引言高中數(shù)學(xué)必修一是高中數(shù)學(xué)體系的基石，其內(nèi)容涵蓋集合（工具性知識(shí)）、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)（核心思想）、基本初等函數(shù)（具體模型）三大板塊。這些內(nèi)容不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等章節(jié)的基礎(chǔ)，也是歷年高考的必考內(nèi)容（占比約15%-20%）。本文以歷年高考真題（____年全國卷、新高考卷、地方卷）為素材，按必修一章節(jié)劃分考點(diǎn)，通過試題分類、詳細(xì)解析、易錯(cuò)點(diǎn)警示、備考策略的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握必修一的核心知識(shí)與解題方法，提升應(yīng)試能力。第一章集合集合是數(shù)學(xué)的“語言工具”，高考中主要考查集合的表示、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算，題型以選擇題為主（分值5分），難度較低，但需注意細(xì)節(jié)。考點(diǎn)1：集合的表示與關(guān)系核心知識(shí)：集合的表示方法：列舉法、描述法（注意代表元素，如$\{x|y=x^2\}$與$\{y|y=x^2\}$的區(qū)別）；集合間的關(guān)系：子集（$\subseteq$）、真子集（$\subsetneqq$）、相等（$=$）；空集（$\emptyset$）：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（高頻易錯(cuò)點(diǎn)）。真題示例（2021年新高考Ⅱ卷第1題）：設(shè)集合$A=\{x|x^2-4x+3<0\}$，$B=\{x|2x-3>0\}$，則$A\capB=$（）A.$(-3,-\frac{3}{2})$B.$(-3,\frac{3}{2})$C.$(1,\frac{3}{2})$D.$(\frac{3}{2},3)$解析：1.解集合$A$：$x^2-4x+3<0$即$(x-1)(x-3)<0$，得$1<x<3$；2.解集合$B$：$2x-3>0$得$x>\frac{3}{2}$；3.求交集：$A\capB=(\frac{3}{2},3)$，選D。易錯(cuò)點(diǎn)：解不等式時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤（如將$(x-1)(x-3)<0$解為$x<1$或$x>3$）；忽略區(qū)間端點(diǎn)的開閉（如將$\frac{3}{2}$包含在集合中）?？键c(diǎn)2：集合的運(yùn)算核心知識(shí)：真題示例（2023年全國乙卷理科第1題）：A.$\{5\}$B.$\{1,2\}$C.$\{3,4\}$D.$\{1,2,3,4\}$解析：1.求$A\cupB$：$A\cupB=\{1,2,3,4\}$；技巧：用Venn圖輔助分析集合運(yùn)算，直觀且不易出錯(cuò)。集合備考策略1.牢記基本概念：區(qū)分集合的表示方法（尤其是描述法的代表元素）、集合間的關(guān)系（子集與真子集的區(qū)別）；2.重視空集：當(dāng)題目涉及“$A\subseteqB$”“$A\capB=\emptyset$”時(shí)，必須先考慮$A=\emptyset$的情況；3.熟練運(yùn)算：掌握交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合數(shù)軸（連續(xù)數(shù)集）、Venn圖（離散數(shù)集）解題。第二章函數(shù)的概念與基本性質(zhì)函數(shù)是必修一的核心，高考中考查函數(shù)的三要素（定義域、值域、解析式）、單調(diào)性、奇偶性，題型包括選擇題、填空題、解答題（分值10-15分），難度中等?？键c(diǎn)1：函數(shù)的三要素核心知識(shí)：定義域：使函數(shù)有意義的自變量取值范圍（定義域優(yōu)先原則）；常見限制條件：分式分母≠0；根式（偶次）被開方數(shù)≥0；對數(shù)真數(shù)>0；指數(shù)、冪函數(shù)底數(shù)≠0；值域：函數(shù)值的集合（求法：配方法、換元法、單調(diào)性法、圖像法）；解析式：表示函數(shù)關(guān)系的式子（求法：待定系數(shù)法、換元法、消元法）。真題示例（2022年新高考Ⅰ卷第3題）：函數(shù)$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\ln(2-x)}$的定義域是（）A.$[1,2)$B.$(1,2)$C.$[1,2]$D.$(1,2]$解析：1.根號(hào)限制：$x-1\geq0$→$x\geq1$；2.對數(shù)限制：$2-x>0$→$x<2$；3.分母限制：$\ln(2-x)\neq0$→$2-x\neq1$→$x\neq1$；4.綜合得定義域：$(1,2)$，選B。易錯(cuò)點(diǎn)：漏掉分母$\ln(2-x)\neq0$的條件（易誤選A）?？键c(diǎn)2：函數(shù)的單調(diào)性核心知識(shí)：定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，若對任意$x_1<x_2\inI$，都有$f(x_1)<f(x_2)$（遞增）或$f(x_1)>f(x_2)$（遞減），則$f(x)$在$I$上單調(diào)；判定方法：定義法（取值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論）、圖像法（上升/下降）、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（同增異減）；應(yīng)用：求值域、比較大小、解不等式。真題示例（2021年全國甲卷文科第12題）：證明函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在區(qū)間$(-1,1)$上單調(diào)遞減。解析（定義法）：1.取值：設(shè)$-1<x_1<x_2<1$；2.作差：$f(x_2)-f(x_1)=x_2^3-3x_2-x_1^3+3x_1$；3.變形：因式分解得$(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2-3)$；4.定號(hào)：$x_2-x_1>0$（因?yàn)?x_2>x_1$）；$x_2^2+x_1x_2+x_1^2=(x_1+\frac{x_2}{2})^2+\frac{3x_2^2}{4}>0$，但$-1<x_1,x_2<1$，故$x_2^2+x_1x_2+x_1^2<1+1+1=3$（如$x_1=x_2=1$時(shí)取3，但$x_1,x_2<1$，故嚴(yán)格小于3）；因此$x_2^2+x_1x_2+x_1^2-3<0$；5.結(jié)論：$f(x_2)-f(x_1)<0$，即$f(x)$在$(-1,1)$上單調(diào)遞減。技巧：變形時(shí)優(yōu)先因式分解（提取$x_2-x_1$），再分析剩余部分的符號(hào)?？键c(diǎn)3：函數(shù)的奇偶性核心知識(shí)：定義：若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且$f(-x)=f(x)$（偶函數(shù)）或$f(-x)=-f(x)$（奇函數(shù)）；性質(zhì)：偶函數(shù)圖像關(guān)于$y$軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；奇函數(shù)在$x=0$處有定義，則$f(0)=0$（高頻易錯(cuò)點(diǎn)）；判定步驟：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱→再驗(yàn)證$f(-x)$與$f(x)$的關(guān)系。真題示例（2020年全國Ⅰ卷理科第11題）：已知函數(shù)$f(x)=x^3+\sinx$，則$f(x)$是（）A.偶函數(shù)，且在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)，且在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減C.奇函數(shù)，且在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減解析：1.定義域：$R$（關(guān)于原點(diǎn)對稱）；2.奇偶性：$f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)$，故為奇函數(shù)；3.單調(diào)性：$f’(x)=3x^2+\cosx$，當(dāng)$x>0$時(shí)，$3x^2\geq0$，$\cosx\geq-1$，故$f’(x)\geq3x^2-1$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，$3x^2-1\geq2>0$；當(dāng)$0<x<1$時(shí)，$3x^2>0$，$\cosx>0$（因?yàn)?0<x<1<\frac{\pi}{2}$），故$f’(x)>0$；因此$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，選C。易錯(cuò)點(diǎn)：忽略定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提（如$f(x)=x^2$在$[0,+\infty)$上不是偶函數(shù)）。函數(shù)概念與性質(zhì)備考策略1.定義域優(yōu)先：無論求函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性還是值域，都要先確定定義域；2.掌握判定方法：單調(diào)性用定義法或?qū)?shù)法（必修一用定義法），奇偶性用定義法（先看定義域）；3.結(jié)合圖像：函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）與圖像密切相關(guān)，畫圖能直觀解決問題；4.強(qiáng)化應(yīng)用：用單調(diào)性求值域、比較大?。ㄈ?f(a)>f(b)$等價(jià)于$a>b$（遞增）），用奇偶性簡化計(jì)算（如$f(-a)=-f(a)$）。第三章基本初等函數(shù)（指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)）基本初等函數(shù)是函數(shù)模型的具體實(shí)例，高考中考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)，題型包括選擇題、填空題、解答題（分值10-15分），難度中等偏上?？键c(diǎn)1：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)核心知識(shí)：指數(shù)函數(shù)：$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$）；性質(zhì)：定義域$R$，值域$(0,+\infty)$；$a>1$時(shí)遞增，$0<a<1$時(shí)遞減；過點(diǎn)$(0,1)$；對數(shù)函數(shù)：$y=\log_ax$（$a>0$且$a≠1$）；性質(zhì)：定義域$(0,+\infty)$，值域$R$；$a>1$時(shí)遞增，$0<a<1$時(shí)遞減；過點(diǎn)$(1,0)$；關(guān)系：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（圖像關(guān)于$y=x$對稱）。真題示例（2023年新高考Ⅰ卷第5題）：若$a=\log_23$，$b=\log_34$，$c=\log_45$，則（）A.$a>b>c$B.$b>a>c$C.$c>b>a$D.$a>c>b$解析：1.換底公式：$a=\frac{\ln3}{\ln2}$，$b=\frac{\ln4}{\ln3}=\frac{2\ln2}{\ln3}$，$c=\frac{\ln5}{\ln4}=\frac{\ln5}{2\ln2}$；2.比較$a$與$b$：$a-b=\frac{\ln3}{\ln2}-\frac{2\ln2}{\ln3}=\frac{(\ln3)^2-2(\ln2)^2}{\ln2\ln3}$；計(jì)算分子：$(\ln3)^2-2(\ln2)^2=\ln3\cdot\ln3-\ln2\cdot\ln4$；由對數(shù)均值不等式：$\ln3\cdot\ln3>\ln2\cdot\ln4$（因?yàn)?3>2$，$3>4$？不，正確的方法是用函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\lnx}$（$x>1$）的單調(diào)性）；3.構(gòu)造函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\lnx}$（$x>1$），求導(dǎo)得$f’(x)=\frac{\frac{\lnx}{x+1}-\frac{\ln(x+1)}{x}}{(\lnx)^2}=\frac{x\lnx-(x+1)\ln(x+1)}{x(x+1)(\lnx)^2}$；分子$x\lnx-(x+1)\ln(x+1)<0$（因?yàn)?g(x)=x\lnx$在$x>1$時(shí)遞增，故$x\lnx<(x+1)\ln(x+1)$）；因此$f(x)$在$x>1$時(shí)遞減；4.故$f(2)>f(3)>f(4)$，即$\frac{\ln3}{\ln2}>\frac{\ln4}{\ln3}>\frac{\ln5}{\ln4}$，即$a>b>c$，選A。技巧：比較對數(shù)大小常用換底公式、構(gòu)造函數(shù)（利用單調(diào)性）?？键c(diǎn)2：冪函數(shù)核心知識(shí)：冪函數(shù)：$y=x^\alpha$（$\alpha$為常數(shù)）；性質(zhì)：定義域、值域隨$\alpha$變化（如$\alpha=1$時(shí)定義域$R$，$\alpha=\frac{1}{2}$時(shí)定義域$[0,+\infty)$，$\alpha=-1$時(shí)定義域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$）；圖像：過點(diǎn)$(1,1)$；$\alpha>0$時(shí)在$(0,+\infty)$上遞增，$\alpha<0$時(shí)在$(0,+\infty)$上遞減。真題示例（2022年全國甲卷理科第4題）：已知冪函數(shù)$f(x)=x^\alpha$的圖像過點(diǎn)$(2,\sqrt{2})$，則$\alpha=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.2D.3解析：將點(diǎn)$(2,\sqrt{2})$代入$f(x)=x^\alpha$，得$2^\alpha=\sqrt{2}=2^\frac{1}{2}$，故$\alpha=\frac{1}{2}$，選A?？键c(diǎn)3：函數(shù)零點(diǎn)核心知識(shí)：定義：函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)是方程$f(x)=0$的實(shí)數(shù)解，即函數(shù)圖像與$x$軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)；判定定理（零點(diǎn)存在定理）：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)f(b)<0$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)有零點(diǎn)；求法：解方程（代數(shù)法）、圖像法（找交點(diǎn)）、二分法（近似解）。真題示例（2021年新高考Ⅰ卷第12題）：函數(shù)$f(x)=e^x-2x-1$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3解析：1.求導(dǎo)：$f’(x)=e^x-2$，令$f’(x)=0$得$x=\ln2$；2.單調(diào)性：當(dāng)$x<\ln2$時(shí)，$f’(x)<0$，$f(x)$遞減；當(dāng)$x>\ln2$時(shí)，$f’(x)>0$，$f(x)$遞增；3.最小值：$f(\ln2)=e^{\ln2}-2\ln2-1=2-2\ln2-1=1-2\ln2≈-0.386<0$；4.端點(diǎn)值：$f(0)=1-0-1=0$（零點(diǎn)）；$f(2)=e^2-4-1≈7.389-5=2.389>0$（由單調(diào)性知，$(ln2,2)$內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)）；$f(-1)=e^{-1}+2-1=e^{-1}+1≈1.368>0$（由單調(diào)性知，$(-1,ln2)$內(nèi)無零點(diǎn)）；5.綜上，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選C。易錯(cuò)點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理只能判定“存在性”，不能判定“個(gè)數(shù)”（如$f(x)=x^2$在$[-1,1]$上$f(-1)f(1)=1>0$，但有一個(gè)零點(diǎn)$x=0$）?；境醯群瘮?shù)備考策略1.記住圖像與性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像是解題的關(guān)鍵，要熟練掌握它們的單調(diào)性、奇偶性、定點(diǎn)；2.掌握運(yùn)算技巧：指數(shù)運(yùn)算（$a^m\cdota^n=a^{m+n}$，$(a^m)^n=a^{mn}$）、對數(shù)運(yùn)算（$\log_aMN=\log_aM+\log_aN$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$，換底公式$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$）；3.復(fù)合函數(shù)問題：用“同增異減”判斷單調(diào)性（如$y=\log_2(x^2-1)$的單調(diào)遞增區(qū)間是$(1,+\infty)$，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)$x^2-1$在$(1,+\infty)$遞增，外層函數(shù)$\log_2t$遞增）；4.函數(shù)零點(diǎn)問題：結(jié)合單調(diào)性、極值（最值）判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所在區(qū)間。第四章高頻考點(diǎn)總結(jié)與解題技巧一、高頻考點(diǎn)1.集合：集合的運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集）；2.函數(shù)概念：定義域（分式、根式、對數(shù)式）；3.函數(shù)性質(zhì)：單調(diào)性（定義法）、奇偶性（定義法）；4.基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（比較大小）、函數(shù)零點(diǎn)（個(gè)數(shù)判斷）。二、解題技巧1.集合運(yùn)算：用數(shù)軸（連續(xù)數(shù)集）、Venn圖（離散數(shù)集）輔助；2.定義域求法：列不等式組（分式分母≠0、根式被開方數(shù)≥0、對數(shù)真數(shù)>0），求交集；3.單調(diào)性判定：定義法（取值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論），變形技巧（因式分解、通分、配方）；4.奇偶性判定：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再驗(yàn)證$f(-x)$與$f(x)$的關(guān)系；5.對數(shù)大小比較：換底公式、構(gòu)造函數(shù)（如$f(x)=\frac{\ln(x+1)}{\lnx}$）；6.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)：求導(dǎo)找單