樣器

現(xiàn)代信息處理中大都采用數(shù)字信號(hào)處理，而實(shí)際工程中遇到的，如聲音、圖像等，又都是連續(xù)信號(hào)。若對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，首當(dāng)其沖的就是對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣。取樣或稱采樣，即是采集樣品，將連續(xù)信號(hào)某些特定時(shí)刻的樣品值取出，這些樣值構(gòu)成了由連續(xù)信號(hào)經(jīng)取樣而得到的離散時(shí)間信號(hào)，再將各樣值量化、編碼(根據(jù)碼位數(shù)分成若干個(gè)臺(tái)階數(shù)，各樣值向就近的臺(tái)階上靠。圖3.6-1取樣過(guò)程示意圖圖中：f(t)為被取樣的連續(xù)信號(hào)，s(t)為取樣脈沖信號(hào)，fs(t)為已取樣信號(hào)。顯然

(3.6-1)

設(shè)

則由時(shí)域卷積定理得

(3.6-2)

S(t)一般為周期信號(hào)，設(shè)它的周期為Ts

且指數(shù)傅里葉系數(shù)為Sn，則其傅里葉變換為

(3.6-3)

式中將式(3.6-3)代入式(3.6-2)得已抽樣信號(hào)的頻譜為

(3.6-4)3.6.1理想取樣

設(shè)取樣脈沖s(t)是由沖激信號(hào)δ(t)構(gòu)成的周期信號(hào)，即

(3.6-5)

則此種情況的

(3.6-6)為常數(shù)，所以將式(3.6-6)代入式(3.6-4)，得

(3.6-7)

式(3.6-7)表明：信號(hào)在時(shí)域被理想取樣后，它的頻譜Fs(jω)是連續(xù)信號(hào)頻譜F(jω)在頻域以ωs為周期、經(jīng)常系數(shù)

加權(quán)延拓而成的周期譜。

圖3.6-2理想取樣及其頻譜3.6.2實(shí)際取樣

工程實(shí)際中應(yīng)用的取樣應(yīng)是實(shí)際取樣，取樣脈沖是用實(shí)際工程中能夠產(chǎn)生的窄矩形脈沖構(gòu)成的，即

(3.6-8)

其圖形如圖3.6-3所示。圖3.6-3周期矩形脈沖此種情況的

(3.6-9)

顯然，它是nωs的Sa函數(shù)而不是常數(shù)，不具有周期性。這種情況的已取樣信號(hào)的頻譜為

(3.6-10)

它也不具有周期性，其圖形如圖3.6-4所示。圖3.6-4周期矩形脈沖取樣圖3.6-5有譜混疊情況的取樣3.6.3時(shí)域取樣定理

設(shè)基帶帶限實(shí)信號(hào)f(t)的傅里葉變換F(jω)在－ωm～ωm區(qū)間非零，其余區(qū)間為零。在時(shí)間域?qū)(t)按等時(shí)間間隔Ts進(jìn)行取樣，若滿足

(3.6-11)

則信號(hào)f(t)可用抽樣值f(nTs)唯一地精確表示，即

(3.6-12)這里應(yīng)說(shuō)明的是：

(1)若實(shí)信號(hào)f(t)是定理中所述的帶限信號(hào)(通常稱基帶帶限信號(hào))，則取樣間隔Ts≤是保證已取樣信號(hào)fs(t)不發(fā)生頻譜混疊的充分必要條件。若取

(3.6-13)

則稱其為已取樣信號(hào)不發(fā)生頻譜混疊的最大取樣間隔。若取

(3.6-14)則稱其為已取樣信號(hào)不發(fā)生頻譜混疊的最低取樣率，亦稱為奈奎斯特(Nequist)頻率。也可將其書寫為

(3.6-15)

而

(3.6-16)

又稱為奈奎斯特間隔。

(2)若f(t)為帶通帶限實(shí)信號(hào)，即

(3.6-17)式中：ω1、ω2分別為F(jω)的最低角頻率和最高角頻率，則式(3.6-11)并非必要條件(就不發(fā)生譜混疊來(lái)看仍為充分條件)。若信號(hào)的最高頻率f2是帶寬的整數(shù)倍，可以證明，此種情況不使已取樣信號(hào)頻譜發(fā)生譜混疊的最低抽樣率為

(3.6-18)3.6.4從已取樣信號(hào)fs(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)

取樣的目的是為了數(shù)字處理，而數(shù)字處理的目的之一就是恢復(fù)原信號(hào)。討論這個(gè)問(wèn)題即是證明了前述的取樣定理。由圖3.6-5(b)可以看出，從有頻譜混疊情況的已取樣信號(hào)中是無(wú)法恢復(fù)出原信號(hào)f(t)的。設(shè)fs(t)為基帶帶限實(shí)信號(hào)f(t)經(jīng)滿足式(3.6-10)條件理想取樣所得到的已取樣信號(hào)，讓其通過(guò)一個(gè)其帶內(nèi)增益數(shù)值為Ts、截止角頻率為ωc的理想低通，且滿足

(3.6-19)圖3.6-6從已取樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)的過(guò)程圖若從時(shí)域看，理想低通濾波器的輸出為

考慮及沖激函數(shù)卷積性質(zhì)，得

(3.6-20)圖3.6-7低通截止頻率選擇不滿足(3.6-19)條件時(shí)的輸出譜

例3.6-1

有限頻帶信號(hào)f(t)=1+2cos(2πf0t)+cos(4πf0t)，其中f0=1kHz，用沖激函數(shù)序列δTs(t)進(jìn)行取樣得已取樣信號(hào)fs(t)。試研究如下問(wèn)題：

(1)為由取樣信號(hào)fs(t)恢復(fù)出原信號(hào)f(t)，對(duì)f(t)的取