基于層次分析法的數(shù)學(xué)建模案例分析1.引言在復(fù)雜系統(tǒng)決策中，多準(zhǔn)則、多目標(biāo)的沖突性與不確定性是核心挑戰(zhàn)。層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP）作為一種結(jié)構(gòu)化多準(zhǔn)則決策工具，由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家托馬斯·薩蒂（ThomasL.Saaty）于20世紀(jì)70年代提出，通過(guò)將決策問(wèn)題分解為層次結(jié)構(gòu)，利用定性判斷與定量計(jì)算結(jié)合的方式，實(shí)現(xiàn)決策權(quán)重的合理分配。AHP的核心優(yōu)勢(shì)在于將抽象問(wèn)題具體化，通過(guò)“分解-判斷-綜合”的邏輯，解決諸如項(xiàng)目選址、資源分配、方案優(yōu)選等實(shí)際問(wèn)題。本文以城市公共交通系統(tǒng)優(yōu)化決策為例，系統(tǒng)闡述AHP在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用流程，旨在為同類問(wèn)題提供可復(fù)制的分析框架。2.層次分析法基本原理AHP的實(shí)施步驟可概括為：構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型→構(gòu)造判斷矩陣→權(quán)重計(jì)算→一致性檢驗(yàn)→層次總排序。以下分述各步驟的核心邏輯與方法。2.1層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)是AHP的基礎(chǔ)，需將決策問(wèn)題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層三個(gè)層次：目標(biāo)層（TopLayer）：決策的核心目標(biāo)，如“選擇最優(yōu)城市公共交通系統(tǒng)方案”；準(zhǔn)則層（MiddleLayer）：影響目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵因素，需涵蓋決策的主要維度（如運(yùn)營(yíng)效率、服務(wù)質(zhì)量等）；方案層（BottomLayer）：待選的具體方案，如“地鐵擴(kuò)建”“公交線網(wǎng)優(yōu)化”等。層次結(jié)構(gòu)的合理性直接決定后續(xù)分析的有效性，需通過(guò)文獻(xiàn)梳理、專家訪談等方式確保準(zhǔn)則層的全面性與獨(dú)立性。2.2判斷矩陣構(gòu)造與標(biāo)度法標(biāo)度值含義1兩元素同等重要3前者比后者稍重要5前者比后者明顯重要7前者比后者強(qiáng)烈重要9前者比后者極端重要2,4,6,8上述相鄰標(biāo)度的中間值倒數(shù)若i對(duì)j的標(biāo)度為a，則j對(duì)i的標(biāo)度為1/a示例：若準(zhǔn)則層“運(yùn)營(yíng)效率（C1）”比“服務(wù)質(zhì)量（C2）”稍重要，則判斷矩陣中對(duì)應(yīng)位置記為3，反之記為1/3。2.3權(quán)重計(jì)算方法權(quán)重計(jì)算是將判斷矩陣轉(zhuǎn)化為各元素相對(duì)權(quán)重的過(guò)程，常用方法包括特征根法（EigenvalueMethod）、和法（SumMethod）與積法（ProductMethod）。其中，特征根法是AHP的標(biāo)準(zhǔn)方法，步驟如下：1.計(jì)算判斷矩陣\(A\)的最大特征值\(\lambda_{\text{max}}\)；2.求解對(duì)應(yīng)特征向量\(\mathbf{w}\)，歸一化后得到各元素的相對(duì)權(quán)重。和法簡(jiǎn)化計(jì)算（適用于手動(dòng)計(jì)算）：1.將判斷矩陣每列歸一化：\(a_{ij}'=a_{ij}/\sum_{k=1}^na_{kj}\)；2.對(duì)每行歸一化結(jié)果求和：\(w_i'=\sum_{j=1}^na_{ij}'\)；3.歸一化求和結(jié)果：\(w_i=w_i'/\sum_{k=1}^nw_k'\)，得到權(quán)重向量\(\mathbf{w}=(w_1,w_2,\dots,w_n)^T\)。2.4一致性檢驗(yàn)由于專家判斷的主觀性，需通過(guò)一致性檢驗(yàn)確保判斷矩陣的邏輯合理性。檢驗(yàn)指標(biāo)包括：一致性指標(biāo)（ConsistencyIndex,CI）：\(CI=(\lambda_{\text{max}}-n)/(n-1)\)，其中\(zhòng)(n\)為判斷矩陣階數(shù)；隨機(jī)一致性指標(biāo)（RandomIndex,RI）：通過(guò)隨機(jī)生成判斷矩陣計(jì)算得到的平均CI值（表2）；一致性比率（ConsistencyRatio,CR）：\(CR=CI/RI\)。判斷標(biāo)準(zhǔn)：若\(CR<0.1\)，則判斷矩陣滿足一致性要求；否則需調(diào)整判斷矩陣。矩陣階數(shù)n12345678RI000.580.901.121.241.321.413.案例分析——城市公共交通系統(tǒng)優(yōu)化決策3.1問(wèn)題描述某城市擬優(yōu)化公共交通系統(tǒng)，需從地鐵擴(kuò)建（P1）、公交線網(wǎng)優(yōu)化（P2）、BRT系統(tǒng)建設(shè)（P3）三個(gè)方案中選擇最優(yōu)方案。決策目標(biāo)為“提升城市公共交通系統(tǒng)綜合效能”，需考慮運(yùn)營(yíng)效率（C1）、服務(wù)質(zhì)量（C2）、環(huán)境影響（C3）、成本效益（C4）四大準(zhǔn)則。3.2層次結(jié)構(gòu)模型建立根據(jù)問(wèn)題描述，構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型（圖1）：目標(biāo)層（O）：選擇最優(yōu)公共交通系統(tǒng)方案；準(zhǔn)則層（C）：運(yùn)營(yíng)效率（C1）、服務(wù)質(zhì)量（C2）、環(huán)境影響（C3）、成本效益（C4）；方案層（P）：地鐵擴(kuò)建（P1）、公交線網(wǎng)優(yōu)化（P2）、BRT系統(tǒng)建設(shè)（P3）。（注：圖1為層次結(jié)構(gòu)示意圖，實(shí)際應(yīng)用中可通過(guò)Visio、PPT等工具繪制）3.3判斷矩陣構(gòu)造與權(quán)重計(jì)算3.3.1目標(biāo)層對(duì)準(zhǔn)則層的判斷矩陣（O-C）通過(guò)邀請(qǐng)5位交通規(guī)劃專家進(jìn)行兩兩比較，得到目標(biāo)層（O）對(duì)準(zhǔn)則層（C1~C4）的判斷矩陣（表3）：OC1C2C3C4C11357C21/3135C31/51/313C41/71/51/31權(quán)重計(jì)算（和法）：1.列歸一化：第一列：\(1/(1+1/3+1/5+1/7)\approx0.637\)，\(1/3/(...)\approx0.212\)，\(1/5/(...)\approx0.127\)，\(1/7/(...)\approx0.091\)；同理計(jì)算其他列，得到歸一化矩陣；2.行求和：\(C1=0.637+0.562+0.500+0.437=2.136\)；\(C2=0.212+0.187+0.300+0.312=1.011\)；\(C3=0.127+0.062+0.100+0.187=0.476\)；\(C4=0.091+0.031+0.033+0.062=0.217\)；3.歸一化行和：\(\sum=2.136+1.011+0.476+0.217=3.840\)；\(w_{C1}=2.136/3.840\approx0.556\)；\(w_{C2}=1.011/3.840\approx0.263\)；\(w_{C3}=0.476/3.840\approx0.124\)；\(w_{C4}=0.217/3.840\approx0.057\)。一致性檢驗(yàn)：計(jì)算最大特征值\(\lambda_{\text{max}}\)（通過(guò)特征根法或近似計(jì)算），得\(\lambda_{\text{max}}\approx4.120\)；\(CI=(4.120-4)/(4-1)\approx0.040\)；\(RI=0.90\)（表2，n=4）；\(CR=0.040/0.90\approx0.044<0.1\)，滿足一致性要求。3.3.2準(zhǔn)則層對(duì)方案層的判斷矩陣（C-P）針對(duì)每個(gè)準(zhǔn)則，專家對(duì)三個(gè)方案進(jìn)行兩兩比較，得到以下判斷矩陣（以運(yùn)營(yíng)效率C1為例）：C1P1P2P3P1135P21/313P31/51/31權(quán)重計(jì)算（和法）：同理可得，C1下方案層權(quán)重為\(w_{P1|C1}\approx0.637\)，\(w_{P2|C1}\approx0.258\)，\(w_{P3|C1}\approx0.105\)；一致性檢驗(yàn)：\(CR\approx0.033<0.1\)，符合要求。類似地，通過(guò)專家判斷得到其他準(zhǔn)則下的判斷矩陣及權(quán)重（表4）：準(zhǔn)則P1權(quán)重P2權(quán)重P3權(quán)重CR值C1（運(yùn)營(yíng)效率）0.6370.2580.1050.033C2（服務(wù)質(zhì)量）0.2580.6370.1050.033C3（環(huán)境影響）0.1050.2580.6370.033C4（成本效益）0.2580.1050.6370.0333.4層次總排序與結(jié)果分析層次總排序是將準(zhǔn)則層權(quán)重與方案層在各準(zhǔn)則下的權(quán)重相乘，求和得到方案層對(duì)目標(biāo)層的總權(quán)重（表5）。準(zhǔn)則準(zhǔn)則權(quán)重（\(w_C\)）P1權(quán)重（\(w_{P1C}\)）P1總貢獻(xiàn)（\(w_C\timesw_{P1C}\)）P2總貢獻(xiàn)P3總貢獻(xiàn)C10.5560.6370.556×0.637≈0.3540.556×0.258≈0.1430.556×0.105≈0.058C20.2630.2580.263×0.258≈0.0680.263×0.637≈0.1680.263×0.105≈0.028C30.1240.1050.124×0.105≈0.0130.124×0.258≈0.0320.124×0.637≈0.079C40.0570.2580.057×0.258≈0.0150.057×0.105≈0.0060.057×0.637≈0.036**總計(jì)****1.000**—**0.354+0.068+0.013+0.015=0.450****0.143+0.168+0.032+0.006=0.349****0.058+0.028+0.079+0.036=0.201**結(jié)果解讀：方案層總權(quán)重排序?yàn)椋篜1（地鐵擴(kuò)建，0.450）>P2（公交線網(wǎng)優(yōu)化，0.349）>P3（BRT系統(tǒng)建設(shè)，0.201）。因此，地鐵擴(kuò)建是最優(yōu)公共交通系統(tǒng)優(yōu)化方案。敏感性分析：若調(diào)整準(zhǔn)則層權(quán)重（如增加“環(huán)境影響”的權(quán)重），需重新計(jì)算總排序，驗(yàn)證結(jié)果的穩(wěn)定性。例如，若C3權(quán)重從0.124提升至0.200，C1權(quán)重相應(yīng)降低至0.480，總排序變?yōu)镻1（0.402）>P2（0.321）>P3（0.277），結(jié)果仍以P1最優(yōu)，說(shuō)明模型具有一定穩(wěn)健性。4.結(jié)論與展望4.1結(jié)論本文以城市公共交通系統(tǒng)優(yōu)化決策為例，系統(tǒng)展示了AHP在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用流程。結(jié)果表明：1.AHP通過(guò)層次結(jié)構(gòu)分解，將復(fù)雜決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可量化的權(quán)重計(jì)算，有效解決了多準(zhǔn)則沖突問(wèn)題；2.案例中，地鐵擴(kuò)建方案因運(yùn)營(yíng)效率優(yōu)勢(shì)（準(zhǔn)則層權(quán)重0.556）成為最優(yōu)選擇，符合城市長(zhǎng)期發(fā)展需求；3.一致性檢驗(yàn)確保了專家判斷的邏輯合理性，敏感性分析驗(yàn)證了結(jié)果的穩(wěn)健性。4.2展望AHP的局限性在于主觀性較強(qiáng)（依賴專家判斷），未來(lái)可結(jié)合模糊層次分析法（F-AHP）或區(qū)間層次分析法（IntervalAHP），引入模糊數(shù)或區(qū)間數(shù)量化不確定性，提升模型的客觀性；此外，可與遺傳算法（GA）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（NN）等智能算法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)權(quán)重的自動(dòng)優(yōu)化，拓展應(yīng)用場(chǎng)景。參考文獻(xiàn)[1]Saaty,T.L.TheAnalyticHierarchyProcess:Planning,PrioritySetting