中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型講解與訓(xùn)練引言中考數(shù)學(xué)是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的綜合檢驗(yàn)，其命題圍繞“核心素養(yǎng)”展開，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、解題方法的靈活運(yùn)用及問題解決能力。從歷年真題來看，函數(shù)綜合題、幾何動(dòng)點(diǎn)問題、統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用、方程與不等式實(shí)際應(yīng)用、圖形變換綜合題是高頻考點(diǎn)，占總分值的60%以上。掌握這些題型的解題策略，是突破中考數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。本文將逐一講解這些題型的特征、解題策略，并通過典型例題+針對(duì)性訓(xùn)練，幫助考生舉一反三，提升解題能力。一、函數(shù)綜合題：數(shù)形結(jié)合是核心題型特征函數(shù)綜合題是中考的“壓軸題”之一，通常涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查內(nèi)容包括：函數(shù)表達(dá)式的求解（待定系數(shù)法）；函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題（聯(lián)立方程）；函數(shù)的最值（配方法、頂點(diǎn)公式）；實(shí)際問題中的函數(shù)應(yīng)用（如利潤(rùn)、面積最值）。解題策略1.數(shù)形結(jié)合：通過函數(shù)圖像理解數(shù)量關(guān)系，如交點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的解、頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)最值；2.待定系數(shù)法：根據(jù)已知條件設(shè)函數(shù)表達(dá)式（如二次函數(shù)設(shè)一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式）；3.聯(lián)立方程：求圖像交點(diǎn)時(shí)，將兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式（判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)）、韋達(dá)定理（求中點(diǎn)坐標(biāo)、根與系數(shù)關(guān)系）求解；4.最值求解：二次函數(shù)最值用頂點(diǎn)公式或配方法，反比例函數(shù)最值結(jié)合自變量取值范圍。典型例題例1已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖像與\(x\)軸交于\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)兩點(diǎn)，與\(y\)軸交于\(C(0,3)\)。（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線\(y=kx+m\)與該二次函數(shù)圖像交于\(P\)、\(Q\)兩點(diǎn)，且\(PQ\)的中點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2)\)，求\(k\)的值；（3）若點(diǎn)\(D\)在該二次函數(shù)圖像上，且點(diǎn)\(D\)的縱坐標(biāo)為4，求點(diǎn)\(D\)的坐標(biāo)。解析（1）待定系數(shù)法：將\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)代入表達(dá)式，得：\[\begin{cases}a(-1)^2+b(-1)+c=0\\a(3)^2+b(3)+c=0\\c=3\end{cases}\]解得\(a=-1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，故表達(dá)式為\(y=-x^2+2x+3\)。（2）聯(lián)立方程+韋達(dá)定理：聯(lián)立\(y=-x^2+2x+3\)與\(y=kx+m\)，得：\[-x^2+2x+3=kx+m\impliesx^2+(k-2)x+(m-3)=0\]設(shè)\(P(x_1,y_1)\)、\(Q(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=-(k-2)=2-k\)。由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，\(\frac{x_1+x_2}{2}=1\)，故\(\frac{2-k}{2}=1\)，解得\(k=0\)。（3）代入求值：令\(y=4\)，得\(-x^2+2x+3=4\impliesx^2-2x+1=0\impliesx=1\)，故點(diǎn)\(D\)坐標(biāo)為\((1,4)\)。針對(duì)性訓(xùn)練題目已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）與一次函數(shù)\(y=2x+1\)的圖像交于點(diǎn)\(A(1,m)\)。（1）求\(k\)和\(m\)的值；（2）若點(diǎn)\(B\)在反比例函數(shù)圖像上，且點(diǎn)\(B\)的橫坐標(biāo)為2，求\(\triangleAOB\)的面積（\(O\)為原點(diǎn)）。答案（1）\(m=2\times1+1=3\)，故\(A(1,3)\)，代入反比例函數(shù)得\(k=1\times3=3\)；（2）點(diǎn)\(B\)坐標(biāo)為\((2,\frac{3}{2})\)，利用坐標(biāo)面積公式：\[S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\left|1\times\frac{3}{2}-2\times3\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{3}{2}-6\right|=\frac{9}{4}\]二、幾何動(dòng)點(diǎn)問題：分類討論是關(guān)鍵題型特征幾何動(dòng)點(diǎn)問題是中考的“難點(diǎn)題”，通常涉及點(diǎn)在線段或射線上運(yùn)動(dòng)，考查：動(dòng)點(diǎn)軌跡（如線段、圓?。粍?dòng)態(tài)圖形的形狀變化（如等腰三角形、直角三角形存在性）；動(dòng)態(tài)圖形的面積、周長(zhǎng)變化（如面積最值）。解題策略1.建立坐標(biāo)系：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用坐標(biāo)表示動(dòng)點(diǎn)位置（如設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間\(t\)，表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)）；2.分類討論：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)位置的不同（如在線段\(AB\)上、線段\(BC\)上）或圖形形狀的不同（如等腰三角形的腰不同），分情況討論；3.幾何性質(zhì)：利用全等、相似、勾股定理等性質(zhì)，建立方程求解（如等腰三角形的兩邊相等、直角三角形的勾股定理）。典型例題例2在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿\(AC\)向點(diǎn)\(C\)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(C\)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿\(CB\)向點(diǎn)\(B\)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒（\(t>0\)）。（1）當(dāng)\(t\)為何值時(shí)，\(\trianglePCQ\)的面積為2？（2）當(dāng)\(t\)為何值時(shí)，\(\trianglePCQ\)為等腰三角形？解析（1）表示線段長(zhǎng)度：\(AP=t\impliesPC=3-t\)，\(CQ=2t\)；面積公式：\(S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}\timesPC\timesCQ=\frac{1}{2}\times(3-t)\times2t=t(3-t)\)；解方程：\(t(3-t)=2\impliest^2-3t+2=0\impliest=1\)或\(t=2\)。（2）分類討論（\(\angleC=90^\circ\)，故等腰三角形只能是\(PC=CQ\)或\(PC=PQ\)或\(CQ=PQ\)）：\(PC=CQ\)：\(3-t=2t\impliest=1\)；\(PC=PQ\)：在\(\text{Rt}\trianglePCQ\)中，\(PQ^2=PC^2+CQ^2\)，故\(PC^2=PC^2+CQ^2\impliesCQ=0\)（舍去）；\(CQ=PQ\)：同理，\(CQ^2=PC^2+CQ^2\impliesPC=0\)（舍去）。綜上，\(t=1\)。針對(duì)性訓(xùn)練題目在矩形\(ABCD\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，點(diǎn)\(E\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿\(AB\)向點(diǎn)\(B\)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)\(F\)從點(diǎn)\(B\)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿\(BC\)向點(diǎn)\(C\)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒（\(t>0\)）。（1）當(dāng)\(t\)為何值時(shí)，\(\triangleBEF\)的面積為8？（2）當(dāng)\(t\)為何值時(shí)，\(\triangleBEF\)為等腰三角形？答案（1）\(BE=6-t\)，\(BF=2t\)，面積\(=\frac{1}{2}\times(6-t)\times2t=t(6-t)=8\impliest=2\)或\(t=4\)；（2）分類討論（\(\angleB=90^\circ\)，等腰三角形只能是\(BE=BF\)或\(BE=EF\)或\(BF=EF\)）：\(BE=BF\)：\(6-t=2t\impliest=2\)；\(BE=EF\)：\(EF^2=BE^2+BF^2\implies(6-t)^2=(6-t)^2+(2t)^2\impliest=0\)（舍去）；\(BF=EF\)：\((2t)^2=(6-t)^2+(2t)^2\implies6-t=0\impliest=6\)（超出\(F\)的運(yùn)動(dòng)范圍，舍去）。綜上，\(t=2\)。三、統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用：數(shù)據(jù)解讀是基礎(chǔ)題型特征統(tǒng)計(jì)與概率是中考的“必考題”，難度較低，考查：統(tǒng)計(jì)圖表的解讀（條形圖、扇形圖、折線圖）；統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）；概率的計(jì)算（列表法、樹狀圖法、幾何概率）。解題策略1.圖表轉(zhuǎn)換：從條形圖中獲取具體數(shù)量，從扇形圖中獲取百分比，通過“部分量÷百分比=總量”計(jì)算總樣本量；2.統(tǒng)計(jì)量計(jì)算：平均數(shù)：\(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，中間位置的數(shù)（偶數(shù)個(gè)時(shí)取中間兩個(gè)數(shù)的平均值）；眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；方差：\(s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\)（反映數(shù)據(jù)波動(dòng)大小）；3.概率計(jì)算：古典概型：\(P(A)=\frac{\text{符合條件的情況數(shù)}}{\text{總情況數(shù)}}\)（列表法、樹狀圖法）；幾何概型：\(P(A)=\frac{\text{事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積}}{\text{總區(qū)域面積}}\)。典型例題例3某學(xué)校為了解學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（部分信息未給出）：條形統(tǒng)計(jì)圖：鍛煉時(shí)間0-1小時(shí)的有10人，1-2小時(shí)的有20人，2-3小時(shí)的有\(zhòng)(x\)人，3小時(shí)以上的有\(zhòng)(y\)人；扇形統(tǒng)計(jì)圖：鍛煉時(shí)間0-1小時(shí)的占20%，1-2小時(shí)的占40%，2-3小時(shí)的占30%，3小時(shí)以上的占10%。（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）求\(x\)和\(y\)的值；（3）若該校有1000名學(xué)生，估計(jì)鍛煉時(shí)間在2小時(shí)以上的學(xué)生人數(shù)。解析（1）總量計(jì)算：0-1小時(shí)的有10人，占20%，故總?cè)藬?shù)\(=10\div20\%=50\)人；（2）部分量計(jì)算：2-3小時(shí)的人數(shù)\(x=50\times30\%=15\)人；3小時(shí)以上的人數(shù)\(y=50\times10\%=5\)人；（3）估計(jì)總體：鍛煉時(shí)間在2小時(shí)以上的占\(30\%+10\%=40\%\)，故估計(jì)人數(shù)\(=1000\times40\%=400\)人。針對(duì)性訓(xùn)練題目某商場(chǎng)銷售\(A\)、\(B\)兩種商品，\(A\)商品每件進(jìn)價(jià)10元，售價(jià)15元；\(B\)商品每件進(jìn)價(jià)30元，售價(jià)40元。該商場(chǎng)一次性購進(jìn)\(A\)、\(B\)兩種商品共80件，總進(jìn)價(jià)為1800元。（1）求購進(jìn)\(A\)、\(B\)兩種商品各多少件？（2）若該商場(chǎng)銷售完這批商品，求總利潤(rùn)；（3）若該商場(chǎng)再次購進(jìn)\(A\)、\(B\)兩種商品共100件，總進(jìn)價(jià)不超過2500元，求最多能購進(jìn)\(B\)商品多少件？答案（1）設(shè)購進(jìn)\(A\)商品\(a\)件，\(B\)商品\(b\)件，得：\[\begin{cases}a+b=80\\10a+30b=1800\end{cases}\implies\begin{cases}a=30\\b=50\end{cases}\]（2）總利潤(rùn)\(=30\times(15-10)+50\times(40-30)=150+500=650\)元；（3）設(shè)購進(jìn)\(B\)商品\(m\)件，則\(A\)商品\(100-m\)件，得：\[10(100-m)+30m\leq2500\implies1000+20m\leq2500\impliesm\leq75\]故最多能購進(jìn)\(B\)商品75件。四、方程與不等式實(shí)際應(yīng)用：等量關(guān)系是核心題型特征方程與不等式是中考的“基礎(chǔ)題”，考查實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，如：工程問題（工作效率×工作時(shí)間=工作量）；行程問題（速度×?xí)r間=路程）；銷售問題（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)）；方案問題（不等式組求整數(shù)解）。解題策略1.審題：找出題目中的關(guān)鍵詞（如“等于”“超過”“不超過”），確定是方程還是不等式；2.設(shè)未知數(shù)：直接設(shè)（求什么設(shè)什么）或間接設(shè)（設(shè)中間量，如工作效率）；3.找等量/不等關(guān)系：根據(jù)題意建立方程（如“總工作量=各部分工作量之和”）或不等式（如“總進(jìn)價(jià)≤2500元”）；4.驗(yàn)證解的合理性：解出后檢查是否符合實(shí)際情況（如時(shí)間、數(shù)量為正數(shù)）。典型例題例4某工程隊(duì)計(jì)劃修建一條長(zhǎng)1200米的公路，原計(jì)劃每天修建\(x\)米，實(shí)際每天比原計(jì)劃多修建20米，結(jié)果提前3天完成任務(wù)。（1）求原計(jì)劃每天修建多少米？（2）實(shí)際修建這條公路用了多少天？解析（1）等量關(guān)系：原計(jì)劃時(shí)間-實(shí)際時(shí)間=3天；表示時(shí)間：原計(jì)劃時(shí)間\(=\frac{1200}{x}\)，實(shí)際時(shí)間\(=\frac{1200}{x+20}\)；列方程：\(\frac{1200}{x}-\frac{1200}{x+20}=3\)；解方程：兩邊乘\(x(x+20)\)得\(1200(x+20)-1200x=3x(x+20)\)，化簡(jiǎn)得\(x^2+20x-8000=0\)，解得\(x=80\)（\(x=-100\)舍去）。（2）實(shí)際每天修建：\(80+20=100\)米，實(shí)際時(shí)間\(=\frac{1200}{100}=12\)天。針對(duì)性訓(xùn)練題目某商店銷售一種服裝，每件成本價(jià)為50元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價(jià)為60元時(shí)，每月可銷售100件，售價(jià)每上漲1元，每月銷售量減少5件。（1）設(shè)每件售價(jià)為\(x\)元（\(x\geq60\)），每月銷售量為\(y\)件，求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)每月利潤(rùn)為\(w\)元，求\(w\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)每件售價(jià)為多少元時(shí)，每月利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？答案（1）\(y=100-5(x-60)=400-5x\)；（2）\(w=(x-50)(400-5x)=-5x^2+650x-____\)；（3）頂點(diǎn)公式：\(x=-\frac{2a}=-\frac{650}{2\times(-5)}=65\)，最大利潤(rùn)\(w=-5\times65^2+650\times65-____=1125\)元。五、圖形變換綜合題：對(duì)應(yīng)元素是關(guān)鍵題型特征圖形變換是中考的“綜合題”，考查平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、相似的性質(zhì)，通常與全等、相似三角形結(jié)合，考查：變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；變換后的圖形面積、周長(zhǎng)；變換中的不變量（如旋轉(zhuǎn)后的線段長(zhǎng)度、角度）。解題策略1.明確變換類型：平移（方向、距離）、旋轉(zhuǎn)（中心、角度）、軸對(duì)稱（對(duì)稱軸）、相似（比、方向）；2.找對(duì)應(yīng)元素：變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（平移）、繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)）、關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱（軸對(duì)稱）；對(duì)應(yīng)邊成比例（相似）；3.利用性質(zhì)：平移/旋轉(zhuǎn)/軸對(duì)稱后的圖形全等（對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）；相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等。典型例題例5在正方形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，點(diǎn)\(E\)在邊\(BC\)上，\(BE=1\)，將\(\triangleABE\)繞點(diǎn)\(A\)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到\(\triangleADF\)，連接\(EF\)，求\(EF\)的長(zhǎng)度。解析1.變換性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)后\(AD=AB=2\)，\(DF=BE=1\)，\(\angleADF=\angleABE=90^\circ\)；2.坐標(biāo)法：設(shè)\(A(